Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung: eine Einführung
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Berlin [u.a.]
Springer
2007
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung..................................................... 1
1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik..................... 9
1.1 Analytische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik........... 10
1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik ......... 12
1.2.1 Geometrische Eigenschaften von Flüssen ............. 12
1.2.2 Hamiltonsche Flüsse............................... 13
1.2.3 Die symplektische Form............................ 15
1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik.......... 16
1.3.1
Observable
und Zustände........................... 16
1.3.2 Die Poisson-Klammer und die. Zeitentwicklung........ 20
1.4 Warum „Geometrische Mechanik ......................... 21
1.5 Aufgaben............................................... 22
2 Differentialgeometrische Grundlagen....................... 29
2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten........................ 30
2.1.1 Karten und Atlanten............................... 30
2.1.2 Tangentialvektoren und das Taiigeuteiibündel......... 35
2.1.3 Vektorfelder, Flüsse und Lie-Klammern.............. 41
2.2 Vektorbündel........................................... 45
2.2.1 Bimdelkarten und erste Eigenschaften................ 46
2.2.2 Konstruktionen von Vektorbündeln.................. 50
2.2.3 Algebraische Strukturen für Schnitte von Vektorbündeln 54
2.2.4 Kovariante Ableitungen und Krümmung ............. 60
2.2.5 Orientierung und n-Dichtenbündpl................... 63
2.3 Kalkül auf Aiannigfaltigkeiten............................. 72
2.3.1 Tensorfelder und Lie-Ableitung...................... 72
2.3.2 Difi erentialformen................................. 75
2.3.3
M
ulti vektor
f
ekler und die
Schout en-Nijenhuis-Klammer
82
2.3.4 Integration auf Mannigfaltigkeiten................... 87
2.4 Aufgaben............................................... 92
X
Inhaltsverzeichnis
3 Symplektische Geometrie..................................105
3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenräume..........105
3.1.1 Definitionen und erste Eigenschaften.................106
3.1.2 Hamiltonsche Vektorfelder und Poisson-Klammern.....108
3.1.3 Das Darboux-Theorem.............................113
3.2 Beispiele von
sympłektischen
Mannigfaltigkeiten.............118
3.2.1 Kotangentenbündel................................118
3.2.2 Von Lagrangescher zu Hamiltonscher Mechanik.......130
3.2.3 Fast-Komplexe Strukturen und Kähler-
Mannigfaltigkeiten.................................138
3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion ..............151
3.3.1 Lie-Gruppen und Gruppenwirkungen ................152
3.3.2 Impulsabbildungen................................175
3.3.3 Die
Marsden-
Weinstein-Reduktion...................185
3.4 Aufgaben...............................................191
4 Poisson-Geometrie.........................................209
4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten ...............................210
4.1.1 Poisson-Klammern und Poisson-Tensoren.............211
4.1.2 Hamiltonsche und
Poisson-
Vektorfelder...............215
4.1.3 Beispiele von Poisson-Mannigfaltigkeiten.............218
4.1.4 Symplektische Blätterung und das
Splitting-Theoľem
.. 225
4.1.5 Poisson-Abbildungen...............................233
4.2 Lie-Algebroide und Poisson-Kohomologie...................237
4.2.1 Lie-Algebroide....................................238
4.2.2 Poisson-Kohomologie..............................247
4.2.3 Die fundamentale und die
modulare
Klasse...........253
4.2.4 Formale Poisson-Tensoren..........................257
4.3 Aufgaben...............................................271
5 Quantisierung: Erste Schritte..............................281
5.1 Die Problemstellung.....................................281
5.1.1 Klassische Mechanik und Quantenmechanik im Vergleich283
5.1.2 Quantisierung und klassischer Limes.................288
5.2 Kanonische Quantisierung für polynomiale Funktionen.......292
5.2.1 Das Groenewold-van Hove-Theorem.................294
5.2.2 Ordnungsvorschriften: Standard- und Weyl-Ordnung ... 299
5.2.3
Wick-, Anti-Wick-
und
Я
-Ordnung...................303
5.2.4 Die ersten Sternprodukte...........................306
5.3 Symbolkalkül für Pseudodifferentialoperatoren..............314
5.3.1 Integralformeln und Pseudodifferentialoperatoren......315
5.3.2 Integralformeln für die Sternprodukte................324
5.3.3 Asymptotische Entwicklungen und ihre Konvergenz .... 331
5.3.4 Asymptotische Entwicklung und klassischer Limes.....336
5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenbündel........337
Inhaltsverzeichnis
XI
5.4.1 Standardgeordnete Quantisierung auf T*Q ...........338
5.4.2 K-Ordnung und Sternprodukte auf T*Q..............347
5.5 Aufgaben...............................................355
Formale Deformationsquantisierung........................371
6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten...............372
6.1.1 Ziele und Erwartungen.............................372
6.1.2 Die Definition von Sternprodukten ..................374
6.1.3 Existenz und Klassifikation von Sternprodukten.......380
6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber ........386
6.2.1
λ
-Adische
Topologie
und der Banachsche Fixpunktsatz . 389
6.2.2 Die Gerstenhaber-Klammer und der
НосЬвсЫЫ-КопцЛехЗЭЗ
6.2.3 Formale Deformationen assoziativer Algebren.........402
6.2.4 Eine formale assoziative Deformation................410
6.2.5 Das Hochschild-Kostant-Rosenberg-Theorem..........413
6.3 Kalkül mit Sternprodukten...............................419
6.3.1
Inverse,
Exponential-
und Logarithmusfunktion.......419
6.3.2 Derivationen von Sternprodukten....................423
6.3.3 Automorphismen von Sternprodukten................429
6.3.4 Zeitentwicklung und die Heisenberg-Gleichung........433
6.3.5 Spurfunktionale...................................437
6.4 Die Fedosov-Konstruktion................................444
6.4.1 Das formale Weyl-Algebrabündel....................446
6.4.2 Die Fedosov-Derivation.............................453
6.4.3 Die Fedosov-Taylor-Reihe und das Fedosov-Sternprodukt464
6.4.4 Die Fedosov-Klasse................................470
6.5 Aufgaben...............................................474
Zustände und Darstellungen...............................485
7.1 Zustände als positive Funktionale..........................486
7.1.1 Geordnete Ringe, Prä-Hübert-Räume und *-Algebren .. 487
7.1.2 Positivitätsbegriffe.................................495
7.1.3 Positive Funktionale in der Deformationsquantisierung . 501
7.1.4 Die KMS-Bedingung und thermodynamische Zustände . 507
7.1.5 Positive Deformationen ............................512
7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion......................517
7.2.1 Elementare Darsteüungstheorie einer *-Algebra.......518
7.2.2 Die allgemeine GNS-Konstruktion...................522
7.2.3 GNS-Darstellungen in der Deformationsquantisierung .. 525
7.2.4 Deformation und klassischer Limes von -Darstellungen 537
7.3 Aufgaben...............................................544
XII Inhaltsverzeichnis
A
Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten..............551
A.l Zerlegungen der Eins.....................................551
A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren...........556
A.3 Differentialoperatoren der Algebra C°°(M).................560
A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren.......566
A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektorbündeln .. 573
Kommentiertes Literaturverzeichnis...........................579
Literaturverzeichnis ...........................................583
Sachverzeichnis................................................601
|
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung. 1
1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik. 9
1.1 Analytische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik. 10
1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik . 12
1.2.1 Geometrische Eigenschaften von Flüssen . 12
1.2.2 Hamiltonsche Flüsse. 13
1.2.3 Die symplektische Form. 15
1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik. 16
1.3.1
Observable
und Zustände. 16
1.3.2 Die Poisson-Klammer und die. Zeitentwicklung. 20
1.4 Warum „Geometrische Mechanik". 21
1.5 Aufgaben. 22
2 Differentialgeometrische Grundlagen. 29
2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten. 30
2.1.1 Karten und Atlanten. 30
2.1.2 Tangentialvektoren und das Taiigeuteiibündel. 35
2.1.3 Vektorfelder, Flüsse und Lie-Klammern. 41
2.2 Vektorbündel. 45
2.2.1 Bimdelkarten und erste Eigenschaften. 46
2.2.2 Konstruktionen von Vektorbündeln. 50
2.2.3 Algebraische Strukturen für Schnitte von Vektorbündeln 54
2.2.4 Kovariante Ableitungen und Krümmung . 60
2.2.5 Orientierung und n-Dichtenbündpl. 63
2.3 Kalkül auf Aiannigfaltigkeiten. 72
2.3.1 Tensorfelder und Lie-Ableitung. 72
2.3.2 Difi'erentialformen. 75
2.3.3
M
ulti vektor
f
ekler und die
Schout en-Nijenhuis-Klammer
82
2.3.4 Integration auf Mannigfaltigkeiten. 87
2.4 Aufgaben. 92
X
Inhaltsverzeichnis
3 Symplektische Geometrie.105
3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenräume.105
3.1.1 Definitionen und erste Eigenschaften.106
3.1.2 Hamiltonsche Vektorfelder und Poisson-Klammern.108
3.1.3 Das Darboux-Theorem.113
3.2 Beispiele von
sympłektischen
Mannigfaltigkeiten.118
3.2.1 Kotangentenbündel.118
3.2.2 Von Lagrangescher zu Hamiltonscher Mechanik.130
3.2.3 Fast-Komplexe Strukturen und Kähler-
Mannigfaltigkeiten.138
3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion .151
3.3.1 Lie-Gruppen und Gruppenwirkungen .152
3.3.2 Impulsabbildungen.175
3.3.3 Die
Marsden-
Weinstein-Reduktion.185
3.4 Aufgaben.191
4 Poisson-Geometrie.209
4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten .210
4.1.1 Poisson-Klammern und Poisson-Tensoren.211
4.1.2 Hamiltonsche und
Poisson-
Vektorfelder.215
4.1.3 Beispiele von Poisson-Mannigfaltigkeiten.218
4.1.4 Symplektische Blätterung und das
Splitting-Theoľem
. 225
4.1.5 Poisson-Abbildungen.233
4.2 Lie-Algebroide und Poisson-Kohomologie.237
4.2.1 Lie-Algebroide.238
4.2.2 Poisson-Kohomologie.247
4.2.3 Die fundamentale und die
modulare
Klasse.253
4.2.4 Formale Poisson-Tensoren.257
4.3 Aufgaben.271
5 Quantisierung: Erste Schritte.281
5.1 Die Problemstellung.281
5.1.1 Klassische Mechanik und Quantenmechanik im Vergleich283
5.1.2 Quantisierung und klassischer Limes.288
5.2 Kanonische Quantisierung für polynomiale Funktionen.292
5.2.1 Das Groenewold-van Hove-Theorem.294
5.2.2 Ordnungsvorschriften: Standard- und Weyl-Ordnung . 299
5.2.3
Wick-, Anti-Wick-
und
Я
-Ordnung.303
5.2.4 Die ersten Sternprodukte.306
5.3 Symbolkalkül für Pseudodifferentialoperatoren.314
5.3.1 Integralformeln und Pseudodifferentialoperatoren.315
5.3.2 Integralformeln für die Sternprodukte.324
5.3.3 Asymptotische Entwicklungen und ihre Konvergenz . 331
5.3.4 Asymptotische Entwicklung und klassischer Limes.336
5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenbündel.337
Inhaltsverzeichnis
XI
5.4.1 Standardgeordnete Quantisierung auf T*Q .338
5.4.2 K-Ordnung und Sternprodukte auf T*Q.347
5.5 Aufgaben.355
Formale Deformationsquantisierung.371
6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten.372
6.1.1 Ziele und Erwartungen.372
6.1.2 Die Definition von Sternprodukten .374
6.1.3 Existenz und Klassifikation von Sternprodukten.380
6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber .386
6.2.1
λ
-Adische
Topologie
und der Banachsche Fixpunktsatz . 389
6.2.2 Die Gerstenhaber-Klammer und der
НосЬвсЫЫ-КопцЛехЗЭЗ
6.2.3 Formale Deformationen assoziativer Algebren.402
6.2.4 Eine formale assoziative Deformation.410
6.2.5 Das Hochschild-Kostant-Rosenberg-Theorem.413
6.3 Kalkül mit Sternprodukten.419
6.3.1
Inverse,
Exponential-
und Logarithmusfunktion.419
6.3.2 Derivationen von Sternprodukten.423
6.3.3 Automorphismen von Sternprodukten.429
6.3.4 Zeitentwicklung und die Heisenberg-Gleichung.433
6.3.5 Spurfunktionale.437
6.4 Die Fedosov-Konstruktion.444
6.4.1 Das formale Weyl-Algebrabündel.446
6.4.2 Die Fedosov-Derivation.453
6.4.3 Die Fedosov-Taylor-Reihe und das Fedosov-Sternprodukt464
6.4.4 Die Fedosov-Klasse.470
6.5 Aufgaben.474
Zustände und Darstellungen.485
7.1 Zustände als positive Funktionale.486
7.1.1 Geordnete Ringe, Prä-Hübert-Räume und *-Algebren . 487
7.1.2 Positivitätsbegriffe.495
7.1.3 Positive Funktionale in der Deformationsquantisierung . 501
7.1.4 Die KMS-Bedingung und thermodynamische Zustände . 507
7.1.5 Positive Deformationen .512
7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion.517
7.2.1 Elementare Darsteüungstheorie einer *-Algebra.518
7.2.2 Die allgemeine GNS-Konstruktion.522
7.2.3 GNS-Darstellungen in der Deformationsquantisierung . 525
7.2.4 Deformation und klassischer Limes von "-Darstellungen 537
7.3 Aufgaben.544
XII Inhaltsverzeichnis
A
Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten.551
A.l Zerlegungen der Eins.551
A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren.556
A.3 Differentialoperatoren der Algebra C°°(M).560
A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren.566
A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektorbündeln . 573
Kommentiertes Literaturverzeichnis.579
Literaturverzeichnis .583
Sachverzeichnis.601 |
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