Eichfeldtheorie: eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln
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Berlin [u.a.]
Springer
2009
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1
Lie-Gruppen
und homogene Räume ....................... 1
1.1 Lie-Gruppen und ihre Algebren ........................... 1
1.2 Die
Exponential-
Abbildung einer Lie-Gruppe ............... 5
1.3 Die adjungierte Darstellung............................... 13
1.4 Lie-Untergruppen ....................................... 21
1.5 Transformationsgruppen und homogene Räume ............. 30
1.6 Fundamentale Vektorfelder............................... 36
1.7 Aufgaben zu Kapitel 1................................... 39
2 Hauptfaserbündel und assoziierte Faserbündel............. 43
2.1 Lokal-triviale Faserungen................................. 43
2.2 Hauptfaserbündel........................................ 48
2.3 Assoziierte Faserbündel .................................. 52
2.4 Vektorbündel........................................... 56
2.5 Reduktion und Erweiterung von Hauptfaserbündeln.......... 63
2.6 Aufgaben zu Kapitel 2................................... 70
3 Zusammenhänge in Hauptfaserbündeln.................... 73
3.1 Zusammenhänge, Definition und Beispiele.................. 73
3.2 Der affine Raum aller Zusammenhänge..................... 84
3.3 Parallelverschiebung in Hauptfaser bündeln.................. 87
3.4 Das absolute Differential eines Zusammenhangs............. 93
3.5 Die Krümmung eines Zusammenhangs.....................101
3.6
S
* -Zusammenhänge......................................111
3.7 Aufgaben zu Kapitel 3...................................115
4 Holonomietheorie..........................................119
4.1 Reduktion und Erweiterung von Zusammenhängen ..........119
4.2 Das Holonomiebündel....................................121
4.3 Holonomiegrappen und parallele Schnitte...................128
4.4 Aufgaben zu Kapitel 4...................................131
XIV Inhaltsverzeichnis
5 Holonomiegruppen Riemannscher Mannigfaltigkeiten......133
5.1 Grundlegende Eigenschaften .............................134
5.2 Der Zerlegungssatz von de Rham und Wu..................140
5.3 Holonomiegruppen und symmetrische Räume...............159
5.4 Die Berger-Liste.........................................182
5.5 Holonomiegruppen pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten
- Ein Ausblick..........................................200
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5...................................203
6 Charakteristische Klassen in der de Rham-Kohomologie ... 205
6.1 Der Weil-Homomorphismus...............................205
6.2 Die Chern-Klassen komplexer Vektorbündel.................213
6.3 Die Pontrjagin-Klassen reeller Vektorbündel ................225
6.4 Die Euler-Klasse ........................................233
6.5 Potenzreihen und charakteristische Klassen.................239
6.6 Aufgaben zu Kapitel 6...................................246
7 Die Yang-Mills-Gleichung und selbstduale
Zusammenhänge...........................................249
7.1 Die Maxwellschen Gleichungen für ein elektromagnetisches
Feld als Yang-Mills-Gleichung.............................249
7.2 Die Yang-Mills-Gleichung als Euler-Lagrange-Gleichung......253
7.3 Selbstduale Zusammenhänge .............................259
7.4 Aufgaben zu Kapitel 7...................................269
A
Anhang....................................................271
A.l Tensorfelder............................................271
A.2 Differentialformen.......................................272
A.3 Untermannigfaltigkeiten..................................279
A.4 Der Satz von Frobenius..................................280
A.5 Metriken und Krümmung.................................281
A.6 Exponentialabbildung, Jacobifelder und geodätische Variation . 290
A.7 Total-geodätische Untermannigfaltigkeiten..................292
A.8 Semi-Riemannsche Submersionen..........................293
A.9 Das Cartan-Ambrose-Hicks-Theorern.......................294
Lösungen der Aufgaben........................................303
Literaturverzeichnis...........................................347
Sachverzeichnis................................................351
|
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Inhaltsverzeichnis
1
Lie-Gruppen
und homogene Räume . 1
1.1 Lie-Gruppen und ihre Algebren . 1
1.2 Die
Exponential-
Abbildung einer Lie-Gruppe . 5
1.3 Die adjungierte Darstellung. 13
1.4 Lie-Untergruppen . 21
1.5 Transformationsgruppen und homogene Räume . 30
1.6 Fundamentale Vektorfelder. 36
1.7 Aufgaben zu Kapitel 1. 39
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2.1 Lokal-triviale Faserungen. 43
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2.3 Assoziierte Faserbündel . 52
2.4 Vektorbündel. 56
2.5 Reduktion und Erweiterung von Hauptfaserbündeln. 63
2.6 Aufgaben zu Kapitel 2. 70
3 Zusammenhänge in Hauptfaserbündeln. 73
3.1 Zusammenhänge, Definition und Beispiele. 73
3.2 Der affine Raum aller Zusammenhänge. 84
3.3 Parallelverschiebung in Hauptfaser bündeln. 87
3.4 Das absolute Differential eines Zusammenhangs. 93
3.5 Die Krümmung eines Zusammenhangs.101
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3.7 Aufgaben zu Kapitel 3.115
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4.1 Reduktion und Erweiterung von Zusammenhängen .119
4.2 Das Holonomiebündel.121
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4.4 Aufgaben zu Kapitel 4.131
XIV Inhaltsverzeichnis
5 Holonomiegruppen Riemannscher Mannigfaltigkeiten.133
5.1 Grundlegende Eigenschaften .134
5.2 Der Zerlegungssatz von de Rham und Wu.140
5.3 Holonomiegruppen und symmetrische Räume.159
5.4 Die Berger-Liste.182
5.5 Holonomiegruppen pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten
- Ein Ausblick.200
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5.203
6 Charakteristische Klassen in der de Rham-Kohomologie . 205
6.1 Der Weil-Homomorphismus.205
6.2 Die Chern-Klassen komplexer Vektorbündel.213
6.3 Die Pontrjagin-Klassen reeller Vektorbündel .225
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7 Die Yang-Mills-Gleichung und selbstduale
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7.4 Aufgaben zu Kapitel 7.269
A
Anhang.271
A.l Tensorfelder.271
A.2 Differentialformen.272
A.3 Untermannigfaltigkeiten.279
A.4 Der Satz von Frobenius.280
A.5 Metriken und Krümmung.281
A.6 Exponentialabbildung, Jacobifelder und geodätische Variation . 290
A.7 Total-geodätische Untermannigfaltigkeiten.292
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