Algebra: Gruppen - Ringe - Körper
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| Language: | German |
| Published: |
Heidelberg
Spektrum, Akad. Verl.
2009
|
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort..............................................................
v
0 Vorbemerkungen................................................. 1
0.1 Womit befasst sich die Algebra ? ..................................... 1
0.2 Gruppen, Ringe, Körper............................................. 2
1 Halbgruppen..................................................... 5
1.1 Definitionen....................................................... 5
1.2 Unterhalbgruppen.................................................. 8
1.3 Invertierbare Elemente.............................................. 9
1.4 Allgemeines Assoziativ- und Kornmutativgesetz........................ 11
1.5 Potenzen und Vielfache............................................. 11
1.6 Homomorphismen, Isomorphismen.................................... 12
1.7 Direkte Produkte................................................... 14
2 Gruppen......................................................... 17
2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen ............................. 17
2.2 Untergruppen...................................................... 21
2.3 Homomorphismen.................................................. 25
3 Untergruppen.................................................... 29
3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen.............................. 29
3.2 Nebenklassen...................................................... 35
3.3 Der Satz von Lagrange.............................................. 38
4 Normalteiler und Faktorgruppen................................. 43
4.1 Normalteiler....................................................... 43
4.2 Normalisatoren .................................................... 46
4.3 Faktorgruppen..................................................... 47
4.4 Der Homomorphiesatz.............................................. 51
4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * .............. 53
4.6 Isomorphiesätze.................................................... 53
5 Zyklische Gruppen............................................... 59
5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen......................... 59
5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen................................. 61
5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie................................... 62
5.4 Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen *.................... 68
6 Direkte Produkte................................................ 71
6.1 Äußere direkte Produkte............................................ 71
6.2 Innere direkte Produkte............................................. 72
6.3 Anwendung in der Zahlentheorie..................................... 75
viii Inhaltsverzeichnis
7 Gruppenoperationen............................................. 83
7.1 Bahnen und Stabilisatoren von Gruppenoperationen.................... 83
7.2 Der Fixpunktsatz .................................................. 87
7.3 Die Klassengleichung ............................................... 89
8 Die Sätze von Sylow............................................. 93
8.1 Der erste Satz von Sylow............................................ 93
8.2 Der zweite Satz von Sylow........................................... 97
8.3 Gruppen kleiner Ordnung........................................... 100
9 Symmetrische und alternierende Gruppen ....................... 103
9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen...................................... 103
9.2 Alternierende Gruppen..............................................108
9.3 Einfache Gruppen.................................................. 110
10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.................. 113
10.1 Der Hauptsatz..................................................... 113
10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen ........................115
10.3 Die zweite Version des Hauptsatzes *................................. 117
11 Auflösbare Gruppen............................................. 119
11.1 Normalreihen und Kompositionsreihen................................ 119
11.2 Kommutatorgruppen................................................123
11.3 Auflösbare Gruppen................................................126
11.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen........ 127
11.5 Klassen auflösbarer Gruppen......................................... 129
12 Grundbegriffe der Ringtheorie...................................131
12.1 Definition und Beispiele............................................. 131
12.2 Teilringe.......................................................... 134
12.3 Die Einheitengruppe................................................ 135
12.4 Homomorphismen.................................................. 136
12.5 Integritätsbereiche.................................................. 137
12.6 Charakteristik eines Ringes mit 1..................................... 138
12.7 Körper und Schiefkörper............................................ 139
12.8 Quotientenkörper................................................... 140
13 Polynomringe....................................................145
13.1 Motivation........................................................ 145
13.2 Konstruktion des Ringes
ñ[No]
....................................... 146
13.3 Polynome in einer Unbestimmten..................................... 148
13.4
Prime
Restklassengruppen * ........................................ 156
13.5 Polynome in mehreren Unbestimmten................................. 157
14 Ideale............................................................ 161
Inhaltsverzeichnis ¡x
14.1 Definitionen und Beispiele........................................... 161
14.2 Erzeugung von Idealen.............................................. 163
14.3 Einfache Ringe..................................................... 164
14.4 Idealoperationen................................................... 166
14.5 Paktorringe........................................................ 167
14.6 Isomorphiesätze.................................................... 168
14.7 Primideale......................................................... 169
14.8 Maximale Ideale.................................................... 171
15 Teilbarkeit in Integritätsbereichen ............................... 175
15.1 Teilbarkeit......................................................... 175
15.2 Idealtheoretische Interpretation...................................... 179
16 Faktorielle Ringe................................................. 181
16.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe................................... 181
16.2 Der nichtfaktorielle Ring
% ѕГ^
*................................... 184
17 Haupt idealringe. Euklidische Ringe.............................. 187
17.1 Hauptidealringe.................................................... 187
17.2 Euklidische Ringe.................................................. 189
17.3 Der euklidische Ring Z[i] *.......................................... 192
18 Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe.......... 195
18.1 Der Satz von Gauß................................................. 195
18.2 Irreduzibilität...................................................... 199
18.3 Noethersche Ringe *............................................... 203
19 Grundlagen der Körpertheorie................................... 207
19.1 Körpererweiterungen................................................ 207
19.2 Ring- und Körperadjunktion......................................... 212
19.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome............................. 213
20 Einfache und algebraische Körpererweiterungen.................. 217
20.1 Einfache Körpererweiterungen ....................................... 217
20.2 Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen.............. 219
20.3 Algebraische Körpererweiterungen.................................... 221
21 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal *......................... 225
21.1 Konstruierbarkeit .................................................. 225
21.2 Die drei klassischen Probleme........................................ 231
22 Transzendente Körpererweiterungen * .......................... 233
22.1 Transzendenzbasen................................................. 233
22.2 Der Transzendenzgrad.............................................. 237
23 Algebraischer Abschluss. Zerfallungskörper...................... 239
23.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers.............................. 239
Inhaltsverzeichnis
23.2 Zerfällungskörper...................................................244
23.3 Normale Körpererweiterungen........................................249
24
Separable
Körpererweiterungen..................................253
24.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln....................................... 253
24.2 Separabilität....................................................... 255
24.3 Vollkommene Körper ............................................... 258
24.4 Der Satz vom primitiven Element .................................... 259
24.5 Der
separable Abschluss
............................................. 260
25 Endliche Körper.................................................265
25.1 Existenz und Eindeutigkeit..........................................265
25.2 Der Verband der Teilkörper..........................................268
25.3 Automorphismen...................................................269
26 Die Galoiskorrespondenz.........................................271
26.1 if-Automorphismen ................................................271
26.2 Die allgemeine Galoiskorrespondenz ..................................274
26.3 Algebraische Galoiserweiterungen.....................................278
26.4 Hauptsatz der endlichen Galoistheorie.................................281
26.5 Ergänzungen.......................................................284
27 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung *..........287
27.1 Norm und Spur....................................................287
27.2 Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers
^(Δ)
.........................288
27.3 Hinweise zur Ermittlung von
Γ
= F(L/K).............................290
27.4 Beispiele..........................................................291
27.5 Die Galoisgruppe eines Polynoms.....................................292
28 Kreisteilungskörper..............................................297
28.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper..................................297
28.2 Kreisteilungspolynome..............................................299
28.3 Die Galoisgruppe von
Κ,,/Κ
.........................................304
28.4 Konstruktion regulärer Vielecke *....................................306
29 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.............311
29.1 Zyklische Körpererweiterungen.......................................311
29.2 Auflösbarkeit ......................................................316
29.3 Das Auflösbarkeitskriterium.........................................316
30 Die allgemeine Gleichung........................................321
30.1 Symmetrische Funktionen...........................................321
30.2 Das allgemeine Polynom ............................................324
30.3 Die
Diskriminante
eines Polynoms *..................................326
30.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 * ..............................328
Inhaltsverzeichnis xi
30.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 * .............................. 331
A
Hilfsmittel....................................................... 333
A.l Äquivalenzrelationen................................................ 333
A.2
Transfinite
Beweismethoden......................................... 334
A.3 Kardinalzahlen..................................................... 337
A.4 Zusammenfassung der Axiome....................................... 339
Literaturverzeichnis .................................................. 341
Index................................................................. 343
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Vorwort.
v
0 Vorbemerkungen. 1
0.1 Womit befasst sich die Algebra ? . 1
0.2 Gruppen, Ringe, Körper. 2
1 Halbgruppen. 5
1.1 Definitionen. 5
1.2 Unterhalbgruppen. 8
1.3 Invertierbare Elemente. 9
1.4 Allgemeines Assoziativ- und Kornmutativgesetz. 11
1.5 Potenzen und Vielfache. 11
1.6 Homomorphismen, Isomorphismen. 12
1.7 Direkte Produkte. 14
2 Gruppen. 17
2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen . 17
2.2 Untergruppen. 21
2.3 Homomorphismen. 25
3 Untergruppen. 29
3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen. 29
3.2 Nebenklassen. 35
3.3 Der Satz von Lagrange. 38
4 Normalteiler und Faktorgruppen. 43
4.1 Normalteiler. 43
4.2 Normalisatoren . 46
4.3 Faktorgruppen. 47
4.4 Der Homomorphiesatz. 51
4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . 53
4.6 Isomorphiesätze. 53
5 Zyklische Gruppen. 59
5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen. 59
5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen. 61
5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie. 62
5.4 Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen *. 68
6 Direkte Produkte. 71
6.1 Äußere direkte Produkte. 71
6.2 Innere direkte Produkte. 72
6.3 Anwendung in der Zahlentheorie. 75
viii Inhaltsverzeichnis
7 Gruppenoperationen. 83
7.1 Bahnen und Stabilisatoren von Gruppenoperationen. 83
7.2 Der Fixpunktsatz . 87
7.3 Die Klassengleichung . 89
8 Die Sätze von Sylow. 93
8.1 Der erste Satz von Sylow. 93
8.2 Der zweite Satz von Sylow. 97
8.3 Gruppen kleiner Ordnung. 100
9 Symmetrische und alternierende Gruppen . 103
9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen. 103
9.2 Alternierende Gruppen.108
9.3 Einfache Gruppen. 110
10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen. 113
10.1 Der Hauptsatz. 113
10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen .115
10.3 Die zweite Version des Hauptsatzes *. 117
11 Auflösbare Gruppen. 119
11.1 Normalreihen und Kompositionsreihen. 119
11.2 Kommutatorgruppen.123
11.3 Auflösbare Gruppen.126
11.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen. 127
11.5 Klassen auflösbarer Gruppen. 129
12 Grundbegriffe der Ringtheorie.131
12.1 Definition und Beispiele. 131
12.2 Teilringe. 134
12.3 Die Einheitengruppe. 135
12.4 Homomorphismen. 136
12.5 Integritätsbereiche. 137
12.6 Charakteristik eines Ringes mit 1. 138
12.7 Körper und Schiefkörper. 139
12.8 Quotientenkörper. 140
13 Polynomringe.145
13.1 Motivation. 145
13.2 Konstruktion des Ringes
ñ[No]
. 146
13.3 Polynome in einer Unbestimmten. 148
13.4
Prime
Restklassengruppen * . 156
13.5 Polynome in mehreren Unbestimmten. 157
14 Ideale. 161
Inhaltsverzeichnis ¡x
14.1 Definitionen und Beispiele. 161
14.2 Erzeugung von Idealen. 163
14.3 Einfache Ringe. 164
14.4 Idealoperationen. 166
14.5 Paktorringe. 167
14.6 Isomorphiesätze. 168
14.7 Primideale. 169
14.8 Maximale Ideale. 171
15 Teilbarkeit in Integritätsbereichen . 175
15.1 Teilbarkeit. 175
15.2 Idealtheoretische Interpretation. 179
16 Faktorielle Ringe. 181
16.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe. 181
16.2 Der nichtfaktorielle Ring
%\ѕГ^\
*. 184
17 Haupt idealringe. Euklidische Ringe. 187
17.1 Hauptidealringe. 187
17.2 Euklidische Ringe. 189
17.3 Der euklidische Ring Z[i] *. 192
18 Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe. 195
18.1 Der Satz von Gauß. 195
18.2 Irreduzibilität. 199
18.3 Noethersche Ringe *. 203
19 Grundlagen der Körpertheorie. 207
19.1 Körpererweiterungen. 207
19.2 Ring- und Körperadjunktion. 212
19.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome. 213
20 Einfache und algebraische Körpererweiterungen. 217
20.1 Einfache Körpererweiterungen . 217
20.2 Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen. 219
20.3 Algebraische Körpererweiterungen. 221
21 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal *. 225
21.1 Konstruierbarkeit . 225
21.2 Die drei klassischen Probleme. 231
22 Transzendente Körpererweiterungen * . 233
22.1 Transzendenzbasen. 233
22.2 Der Transzendenzgrad. 237
23 Algebraischer Abschluss. Zerfallungskörper. 239
23.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers. 239
Inhaltsverzeichnis
23.2 Zerfällungskörper.244
23.3 Normale Körpererweiterungen.249
24
Separable
Körpererweiterungen.253
24.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln. 253
24.2 Separabilität. 255
24.3 Vollkommene Körper . 258
24.4 Der Satz vom primitiven Element . 259
24.5 Der
separable Abschluss
. 260
25 Endliche Körper.265
25.1 Existenz und Eindeutigkeit.265
25.2 Der Verband der Teilkörper.268
25.3 Automorphismen.269
26 Die Galoiskorrespondenz.271
26.1 if-Automorphismen .271
26.2 Die allgemeine Galoiskorrespondenz .274
26.3 Algebraische Galoiserweiterungen.278
26.4 Hauptsatz der endlichen Galoistheorie.281
26.5 Ergänzungen.284
27 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung *.287
27.1 Norm und Spur.287
27.2 Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers
^(Δ)
.288
27.3 Hinweise zur Ermittlung von
Γ
= F(L/K).290
27.4 Beispiele.291
27.5 Die Galoisgruppe eines Polynoms.292
28 Kreisteilungskörper.297
28.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper.297
28.2 Kreisteilungspolynome.299
28.3 Die Galoisgruppe von
Κ,,/Κ
.304
28.4 Konstruktion regulärer Vielecke *.306
29 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.311
29.1 Zyklische Körpererweiterungen.311
29.2 Auflösbarkeit .316
29.3 Das Auflösbarkeitskriterium.316
30 Die allgemeine Gleichung.321
30.1 Symmetrische Funktionen.321
30.2 Das allgemeine Polynom .324
30.3 Die
Diskriminante
eines Polynoms *.326
30.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 * .328
Inhaltsverzeichnis xi
30.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 * . 331
A
Hilfsmittel. 333
A.l Äquivalenzrelationen. 333
A.2
Transfinite
Beweismethoden. 334
A.3 Kardinalzahlen. 337
A.4 Zusammenfassung der Axiome. 339
Literaturverzeichnis . 341
Index. 343 |
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