Einführung in Algebra und Zahlentheorie:
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Berlin [u.a.]
Springer
2008
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| Edition: | 2., überarb. und erw. Aufl. |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen............... 1
0.1 Äquivalenzklassen, Gruppen, Ringe........................ 1
0.2 Polynomring............................................ 5
0.3 Ergänzung: Formale Potenzreihen......................... 13
Übungen.................................................... 14
1 Natürliche und ganze Zahlen.............................. 15
1.1
Axiomatik
bzw. Konstruktion............................. 15
1.2 Zahldarstellungen....................................... 19
Übungen.................................................... 22
2 Teilbarkeit und Primzahlen................................ 23
2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen......................... 23
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik.......................... 29
2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge......................... 32
2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemamische Zetafunktion..... 33
2.5 Sieb des
Eratosthenes
.................................... 34
Übungen.................................................... 36
3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und
diophantische Gleichungen................................. 39
3.1 Größter gemeinsamer Teiler............................... 39
3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung........................... 43
3.3 Euklidischer Algorithmus und euklidische Ringe............. 45
3.4 Lineare diophantische Gleichungen......................... 49
3.5 Ergänzung: Multiplikative Funktionen...................... 51
Übungen.................................................... 54
4 Kongruenzen und Ideale................................... 57
4.1 Kongruenzen............................................ 57
4.2 Restklassenring und Homomorphiesatz..................... 63
t
Inhaltsverzeichnis
4.3 Simultane Kongruenzen und chinesischer Restsatz........... 68
4.4 Lineare Kongruenzen und
prime
Restklassengruppe.......... 75
4.5 Ergänzung: Polynomiale Kongruenzen...................... 79
4.6 Ergänzung: Gauß sche Primzahlen......................... 83
Übungen.................................................... ™
5 Gruppen................................................... 89
5.1 Grundbegriffe........................................... 89
5.2 Nebenklassen, Faktorgruppe und Homomorphiesatz..........101
5.3 Isomorphiesätze und direktes Produkt......................HO
5.4 Ergänzung: Semidirektes Produkt .........................115
Übungen....................................................116
6 Operationen von Gruppen auf Mengen....................119
6.1 Grundbegriffe...........................................119
6.2 Bahnformel und Klassengleichung.........................123
6.3 Ergänzung: Sätze von Sylow..............................126
Übungen....................................................129
7 Abelsche Gruppen und Charaktere........................131
7.1 Abelsche Gruppen und der Hauptsatz......................131
7.2 Charaktergruppe........................................138
7.3 Diskrete Fouriertransformation............................143
7.4 Ergänzung: Moduln über Hauptidealringen.................148
Übungen....................................................157
8
Prime
Restklassengruppe und quadratische Reste .........161
8.1 Struktur der
primen
Restklassengruppe ....................161
8.2 Primitivwurzeln und Potenzreste..........................168
8.3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.......................174
8.4 Ergänzung: Primzahltests ................................186
Übungen....................................................192
9 Körper und Körpererweiterungen.........................195
9.1 Konstruktion von Körpern................................195
9.2 Körpererweiterungen.....................................200
9.3 Nullstellen von Polynomen in Erweiterungskörpern..........207
9.4 Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss ..............211
9.5 Ergänzung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal...........218
Übungen....................................................221
10 Endliche Körper...........................................223
10.1 Konstruktion und Klassifikation...........................223
10.2 Erweiterungen endlicher Körper und Automorphismen.......230
10.3 Endliche Körper und quadratisches Reziprozitätsgesetz.......232
10.4 Ergänzung: Zyklische lineare Codes........................235
Inhaltsverzeichnis
XI
Übungen....................................................243
11 Faktorisierung von Polynomen.............................245
11.1 Gauß sches Lemma und Irreduzibilitätskriterien.............245
11.2 Ergänzung: Algorithmische Faktorzerlegung über endlichen
Körpern................................................250
Übungen....................................................259
12 Ergänzung: Galoistheorie..................................261
Übungen....................................................271
Sachverzeichnis................................................273
|
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Inhaltsverzeichnis
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen. 1
0.1 Äquivalenzklassen, Gruppen, Ringe. 1
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1.1
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1.2 Zahldarstellungen. 19
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2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik. 29
2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge. 32
2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemamische Zetafunktion. 33
2.5 Sieb des
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. 34
Übungen. 36
3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und
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3.1 Größter gemeinsamer Teiler. 39
3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung. 43
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7.4 Ergänzung: Moduln über Hauptidealringen.148
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10.4 Ergänzung: Zyklische lineare Codes.235
Inhaltsverzeichnis
XI
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