Nicht-stationäre Langevin-Gleichungen als Modell kardiologischer Zeitreihen:
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Die Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems 1
2 Physiologie des Herz-Kreislauf-Systems 7
2.1 Blut, Blutkreislauf und Herz 7
2.1.1 Bestandteile und Funktionen des Blutes .... 7
2.1.2 Aufbau des Blutkreislaufs 8
2.1.3 Herz 10
2.2 Offenheit des Systems: Einflüsse und Regelungen . . . 13
2.2.1 Externe Einflüsse 13
2.2.2 Regulationsmechanismen 15
2.3 Zu modellierende Situation 18
2.3.1 Stochastizität und Determinismus 18
2.3.2 Skalenverhalten 20
3 Modellentwicklung 25
3.1 Entwicklungsgeschichte der Langevin-Glcichung .... 25
3.2 Modellsysteme 28
3.2.1 Stochastischer Anteil G 20
3.2.2 Deterministische Kraft g 31
3.3 Klassische Langevin-Glcichung 32
3.3.1 Verzögerungszeit r 32
3.3.2 Ableitung der TKLG 33
3.4 Verallgemeinerte Langevin-Glcichung 34
3.4.1 Ableitung der TVLG 34
3.4.2 Lösung der TVLG 37
3.4.3 Analyse der Lösung 38
3.5 Zusammenhang der Modelle 40
viü Inhaltsverzeichnis
4 Modellanalyse 43
4.1 Statistische Analyse 44
4.1.1 Globale Wahrscheinlichkeitsdichte 44
4.1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte 48
4.2 Rekonstruktion von g ¦ 50
4.2.1 Methode der Rekonstruktion 51
4.2.2 TKLG: g im dekorrelierten Zeitbereich 52
4.2.3 TVLG: g im korrelierten Zeitbereich 56
4.2.4 Zusammenfassung 59
4.3 Rekonstruktion der Funktionen 9 und S . • 59
4.3.1 Rekonstruktion bei konstantem Trend 60
4.3.2 Rekonstruktion über induzierte Trendvariation 61
4.3.3 Zusammenfassung 63
5 Anwendung auf kardiologische Zeitreihen 65
5.1 TVLG: Rekonstruktion der Funktionen 8 und S . . . . 66
5.1.1 Wirkungsfunktion E: Methodenvergleich .... 66
5.1.2 Gewichtungsfunktion 8 74
5.1.3 Effektive Wirkungszeiten Te und T= 76
5.1.4 Wirkungsfunktion E in der klinischen Diagnostik 76
5.2 TKLG und TVLG: Erklärung des (/-Verlaufs 79
5.2.1 Korrelierter Zeitbereich 79
5.2.2 Dekorrelierter Zeitbereich 80
5.3 TKLG: Stationarität und Aktivität 87
5.3.1 Bestimmung der Fixpunkte 87
5.3.2 Aktivitätsmaß 92
5.3.3 Tag-Nacht-Trennung 95
6 Rück- und Ausblick 107
6.1 Synopsis 107
6.2 Offene Fragen 109
A Konventionen lll
A.l Charakteristische Funktion lll
Inhaltsverzeichnis ix
A.2 Übersicht der verwendeten Symbole 111
A.3 Boxplot-Darstellung 115
B Fourier-Transformationen 117
B.l Einseitige Fourier-Transformation 117
B.2 Zweiseitige Fourier-Transformation 118
B.3 Fourier-Transformation bei endlicher Messdauer .... 118
B.4 Diskrete Fourier-Transformation 119
C Diskretisierte TVLG 121
C.l Bewegungsgleichung 121
C.2 Lösung der Bewegungsgleichung 121
D Beweise 123
D.l Lösung der TVLG 123
D.2 Beweis von Gleichung (3.33) 126
D.3 Beweis von Gleichung (4.6) 127
D.4 Beweis der Gleichungen (4.7) und (4.8) 128
D.5 Beweis von Gleichung (4.16) 129
D.6 Beweis von Gleichung (4.19) 131
D.7 Verhalten von g bei linearem Trend 131
Abbildungsverzeichnis
2.1 Schema des Blutkreislaufs 9
2.2 Physiologie des Heizens 11
2.3 Schema eines Elektrokardiogramms und Definition des
RR-Intervalls 12
2.4 Variablen des Hcrz-Krcislauf-Systcms, deren hämody-
namische Zusammenhänge sowie die wichtigsten exter¬
nen Einflussfaktoren und Regulationsmechanismen. . . 17
2.5 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) eines Probanden in Ruhe
über 3 h sowie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsver¬
teilung p{x)dx 19
2.6 Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen p(X(t) = x
X(t-T) = x )dx für x = (X) undx = (X)± 0.1s bei
den Verzögerungszeiten r = 5, 50 und 500 Schlägen,
berechnet aus der Zeitreihe in Abb. 2.5 21
2.7 Skalenverhalten einer RR-Intervall-Zeitreihe über 24 h 24
3.1 Veranschaulichung der Konzepte der Klassischen und
der Verallgemeinerten Langevin-Gleichung 31
4.1 Beispiel für die Wirkung eines Trends auf die globa¬
le Wahrscheinlichkeitsdichte: Zeitreihe mit cosinus-för-
migem Trend sowie empirische und theoretische Wahr¬
scheinlichkeitsverteilung des Signals 46
4.2 Wirkung von Parameteränderungen im Trend (4.20)
und im Rauschterm auf die rekonstruierte Kraft g(r)
gemäß Gl. (4.23) 54
4.3 Rekonstruierte Kraft g{x ) für verschiedene Modell¬
trends 57
xii Abbildungsverzeichnis
5.1 RR-Intervall-Zeitreihen X(t) eines Probandcn bei den
Messungen für die Methoden I/II und III 67
5.2 Vergleich von Einzelmessung Xresk(£) und Mittelung
über fünf Einzelmessungen 69
5.3 Rekonstruierte Wirkungsfunktionen S(t) nach den Me¬
thoden I, II und III 72
5.4 Zusätzliche Beispiele für E(t) nach den Rekonstrukti¬
onsmethoden I und III 73
5.5 Boxplot der Skalenfaktoren a der Rekonstruktionsme¬
thoden I—III 75
5.6 Rekonstruiertes 0(t) 76
5.7 Boxplot-Darstellung des Gruppenvergleichs von CHF-
Patienten und gesunden Probanden hinsichtlich des
Skalenfaktors a 77
5.8 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) und rekonstruierte Kraft
g(x r): r-Abhängigkeit 84
5.9 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) und rekonstruierte Kraft
p(x|r): Wirkung einer langen Übergangsphase 85
5.10 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) und rekonstruierte Kraft
g(x r): Grenzen adäquater Verzögerungszeiten r ... 86
5.11 Nach Fitmethode la bestimmter Gewichtungsfaktor r,
gemittelt über alle Datensätze 89
5.12 Fit der rekonstruierten Kraft g(x 103) aus Abb. 5.10
mit Methoden 1 und 2 91
5.13 x2 Fehler nach Gl. (5.12) in Abhängigkeit der Verzö¬
gerungszeit r für eine Gruppe von 91 als gesund ein¬
gestuften Probanden 93
5.14 Boxplot der Aktivitäten a für CHF-Patienten und Re¬
ferenzgruppe 94
5.15 Boxplot der Aktivitäten a in Abhängigkeit der NYHA-
Klasse für Patienten mit kongestiver Herzinsuffizienz . 97
5.16 Detail der rekonstruierten Kraft g(x|5-103) der Zeitrei¬
he aus Abb. 5.10 101
5.17 RR-Intervall-Zeitreihe: Ergebnisse der Phasentrennung 102
Abbildungsverzeichnis xiii
5.18 Zeitdifferenz zwischen rekonstruiertem und tatsächli¬
chem Zeitpunkt des Phasenwechsels für die 10 Daten¬
sätze aus Abschn. 5.1 104
A.l Statistische Kerndaten der Ergebnisse einer Gruppen¬
studie, die im Boxplot dargestellt werden 115
|
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Inhaltsverzeichnis
1 Die Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems 1
2 Physiologie des Herz-Kreislauf-Systems 7
2.1 Blut, Blutkreislauf und Herz 7
2.1.1 Bestandteile und Funktionen des Blutes . 7
2.1.2 Aufbau des Blutkreislaufs 8
2.1.3 Herz 10
2.2 Offenheit des Systems: Einflüsse und Regelungen . . . 13
2.2.1 Externe Einflüsse 13
2.2.2 Regulationsmechanismen 15
2.3 Zu modellierende Situation 18
2.3.1 Stochastizität und Determinismus 18
2.3.2 Skalenverhalten 20
3 Modellentwicklung 25
3.1 Entwicklungsgeschichte der Langevin-Glcichung . 25
3.2 Modellsysteme 28
3.2.1 Stochastischer Anteil G 20
3.2.2 Deterministische Kraft g 31
3.3 Klassische Langevin-Glcichung 32
3.3.1 Verzögerungszeit r 32
3.3.2 Ableitung der TKLG 33
3.4 Verallgemeinerte Langevin-Glcichung 34
3.4.1 Ableitung der TVLG 34
3.4.2 Lösung der TVLG 37
3.4.3 Analyse der Lösung 38
3.5 Zusammenhang der Modelle 40
viü Inhaltsverzeichnis
4 Modellanalyse 43
4.1 Statistische Analyse 44
4.1.1 Globale Wahrscheinlichkeitsdichte 44
4.1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte 48
4.2 Rekonstruktion von g ¦ 50
4.2.1 Methode der Rekonstruktion 51
4.2.2 TKLG: g im dekorrelierten Zeitbereich 52
4.2.3 TVLG: g im korrelierten Zeitbereich 56
4.2.4 Zusammenfassung 59
4.3 Rekonstruktion der Funktionen 9 und S . • 59
4.3.1 Rekonstruktion bei konstantem Trend 60
4.3.2 Rekonstruktion über induzierte Trendvariation 61
4.3.3 Zusammenfassung 63
5 Anwendung auf kardiologische Zeitreihen 65
5.1 TVLG: Rekonstruktion der Funktionen 8 und S . . . . 66
5.1.1 Wirkungsfunktion E: Methodenvergleich . 66
5.1.2 Gewichtungsfunktion 8 74
5.1.3 Effektive Wirkungszeiten Te und T= 76
5.1.4 Wirkungsfunktion E in der klinischen Diagnostik 76
5.2 TKLG und TVLG: Erklärung des (/-Verlaufs 79
5.2.1 Korrelierter Zeitbereich 79
5.2.2 Dekorrelierter Zeitbereich 80
5.3 TKLG: Stationarität und Aktivität 87
5.3.1 Bestimmung der Fixpunkte 87
5.3.2 Aktivitätsmaß 92
5.3.3 Tag-Nacht-Trennung 95
6 Rück- und Ausblick 107
6.1 Synopsis 107
6.2 Offene Fragen 109
A Konventionen lll
A.l Charakteristische Funktion lll
Inhaltsverzeichnis ix
A.2 Übersicht der verwendeten Symbole 111
A.3 Boxplot-Darstellung 115
B Fourier-Transformationen 117
B.l Einseitige Fourier-Transformation 117
B.2 Zweiseitige Fourier-Transformation 118
B.3 Fourier-Transformation bei endlicher Messdauer . 118
B.4 Diskrete Fourier-Transformation 119
C Diskretisierte TVLG 121
C.l Bewegungsgleichung 121
C.2 Lösung der Bewegungsgleichung 121
D Beweise 123
D.l Lösung der TVLG 123
D.2 Beweis von Gleichung (3.33) 126
D.3 Beweis von Gleichung (4.6) 127
D.4 Beweis der Gleichungen (4.7) und (4.8) 128
D.5 Beweis von Gleichung (4.16) 129
D.6 Beweis von Gleichung (4.19) 131
D.7 Verhalten von g bei linearem Trend 131
Abbildungsverzeichnis
2.1 Schema des Blutkreislaufs 9
2.2 Physiologie des Heizens 11
2.3 Schema eines Elektrokardiogramms und Definition des
RR-Intervalls 12
2.4 Variablen des Hcrz-Krcislauf-Systcms, deren hämody-
namische Zusammenhänge sowie die wichtigsten exter¬
nen Einflussfaktoren und Regulationsmechanismen. . . 17
2.5 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) eines Probanden in Ruhe
über 3 h sowie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsver¬
teilung p{x)dx 19
2.6 Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen p(X(t) = x
X(t-T) = x')dx für x' = (X) undx' = (X)± 0.1s bei
den Verzögerungszeiten r = 5, 50 und 500 Schlägen,
berechnet aus der Zeitreihe in Abb. 2.5 21
2.7 Skalenverhalten einer RR-Intervall-Zeitreihe über 24 h 24
3.1 Veranschaulichung der Konzepte der Klassischen und
der Verallgemeinerten Langevin-Gleichung 31
4.1 Beispiel für die Wirkung eines Trends auf die globa¬
le Wahrscheinlichkeitsdichte: Zeitreihe mit cosinus-för-
migem Trend sowie empirische und theoretische Wahr¬
scheinlichkeitsverteilung des Signals 46
4.2 Wirkung von Parameteränderungen im Trend (4.20)
und im Rauschterm auf die rekonstruierte Kraft g(r)
gemäß Gl. (4.23) 54
4.3 Rekonstruierte Kraft g{x\\) für verschiedene Modell¬
trends 57
xii Abbildungsverzeichnis
5.1 RR-Intervall-Zeitreihen X(t) eines Probandcn bei den
Messungen für die Methoden I/II und III 67
5.2 Vergleich von Einzelmessung Xresk(£) und Mittelung
über fünf Einzelmessungen 69
5.3 Rekonstruierte Wirkungsfunktionen S(t) nach den Me¬
thoden I, II und III 72
5.4 Zusätzliche Beispiele für E(t) nach den Rekonstrukti¬
onsmethoden I und III 73
5.5 Boxplot der Skalenfaktoren a der Rekonstruktionsme¬
thoden I—III 75
5.6 Rekonstruiertes 0(t) 76
5.7 Boxplot-Darstellung des Gruppenvergleichs von CHF-
Patienten und gesunden Probanden hinsichtlich des
Skalenfaktors a 77
5.8 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) und rekonstruierte Kraft
g(x\r): r-Abhängigkeit 84
5.9 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) und rekonstruierte Kraft
p(x|r): Wirkung einer langen Übergangsphase 85
5.10 RR-Intervall-Zeitreihe X(t) und rekonstruierte Kraft
g(x\r): Grenzen adäquater Verzögerungszeiten r . 86
5.11 Nach Fitmethode la bestimmter Gewichtungsfaktor r,
gemittelt über alle Datensätze 89
5.12 Fit der rekonstruierten Kraft g(x\103) aus Abb. 5.10
mit Methoden 1 und 2 91
5.13 x2'Fehler nach Gl. (5.12) in Abhängigkeit der Verzö¬
gerungszeit r für eine Gruppe von 91 als gesund ein¬
gestuften Probanden 93
5.14 Boxplot der Aktivitäten a für CHF-Patienten und Re¬
ferenzgruppe 94
5.15 Boxplot der Aktivitäten a in Abhängigkeit der NYHA-
Klasse für Patienten mit kongestiver Herzinsuffizienz . 97
5.16 Detail der rekonstruierten Kraft g(x|5-103) der Zeitrei¬
he aus Abb. 5.10 101
5.17 RR-Intervall-Zeitreihe: Ergebnisse der Phasentrennung 102
Abbildungsverzeichnis xiii
5.18 Zeitdifferenz zwischen rekonstruiertem und tatsächli¬
chem Zeitpunkt des Phasenwechsels für die 10 Daten¬
sätze aus Abschn. 5.1 104
A.l Statistische Kerndaten der Ergebnisse einer Gruppen¬
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