Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure: 1 Differentialrechnung und Grundformeln der Integralrechnung nebst Anwendungen
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Leipzig [u.a.]
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
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INHALT
Seite
L Zahlen, Veränderliche und Funktionen 9
§1. Zahlen und Veränderliche 9
1. Rationale Zahlen. 2. Irrationale Zahlen. 3.Dedekindscher Schnitt. 4. Ratio¬
nale Näherungswerte. 5.Rechnen mit Ungleichheiten. Absoluter Betrag.
6. Veränderliche. 7. Grenzwert. 8. Unendlich klein und unendlich groß.
§ 2. Von den Punktionen 14
1.Begriff der Funktion. 2. Geometrische Darstellung. 3.Funktionsskala.
§3.Über ganze Funktionen und Interpolation 17
1. Ganze Funktionen. 2.Binomischer Lehrsatz. 3.Die Bernoullische Un¬
gleichheit. 4. Parabel n-ter Ordnung. 5.Lagrangesche Interpolationsformel.
6.Die Newtonsche Interpolationsformel. 7.Differenzen höherer Ordnung.
8.Interpolationsformel bei gleichen Argumentunterschieden. S.Zahlen-
mäßige Berechnung einer ganzen Funktion.
§4. Von den übrigen elementaren Funktionen 23
1.Rationale Funktionen. 2.Algebraische Funktionen. S.Exponentialfunk¬
tion. 4.Der Logarithmus. 5.Die trigonometrischen Funktionen. 6.Die Kreis¬
bogen- oder Arkusfunktionen.
Übungen zu § 1 bis § 4. Zwölf Aufgaben 27
§5. Grenzwerte von Veränderlichen und Funktionen 29
1.Einsinnige Veränderliche. Intervallschachtelung. 2.Beispiel. Kreismes¬
sung. 3. Grenzwerte von Funktionen. 4. Beispiele. 5. Sätze über das Rechnen
mit Grenzwerten. 6.Besondere Grenzwerte. 7.Asymptotische Annäherung.
§ 6. Von der Stetigkeit 40
1. Erklärung der Stetigkeit. 2. Die Änderungen der Veränderlichen. 3. Un¬
stetigkeiten. 4. Grenzwert und Stetigkeit einer zusammengesetzten Funk¬
tion. 5.Folgerungen. 6.Beschränktheit, Maximum und Minimum einer steti¬
gen Funktion in einem abgeschlossenen Bereiche. 7. Satz von Bolzano-Weier-
straß. 8. Funktionen, die keinen Zwischenwert auslassen. 9. Umkehrungs¬
funktionen. 10. Anwendung.
Übungen zu § 5 und § 6. Neun Aufgaben 46
D. Hauptsätze der Differentialrechnung und Grundformeln der Integralrechnung 48
§ 7. Ableitung und Differential 48
1.Entstehung der Differentialrechnung. 2.Ableitung einer Funktion. S.Bei¬
spiel. 4. Ableitung einer Konstanten. 5. Konstanter Faktor. 6. Ableitung einer
1*
6 Inhalt
Seite
Summe. 7. Ableitung von sin x und cos x. 8. Ableitung von ax. 9. Ableitung
von "log x. 10. Tangente der logarithmischen Linie. 11. Stetigkeit und
Differenzierbarkeit. 12. Differential, Differentialquotient. 13. Differentiale
und kleine Änderungen. 14.Differentialformeln.
§8. Weitere Differentiationgreg ein 54
I.Ableitung eines Produkts. 2. Ableitung eines Quotienten. 3. Anwendungen.
4.Kettenregel. 5.Ableitung der Umkehrungsfunktionen. 6.Anwendungen.
7. Logarithmische Differentiation.
Übungen zu § 7 und § 8. Vierzehn Aufgaben 59
§9. Höhere Ableitungen 60
1.Höhere Ableitungen. 2.Taylorsche Formel für ganze Funktionen. S.An¬
wendung. 4.Höhere Differentiale. ö.Leibnizsche Formel.
§ 10. Anwendungen und Übungen 63
I.Einfluß eines kleinen Meßfehlers. 2.Steigen, Fallen, Maximum und Mini¬
mum der Kurve y = f(x). 3. Wendepunkt. 4.Beispiel. 5. Geometrische Kon¬
struktion der abgeleiteten Kurve. 6. Größe der Geschwindigkeit und Be¬
schleunigung. 7.Kreisbewegung. 8. Sinus-Schwingung. 9. Gesetz des orga¬
nischen Wachsens. 10.Energiemaximum im Spektrum eines strahlenden
„schwarzen" Körpers.
§ 11. Von den Hyperbelfunktionen 70
l.Eof x, ©in x, %q x, Etg x. 2. Ableitungen von Eof x, ©in x, %$ x, gtg x.
3.Areafunktionen. 4.Zusammenhang mit der Hyperbel. 5. Gudermannsche
Funktion cp = Slm x.
Übungen zu § 9 bis § 11. Sieben Aufgaben 73
§ 12. Vom Mittelwertsatze 74,
1. Zerlegungsformel. 2. Einzigkeit der Ableitung. 3. Satz von Bolle.
4.Mittelwertsatz. 5.Andere Form des Mittelwertsatzes. 6.Lehrsatz. 7.Lehr¬
satz. 8.Eine Eigenschaft der Parabel. Angenäherte Differentiation einer
Tabelle. 9. Verallgemeinerter Mittelwertsatz. 10. f(x) läßt keinen Zwischen¬
wert aus.
§13.Integration als Umkehrung der Differentiation 79
1.Unbestimmtes Integral. 2. Grundintegrale. 3.Einige Integrationsregeln.
4.Einführung einer neuen Veränderlichen. 5.Bestimmtes Integral. 6.Be-
stimmtes Integral als Funktion der oberen Grenze. 7. Geschwindigkeit und
Beschleunigung. 8. Flächeninhaltsberechnung. 9. Bestimmtes Integral als
Mittelwert und als Summe. 10. Geometrische Momente. 11. Integrationsgrenzen
bei neuen Veränderlichen.
§14. Bestimmungvon Grenzwerten 90
1. Form —. 2. Form —. 3. Formen 0 ¦ oo, oo — oo, 0°, oo°, 1 °c. 4. Beispiele.
0 oo
5. Versagen der Bernoulli-L'Hospitalschen Regel. 6. Anwendung. 7. Rechnen
mit unendlich kleinen Größen.
Übungen zu § 12 bis § 14. Siebzehn Aufgaben 95
§15. Theorie der Maxima und Minima 97
§ 16. Die Taylorsche Formel 99
1. Erweiterung der Zerlegungsformel. 2. Taylorsche Formel mit Restglied.
3. Andere Form. 4. Anwendungen.
Inhalt 7
Seite
§17. Weitere Anwendungen des Mittelwertsatzes und der Tay-
lorschen Formel 103
l.Newtonsches Näherungsverfahren zur Auflösung von Gleichungen. 2. Ver¬
fahren des wiederholten Einsetzens (Iterationsverfahren). 3.Zusammenhang
zwischen Differenzen und Ableitungen höherer Ordnung. 4. Lineare Inter¬
polation und ihr Fehler.
Übungen zu § 15 bis § 17. Fünf Aufgaben 107
III. Funktionen von zwei und mehr Veränderlichen 108
§ 18. Geometrische Darstellung, Grenzwert, Stetigkeit, partielle
Ableitungen 108
1. Geometrische Darstellung. 2. Karte der Fläche. 3. Grenzwert und Stetig¬
keit. 4. Partielle Ableitungen. 5. Vertauschung der mittleren partiellen Ab¬
leitungen. 6. Ableitungen höherer Ordnung.
§ 19. Das vollständige Differential. — Anwendungen 115
l.Das vollständige Differential. 2.Differentiale höherer Ordnung. 3.Diffe¬
rential und Änderung von f(x, y). 4.Einfluß kleiner Fehler auf das Ergebnis.
5. Ableitung längs einer gegebenen Richtung. 6. Erweiterung der Kettenregel.
7.Zusammengesetzte Funktionen mehrerer Veränderlicher. 8.Unentwickelte
(implizite) Funktion.
§ 20. Einführung anderer unabhängiger Veränderlicher 122
l.Eine einzige unabhängige Veränderliche. 2.Wechsel zweier unabhängiger
Veränderlicher. Funktionaldeterminante. 3.Verschwindende Funktional¬
determinante. 4. Polarkoordinaten. 5. Aufgabe.
§21. Die Taylorsche Formel und die Theorie der Maxima und
Minima bei zwei Veränderlichen 126
1.Taylorsche Formel. 2.Anwendung. 3.Verfahren des wiederholten Ein¬
setzens. 4. Satz von Euler über homogene Funktionen. 5.Maxima und
Mimma bei mehreren Veränderlichen. Notwendige Bedingung. 6.Weitere
Bedingungen. 7.Maxima und Minima mit Nebenbedingungen. 8.Beispiel.
Übungen zu § 18 bis § 21. Zwölf Aufgaben 132
IV. Differentialgeometrie ebener Kurven 134
§22. Tangente, Normale, Bogenlänge, Beispiele technisch wich¬
tiger Kurven 134
1. Analytische Darstellung einer ebenen Kurve. 2.Tangente, Normale. 3. Bei¬
spiele. 4.Tangentenkonstruktionen für die Parabel y = a -\- bx -j- cxs.
5. Bestimmung der Bogenlänge (Rektifikation). 6.Länge der Tangente,
Normale, Subtangente und Subnormale. 7.Beispiel der Parabel y* = 2px.
8. Zykloiden oder Radlinien. 9. Die Epizykloide. lO.DieHypozykloide. 11. Be¬
sondere Fälle. 12. Die Schleppkurve (Tractrix).
§23. Schnitt und Berührung zweier Kurven 142
1. Schnittwinkel zweier Kurven. 2. Schnittwinkel zweier Kurvenscharen.
3. Berührung zweier Kurven. 4. Beispiele. 6. Schmiegungskreis.
§ 24. Krümmung, Krümmungskreis und Evolute 146
1. Krümmung. 2. Andere Formeln für k. 3. Krümmungsradius, Krümmungs¬
mittelpunkt, Krümmungskreis. 4.Evolute. 5.Eigenschaften der Evolute.
6.Evolutenbogen. 7.Die Krümmungsradien der Evolute und Evolvente.
8.Wendepunkt. 9.Scheitel. lO.Beispiel der Ellipse. 11.Kreisevolvente.
Übungen zu § 22 bis § 24. Vierzehn Aufgaben 153
8 Inhalt
Seite
§25. Anwendung der Polarkoordinaten, Inversion 155
1. Polarkoordinaten. 2. Transformation durch reziproke Eadien (Inversion).
3.1nversoren: a) Inversor von Peaucellier, b) Inversor von Hart. 4. An¬
wendungen der Polarkoordinaten auf die Differentialgeometrie ebener
Kurven. 5.Linienelement in Polarkoordinaten. 6.Polartangente, -normale,
-subtangente, -subnormale. 7.Archimedische Spirale. 8.Hyperbolische Spi¬
rale. 9. Logarithmische Spirale. 10. Krümmung in Polarkoordinaten.
11.Flächeninhalt eines Sektors. 12.Fußpunktskurve.
Übungen zu § 25. Zehn Aufgaben 163
§ 26. Asymptoten 164
1. Gerade als Asymptote. 2. Beispiel. 3. Asymptoten einer algebraischen
Kurve. 4.Beispiel. 5.Asymptoten bei Polarkoordinaten. 6.Asymptotischer
Kreis.
§ 27. Singulars Punkte und Hüllkurven 167
l.Singuläre Punkte. 2. Doppelpunkt, Spitze, Einsiedlerpunkt. 3. Beispiele.
4.Kurvenscharen, Hüllkurve. 5. Lehrsatz. 6. Beispiel.
§28. Besondere Anwendungen und Beispiele 171
l.Ein Satz über Kollkurven. 2.Brennlinie (Katakaustik). 3.Spiegelung und
Brechung an einem Kegelschnitt. 4.Aufeinanderrollende Ellipsen. ö.Mittel-
punkt eines Kegelschnitts.
Übungen zu § 26 bis § 28. Sieben Aufgaben 175
V. Komplexe Zahlen, Veränderliche und Funktionen 176
§29. Erklärung und Bedeutung der komplexen Zahlen 176
1. Komplexe Zahlen. 2. Vektoren. 3. Komponenten. 4. Multiplikation der Vek¬
toren. 5. Division der Vektoren. 6. Formeln für cos n p, sin n p. 7. w-te Wurzel
aus einer komplexen Zahl. Anwendung.
§30. Komplexe Veränderliche und Funktionen einer komplexen
Veränderlichen 182
1. Komplexe Veränderliche. 2. Die Cauchy-Kiemannschen Differential¬
gleichungen. 3. Exponentialfunktion. 4. Trigonometrische und hyperbolische
Funktionen. 5.Logarithmus, Potenz. 6.Arkus-Funktionen.
§ 31. Der Hauptsatz der Algebra 187
l.Der Hauptsatz. 2.Vereinfachungen zum Beweise. 3.Beweis. 4.Beispiele
von (nicht algebraischen) Gleichungen ohne Lösungen.
§32. Konforme Abbildung 190
1. Geometrische Darstellung. 2. Konforme Abbildung. 3. Umkehrung I.
4. Umkehrung II.
§ 33. Einige besondere konforme Abbildungen 194
1. Die Abbildung«) = o + bz. 2. Die linear-gebrochene Funktion. 3. Beispiel.
4. Doppel Verhältnis. S.Bestimmung der linear-gebrochenen Funktion aus
drei Paaren entsprechender Punkte. 6. Beispiele. 7. Einige weitere konforme
Abbildungen.
Übungen zu § 29 bis § 33. Sechzehn Aufgaben 202
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