Exercices progressifs corrigés pour une initiation au calcul matriciel: Première année d'enseignement supérieur
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| Format: | Book |
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| Published: |
Paris
Gauthier-Villars
1969
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
MATRICES Pages
I - Matrices - Dimensions - Sous-matrices Matrice
transposée 1
II Vecteurs-colonnes et vecteurs-lignes d une matrice 3
III - Représentation d une application linéaire par une ma¬
trice : changement de coordonnées 8
IV — Représentation d une application linéaire par une matrice I 2
V -- Exemples de matrices représentatives d applications li¬
néaires simples 14
VI - Bijection de l ensemble des applications linéaires sur
l ensemble des matrices 18
VII Transformations linéaires dont on connaît la matrice
associée 20
VIII - Opération sur les matrices-sommes 21
IX — Somme de deux ou plusieurs matrices 23
X - Produit d une matrice par un scalaire 25
XI Produit d une matrice par un scalaire - Espace vectoriel . 26
XII - Produit de deux transformations linéaires 29
XIII - Produit de deux matrices 30
XIV - Représentation par une matrice du produit de 2 trans¬
formations géométriques 32
XV - Produit de trois matrices (angles d EuIer) 35
XVI Transformé d un vecteur par une composition d appli¬
cations linéaires 39
XVII - Matrices transposées 41
XVIII - Matrice diagonale 44
XIX - Matrices symétriques et antisymétriques 47
XX - Matrices antisymétriques 49
XXI - Matrices adjointes 52
XXII -Calcul des matrices inverses à l aide des matrices
adjointes 54
VI TABLE DES MATIERES
Pages
XXIII - Matrice inverse — Transformations réciproques - Trans¬
formation involutive 58
XXIV — Matrice inverse d une transformation 60
XXV - Corps des matrices M. Isomorphisme 64
XXVI — Changements de base. Composantes contrevariantes et
covariantes 70
XXVII - Matrices régulières 73
XXVIII - Propriétés des matrices régulières carrées 76
XXIX - Exercice sur les matrices régulières 79
XXX — Changements de base réitéré 82
XXXI — Déterminants et changements de base 86
XXXII - Matrices équivalentes. Interprétation géométrique : géné¬
rale 89
XXXIII — Matrices régulières et équivalentes 93
XXXIV - Matrices semblables - Interprétation géométrique dans
R2 94
XXXV - Exemple géométrique de matrices semblables 96
XXXVI - Matrices semblables - Interprétation géométrique des
changements de base 97
XXXVII - Propriétés et opérations sur les matrices semblables ... 98
DETERMINANTS
I - Calcul d un déterminant du 3C mc ordre 103
II - Propriétés des déterminants 105
III - Calcul des déterminants par la combinaison linéaire de
lignes ou de colonnes 108
III bis - Calcul de 2 déterminants H2
IV - Décomposition d un déterminant en somme de plu¬
sieurs déterminants 114
V - Contre-exemple 116
VI - Produit de deux déterminants 117
VII - Dérivée d un déterminant 118
VIII - Déterminants particuliers 119
A Déterminant adjoint 119
B Déterminant de Van der Monde 121
C Déterminant cyclique 123
TABLE DES MATIERES VII
Pages
D - Déterminant antisymétrique 123
E - Déterminant diagonal 124
DEPENDANCE INDEPENDANCE LINEAIRES
I - Dépendance ou indépendance linéaires de 3 vecteurs appar¬
tenant à R3 ou à C3 125
II — Dépendance de 3 vecteurs de R5 126
III - Trois vecteurs de K3 avec K -- Z/6Z constituent-ils une base
de K3 ? 127
IV — Dépendance et indépendance linéaires associées à la recherche
de bases 128
V — Formes linéaires 130
VI — Endomorphisme régulier 132
SYSTEMES D EQUATIONS LINEAIRES
I — Résolution d un système de 2 équations paramétriques du
1er degré à 2 inconnues 135
II — Résolution d un système de 3 équations du 1er degré à 3 in¬
connues 136
III —Résolution d un système de 3 équations du 1er degré à un
paramètre et à 3 inconnues 137
IV — Résolution d un système de 3 équations à 3 inconnues pa¬
ramétrique 138
RANG D UNE MATRICE
I — Rang d une matrice carrée de dimensions (3,3) 141
II — Rang d une matrice rectangulaire de dimensions (5,4) 142
VALEURS PROPRES D UNE MATRICE
I — Directions propres d une matrice — Interprétation géomé¬
trique dans R2 143
II — Application - Calcul de directions propres 146
III — Valeurs propres et vecteurs propres Interprétation géomé¬
trique dans R2 147
IV -Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres distincts. . 150
V - Matrices de Pauli 154
VI - Interprétation géométrique. Calcul de l équation réduite
d une conique 158
VIII TABLE DES MATIERES
Pages
VII — Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres pour des
matrices carrées d ordre 3 : valeurs propres distinctes 162
VIII — Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres pour des
matrices carrées d ordre 3 : valeurs propres multiples 167
IX — Interprétation géométrique : équation réduite d un qua-
drique 170
X — Propriétés du polynôme caractéristique d une matrice 174
DIAGONALISATION TRIANGULATION
I — Cas des matrices d ordre 2 — Matrices réductibles à la forme
diagonale 177
II — Matrices non réductibles à la forme diagonale 180
III — Cas des matrices d ordre 3. Matrices réductibles à la forme
diagonale : (valeurs caractéristiques simples) 181
IV — Matrices réductibles à la forme diagonale (valeurs carac¬
téristiques multiples) 185
V — Matrices non réductibles à la forme diagonale : Triangulation 187
VI - Autre procédé de triangulation 196
VII - Applications de la diagonalisation 200
a) Puissance nlemcs d une matrice diagonalisable 200
j3) Etude de suites récurrentes 204
y) Intégration d un système différentiel linéaire du premier
ordre à coefficients constants sans second membre 207
S) Résolutions d équations matricielles 209
VIII - Théorème de Cayley-Hamilton 210
QUELQUES MATRICES PARTICULIERES
I - Matrices orthogonales 212
lLr exercice — Changement de bases orthonormées 212
2ime exercice - Valeurs propres d une matrice orthogonale . . 215
II Matrices symétriques réelles 217
ltr exercice - Propriétés des matrices symétriques réelles. . . 217
III - Matrices hermitiennes 221
BIBLIOGRAPHIE 223
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