Operatorenrechnung:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Teubner
1976
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte
10 |
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| adam_text | Inhalt
1. Einführung 9
1.1. Beispiel und historische Bemerkungen 9
1.2. Transformationen und Operatoren 10
1.3. Anwendungsmöglichkeiten 11
2. Laplace-Transformation 13
2.1. Definition der Laplace-Transformation 13
2.1.1. Definition und Beispiele 13
2.1.2. Zwei Klassen von Originalfunktionen f(t) 15
2.1.3. Eindeutigkeit der Laplace-Transformation 17
2.1.4. Aufgaben: Bestimmung von Bildfunktionen 17
2.2. Rechenregeln der Laplace-Transformation 18
2.2.1. Additionssatz 18
2.2.2. Lineare Substitutionen der Veränderlichen 18
2.2.3. Faltungssatz ?. 21
2.2.4. Differentiationssatz 22
2.2.5. Weitere Rechenregeln 24
2.2.6. Transformation periodischer Funktionen 25
2.2.7. Übersicht über die Rechenregeln 26
2.2.8. Aufgaben: Anwendung der Rechenregeln 27
2.3. Eigenschaften einer Laplace-Transformierten 28
2.3.1. Sätze für Laplace-Transformierte F(p) 28
2.3.2. Aufgaben: Eigenschaften einer Laplace-Transformierten 29
2.4. Umkehrung der Laplace-Transformation 29
2.4.1. Rücktransformation rationaler Bildfunktionen 30
a) Partialbruchzerlegung rationaler Bildfunktionen F(p) 30
b) Rücktransformation von F(p) im allgemeinen Fall 31
c) Rücktransformation bei einfachen Nullstellen des Nenners 32
2.4.2. Rücktransformation mittels Rechenregeln und Tabelle 1 33
2.4.3. Rücktransformation durch Reihenentwicklung 34
2.4.4. Die komplexe Umkehrformel 35
2.4.5. Aufgaben: Bestimmung von Originalfunktionen 38
2.5. Asymptotische Eigenschaften 39
2.5.1. Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen 39
2.5.2. Asymptotische Eigenschaften der Laplace-Transformation 42
2.5.3. Asymptotische Eigenschaften der Rücktransformation 44
2.5.4. Stabilität der Originalfunktionen 45
2.5.5. Aufgaben: Anwendung asymptotischer Formeln 46
3. Anwendungen der Laplace-Transformation 47
3.1. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 47
3.1.1. Anfangswertaufgaben 48
a) f(t) besitzt eine rationale Bildfunktion 48
b) f(t) ist für t 0 stetig bis auf isoliert liegende Sprungstellen 53
3.1.2. Spezielle Störfunktionen 58
a) Sprungfunktion f(t) = u(t), Übergangsfunktion gjt) 61
b) Störfunktion f(t) - eJat, Frequenzgang Q()w) 63
6 Inhalt
c) Diracsche Delta-Funktion d(t) 65
d) Impulsantwort gsU) 67
e) Übersicht 68
3.1.3. Aufgaben: Lösung linearer Differentialgleichungen 70
3.2. Systeme linearer Differentialgleichungen 71
3.2.1. Normale Systeme 72
a) Alle ft(t) besitzen rationale Bildfunktionen Fi(p) 72
b) Die/j(/) sind für / 0 stetig bis auf isoliert liegende Sprungstellen 74
3.2.2. Entartete Systeme 75
3.2.3. Aufgaben: Lösung von Systemen 78
3.3. Partielle Differentialgleichungen mit zwei Veränderlichen 79
3.3.1. Beispiele zu den Grundtypen 80
3.3.2. Ein Beispiel aus der Physik 82
3.4. Andere Anwendungen 83
3.4.1. Lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten 83
3.4.2. Integralgleichungen vom Faltungstyp 84
3.4.3. Übersicht der behandelbaren Gleichungstypen 86
3.4.4. Aufgaben: Verschiedene Gleichungstypen 86
4. Moderne Operatorenrechnung 87
4.1. Ringe und Körper 87
4.1.1. Ringe und Nullteiler 87
4.1.2. Körper und Division 88
4.2. Mikusinskischer Operatorenkörper K 89
4.2.1. Funktionenring R 90
4.2.2. Operatorenkörper K 91
4.2.3. Einfache Operatoren 93
4.2.4. Hauptformel der Operatorenrechnung 94
4.2.5. Aufgaben: Rechnen im Ring R und Körper K 95
4.3. Spezielle Operatoren 95
4.3.1. In p rationale Operatoren 95
4.3.2. Verschiebungsoperator 96
4.3.3. Distributionen und verallgemeinerte Laplace-Transformation 98
4.3.4. Weitere Operatoren 99
4.4. Anwendungen und Aufgaben zur Operatorenrechnung 100
5. Fourier-Transformation •. 101
5.1. Definition der Fourier-Transformation 101
5.1.1. Definition und Beispiele 102
5.1.2. Fourier-, Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinus-Transformation 103
5.1.3. Fourier- und Laplace-Transformation 104
5.1.4. Aufgaben: Bestimmung von Fourier-Transformierten 105
5.2. Umkehrung der Fourier-Transformation 106
5.3. Rechenregeln der Fourier-Transformation 107
5.3.1. Zusammenstellung der Rechenregeln 107
5.3.2. Beispiele zur Anwendung der Rechenregeln 108
5.3.3. Aufgaben: Anwendung der Rechenregeln 109.
5.4. Anwendung der Fourier-Transformation 109
6. Z-Transformation 111
Inhalt 7
6.1. Diskrete Funktionen 111
6.1.1. Deutung diskreter Funktionen 111
6.1.2. Rechnen mit diskreten Funktionen 112
6.1.3. Eine Differenzengleichung 113
6.2. Definition der Z-Transformation 114
6.3. Wichtige Eigenschaften der Z-Transformation 115
6.3.1. Konvergenzgebiet der Bildfunktion F(z) 115
6.3.2. Eineindeutigkeit der Z-Transformation 116
6.4. Rechenregeln der Z-Transformation 116
6.4.1. Zusammenstellung der Rechenregeln 117
6.4.2. Beispiele zur Anwendung der Rechenregeln 118
6.4.3. Aufgaben: Bestimmung von Bildfunktionen 120
6.5. Umkehrung der Z-Transformation 120
6.5.1. Möglichkeiten der Rücktransformation 120
6.5.2. Aufgaben: Bestimmung von Originalfolgen 121
6.6. Lineare Differenzengleichungen 122
6.6.1. Lösungsprinzip für Differenzengleichungen 122
6.6.2. Beispiele zur Lösung von Differenzengleichungen 123
6.7. Weitere Eigenschaften der Z-Transformation 124
6.8. Verschiedene Anwendungen 126
6.8.1. Beispiele 126
6.8.2. Aufgaben: Anwendung der Z-Transformation 128
6.9. Zusammenhang mit der Laplace-Transformation 128
Lösungen der Aufgaben •. 130
Tabelle 1: Laplace-Transformation 139
Tabelle 2: Fourier-Transformation , 146
Tabelle 3: Z-Transformation 149
Tabelle 4: Übersicht 151
Literatur 152
Namen- und Sachregister 153
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