Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure: 1 Differentialrechnung und Grundformeln der Integralrechnung nebst Anwendungen
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Leipzig [u.a.]
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
1954
|
| Edition: | 14. Aufl. |
| Series: | Teubners mathematische Leitfäden
21 |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 211 S. graph. Darst. 22 cm |
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IMAGE 1
I N H A L T
BETTS
L ZAHLEN, VERAENDERLICHE UND FUNKTIONEN .
9
P 1. Z A H L E N U N D V E R AE N D E R L I C H E . .
. 9
1.RATIONALE ZAHLEN. %.IRRATIONALE ZAHLEN. 3.DEDEKINDSCHER SCHNITT.
4.RATIO- NALE NAEHERUNGSWERTE. 6.RECHNEN MIT UNGLEICHHEITEN. ABSOLUTER
BETRAG. 6.VERAENDERLICHE. 7. GRENZWERT. 8.UNENDIICH KLEIN UND UNENDLICH
GROSS. 82.VON D E N F U N K T I O N E N
. 14
1.BEGRIFF DER FUNKTION. 2. GEOMETRISCHE DARSTELLUNG. 3.FUNKTIONSEKALO. 8
3.TFBER G A N Z E F U N K T I O N E N U N D I N T E R P O L A T I O N
. 17
1.GANZE FUNKTIONEN. 2.BINOMISCHER LEHRSATZ. S.DIE BERNOUILISCHE UN-
GLEICHHEIT. 4.PARABEL N.TER ORDNUNG. 6.IALGRANGCSCHE
INTERPOLATIONSFORMEL. &DIE NEWTONSCHE INTERPOLATIONSFORMEL. 7.DIEERENZEN
HAHERER ORDNUNG. 8.INTERPOLATIONSFORMEL BEI GLEICHEN
ARGUMENTUNTERSCHIEDEN. @.ZAHLEN- MABIGE BERECHNUNG EINER GANZEN
FONKTION.
34. VON D E N A B R I G E N E L E M E N T A R E N F U N K T I O N E N .
. . 23
1.RATIONALE FUNKTIONEN. 2.ALGEBRAISCHE FUNKTIONEN. 3.EXPONENTIALFUNK-
TION. 4.DER LOGARITHMUS. 6.DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN. &DIE KREIS
BOGEN- ODER ARKUSFUNKTIONEN. U B U N G E N ZU 0 1 BIS 0 4. ZWGLF
AUFGABEN . 27
36. G R E N Z W E R T E V O N V E R AE N D E R L I C H E N U N D F U N K
T I O N E N . . . 29
1.EINSINNIGE VERAENDERLICHE. INTEMALLSCHACHTELUNG. 2.BEISPIEL. ISREISMES-
SUNG. 3. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN. 4.BEISPIELE. 6. SAETZE UEBER DAS
RECHNEN MIT GRENZWERTEN. 6.BESONDERE GRENZWERTE. 7.ASYMPTOTIECHE
ANNAEHERUNG. 3 6. VON D E R S T E T I G K E I T . .
. 45
1.ERKLAEMNG DER STETIGKEIT. 2.DIE AENDERUNGEN DER VERAENDERLICHEN. 3.UN-
STETIGKEITEN. 4. GRENZWERT UND STETIGKEIT EINER ZUSAMMENGESETZTEN FUNK-
TION. 6.FOLGERUNGEN. 6.BESCHRAENKTHEIT, MAXIMUM UND MINIMUM EINER STETI-
GEN FUNKTION IN EINEM ABGESCHLOSSENEN BEREICHE. 7. SATZ VON
BOLZANO-WEIER- STRASS. S.FUNKTIONEN, DIE KEINEN ZWISCHENWERT AUSLASSEN.
9.UMKEHRUNGA- FUNKTIONEN. 10.ANWENDUNG.
O B U N G E N ZU 6 UND 3 6. NENN AUFGABEN .
46
II. HAUPQILTEE DER DIIIERENTI AIRECHNNNG UND GRANDLORMELN DER
INTEPIRECHNUNG 48
8 7. A B L E I T U N G U N D D I F F E R E N T I A L
. 48
1.ENTETEHMG DER DIFFERENTIALRECHNUNG. 2.ABLEITNNG EINER FUNKTION. 3.BEI
SPIEL. 4.ABLEITUNG EINER KOMTSNTEN. 6.KONSTANTER F A H R . 6.ABIEITANG
EINER
IMAGE 2
6 INHALT
SUMME. ?.ABLEITUNG VON EIN Z UND COS A. &ABLEITUNG VON AA. 9.ABLEITNN
VON ALOG Z. 10. TANGENTE DER LOGARITHMISCHEN LINIE. LL.STETIGKEIT U N I
DIFFERENZIERBARKEIT. 12. DIFFERENTIAL, DIFFERENTIALQUOTIENT. 13.
DIFFERENTIALE UND KLEINE AENDERUNGEN. 14.DIFFERENTIALFORMELN.
Q 8. WEITERE DIFFERENTIATIONSREGELN . 64
1.ABLEITUNG EIN- PRODUKTS. 2.ABLEITUNG EINES QUOTIENTEN. 3.ANWENDUNGEN.
4.KETTENREGEI. 6.ABLEITUNG DER ,UMKEHRUNGAFUNKTIONAN. @.ANWENDUNGEN.
7.LOGARITHMISCHE DIFFERENTIATION. OBUNGENZU§7UND~8.VIERZEHNANFGABEN
. 69
8 9. H OE H E R E ABLEITUNGEN .
60
1.HOEHERE ABLEITUNGEN. 2.TAYLORSCHE FORMEL FUR GAN& FUNKTIONEN. 3 . H .
WENDUNG. 4.HOEHERE DIFFERENTIALE. 6.LEIB9CHE FORMEL. 5 10. ANWENDUNGEN U
N D UEBUNGEN . 63
1.EINFIUSS EINES KLEINEN MESSFEHLERS. 2. STEIGEN, FALLEN, MAXIMUM UND MINI
MUM DER KURVE Y = F (X). 3. WENDEPUNKT. 4.BEISPIEL. 6. GEOMETRISCHE KON-
ETRUKTION DER ABGELEITETEN KURVE. 6. GROESSE DER GESCHWINDIGKEIT UND
BESCHLEUNIGUNG. 7.KREISBEWEGUNG. 8.SINUS-SCHWINGUNG. 9.GESETZ DEM O
NISEHEN WACHAENA. 10.ENERGIERAXIMUM IM SPEKTRUM E I N S STRAHLEN%
,,SCHWARZEN" KOERPERS. Q 11. VON D E N HYPERBELFUNKTIONEN.
. 70
1.601 X, @IN Z, %G S, 6 T G X. 2.ABLEITUNGEN VON &OF S, 6 T N B, ASS A,
&TG E. 3. AREAFUNKTIONEN. 4.ZUSAMMENHANG MIT DER HYPERBEL. 5.
GUDMANNEOHE FUNKTION ,Y = %M X. U B U N G E N W 5 9 B H 811. SIEBEN
AUFGABEN . 73
§ 12. VOM MITTELWERTEATZE . 74
1. ZERLEGUNGSFORMEL. 2. EINZIGKEIT DER ABLEITUNG. 3. SATZ VON ROLLE.
4.MITTRLWERTAATZ. &ANDERE FORM DEA MITTELWERTSATZM. 6.LEBRSATZ. ?.LEHR-
EATZ. 8.EINE EIGENSCHAFT DER PARABEL. ANGENAEHERTE DIFFERENTIATION EINER
TABELLE. 9.VERALLGEMEINERTER MITTELWERTWTZ. LO.F(X) LIISST KEINEN
ZWISCHEN-
WERT ANS. 5 13.INTEGRATION ALS UMKEHRUNG D E R D I F F E R E N T I A T I
O N . . 7%
1.UNBESTIMMTES INTEGRAL. 2.CRUNDINTEGRALE. 3.EINIGE INTEGRATIONSREGELN.
4.EINFUEHRUNG EINER NEUEN VERIINDERLICHEN. 6.BESTIMMTES INTEGRAL. 6.BE
STIMMTES INTEGRAL ALS FUNKTION DER OBEREN GRENZE. 7. GESCHWINDIGKEIT UND
BMCHLEUNIGUNG. 8.FIAECBENINHALTSBERECHNUNG. 9.BESTIMMTES INTEGRAL ELI,
MITTELWERT UND ALS SUMME. 10.GEOMETRIECHE MOMENTE. 11.
INTEGRATIONSGRENZEN
BEI NEUEN VERAENDERLICHEN. 5 14. BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN
. W
0 00
1. FORM -. 2. FORM - - . 3. FORMEN 0 - OO, OO - W, 0, MO, I=. 4.
BEISPIELE. 0 00 6. VERSAGEN DER BERNOULLI-L'HOSPITSLACHEU REGEL. 6.
ANWENDUNG. 7. RECHNEN MIT UNENDLICH KLEINEN GROESSEN. UBUNGEN ZU 12 BIS 3
14. SIEBZEHN AUFGABEN . 96 5 15. THEORIE DER
MAXIMA UND MINIMA. . 97 8 16. DIE TAYLORSCHE
FORMEL. . 99 1. ERWEITERUNG DER
ZERLEGUNGSFORMEL. 2. TAYLORSCHE FORMEL MIT HTGLIED. 3. ANDERE FORM. 4.
ANWENDUNGEN.
IMAGE 3
SAT.
$17. WEITERE A N W E N D U N G E N DEE M I T T E L W E R T S A T ~ E S U
N D D E R T A Y - L O R S C H E N F O R M E L
. 103
1.NEWTONSCHES NAEHERUN~SVERFAHREN ZUR AUFLOESUNN VON GLEICHUNNEN. 2.VER-
FAHREN DEE WIEDERHOLTEN KINSETZENS (~TERATIONAVERRAHREN). 3.USA&MENHA&
ZWISCHEN DIFFERENZEN UND ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG. 4.LINEARE IN&-
POLATION UND IHR FEHLER.
O B U N G E N ZU 3 15 BIS $ 17. FUENF AUFGABEN.
. L07
III. FUNKTIONEN VON ZWEI UND MEHR VERAENDERLICHEN.
. 108
5 18. G E O M E T R I S C H E D A R S T E L L U N G , G R E N Z W E R T
, S T E T I G K E I T , P A R T I E L L E A B L E I T U N G E N
. 108
1. GEOMETRISCHE DARSTELLUNG. 2. KARTE DER FLAECHE. 3. GRENZWERT UND
STETIG- KEIT. 4.PARTIELLE ABLEITUNGEN. 5.VERTAUSCHUNG DER MITTLEREN P D
E L L E N AB- LEITUNGEN. 6.ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG. 5 19. D A S V O
L L S T AE N D I G E DIFFERENTIAL. - A N W E N D U N G E N .
115
1.DAS VOLLSTANDIGE DIFFERENTIAL. 2.DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG.
3.DIFFE. RENTIAL UND ANDSRNNG VON F (Z, Y). 4.EINFLUSS KLEINER FEHLER AUF
DAS ERGEBNIE. 6.ABLEITUNGLAENGE EINER GEGEBENEN RICHTUNG. 6.ERWEITENING
DER KETTENREGEL. 7.ZUAAMMENGESETATE FUNKTIONEN MEHRERER VERAENDERIICHER.
8.UNENTWICKELTE
(IMPLIZITE) FUNKTION. (C 20. E I N F UE H R U N G A N D E R E R U N A B H
& N A I G E R VERIINDERLIOHER. . 123
I . ~ I N E EINZIGE UNABH&NGIGE ERLINDERLICHE.-2.WECHD TWGIER
ULIABHILNGIGER VERAENDERLICHER. FUNKTIONALDETERMINANTE. 3.VERACHWINDENDE
FUNKTIONAL- DETERMINANTE. 4. POLARKOORDINATEN. 5.AUFGABE. $ 21. D I E T
A Y L O R S O H E F O R M E L U N D D I E T H E O R I E D E R M A X I M
A U N D MINIMA BEI AWEI V E R AE N D E R L I C H E N
. 126
1.TAYLORSCHE FORMEL. 2.ANWENDUNG. 3.VERFAHREN DES WIEDERHOLTEN EIN-
EETEENE. 4.SATA VON EULER TIBER HOMOGENE FUNKTIONEN. 5.MAXIMA UND MINIMA
BEI MEHREREN VERAENDERLICHEN. NOTWENDIGE BEDINGUNG. 6.WEITERE
BEDINGUNGEN. 7.MAXIMA UND MINIMA MIT NEBENBEDINGUNGEN. 8.BEISPIEL.
U B N N G E N M 8 18 BIS 8 21. ~ W ~ L F . 132
AUFGABEN
IV. DMERENTIALGSOMETRIE EBENER KURVEN .
134
822.TANGENTE. N O R M A L E , BOGENLAENGE, BEISPIELE T E C H N I S O H
WICH. T I G E R K U R V E N
. 134
1.ANALYTISCHE DARSTELLUNG EINER EBENEN KURVE. 2.TANGENTE. NORMALE. 3.
BEI- SPIELE. 4.TANGENTENKONSTNIKTIONEN FTIR DIE PARABEL = A + B Z + O D
. 6.BESTIMMUNG DER BOGENLAENGE (REKTIFBTION). 6.LAENGE DER TANGENTE,
NORMALE, SUBTANGENTE UND SUBNORMALE. 7.BEIEPIEL DER PARABEL Y' = 2 PX.
8. ZYKLOIDEN ODER RADLINIEN. 9. DIE EPIZYKLOIDE. 10.DIE HYPOZYKLOIDE.
11.BE-
RIONDERE FAELLE. 12. DIE SCHLEPPKURVE (TRACTRIX). 523. S C H N I T T U N
D B E R UE H R U N G S W E I E R K U R V E N . 142
1. SCHNITTWINKEL EWEIER KNRVEN. 2.SCHNITTWINKEL TWEIER KURVENSCHAREN.
3.BERIIHRUNG SWEIER KURVEN. 4.BEISPIELE. 5.SCHMIEGUNGSH.EIS. 8 24- $ R UE
M M U N G , K R UE M M U N G A K R E I E U N D E V O L U T E
. 146
1. KRFIMMUNG. 2.ANDERE FORMELN FIIR K. 3.KRFLMMNNGSRADINS, KRUEMMUNEP.
MITTELPUNKT, KIUMMUNGSKREIS. 4.EVOLNTE. 5.EIGENSCHAFTEN DER EVOLUTE.
6.EVOLUTENBOGEN. 7.DIE KRFIMMUNGSRSDIEN DER EVOLUTE UND EVOLVENTE.
8.WENDEPNNKT. 9.SCHEITEL. 10.BEISPIEI DER ELLIPSE. 1L.GREIAEVOLVENTE. UE
B U N G E N S A 522 BIS 524. VIENEHU AUFGABEN .
1W
IMAGE 4
&ITE
~ 2 B . A N W E N D N N G DER POLARKOORDINATEN, INVERSION. .
165
1.POLARKOORDINATEN. 2.TRANSFORMATION DURCH REZIPROKE RADIEN (LNVERAION).
3.INVERSOREN: A) INVERSOR VON PEAUCELLIER, B) INVERAOR VON HART. 4 . H -
WENDUNGEN DER POLARKOORDINATEN AUF DIE DIFFERENTIALGEOMETRIE EBENER
KURVEN. 6.LINIENELEMENT IN POLARKOORDINATEN. G.POLARTANGENTE, -NORMALE,
RNBTANGENTE, -SUBNORMALE. 7.ARCHIMEDISCHE SPIRALE. 8.HYPERBOLISCHE SPI-
RALE. 9. LOGARITHMISCHE SPIRALE. 10. KRUEMMUNG IN POLARKOORDINATEN.
11.FLGCHENINHALT EINES SEKTORS. 12.FUSSPUNKTSKURVE. UE B U N G E N ZU 9
26. ZEHN AUFGABEN . R63
F 26. ASYMPTOTEN . 164
1. GERADE ALS BBYMPTOTE. 2. BEISPIEL. 3. ASYMPTOTEN EINER ALGEBRAISCHEN
KURVE. 4.BEISPIEI. 5.8EYMPTOTEN BEI POLARKOORDINATEN. 6.BBYMPTOTISCHER
KREIS. F 27. SINGULSSRE P U N K T E U N D HITLLKURVEN.
. 167
I. SINGULAERE PUNKTE. 2.DOPPELPUNKT, SPITZE, EINAIED1ERPNNK.T.
3.BEL3PIELE. 4.KURVENACHAREN, HWKURVE. B. QHNIATA. 6. BEISPIEL. F 28.
BESONDERE ANWENDUNGEN U N D BEISPIELE . 171
1. EIN SATZ IIBER ROLLKURVEN. 2. BRENNLINIE (KATAKANSTIK). 3. SPIEGDUN
UND BRECHUNG AN EINEM KEGELSCHNITT. 4.AUFEINANDERROLLENDE EIIIPEN. 6 . 1
& T ~ - PUNKT EINES KEGELSCHNITTS. UE B U N G E N Z U $ 2 6 B I E 028.
SIEBEN AUFGABEN . 175
V. IIOMPLEXE ZAHLEN, V@DERLICHE UND FINKTIONEN .
176
8 29. E R K L SS R U N G U N D BEDEUTUNG D E R KOMPLEXEN ZAHLEN .
176
1. KOMPLEXE ZAHLEN. 2. VEKTOREN. 3. KOMPONENTAN. 4. MULTIPLIKATION DER
VEK- TOREN. 6. DIVISION DER VEKTOREN. 6. FORMELN F* MRP, EIN N 9- 7.
WURZEL AUS EINER KOMPLEXEN ZAHL. ANWENDUNG. F 30. KOMPLEXE VERSSNDERLICHE
U N D FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERIINDERLICHEN
. 182
1.KOMPLEXE VERAENDERLICHE. 2.DIE CANCHY-RIEMANMCHEN ILIFFERENTIAL-
LEICHUNGEN. 3.EXPONENTIDFUNKTION. 4.TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE
%UNKTIONEN. 6.LOGARITHMW, POTENZ. 6.ARKM-FUNKTIONEN. F 31. DER H A U P T
A A T Z D E R ALGEBRA . 187
1.DER HAUPTSATZ. 2.VEREINFACHANGEN ZUM BEWEISE. 3.BEWEIS. 4.BEISPIEIE
VON (NICHT ALGEBRAISCHEN) GLEICHUNGEN OHNE LOESUNGEN. 0 32. KONFORME
ABBILDUNG . 190
1. GEOMETRISCHE DARSTELLUNG. 2. KONFORME ABBILDUNG. 3. UMKEHRUNG I. 4 .
U M K E H G II. Q 33. EINIGE BESONDERE KONFORME ABBILDUNGEN.
. 194
1.DIE ABBILDUNG W = A + BZ. 2.DIE LINEAR-GEBROCHENE FUNKTION.
3.BEISPIEL. 4.DOPPELVERHIILTNIS. 6.BEATIMMUNG DER LINEAR-GEBROCHENEN
FNNKTION ANE DREI PAAREN ENTSPRECHENDER PUNKTE. 6.BEISPIELE. ?.EINIGE
WEITERE KONFORME ABBILDUNGEN.
U B U N G E N ZU F 29 BII F 33. SECHZEHN AUFGABEN.
. 202 |
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