Schulnahe Beweise zum zentralen Grenzwertsatz:
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Hildesheim ; Berlin
Franzbecker
2004
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| adam_text | 1 Einleitung 1
1.0 Der Aufbau dieser Arbeit 1
1.1 Was soll eine Begründung sein? 1
1.2 Was heißt „schulnah ? 3
1.2.1 Kriterien der Zugänglichkeit 4
1.2.2 Kriterien der Tragweite 5
1.2.3 Kriterien der Eigentätigkeit 5
1.2.4 Beziehungen zur Analysis 5
1.3 Zur Form des zentralen Grenzwertsatzes 5
1.3.1 Was soll der zentrale Grenzwertsatz leisten? 5
1.3.2 Folgerungen fflr den Schulunterricht 6
1.3.3 Zum Computer-Einsatz 6
1.3.4 Lokaler oder globaler Grenzwertsatz? 7
2 Zum Sachverhalt: Der Satz von de Moivre / Laplace und seine Verallgemeinerungen 8
2.1 Die Normalverteihing als Grenzverteilung der Binomialverleilung 8
2.1.1 Zur Standardisierung 10
2.1.2 Formulierung des Grenzwertsatzes von de Moivre / Laplace 11
2.1.3 Probleme mit der Ganzzahligkeit 14
2.1.4Pseudo-Standardisierung 15
2.1.5 Probleme mit der Konvergenz 16
2.1.6 Einige Variationen 17
2.2 Summenverteilungen 18
2.3 Verteilungen von Messfehlem 20
3 Vorbereitungen 22
3.1 Hilfsresultate aus der Analysis 22
3.2 Vorbereitende Grenzaussagen 24
3.2.1 Von der hypergeometriscben zur Binomialverteilung 24
3.2.2 Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung 26
3.2.3 Von der geometrischen zur Exponentialverteilung 26
3.2.4 Das Geburtstagsproblem 28
4 Limesbetrachtungen 29
4.0 Einleitung 29
4.1 Orientierung an den Quotienten der Binomialkoeftizienten 29
4.1.1 Quotienten von Binomialkoeffizienten 30
4.1.2 Quotienten der standardisierten Binomialverteilung 33
4.1.3 Quotienten der pseudo-standardisierten Binomialverteilung 34
4.2 Orientierung am Stirling-Term 34
4.2.1 Motivation des Stirling-Terms 34
4.2.2 Der Term der standardisierten Binomialverteilung 35
4.2.3 Der Term der pseudo-standardisierten Binomialverteilung 37
5 Rekursionsbeweise 39
5.0 Einleitung 39
5.1ZurRekursion(Rl) 39
5.1.1 Der Weg über Differenzenquotienten 40
5.1.1.1 Differenzenquotienten von Binomialkoeffizienten 40
5.1.1.2 Differenzenquotienten bei Münzwürfen 42
5.1.1.3 Differenzenquotienten der Binomialverteilung 44
5.1.2 Der Weg über die Taylorentwicklung 45
5.1.2.1 Versuch einer Taylorentwicklung bei Binomialkoeffizienten 45
5.1.2.2 Taylcrentwicklung bei Münzwürfen 46
5.123 Taylorentwicklung bei der Binomialverteilung 46
5.13Exaktifizierung 47
5.2 Die Rekursion (R2) 47
5.2.1 Münzen 48
5.22 Würfel 51
5.2.3 Augensummen 52
5.2.4 Glücksrad 53
5.2.5 Verschiedene Glücksräder 55
5.2.6 Grenzen des Satzes 57
6 Zur Qualität der Normalapproximation 61
6.0 Einleitung 61
6.1 Lokale Maße 61
6.2 Globale Maße 62
6.3 Zur Faustregel 64
6.4 Die globalen Maße und die Faustregel 66
6.5 Differenzen oder Quotienten? 67
7 Zur Normalapproximation der Poisson-Verteilung 68
7.0 Einleitung 68
7.1 Limes-Beweise 69
7.1.1 Orientierung an Quotienten 69
7.1.2 Orientierung am Stirling-Tenn 69
7.2Rekursions-Beweisemit(Rl) 69
7.2.1 Differenzenquotienten 70
7.2.2 Taylorentwicklung 70
8 Verteilungen von Messfehlem 71
8.0 Einleitung 71
8.1 Das Prinzip des arithmetischen Mittels (PAM) 74
8.1.1 Erläuterung des PAM 74
8.1.2 Test des PAM an den Kandidaten 76
8.1.3 Die Normalverteilung erfflllt das PAM 76
8.1.4 Nur die Normalverteilung erfüllt das PAM 77
8.1.4.1 ErsteMethode 77
8.1.4.2 Eine alternative Methode nach Heynes 77
8.1.5 Auf das arithmetische Mittel bezogene Zusammenfassung 78
8.1.6 Das Prinzip des Medians 78
8.1.7 Auf den Mediän bezogene Zusammenfassung 80
8.2 Das Prinzip der Rotationsinvarianz (PRI) 80
8.2.1 Erläuterung des PRI 81
8.2.2 Test des PRI an den Kandidaten 82
8.2.3 Nur die Normalverteilung erfüllt das PRI 83
8.3 Zur Cauch/schen Funktionalgleichung 83
8.3.1 Zwei Losungswege 83
8.3.1.1 Erster Weg 84
8.3.1.2 Zweiter Weg 84
8.3.2 Methodentransfer 84
8.32.1 Charakterisierung der geometrischen Verteilung 84
8.32.2 Charakterisierung der Exponentialverteilung 85
9 Die Sätze von Wallis und Stirling und das Glockenintegral 86
9.0 Einleitung 86
9.1 Bemerkungen zu den Sätzen von Wallis und Stirling 88
9.1.1 Ein heuristischer Weg zum Satz von Wallis 88
9.1.2 Ein heuristischer Weg zum Satz von Stirling 89
9.1.3 Zwei Wege vom Satz von Wallis zum Satz von Stirling 90
9.13.1 ExplorationdesWallis-Terms 90
9.13.2EindirekterWegälaEnler 91
9.2 Fünf Wege zur direkten Berechnung des Glockenintegrals 93
9.2.1 Der Weg über Faltungen 93
9.2.1.1 Exkurs: Das Faltungsintegral als Raumintegral 94
9.2.2 Doppelte Berechnung eines Raumintegrals 95
9.2.3 Verwendung von Polarkoordinaten 96
9.2.4 Der Weg von Laplace 98
9.2.5 Der Weg von Apostol 99
9.3 Die Integrale In und ihre Verwendung 99
9.3.1 Definition und einfache Eigenschaften 99
9.3.2 Ein erster Beweis des Satzes von Wallis 101
9.3.3 Ein zweiter Beweis des Salzes von Wallis 101
9.4 Die Gamma-Funktion und ihre Verwendung 102
9.4.1 Definition der Gamma-Funktion und erste Eigenschaften 103
9.4.1.1 Exkurs zum wissenschaftlichen Fortschritt 104
9.4.2 Ein erfolgloser Interpolationsversuch 105
9.4.3 Zum Zusammenhang des Glockenintegrals mit dem Satz von Wallis 106
9.4.4 Zum Zusammenhang des Glockenintegrals mit dem Satz von Stirling 107
9.5 Die Beta-Funktion und ihre Verwendung 108
9.5.1 Zur Bedeutung der Interpolation der Binomialkoeffizienten 109
9.5.2 Interpolation der Binomialkoeffizienten durch Wallis 109
9.5.3 Definition der Beta-Funktion und erste Eigenschaften 114
9.5.4 Ein Zusammenhang zwischen der Beta- und der Gamma-Funktion 116
9.5.4.1 Ein erster Weg über Faltungen 116
9.5.4.2 Ein zweiter Weg mit Polarkoordinaten 117
9.5.5 Zur logarithmischen Konvexität der Beta-Funktion 118
9.6 Das Sinusprodukt und seine Verwendung 118
9.6.1 Der Wallis-Term und das Sinusprodukt 118
9.6.2 Das Sinusprodukt und der Stirling-Term 120
9.62.1 Zur Konvergenz des Stirling-Terms 121
9.62.2 Direkter Beweis des Satzes von Stirling aus dem Sinusprodukt 122
10 Zur Verteilung der Mediane 125
10.1 Phänomene 125
10.2 Die Verteilung der kleinsten Elemente 126
10.3 Die Verteilung der zweitkleinsten Elemente 129
10.4 Die Verteilung der mittleren Elemente 130
10.5 Die Verteilung der j-ten Elemente 132
10.6 Schlussbemerkung 134
11 Ergänzungen 135
ll.lZurMiinmumseigenschaftdesMedians 135
11.2Summenverteilung 136
11.2.1 Zweiseitiger Würfel mit den beiden Seiten 1 und 2 136
11.2.2DreiseitigerWürfelmitdenSeitenl,2und3 136
11.23 Normaler Würfel mit den Seiten Ibis 6 137
11.3 Zur Cauchy-Verteilung 137
11.4ZumModalwertderBinomialverteilung 138
11.5 Der Satz von Wallis in der Geometrie 139
12 Fazit 140
12.1 Zugänge zum Exponentialtenn 140
12.2 Zugänge zur Normierung 140
12.3 Zusammenfessung 141
Literatur 142
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