Un cours de théorie analytique des nombres:
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| Language: | French |
| Published: |
Paris
Soc. Math. de France
2004
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| Series: | Société Mathématique de France Cours spécialisés
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Préface vii
1. Introduction 1
1.1. Introduction 1
1.2. Le prétexte 2
1.3. Explicitation 3
1.4. Le critère d équirépartition de Weyl 8
1.5. Motivation I : le crible 10
1.6. Motivation II : les formes modulaires 15
2. Préparatifs pour le théorème des nombres premiers 19
2.1. Séries de Dirichlet 19
2.2. Fonctions sommatoires et séries de Dirichlet 29
2.3. Séries de Dirichlet et fonctions sommatoires 30
2.4. Caractères de groupes abéliens finis 39
2.5. La formule de sommation de Poisson 44
2.6. Fonctions L de Dirichlet 46
Appendice : produits infinis 52
3. Le théorème des nombres premiers 55
3.1. Introduction 55
3.2. Le prolongement analytique des fonctions L de Dirichlet 56
3.3. Les zéros des fonctions L de Dirichlet 62
3.4. Le théorème des nombres premiers 78
Appendice : résultats d analyse complexe 84
4. Discussion du théorème des nombres premiers 87
4.1. L Hypothèse de Riemann Généralisée 87
4.2. Problèmes d uniformité : exemple 95
4.3. Le théorème de Siegel-Walfisz 96
4.4. Le théorème de Bombieri-Vinogradov 101
4.5. L inégalité de Brun-Titchmarsh 102
vi TABLE DES MATIÈRES
5. Crible et sommes oscillantes sur les nombres premiers 107
5.1. Le crible en général 107
5.2. Arguments heuristiques 108
5.3. Un crible combinatoire simple 111
5.4. Le crible oscillant de Duke-Friedlander-Iwaniec 124
5.5. Exemple pédagogique 135
6. Formes automorphes et décomposition spectrale 145
6.1. Formes linéaires en racines de congruences quadratiques 145
6.2. Une pincée de géométrie hyperbolique 154
6.3. Formes automorphes : définitions de base 160
6.4. Séries d Eisenstein 169
6.5. Le spectre discret 180
6.6. Décomposition spectrale complète pour Fo (q) 184
7. Estimation d une série de Poincaré 185
7.1. Première réduction 186
7.2. Première étape commune 190
7.3. Preuve conditionnelle 193
7.4. Preuve inconditionnelle 195
Appendice : les fonctions tranquilles 202
8. Équirépartition des racines de congruences quadratiques et applications .... 203
8.1. Introduction 203
8.2. Formes linéaires 205
8.3. Formes bilinéaires 206
8.4. Conclusion et applications 210
Examen - Bordeaux, Mai 2002 221
Bibliographie 225
Index 231
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