Wege in euklidischen Ebenen. Kinematik der speziellen Relativitätstheorie: eine Auswahl geometrischer Themen mit Beiträgen zu deren Ideen-Geschichte; unter Verwendung von Vorlesungen von Heinz Hopf, Willi Rinow, Erhard Schmidt
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
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Berlin [u.a.]
Springer
1999
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Wege in euklidischen Ebenen
1.0 Wege in Analysis, Geometrie und Physik 1
1.1 Grundbegriffe über Cr-Wege 2
1.1.1 Differenzierbare, immersive, Cr-Wege in IR-Vektorräumen 2
1.1.2 Umparametrisierungen von Wegen 5
1.1.3 Kurven bzw. orientierte Kurven als Wege-Klassen 6
1.1.4 Analysis erster Ordnung von differenzierbaren Wegen 7
1.1.5 Geometrische Definition der Tangenten und der Glattheit 8
1.2 Weglänge ( = Bogenlänge) 11
1.2.1 Die Länge kompakter Wege in normierten IR-Vektorräumen 11
1.2.2 Kürzeste Verbindungswege in normierten IR-Vektorräumen 13
1.2.3 Weglängenbegriff - Inhalt fc-dim. Flächen („Schwarzscher Stiefel ) 14
1.2.4 Das „3. Problem von David Hilbert 16
1.2.5 Integraldarstellung der Länge differenzierbarer Wege 18
1.2.6 (Um-)Parametrisierung auf Weglänge 19
1.2.7 Die Ableitung nach der Weglänge immersiver C -Wege 21
1.3 Winkelfunktionen, Schwenk, Umlaufzahlen ebener Wege 23
1.3.1 Orientierungen, komplexe Strukturen von IR-Vektorräumen 23
1.3.2 Zweidimensionale orientierte, euklidische Vektorräume 25
1.3.3 Polarkoordinatendarstellung und der Schwenk ebener Wege 28
1.3.4 Polarwinkelform - Winkelgeschwindigkeit ebener Wege 31
1.3.5 Umlaufzahlen geschlossener ebener Wege um einen Punkt 32
Homotopie-Invarianz der Umlaufzahl 35
Schnittzahlsatz (nach Leopold Kronecker) 36
Strahlkriterium (nach Leopold KRONECKER) 37
1.3.6 Anwendungen des Umlaufzahl-Begriffs 40
„Umlaufsatz (Tangentendrehzahlen immersiver C -Jordan-Wege) 40
Kronecker-Prinzip 45
Poincare-Bohl-Lemma 45
Brouwer-Fixpunktsatz 46
Borsuk-Ulam-Satz 46
XII Inhaltsverzeichnis
Dimensionsinvarianz-Satz 46
„Sandwich-Satz 47
Holditch-Integralsatz 48
1.3.7 Lokaler Grad - Topologische Invarianz der Umlaufzahl 50
1.3.8 Gebietsinvarianz - Jordan-Kurvensatz 55
Ames-Hadamard-Lemma 55
Gebietsinvarianz-Satz 55
Jordan-Ames-Kurvensatz (mit Beiträgen zu dessen Geschichte) 56
1.4 Krümmungstheorie ebener immersiver Wege 61
1.4.0 Zur Geschichte 61
1.4.1 Die orientierte Krümmung ebener immersiver Wege 62
Frenet-Differentialgleichungen 66
1.4.2 Kongruenz und Gestaltgleichheit in euklidischen Vektorräumen 67
Satz von der freien Beweglichkeit in euklidischen Vektorräumen 70
Krümmungsgleichheit und Kongruenz ebener Wege 72
1.4.3 Orientierte Krümmung und Seitenlage zur Tangenten 73
Positions-Lemma für immersive C2-Wege 74
Wendepunkte und echte Wendepunkte 76
1.4.4 Konvexe (Jordan-)Wege - Ovale Wege („Eilinien ) 77
Sehnenlängen-Vergleichssatz (für gleichlange ebene Wege) 82
1.4.5 Zu einem Vierscheitelsatz für ovale C2-Wege 84
Kriterium für (eigentliche) Extremscheitel 84
Ein Vierscheitelsatz 85
Zur (Ideen-) Geschichte der Vierscheitelsätze 87
1.4.6 Intermezzo: Ein Mittel- und Grenzwertsatz n-ter Ordnung 90
1.4.7 Krümmungsradius - Krümmungskreis - Evolute 94
Kennzeichnung des Krümmungsmittelpunktes und des
Krümmungskreises (nach Isaac NEWTON - Johann Bernoulli) 96
Evoluten monoton gekrümmter C2-Wege ohne Wendepunkte 98
1.4.8 Lagebeziehung von Bahnen und Krümmungskreisen ebener Wege 100
Inklusionen der Krümmungskreisscheiben
monoton gekrümmter ebener Wege 100
Lage eines Weges relativ zu seinem Krümmungskreis
in einem Extremscheitel 103
1.4.9 Konstruktion mit Zirkel und Lineal von Linienelementen
und Scheitelkrümmungkreisen bei Kegelschnitt-Wegen 107
Ellipsenweg 107
Parabelweg 108
Hyperbel(ast)weg 109
Inhaltsverzeichnis XIII
1.5 Zykloidenwege in der Mechanik 110
1.5.1 Kinematische Erzeugung der Zykloidenwege (als Rollwege) 110
Zur Geometrie der Zykloidenwege 111
1.5.2 Das Zykloidenpendel von Christiaan HuYGENS 112
1.5.3 Brachistochrone (= zeit-kürzeste) ebene Fallwege von
höher- zu tiefergelegenen Punkten nach Johann BERNOULLI 115
Die zykloidischen Fallwege sind brachistochrone Fallwege 117
Verbindbarkeit durch zykloidische Fallwege; deren Fallzeiten 120
1.5.4 Zur (Ideen-) Geschichte der Brachistochronen-Aufgabe 126
1.6 Einhüllende Wege für Wegescharen 135
1.6.1 C -Einhüllende für Cr-Scharen (r 6INU{oo}) von C1-Wegen 135
1.6.2 Beispiele für Cr-Scharen von C1 -Wegen mit C -Einhüllenden 137
C -Einhüllende für gewisse ebene C2-Geradenscharen 141
1.6.3 Beispiele aus der Lichtstrahlen-Optik (Katakaustiken) 144
Katakaustik eines parabolischen Hohlspiegels 145
Katakaustik eines sphärischen Hohlspiegels 145
1.6.4 Quadratische Parabelwege als C -Einhüllende
affin-parametrisierter Scharen ihrer Tangenten 148
1.6.5 Schmiegparabeln immersiver C3-Wege ohne Wendepunkte 151
Anwendung auf Kurvenlineale 153
Schmiegparabel versus 2-te Taylor-Parabel 153
1.7 Anhang 154
1.7.1 Eine Funktion mit bemerkenswertem Extremwert-Verhalten 154
1.8 Literatur zu Kapitel 1 155
2 . Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie
2.0 Zur Geschichte 159
2.1 Lorentzsche Vektorräume - Analysis affiner Räume 164
2.1.1 Zeitorientierte lorentzsche Vektorräume 164
Zeit- , Raum-, Lichtartigkeit in Inneren-Produkt-Vektorräumen 164
Lorentzsche Vektorräume 165
Zeitartigkeits-Lemma (Zeitartige Cauchy-Schwarz-Ungleichung) 165
XIV Inhaltsverzeichnis
Zeitorientierung 167
Lichtkegel 168
Bestimmtheit lorentzscher innerer Produkte durch ihre Lichtkegel 169
2.1.2 m-dimensionale IR-affine Räume (melN) 171
„Goldene Regel des affinen Kalküls 172
Affine V-Karten eines m-dim. IR-affinen Raumes (M, +, V) 172
Affinkombinationen von Punkten IR-affiner Räume 173
2.1.3 Kanonische Topologie und C °°-Abbildungen IR-affiner Räume 174
2.1.4 C °°-Untermannigfaltigkeiten IR-affiner Räume 175
2.1.5 Die zu einer C °°-Untermannigfaltigkeit K eines IR-affinen
Raumes (M, +, V) in pg/sT tangentialen Vektoren von V 178
2.1.6 fc-dim. affine Unterräume eines IR-affinen Raumes
als A:-dim. C °°-Untermannigfaltigkeiten dieses Raumes 182
2.1.7 Intermezzo: Zum Begriff der m-dim. C -Mannigfaltigkeit 183
2.2 Minkowski-Welt - Beobachter - Normaluhren 184
2.2.1 Minkowski-Welt 184
2.2.2 Materielle Teilchen - Beobachter 185
Inertialität (Kräftefreiheit) 186
Evolutionsrichtung 186
2.2.3 (Beobachter begleitende) Normaluhren 187
Physikalische und mathematische Deutung der Normaluhren 188
Existenz und „Einzigkeit begleitender Normaluhren 188
Inertiale Beobachter und die sie begleitenden Normaluhren 190
2.2.4 Lichtsignale - Photonen 190
2.2.5 Kausal-Relation 191
2.3 Zeitmessung bzgl. (inertialer) Beobachter 191
2.3.1 Die Eigenzeit eines Beobachters 191
2.3.2 LANGEVINs Zwillinge 192
2.3.3 Gleichzeitigkeit bzgl. eines inertialen Beobachters 194
2.3.4 Messung von Gleichzeitigkeit mittels Radarechos 194
2.3.5 Synchronisierung (Uhren-Vergleich) bzgl. inertialer Beobachter 196
2.3.6 Zeitmessung inertialer Beobachter an beliebigen Ereignissen 197
Lebenszeiten 197
Beschränkte Lebens-Eigenzeiten materieller Teilchen 198
2.3.7 Einsteins Zeit-Dilatation 199
2.4 Räumliche Distanzen bzgl. inertialer Beobachter 200
, Inhaltsverzeichnis XV
2.4 Räumliche Distanzen bzgl. inertialer Beobachter 200
2.4.1 Räumliche Distanz zu einem inertialen Beobachter 200
2.4.2 Ruhe bzgl. eines inertialen Beobachters 201
2.4.3 Distanz zweier Ereignisse bzgl. eines inertialen Beobachters 202
Radardoppelecho-(Gedanken-)Experiment 202
2.4.4 Physikalische Einheiten für Zeiten und räumliche Distanzen 203
2.5 Raum und Zeit eines inertialen Beobachters B 203
2.5.1 Raum- und Zeitpunkte bzgl. B 203
2.5.2 Der Raum von B als 3-dim. affiner euklidischer Raum 204
2.5.3 Die Zeit von B als 1-dim. affiner euklidischer Raum 205
2.5.4 Die (Lorentz-orthogonale) Aufspaltung der Minkowski-Welt
durch B in seinen Raum und seine Zeit 206
2.6 Eigenschaften der Lichtgeschwindigkeit c 206
2.6.1 Räumliche Bahnen, Geschwindigkeiten bzgl. inertialer Beobachter 206
2.6.2 Geschwindigkeiten von Photonen bzgl. inertialer Beobachter 207
2.6.3 Geschwindigkeiten materieller Teilchen sind kleiner als c 208
2.7 Korrelation der von zwei inertialen Beobachtern
gemessenen Zeiten und Distanzen 209
2.7.1 Korrelation der gemessenen Zeiten und Distanzen bzgl.
zweier inertialer Beobachter - Lorentz-Transformation 209
2.7.2 Minimalität der Distanz gleichzeitiger Ereignisse 211
2.7.3 Kräftefreie starre Körper und deren räumliche Vermessung 211
2.7.4 Fitzgerald-Lorentz-Kontraktion nach Einstein 212
2.8 Additionstheorem der Geschwindigkeiten 214
2.9 Literatur zu Kapitel 2 216
Lexikon der Abkürzungen und Symbole 218
Index 219
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