Vorlesungen über mathematische Physik: gehalten an der Universität Königsberg [6]. Vorlesungen über die Theorie des Potentials und der Kugelfunctionen
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Leipzig
Teubner
1887
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| adam_text | Inhaltsverzeichniss.
Erstes Capitel.
Definition und Eigenschaften des Potentials.
Seite
£ 1. Einführung des Potentials................................................ 1
$ 2. Die Flächen constanten Potentials oder Gleichgewichtsoberflächen ... 7
? .9. Die Laplace’sehe Differentialgleichung.................................... 8
§ 4. Das Potential eines beliebigen Körpers in Bezug auf einen sehr weit
entfernten Punkt...................................................... it
§ 5. Das Potential einer homogenen Kugel.......................................12
% 6. Weiteres über die Laplace’sche Differentialgleichung. Vervollständigung
derselben durch Poisson................................................15
? 7. Anwendung der Laplace’schen Differentialgleichung zur Berechnung des
Potentials einer homogenen Kugel.......................................17
j “ 8. Transformation des I.aplace’scheu Diffcreutialausdruckes auf Cylinder-
coordinateu............................................................20
§ 9. Transformation desselben auf Polarcoordinaten............................21
Zweites Capitel.
Ueber diejenigen speciellen Kugelfunctionen, welche nur von
einem Argument abhängen.
$ 1.· Einführung der Kugelfunctionen Pn (p)....................................27
՛ ,2. Sich anschliessende Bemerkungen..........................................31
J ,3. Die Differentialgleichung der Function PM (fr)............................33
) 4. Weitere Betrachtungen über diese Differentialgleichung....................35
J 5. Darstellung der Function Pn (fi) durch bestimmte Integrale................38
£ 6‘. Darstellung derselben durch einen Differentialquotienten..................41
J 7. Ueber die Wurzeln der Gleichung Pu (u i — 0...............................42
AUUCtlllO T Vlflvm I I II
Drittes Capitel.
Ueber die allgemeinen Kugelfunctionen mit zwei Argumenten.
Öeito
§ 1. Die reciproké Entfernung zweier Punkte................................45
§ 2. Definition der allgemeinen Kugelfunctimen, d. i. der Laplace sehen
Ypsilons.............................................................48
§ 3. Der Laplace’sche Satz über das homogene Sphäroid......................50
j 4. Die von Laplace für eine -willkürliche Funktion f(a, q ) gegebene Ent-
wicklung 52
§ 3. Die Integraleigenschaften der Kugelfunctionen......................56
$ 6. Das Potential eines homogenen Sphäroids............................60
§ 7. Anwendung der Theorie der Kugelfunctionen zur Berechnung des Poten-
tials eines homogenen Körpers.......................................62
Viertes Capitel.
Die analytischen Ausdrücke der allgemeinen Kugelfun etionen und
die Integraleigenschaften derselben.
§ 1. Entwicklung der Kugelfunction Pm(cos y)...........................66
$ 2. Nachträglicher Beweis einer gewissen Formel........................7 t
§ 3. Die analytischen Ausdrücke der allgemeinen Kugelfunctionen........74
$ 4. Die Integraleigemchaften der Kugelfunctionen......................77
i) 5. Beiläufige Bemerkungen............................................79
6’. Methoden zur Entwicklung einer gegebenen Function nach Kugelfuuc-
tionen. Erste Methode..........................................82
,§ 7. Zweite Methode....................................................83
$ 8. Betrachtung des besondern Falles, dass die zu entwickelnde. Function
nur von einem Argument abhängt.................................85
Fünftes Capitel.
Ueber die Gleichgewichtsfigur einer rotirenden ineompressiblen
Flüssigkeit,
§ 1. Ueber die zum Gleichgewicht erforderliche Oberflächenbedingung ... 86
§ 2. Weitere Betrachtungen. Voraussetzung einer sehr geringen Rotations-
geschwindigkeit ............................................................88
§ 3. Discussion der Oberflächenbedingung..............................!)()
$ 4. Ergänzung.........................................................04
§ 3. Bestimmung der Gleichgowichtsfigur. Ueber die Figur der Erde ... 96
$ C. Die scheinbare Schwere als Function der geographischen Breite . . . 100
£ 7. Ueber die Theorie der Ebbe und Fluth. Aufstellung der Oberflächen-
bedingung .................................................................106
§ S. Weiteres über Ebbe und Fluth. Discussion der erhaltenen Oberflächen-
bedingung .................................................................113
§ 9. Vereinfachung der in § 6 angestellten Untersuchungen..............117
Inhalts verzeichniss.
XIII
Sechstes Capitel.
Ueber die Gauss’sche Theorie des Erdmagnetismus.
Seite
l. Die analytischen Ausdrücke für die drei Componenten der magnetischen
Kraft, unter der Voraussetzung, dass der Sitz dieser Kraft wirklich
innerhalb der Erde sich befindet.................................120
§ 2. Fortsetzung. — Der gegenseitige Zusammenhang zwischen jenen drei
Componenten.....................................................12:։
§ 3. Fortsetzung. — Ueber die Aenderung, welche jene drei Componenten
erfahren bei einer Erhebung über die Erdoberfläche.............125
§ 4. Ueber die Entscheidung der Frage, ob der Sitz der erd magnetischen
Kraft innerhalb oder ausserhalb der Erde zu suchen ist.........127
Siebentes Capitel.
Neumann’s Methode zur Entwicklung einer Function nach Kugel-
funetionen auf Grund gegebener Beobachtungen.
§ 1. Hülfssätze über trigonometrische Functionen........................ly;
§ 2. Hülfssätze über die Kugelfunctionen................................ 131
§ 3. Die zu behandelnde Aufgabe......................................... 141
§ 4. Berechnung der intermediären Constanten C/ H......................14;!
§ 5. Die für die Constanten A, B resultirenden Gleichungen...............145
§ 6. Berechnung der Constanten A, B..................................... 140
§ 7. Andere Methode zur Berechnung der Constanten A, B .................14i!
§ 8. Becapitulation......................................................140
§ 9. Beiläufige Betrachtung über solche Functionen, die nur von einem
einzigen Argument abbängen...................................... 150
Achtes CapiteL
Die Theorie der elektrischen Vertheilung.
§ 1. Die Grnndvorstcllungen............................................ 155
§ 2. Allgemeine Sätze über das elektrische Gleichgewicht.................157
§ 3. Betrachtung einer gleichmässig mit Masse belegten Kreisfläche ... 162
§ 4. Betrachtung einer gleichmässig mit Masse belegten Kugelfläche . . 164
§ 5. Betrachtung einer beliebigen Fläche, die gleichmässig oder ungleich-
massig, jedoch in stetiger Weise mit Masse belegt ist..........168
§ 6. Das Potential dieser Fläche.........................................171
$ 7. Anwendung auf die Theorie der elektrischen Vertheilung..............178
§ 8. Ueber die elektrische Dichtigkeit an der Berührungsstelle zweier Con-
ductoren .................................................................175
§ 9. Die elektrische Vertheilung auf einer isolirten Metallkugel unter der
Einwirkung eines äussern elektrischen Massenpunktes..............177
§ 10. Fortsetzung. Betrachtung eines speciellen Falles...................181
§ 11. Betrachtung des Falles, dass die Metallkugel zur Erde abgeleitet ist 186
§ 12. Die elektrische Vertheilung auf einem Sphäroid.....................186
$ 13. Allgemeine Betrachtung über das Gesetz, nach welchem zwei elek-
trische Massentheilcheu auf einander einwirken............................19o
Neuntes Capitel.
Allgemeine Betrachtungen über die elektrische Vertheilung.
Seito
§ 1. Aufstellung einiger Hülfssätze.........................................194
§ 2. Gewisse allgemeine Formeln (A.), (B.), (C.), etc.....................197
§ 3. Sich anschliessende Sätze.............................................204
§ 4. Angabe einer strengeren Methode für gewisse in den beiden letzten
Paragraphen angestellte Betrachtungen...............................207
§ 5. Beweis dafür, dass der elektrische Gleichgewichtszustand durch die
aus der Theorie abgeleiteten Formeln eindeutig bestimmt ist. . . 209
§ 6. Einige Anwendungen der soeben aufgestellten Theoreme...................215
§ 7. Lieber die elektrische Vertheilung auf dem Ellipsoid..................217
§ 8. lieber die elektrische Vertheilung anf einem Conductor, dessen Ober-
fläche die Form einer sogenannten Gleichgeivichtsoberfläche besitzt 220
§ 9. Ueber die elektrische Vertheilung auf einem schaalenförmigen Con-
ductor................................................................ 226
§ 10. Zwei sehr allgemeine Sätze über die Substitution neuer Massen an
Stelle ursprünglich gegebener Massen................................231
Zehntes Capitel.
Die charakteristische Function für die Aufgaben der elektrischen
Vertheilung und für die Aufgaben des stationären
Temperaturzustandes.
§ 1. Ueber die elektrische Vertheilung auf der Oberfläche eines gegebenen
Conductors...................................................235
§ 2. Anwendung der dargolegten Theorie auf die Kugel................240
§ 3. Beiläufige Bemerkungen.........................................240
§ 4. Ueber den stationären Temperaturzustand eines homogenen Körpers 242
§ 5. Anwendung auf die Kugel........................................247
§ 6. Ueber den stationären Teruperaturzustaud eines schaalenförmigen
homogenen Körpers............................................248
§ 7. Anwendung auf die Kugelschaale.................................252
§ 8. Ueber den stationären Tempcratuvzustand einer von zwei Parallel
ebenen begrenzten homogenen Platte...........................256
Elftes Capitel.
Die charakteristische Function für die Aufgaben des stationären
elektrischen Strömungszustandes.
§ 1. Definition der elektromotorischen Kraft...........................262
# 2. Ueber den stationären Zustand der elektrischen Strömung..........264
§ 3. Ueber die Ursachen der elektromotorischen Kraft..................266
$ 4. Die zu behandelnde Aufgabe..................................... 267
§ 5. Reduction dieser Aufgabe anf die Berechnung einer gewissen charak-
teristischen Fnnction.....................................................270
§ 6. Anwendung auf die Kugel..........................................273
iiiuiutavcxzictüxiiii»». AV
Zwölftes Capitel.
Die Vertheilung der Elettrieität auf zwei Kugeln.
Seite
§ 1. Allgemeine Sätze über das Potential einer Kugelflächenbelegung auf
äussere und innere Punkte.........................................278
§ 2. Betrachtung des besonderen Falles, dass die Belegung der KugeWäche
symmetrisch ist in Bezug auf einen Durchmesser derselben ... 281
§ 3. Anwendung auf die Frage nach der elektrischen Vertheilung .... 283
§ 4. Das zu behandelnde Problem............................................287
§ 5. Der eigentliche Kern des Problems besteht in der Berechnung zweier
Functionen f(fi) und cp (g). Aufstellung einer Functionalgleichung
für f(i ).........................................................289
§ 6. Berechnung der Function ƒ (( )........................................292
(f 7. Die schlie88liche Lösung des Problems.................................297
§ S. Betrachtung des speciellen Falles, dass die beiden gegebenen Kugeln
einander berühren.................................................298
§ 9. Die Vertheilung der Elektricität auf zwei einander berührenden
Kugeln für den Fall, dass der Radius der einen Kugel unendlich
klein wird........................................................301
§ 10. Ueber die elektrische Dichtigkeit zweier einander berührenden Kugeln
an denjenigen Stellen, die der Beriihrungsstclle diametral gegen-
über liegen.................................................................303
§ 11. Beiläufige Betrachtung.............................................305
§ 12. Ueber die Vertheilung der Elektricität auf zwei Kugeln, die sehr weit
von einander entfernt, und durch einen dünnen Draht mit einander
verbunden sind............................................................. 307
Dreizehntes Capitel.
Die Kugelfunctionen zweiter Art.
$ 1. Einführung der Kugelfunctionen zweiter Art (i n (¡i)................311
§ 2. Weiteres über die Functionen Qn (je)..................................320
tj 3. Die derivirten Functionen 7M.0, QJj) und die adjungirten Functionen
P_., O............................................................322
nj 1 Vnj
Vierzehntes Capitel.
Einführung der elliptischen Coördinaten.
§ 1. Die elliptischen Coördinaten q, u, p.................................326
§ 2. Entwicklung der reciproken Entfernung zweier Punkte, unter der
Voraussetzung, dass der eine dieser beiden Punkte ein Brenn-
punk^ist . .՛............................................... . . 329
£ 3. Transformation des Laplaco’schen Differentialausdrucks auf elliptische
Coördinaten.......................................................331
XVI
Inhaltsverzeichnis։.
Seite
§ 4, Entwicklung der reeiproken Entfernung zweier beliebig gegebener
Punkte.............................֊ . . ........................335
§ 5. Nachträglicher Beweis einer gewissen Formel..........................342
§ 6. Beweis eines Jaco i’scben Satzes................................... 345
§ 7. Rückblick auf die elliptischen Coördinaten...........................349
Fünfzehntes Capitel.
lieber die das Rotationsellipsoid betreffenden Aufgaben.
§ 1. Die elektrische Vertheüung auf dem Ellipsoid, unter dev Voraus-
setzung, dass von Aussen her keinerlei Kräfte einwirken 351
§ 2. Die auf einem zur Erde abgeleiteten Ellipsoid durch einen äussern
elektrischen Massenpunkt inducirte Belegung......................355
§ 3. Ueber das Potential einer unendlich dünnen homogenen Schaale,
welche begrenzt ist von zwei confocalen Ellipsoidflächen.........358
§ 4. Uebergang vom gestreckten zum abgeplatteten Rotationsellipsoid . . 361
Anhang.
Nachträgliche Bemerkungen und Erläuterungen...............................362
Zur Orientirung über die in diesem Werke angewendeten Bezeichnungen . 364
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