Analytische Geometrie des Raumes: 2 Analytische Geometrie der Curven im Raume und der algebraischen Flächen
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Leipzig
Teubner
1865
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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| adam_text | Inh alt s verzeichn i s s.
Kapitel I.
Allgemeine Theorie der Flächen.
I. Einleitung. ·
Artikel. Seite.
1. Bestimimmgselemente einer Fläche; Büschel, Netze, Systeme
von Flächen............................................... I
2. Die ‘Tangentenebene für den Anfangspunkt der Coördinaten 4
3. Der Berührungspunkt als Doppelpunkt des Schnittes der Tan-
gentenebenen: dreifache Tangentenebenen.....................5
4. Die Inflexionstangenten.....................................6
5. Die Unterschiede der Berührung und die Indicatrix, elliptische,
parabolische, hyperbolische Punkte.........................7
6. Die Tangentenebene für einen beliebigen Punkt...............9
7. Die Tangentenebenen in benachbarten Punkten und. die con-
jugierten Tangenten ...................................... —
8. Die Tangentenebene in einem parabolischen Punkte als Dop-
peltangentenebene . ·......................................11
9. Der Doppelpunkt einer Fläche und sein Tangentenkegel zwei-
ten Grades.................................................12
11. Die Methode von Joachimsthal und die Polarflächen ; Tangen-
tenebenen und Inflexionstangenten..........................13
14. Die Doppeltangenten aus einem Punkte der Fläche .... 17
15. Der Tangentenkegel der Fläche für einen Punkt im Raume . 18
17. Die Zahl der Inflexionstangenten und der Doppeltangenten aus
einem beliebigen Punkte...................................19
19. Polarcnrven eines Ebenenbüschels und Pole einer Ebene . . 21
20. Ordnungszahl der Reciprokalfläche einer Fläche.............—
22. Die Discriminante der Fläche und ihre Doppelpunkte oder
Doppelcurven..............................................22
23. Die quadratische Polarfläche eines parabolischen Punktes ist
ein Kegel.................................................23
24. Die Hesse’sche Determinante und die conjugierten Kernflächen 24
25. Die stationären Tangentenebenen durch einen Punkt ... 25
26. Die Berührung der in einer Fläche liegenden Geraden mit der
Curve der parabolischen Punkte............................26
II. Krümmung der Flächen.
27. Krümmung der ebenen Schnitte durch einen Punkt, insbeson-
dere des Normalschnittes...................................28
30. Hauptschnitte und Kauptkrümmungsradien ; die Formel von
Euler.....................................................30
VIII
I
Artikel. Seite.
32. Das Theorem von Meunier , 33
33. Zwei Kugeln mit stationärer Berührung...................34
3‘4. Die Werthe der Hauptkrümmungsradieu in einem beliebigen
Punkte der Fläche; die Punkte entgegengesetzt gleicher Haupt-
krümmungsradien ......................................35
35. Krümmungsradius eines durch seine Richtung bestimmten Nor-.,
malschnittes ...................................................37
36. Richtungen der Hauptschnitte eines Punktes..............38
37. Bedingungen für einen Kreispunkt; Linien sphärischer Krüm-
mung ..................... ...............................39
38. Die Anzahl der Kreispunkte einer Fläche.................41
39. Stationäre Berührung zweier Flächen ist Berührung in zwei
benachbarten Punkten........................................... 44
40. Benachbarte Normalen, welche sich schneiden; Bertrand’s
Theorie der Krümmung.....................................—
42. Die Krümmungslinien der Flächen.........................47
43. Ihre Differentialgleichung, insbesondere für das Ellipsoid . . 48
44. Das Theorem von Dupin...................................51
45. Vom gleichwinkligen Durchschnitt zweier Flächen nach einer
Krümmungslinie..........................................52
46. Die abwickelbare Fläche der Normalen längs einer Krümmungs-
linie und die Hauptkrümmungscentra.........................53
47. Eigenschaften der Fläche der Hauptkfümmungscentra ... 54
48. Definition einer geodätischen Linie.....................55
49. Geodätische Linien der Fläche der Hauptkrümmungscentra . 57
50. Die Kriimmungstheorie in der Bezeichnung von Monge ... —
52. Ein Theorem von Joachimsthal über ebene Krümmungslinien 61
53. Krümmungsradien der Normalschnitte......................62
Kapitel II.
Gewundene Curven und abwickelbare Flächen.
I. Projeetivische Eigenschaften.
54. Analytische Darstellung einer Curve im Raume....................65
56. Riehtungscosinus der Tangente einer Curve.......................67
57. Der Zusammenhang der Curven und abwickelbaren Flächen 68
58. Die abwickelbare Fläche als Enveloppe einer Ebene ... 70
59. Enveloppe einer Geraden in der Ebene und einer Ebene im
Raume ..........................................................71
61. Eigenschaften einer developpabeln Fläche, ihre Characteristik 74
62. Die Rückkehrcurve der Developpabeln.............................75
63. Stationäre Punkte und stationäre Ebenen des Systems ... 76
64. Die Cayley’schen Gleichungen und ihre Abhängigkeit von denen
Pliicker’s für ebene Curven (Vergl. Anhang p. 559) .... 77
67. Die Enveloppe von (a, b, c, . . . ) (t, 1) = 0 als Beispiel . 83
II. Classification der Curven.
69. Das Princip der Classification und seine Anwendung auf Linien
ersten und zweiten Grades . . ...............................88
71. Die Curve dritter Ordnung nach ihrer Entstehung; als be-
stimmt durch sechs Punkte..................................89
73. Ihre Schnittpunkte mit den Erzeugungen des einfachen Hyper-
boloids ........................................................91
Artikel. _ Seite.
74. Die Punkte des Systems in den drei durch einen Punkt
gehenden Ebenen des Systems bestimmen eine Ebene, die
diesen Punkt enthält...................................92
75. Grundlagen der analytischen Behandlung............95
76. Die Curve dritter Ordnung als Durchschnittsort der entspre-
chenden Ebenen projcctivischer Büschel.......................96
77. Doppelschnittverhältnissgleichheiten ........................97
78. Die Schnitte der Ebenen des Systems mit seiner abwickel-
baren Fläche; Ort ihrer Centra ..............................99
79. Vier Species der Curven dritter Ordnung; Umdrehungshyper-
boloide, die sie enthalten..................................100
80. Charactere der Durchschnittscurve zweier Flächen; schein-
bare Doppelpunkte...........................................102
82. Wirkliche Doppelpunkte ; Durchschnitte berührender Flächen 105
83. Relationen der Characteristica der beiden Theile einer com-
plexen Sclmittcurve.........................................107
85. Zwei Familien der Curven vierter Ordnung; Curvett der ersten
Familie ohne Doppelpunkt . . ..............................108
86. Die beiden Fälle der Berührung......................110
87. * Die entsprechende Abwickelungsfläche als Enveloppe der
Tangentenebenen zweier Directrixen ........................111
88. * Ihre Reciprocität zur Durchschnittscurve zweier Flächen
zweiten Grades und ihre speciellen Fälle...........115
89. Die zweite Familie der Curven vierter Ordnung .... 116
90. Ihre Bestimmung durch acht Punkte des Raumes .... 119
91. * Drei Familien der Curven fünfter Ordnung..........120
92. Von der Zahl der Schnittpunkte dreier Flächen, welche eine
ihnen gemeinschaftliche Curve absorbiert...........122
93. Wenn in einer complexen Curve der eine Theil singulär in
der einen Fläche ist, in wie viel Punkten schneidet er den
undern?.................................................. 123
94. Zusammenhang der Singularitäten beider Curven .... 124
III. Nicht-projectivische Eigenschaften der Curven.
(Vgl. Anhang p. 553 bis p. 558).
95. Grundformeln für unendlich nahe benachbarte Gerade . . 125
96. Tangente, Normalebene, Haupt- und Bi-Normale einer Curve 126
97. Die Osculationsebene........................................127
98. Die Schraubenlinie als Beispiel; die sphärische Ellipse . . 128
99. * Die Osculationsebene für den Durchschnitt zweier Flächen 131
100. Andere Form derselben und Beispiel . 133
101. * Die Punkte stationärerBerührung für denDurchschnitt zweier
Flächen....................................................134
102. Der Kriimmungskrois und die abwickelbare Polarfläche . . 137
103. Der Contingenzwinkel der Berührung und der Krümmungs-
radius ....................................................—
104. Das Krümmungscentrum.......................................139
105. Der Krümmungsradius des Durchschnittes zweier Flächen . —
106. Der Torsionswinkel.........................................141
107. Der Schmiegungskegel...........................՛ 143
108. Die rectificierende Fläche und Linie.........................—
109. Winkel der benachbarten Krümmungsradien....................145
110. Die abwickelbare Polarfläche und die Evoluten der Curve . 147
112. Der Ort der Krümmungscentra................................149
X
Artikel. Seite.
113. Die Schmiegungskugel; ihr Radius, Beispiele...........150
114. Die Schmiegungskugel; ihr Centrum; Beispiele; Literatur
(Vergi. Anhang p. 553)................................. 151
115. * Ordnungen gewisser Flächen..........................153
IV. Die.Curven auf den Flächen.
116. Die geodätische Linie; das Princip von Gauss sammt An-
wendungen ...............................................154
119. Der Radius der geodätischen Krümmung..................157
120. Die geodätischen Linien auf den Flächen zweiter Ordnung 158
122. Der Joachimstharsehe Satz aus den Differentialgleichungen 162
124. Die Gleichwerthigkeit der Constanten pD für alle durch den-
selben Kreispunkt gehenden geodätischen Linien; ihre Con-
sequenzen nach M. Robei’ts.........................165
125. Für alle dieselbe Krümmungslinie berührenden geodätischen
Linien................................................167
126. Die Gleichung pD — cohst. in der Form von Liouville . . —
127. Durchschnittsorte geodätischer Tangenten einer Krümmungs-
linie .................................................. 168
129. Die Tangenten einer geodätischen Linie berühren eine con-
focale Fläche . 170
131. Die nach einer geodätischen Linie umgeschriebene Abwicke-
lungsfläche ............................................ 172
132. Chasles’s Erweiterung des im Art. 124 gegebenen Theorems
von M. Roberts .............................................—
133. Elliptische Coördinaten.................................. 173
134. Das Bogenelement einer Curve auf der Fläche...............174
135. Das Flächenelement..........................................—
136. Das zweite Integral der Gleichung der geodätischen Linie . 175
137. Die Rectification der geodätischen Linie..................176
138. Die geodätischen Polar-Coordinaten........................177
139. Das Curvenelcment im System derselben und ein Analogon
zur sphärischen Trigonometrie.............................178
141. Die Krümmungslinie als Ort der Spitze eines Dreiecks über
der Entfernung zweier Kreispunkte.........................180
142. Hart’s Beweis der Ausdrücke von M. Roberts und die einer
Krümmungslinie umgeschriebenen geodätischen Polygone . 181
143. Die geodätischen Linien aus den Kreispunkten ; Sätze von
Hart nach Beweisen von M. Roberts.........................183
145. Von den Niveaulinien......................................187
146. Von den Falllinien .........................................—
V. Die Theorie der Krümmung und Deformation der Flä-
chen und die der geradlinigen Strahlensysteme.
147. Die Definitionen der Gauss’schen Krümmengstheorie . . . 189
148. Das Krümmnngsmaass in analytischer Ausdrucksform (Vergi.
Anhang p. 560)..............................................—
150. Das Krümmungsmaass bleibt bei jeder Deformation unver-
ändert ..................................................191
151. Die Grösse lì4 als Function von E, F, O...................193
152. Das absolute Glied der Gleichung der Hauptkrümmungs-
halbmesser in derselben Darstellung........................—
153. Das Krümmungsmaass in ihr.................................195
XI
Artikel. ։ Seite.
154. Zwei besondere Curvensysteme auf der Fläche; der Special-
fall der geodätischen Polarcoordinaten....................198
155. Die totale Krümmung eines geodätischen Dreieckes einer
Fläche nach Gauss................. ........................202
156. * Von der Deformation der Flächen. Der Fall E = G =a 0,
F = 21.....................................................203
157. * Der Fall E — 1, F = 0; Analyse nach Bour..........206
159. * Geometrische Bedeutung der eingeführten Functionen . . 210
160. * Theorie der geradlinigen Strahlensysteme nach Kummer . 212
161. * Die kiirzestsn Abstände unendlich naher Strahlen .... 214
162. * Die kürzesten Abstände an den Grenzpunkten..............215
163. * Brennpunkte und Mittelpunkt eines Strahles; Focalebenen 217
164 * Die dem Strahlensysteme verbundenen Flächen..........220
165. * Das Dichtigkeitsmaass des Strahlensystems . .............223
166. * Der Drehungswinkel unendlich naher Strahlen.............226
167. * Die Brennlinie unendlich dünner Strahlenbündel und die
Hauptstrahlen .............................................229
168. * Zusammenhänge mit der Theorie der Krümmung der Flächen
(Vergi. Anhang p. 560).................................... 231
• Kapitel III.
Von den Familien der Flächen.
169. Uebersicht; partielle Differentialgleichung einer Familie . 234
170. Gleichungen, welche eine arbiträre Function enthalten . . 235
173. Cylinderfiächen; Beispiele..............................238
174. Kegelflächen......................................*. . 240
175. Conoidflächen ; Beispiele...............................243
176. Umdrehungsflächen (Art. 178*).......................... 245
179. Differentialgleichung einer Familie, welche zwei arbiträre
Functionen enthält......................................249
182. Flächen, welche durch eine stets einer festen Ebene parallele
Gerade erzeugt werden...................................253
184. Flächen, welche durch eine Grade erzeugt werden, die eine
feste Achse stets schneidet.............................256
186. Differentialgleichung der Kegelflächen..................259
187. Theorie der Enveloppen..................................261
189. Die Bestimmung der arbiträren Functionen................264
191. Einige Beispiele........................................267
193. Die Enveloppe einer Fläche, deren Gleichung drei durch
zwei Relationen verbundene Constanten enthält .... 269
194. Die Differentialgleichung der Developpabeln und die
llesse’sche Fläche derselben............................270
195. Röhrenfläehen.................................·. . . . 272
196. Die Enveloppe von Flächen mit vier oder mehr Parametern —■
197. Die Differentialgleichung der Characteristiken..........273
198. Andere Form derselben und erweiterte Bedeutung ; Beispiele;
geodätische Linie eines Kegels..........................275
200. Die Characteristik aus einer Gleichung zweiter Ordnung . 280
202. Verallgemeinerung der Theorie der conjugierten Tangenten 282
203. Regelflächen; ihre Tangentenebenen......................288
204. Das Doppelverhältniss des Tangentenebenenbüschels und der
Reihe der Berührungspunkte..............................289
205. Das längs einer Erzeugenden berührende Hyperboloid; Bei-
spiel . 290
— XII —
Artikel. Seite.
207. Die Doppelcurve der windschiefen Regelflächen................292
208. Der umhüllende Kegel einer Kegelflüche.......................293
209. Die Regelfläche mit drei festen Leitcurven 294
213. Die Involution der Punkte der Berührung und des normalen
Schnittes in einer Erzeugenden...............................298
214. Das hyperbolische Paraboloid der Normalen längs einer Er-
zeugenden .....................................................—
215. Die Strictionslinie der Regelflächen.........................300
216. * Von der Deformation der Regelflächen.......................301
217. * Die windschiefen und die developpabeln Flächen; die Cur-
ven der scheinbaren Umrisse .................................304
218. * Die allgemeinen Gleichungen des Problems...................305
219. * Ueber die Krümmungsverhältnisse bei der Deformation . . 307
221. * Die Transformation der Erzeugenden zu Hauptnormalen
einer orthogonalen Trajectorie...............................310
222. * Von den Schrauljen-Regelfläehen............................312
223. * Ueber die Regelflächen mit Richtungsebene und die Conoid-
flächen .....................................................315
Kapitel IV.
Von den Flächen, welche aus Flächen zweiter Ordnung abgeleitet
werden.
224. * Mannichfaltigkeit dieser Flächen.........................317
225. Die Wellenfläche von Fresnel; ihre Entstehung aus dem
Ellipsoid....................................................318
226. Die singulären Punkte der Wellenfläehe.......................319
227. Von den Apsidalflächen .................................... 320
228. Allgemeine Eigenschaften derselben...........................321
230. Die reciproké Polare der Apsidalflächc.......................322
231. Die singulären Tangentenebenen der Wellenfläche .... 323
233. Nene Gleichungen der Wellenfläche.............................325
235. Eigenschaften der Wellenfläche und eine neue Gleichung
derselben....................................................328
240. Die Reciproké der Wellenfläche und ihre Gleichung . . . 332
241. * Die Flächen vierter Ordnung mit sechzehn singulären
Punkten haben auch sechzehn singuläre Tangentenebenen 334
242. * Ihre allgemeine Gleichung..................................335
243. * Ihre Beziehung zur Theorie der Strahlensysteme .... 337
244. Die Parallelflächen der Fläche zweiten Grades................339
245. Die Fusspunktflächen, die Reihe derselben und ihre Bezie-
hung zu den inversen Flächen ................................340
246. Eigenschaften der inversen Flächen...........................343
247. Die erste positive und die erste negative Fusspunktfläche
des Ellipsoides .............................................345
249. Die Beziehung der ersten negativen Fusspunktfläche zur
Parallelfläche...............................................347
250. * Die Cyclide von Dupin......................................349
251. * Die Flächen vierter Ordnung, welche Schaaren von Kegel-
schnitten enthalten........................................ 350
252. * Die Schaaren der Kegelschnitte liegen in nicht berühren-
den Ebenen...................................................351
253. * Sic liegen in einfach berührenden Ebenen; Steiner’sche
Fläche.......................................% . . . . 353
255.* Sie liegen in zweifach berührenden Ebenen *...............357
t
— XIII —
Artikel. Seite.
257. * Das Normalenproblem der Flächen zweiten Grades in seiner
allgemeinen Form nach Clebsch.........................359
258. * Der Ort der Punkte, für welche zwei Auflösungen znsam-
menfallen . ...................................361
261. * Algebraische Auflösungen des Problems...................366
262. * Die Punkte von je drei zusammenfallenden Lösungen . . 367
263. * Die Punkte von je zwei Paaren zusammenfallender Lösun-
gen; fernere für je drei..................................370
266. * Die Punkte von je vier zusammenfallenden Lösungen . . 374
267. * Die Punkte von je drei Paaren zusammenfallender Lösun-
gen ......................................................376
268. * Punkte von je zwei und drei zusammerifallenden Lösungen 377
270. * Die sechs Geraden, welche dem Problem entsprechen, liegen
auf einem Kegel zweiten Grades............................380
Kapitel V.
Von den Flächen dritter Ordnung.
271. Die Fläche dritter Ordnung und ihre Reciprokalfläche . . 383
272. Von den singulären Punkten oder Linien der Fläche und
den Regelflächen dritten Grades...........................384
273. Ihre Polarflächen und die besonderen Schnitte zweiten Gra-
des in ihr ................................................387
274. Ein besonderer Fall.......................................389
275. Eine Fläche dritter Ordnung kann nicht mehr als vier Doppel-
punkte haben; Beispiele . ... t.....................390
276. Die Flächen dritter Ordnung ohne singuläre Punkte und die
canonische Form ihrer Gleichung...........................392
277. Die conjugierten Kernflächen desselben fallen zusammen . 393
278. Von entsprechenden Punkten der Kernfläche.................394
279. Das Pentaeder von Sylvester und Steiner...................395
280. * Die analytische Untersuchung desselben von Clebsch . . 397
282. * Die Gleichung der Knotenpunkte in Ebenen-Coordinaten . 400
283. * Ihre Auflösung durch eine Gleichung fünften Grades . . . 403
284. * Eigenschaften des Pentaeders...................... . . 406
285. * Die Reduction der allgemeinen Gleichung auf die canonische
Form......................................................409
286. Die Polarfläche einer Ebene als eine Fläche dritter Ord-
nung mit vier Doppelpunkten berührt die Kernfläche . . . 411
288. Die 27 Geraden in der allgemeinen Fläche dritter Ordnung 413
289. Die dreifach berührenden Ebenen der Fläche................414
290. Die doppelt berührenden Ebenen und die Involution der
Paare der Berührungspunkte ...............................415
291. Die 27 Geraden in anderer Untersuchung ....... —
292. Die Anordnung ihres Systems von Schläfli .................418
293. Geometrische Construction desselben.........................—
294. Arten der Fläche dritter Ordnung; Beispiele...............420
295. Invarianten und Covarianten der Fläche dritter Ordnung;
allgemeine Methode .......................................423
296. Operationssymbole zur Bildung von Covarianten und Contra-
varianten .................................................426
298. Fundamentale Covarianten und Contravarianten .... 428
299. Die abgeleiten Functionen............................... 430
300. Die Fundamental-Invarianten............................. 431
301. Fernere Covarianten und die Gleichung der Fläche neunter
Ordnung, welche die 27 Geraden bestimmt.................432
— XIV — »
Artikel. Seite.
Kapitel VI.
Allgemeine Theorie der Flächen.
302. * Ueber die Bestimmung der Flächen durch Punkte. Selmitt-
curve von zwei Flächen nter und mter Ordnung .... 43G
303. * Schnittpunkte von drei Flächen tvon den Ordnungen n, n
und m....................................................437
305. * Schnittpunkte von drei Flächen von den Ordnungen m, m
und n....................................................441
306. * Schnittpunkte von drei Flächen von den Ordnungen /, m
und n . . ,..............................................442
307. * Ueber die Ordnung von Systemen| von Gleichungen; einlei-
tende Beispiele.................................. . . . 444
310.* Die Ordnung der durch ein System von Flächen bestimmten
Raumcurve.................»..............................447
312. * Die Ordnung der bezüglichen abwickelbaren Fläche . . . 450
313. * Die Zahl der Durchschnittspunkte, die einem System von
Flächen gemeinsam sind...................................451
314. * Die Doppelpunkte der durch eine symmetrische Determinante
bestimmten Fläche........................................452
315. * Das Gewicht eines Systems von Gleichungen..............454
316. * Ordnung und Gewicht des Systems von Bedingungen, unter
welchen zwei Gleichungen zwei gemeinsame Wurzeln besitzen 456
317. * Das System für drei gemeinsame Wurzeln . . . . . . 458
318. * Das System der Bedingungen, unter welchen drei Gleichun-
gen eine gemeinsame Wurzel haben........................459
320. * Ordnung einer Regelfläche, deren Erzeugende die Durch-
schnittscurve zweier Flächen dreifach schneiden .... 461
321. * Zahl der Geraden, welche jene Curve vierfach schneiden . 462
322. Der Ort der Punkte, deren Polarebenen in Bezug auf vier
Flächen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben .... 465
323. Der Ort der Punkte, deren Polarebenen in Bezug auf drei
Flächen eine gemeinsame Gerade enthalten.................467
324. Characteristik verschiedener Regelflächen und Abwickelungs-
flächen ...................................................469
325. Von den singulären Tangenten und ihren Berührungspunk-
ten; Uebersicht............................................472
326. Der Ort der Punkte vierpunktiger Berührung...............473
327. Clebsch’s Berechnung der Fläche 5........................474
334. Die Fläche S berührt die Hesse’sche Determinantenfläche H
längs einer Curve........................................483
335. Beziehungen dieser Curve zu der Curve der Wendepunkte
uud der Curve der vierpunktigen Berührungen..............484
336. Die Fläche der vierpunktig berührenden oder Doppelin-
flexionstangenten .........................................486
337. Die Inflexionstangenten mit nochmaliger einfacher Berührung
und ihre Fläche .... -...................................487
339. Die Berührungspunkte der dreifachen Tangenten und ihre
Fläche...................................................488
340. Die Probléme von den Tangenten, welche vier Bedingungen
erfüllen; Uebersicht.....................................489
341. Punkte fünfpunktiger Berührung...........................490
342. * Doppelpunkte der Curve vierpunktiger Berii%ung nach
Clebsch . . .............................................491
XV
Artikel. Seite.
344.* Ein allgemeiner Satz und seine Anwendung auf die Flächen
dritter Ordnung .............................................494
346.* Geometrische Interpretation des Curvensystems, welches die
Doppelpunkte bestimmt................................. . . 497
348. Von den singulären Tangentenebenen; Uebersicht .... 500
349. Allgemeine Relation, die die Schnittpunkte der Fläche mit
einer durch drei Punkte gehenden Ebene bestimmt . . . 501
350. Die Doppeltangentenebenen . . . ·............................502
352. Die entsprechenden Abwickelungsflächen.......................505
353. Theorie der Reciprokalflächen; erste Gruppe der Grund-
formeln ....................................................507
355. Die Reciproké der Fläche dritter Ordnung.....................509
356. Die Reciproké der Fläche nter Ordnung; die Zahl der drei-
fachen Tangentenebenen......................................511
357. Zweite Gruppe der Grundformeln...............................513
358. Die Verminderung der Ordnungszahl der Reciprokalfläche
durch die Singularitäten der Originalfläche..................515
359. Andere Form der Grundformeln.................................517
360. Zweite Methode der Untersuchung der Reduction der Ord-
nung der Reciprokalfläche...................................518
361. Prüfung der Theorie an den developpabeln Flächen; Bei-
spiele ................................................... 520
362. Beispiele von der Theorie der Regelflächen...................523
363. * Zur allgemeinen Theorie der Regelflächen; Vielfachheit der
Leitcurven...................................................525
3G4.* Das Problem von der Anzahl der vier Curven schneidenden
Geraden; einfache Fälle......................................526
365. * Der allgemeine Fall . . . .................................527
366. * Specialfälle; die Zahl der Geraden, welche eine Curve vier-
fach schneiden; Anzahl der singulären Erzeugenden . . . 529
367. * Specialfälle von der Ordnung der Regelflächen..............532
368. * Die Doppelcurven der Regelflächen in besonderen Fällen · 535
369. * Functionaluntersuchung zur Bestimmung der Doppelcurve
im allgemeinen Falle.........................................538
371. * Die Schnitte der Erzeugenden mit den singulären Linien-der
Regelfläche..................................................543
372. * Die Hesse’sehe Determinante für Regelflächen...............544
373. * Die Determinantenfläche der Developpabeln; insbesondere
derjenigen vierter Ordnung...................................545
374. * Eiiife specielle Developpable fünfter Ordnung, und eine solche
sechster Ordnung.............................................547
377 * von den Coördinaten eines Punktes der Fläche .... 551
Zusätze.
I)* Zu den Abschnitten des II. Kapitels.........................553
II) * Zn den Kapiteln III, IV, V.................................561
III) l eber die Systeme der Orthogonalflächeu....................562
* Die Formeln von Lame........................................570
IV) * Zur Theorie der Inversion und der Orthogonalflächen . . . 577
V)* lieber den Quaternionen-Calcul............................ 579
XVI
Artikel.
VI)* lieber die Invarianten und Covarianten der Systeme von
Flächen zweiten Grades................................. .
§ 1, 2. Die Invarianten des einfachen Systems und ihre Bedeutung
§ 3. Die Invariante der Berührung zweier Flächen und die Parallel-
fläche .........................................................
§ 4. Die stationäre Berührung und die Fläche der Centra . . .
§ 5. Die einem Tetraeder eingeschriebenen und die seine Kanten
enthaltenden Flächen.....................................
§ 6. Die Beziehungen einer Kegelfläche zu Flächen zweiten Grades
§ 7, 8. Der imaginäre Kreis und die speciellen Hyperboloide
S 9, 10. Die Tangentialgleichung eines ebenen Schnittes und der
Berührungskegel nach einem solchen....................
§ 11. Die Contravarianten des einfachen Systems ......
§ 12. Die Covarianten desselben.................................
§ 13. Die Contravariante und Covariante des Systems von Linien
zweiten Grades, die Réduction der Gleichungen auf die Nor-
malform ........................................................
§ 14. Die Polarflächen..........................................
§ 15. Die gemeinschaftlich umgeschriebene Developpable . . .
§ 16. Die Tangentialgleichung der Dnrchdringungscurve . . .
§ 17, 18. Die Tangentenfläche derselben.........................
§ 19, 20. Concyklische und confocale Flächen; die Durchschnitts-
örter orthogonaler Berührungen.................................
§ 21, 22. Die Eigenschaften confocaler Flächen und die Focal-
curven ..............................................
§ 23, 24, 25. Der imaginäre Kreis ; die Bedingung der Orthogona-
lität, die Gleichung der Kugel in tetraedrischen
Coordinaten......................................
§ 26, 27. Die Invarianten der ebenen Schnitte und die Brenn-
punkte der Kegelschnitte.......................................
§ 28. Die Brennpunkte ebener Schnitte...........................
§ 29. Die Jacobi’sche Fläche des Systems von vier Flächen zwei-
ten Grades......................................................
§ 30. Die Réduction der Gleichungen zweier Flächen auf die
Normalform...............................................
§ 31, 32. Die Discriminante des Systems von drei Flächen; zwei
Invarianten desselben..........................................
Seite.
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NB. Die mit einem Stern bezoichneten Artikel oder Absehnilte sind im Original
nicht enthalten.
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