Cours d'analyse de l'École Polytechnique: 2. Calcul intégral
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1883
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DEUXIÈME PARTIE.
CALCUL INTÉGRAL.
INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES.
CHAPITRE I.
INTÉGRALES INDÉFINIES.
1. — Procédés d’intégration.
Numéros Pages
1-3. Intégration immédiate............................................ i
3-4. Décomposition en éléments simples................................ 4
5-6. Changement de variable........................................... 5
7-9. Intégration par parties.......................................... 6
II. — Intégration des fractions rationnelles.
10-19. Décomposition en fractions simples. — Exemples............... 9
I II. — Intégration des différentielles algébriques.
20-22. Intégration des différentielles dépendant d’une courbe unicur-
sale. — Exemples............................................. iq
23-25. Différentielles binômes. — Cas d’intégrahilité. — Formules de
réduction.................................................... ai
26-30. Intégration de f{x, fh-X’+ sKæ ¡-C )dx........................ a3
31. Intégration de f(x, fax 4- b, cx -!- d)dx.................... ag
IV. — Intégrales elliptiques et hyperelliptiqu.es.
32-39. Formules de réduction........................................... 29
40-47. Réduction des intégrales elliptiques............................ 37
V. — Intégration des fonctions transcendantes.
48. Intégration de/(e )........................................... ¡5
49-50. Intégration de/(sina;, casx) dx................................ 46
♦
vin
TABLE DES MATIÈRES.
Numéros Pages
51. Intégration de ƒ (x, ea։, ..., cosxx, sinaa;, ...) dx........... 49
52. Réduction desintégrales J f(x)eP*dx................*........... 5o
53. Des intégrales / ƒ(x, loga;) dx, f ƒ (a?, arc sinx)dx.......... 5։
CHAPITRE II.
INTÉGRALES DÉFINIES.
I. — Définitions.
54-GO. Définition et propriétés fondamentales des intégrales définies.
— Leur interprétation géométrique.......................
61. Cas où la fonction ou le champ d’intégration deviennent infi-
nis. — Valeur principale d’une intégrale indéterminée..... 5p
II. — Calcul des intégrales définies.
02-63. Usage de l’intégrale indéfinie............................... 62
04-65. Application à f —^ ^ dx, à f ----------------——-............. 64
-!-ƒ (a:) Ja x—*—pi
06. Décomposition en parties....................................... 08
07-70. Changement de variable. — Exemples............................. 69
71. Intégration par parties....................................... -fi
1Ç
72. Application à j sinxdx. — Formule de Wallis.................... 70
■A)
73-74. Application 4 J (1 — .r։) ‘coszxdx.—Incommensurabilité
de -...................................................
III. — Calcul approché des intégrales définies.
75. Limites de la valeur d’une intégrale définie. — Théorème de la
moyenne.................................................. 80
76-77. Caractères pour reconnaître si une intégrale est finie et déter-
minée............................................................. 82
78-81. Applications............................................... 86
82. Second théorème de la moyenne.............................. 89
83-85. Développement d’une intégrale en série. — Intégration et dif-
férentiation des séries........................................... 92
86. Développement de arc sin tu....................-......... g3
87-89. Développement de / —------1 ...................... 94
•Ai V1 — A “sin2®
90-92. Transformation de Landen................................... g5
93. Règle de convergence pour les séries...................... 98
TABLE DES MATIÈRES.
IX
fluméro* Pases
94-98. Formule d Euler............................................... 99
99-108. luterpolatïon. — Méthodes de dotes et de Gauss. — Méthode
des trapèzes. — Formule de Simpson....................... ։o5
IV. — Applications géométriques.
109-114. Aire des courbes planes. — Parabole, hyperbole, cycloïde,
ellipse. — Aire d’une courbe fermée...................... 112
115. Aire en coordonnées polaires............................... 119
116-120. Rectification des courbes. — Cycloïde, parabole, ellipse.... 120
120. Rectification des courbes gauches............................ 128
CHAPITRE III.
INTÉGRALES MULTIPLES.
121-124. Volumes. — Définition et mode de calcul — On peut renver-
ser l’ordre des intégrations.......................................... 124
125. Volume du tétraèdre trircctanglc............................. i3o
120-127. Volume en coordonnées curvilignes. — Application au solide
de Viviani............................................... j 31
128-130. Aire des surfaces courbes................................... i35
131. Aire et volume des surfaces réglées.......................... 137
132. Aire et volume des surfaces de révolution.................... i3S
133-13G. Aire et volume de l’ellipsoïde.............................. 138
137-141. Masses, centres de gravité, moments d’inertie. Leur calcul
par des intégrales triples................................ i4i
142. Moment d’inertie d une sphère............................... 145
143-146. Intégrales multiples. — Changements de variables............ 146
147-150. Définition des intégrales multiples, quand la fonction ouïe
champ d’intégration deviennent infinis. — Condition d’exis-
tence do l’intégrale.................................................. i4q
151-153. Exceptions aux théorèmes démontrés sur les intégrales mul-
tiples. — Démonstration donnée par Gauss de l’existence
d’une racine pour toute équation algébrique.......................... 154
CHAPITRE IV.
DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DEFINIES.
I. — Différentiation et intégration sous le signe j.
154-155. Différentiation par rapport, aux limites................... i58
156-162. Différentiation par rapport à un paramètre.................. i5g
163. Intégration sous le signe ƒ...................................
164-165. Intégration des différentielles totales................... 16,4
X
TARLE DES MATIÈRES.
¡Numéros.
1(56-107.
168-160.
170-172.
173-174.
175.
176.
177.
178-182.
183-185.
186-187.
188-189.
190-101.
192-199.
‘200-202.
203-206.
207-210.
211-215.
4.
Calcul de f e-* dx, de f yM dv.................
J 0
/*» r*
Calcul de / e֊*r cosïbydy, do / e **dx
J o ł/o
/ »« gi.v
Calcul de j —pz dx.............................
J o x
/•”/As “ Rp f»
Calcul de f ---՝—“I----h...jdx...........
II. — Intégrales eulériennes.
Différentes formes de l’intégrale r (/i)...................... J77
Son expression par un produit infini.......................... J78
r(re-|֊i) - nT(n)............................................. ։8°
Expression de logT (n ) par une intégrale définie. — Son dé-
veloppement en série.....................................:.. 180
Théorème de Bernoulli......................................... i87
Intégrale eulérienne de première espèce. — Son expression
par les fonctions T......................................... ։9°
Réduction de l’intégrale
ffff[(¿)m+(bfH ¿) ՝y^y-՝^՝dxdyds·
— Moment d’inertie de l’ellipsoïde............ 192
III. — Potentiel■
Définition du potentiel. Son équation aux dérivées partielles
pour un point extérieur à la masse attirante.............. 19 f
Cas du point intérieur....................................... 196
Réduction à des intégrales doubles quand la densité est con-
stante...................................................... 202
Attraction d’un ellipsoïde homogène. — Cas d’une sphère... 204
Potentiel d’une surface. — Discontinuité de l’attraction.... 20S
Théorèmes de Crcen........................................... 212
rages
167
1(1,8
170
174
CHAPITRE V.
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE.
I. — Formules de Fourier.
216-222. Théorème de M. du Bois-Reymond.................
223-229. Intégrales de Fouricr..........................
230-231. Intégrales analogues formées avec les fonctions X,
216
220
226
TABLE DES MATIÈRES.
XI
IT. — Séries trigonomètriques.
Numéros Pages
232. Développements en sinus et cosinus.— Calcul des coefficients. 228
233-235. Sommation des séries obtenues........................... 280
236-238. Autres développements analogues......................... 234
III. ■— Fonctions de Laplace.
239-242.
243-248.
249-251.
252-255.
Définition et propriétés fondamentales................
Développement d’une fonction de deux angles en fonctions de
Laplace..............................................
Développement d’une fonction d’une seule variable en fonc-
tions de Legendre.....................................
Développement suivant les réduites de l’in
tégrale f
a
.Z (g) dz
X — z
236
2. |0
244
248
CHAPITRE VI.
VARIABLES IMAGINAIRES.
I. — Fonctions d’une variable imaginaire.
256-257. Définition. — Interprétation géométrique......................... 282
258-260. Étude des fractions rationnelles. — Des fonctions et---------25G
. I
sin -
261-265. Élude de logz et de (z — a)m................................... 267
266-272. Fonctions algébriques............................................ 264
273-274. Fonctions monodromes ou non monodromes — Points cri-
tiques, leur classification................................................. 270
IL — Intégrales des Jonctions monodromes.
275-278. Intégrales définies. — Leurs propriétés élémentaires.......
279-284. Déformation de la ligne d intégration. — Théorème des rési-
dus.................................................................
285-286. Cas où l’intégrale prise sur un cercle de rayon infiniment
petit ou infini est nulle..................................
287. Valeur principale de / f{x)dx.........................
_ «0
288. Application à n rpa~
1 --dx...............................
/*» «e
289. Valeur principale de / e *f(x)dx.....................
»֊ - «
290. Application à f 2dx..... .......................
291. Calcul te J՝ e-(S cos 2 atdt..............................
ao
292-2 JC. expression des fonctions X„ par des intégrales définies
2C2
270
283
284
288
289
290
291
293
XII
TABLE DES MATIÈRES.
III.__ Théorèmes généraux sur les fonctions monodromes.
Numéros
297-300.
301-302.
303-304.
305-300.
3U7-309.
310.
311.
312-314.
315-317.
318-321.
322-323.
Pages
Expression d’une fonction arbitraire et de ses dérivées par
des intégrales définies...................................
Série de Taylor.............................................
Série de T.aurent...........................................
Zéros et pôles des fonctions monodromes. ■— Leur degré de
multiplicité est entier.....................................
yrj-^jdz. — Existence des racines
des équations algébriques.................................
Série de Lagrange...........................................
Série de Fourier............................................
Toute fonction sans point critique est une constante. — Une
fonction qui n’a que des pôles est rationnelle............
Fonctions entières. — Théorème de M. Weierstrass..........
Fonctions méromorphes. — Théorème de M. Millag-Lefller.
Fonctions qui ont n valeurs et dont, les points critiques sont
algébriques.................................................
297
3oo
3o2
3o. (
3o5
3o7
3io
3i2
3«i
3i7
322
IV. — Fonctions doublement périodiques.
324-326. Une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux pé-
riodes distinctes................................................. 324
327-330. Construction d’une fonction doublement périodique par ses
zéros et ses pôles..................................... 3a8
337-338. Théorème de M. Hermite................................... 333
339-342. Relation entre deux fonctions ayant les mêmes périodes. —
Entre une fonction doublement périodique et sa dérivée... 335
CHAPITRE VII.
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
I. — Intégrales des fonctions algébriques.
343-345. Diverses valeurs de l’intégrale d’une fonction algcbri (ue-- 33g
346. Application à l’intégrale elliptique de première espece...... 343
347-349. Théorème d’Abel............................................. 345
359-351. Application à l’intégrale elliptique........................ 34g
·*
IL — Définition et premières propriétés des fonctions elliptiques.
352-353. Définition des trois fonctions elliptiques.................. 35a
354-356. Elles sont méromorphes et doublement périodiques.........,.. 354
357-358. Résolution des équations sn « - su ot, eau — on a, dn« = dna.
■— Zéros et pôles des trois fonctions..................... 358
TABLE DES MATIÈRES* XIII
Numéros Pages
359-363. Valeur de sn^M-t-^, sn^ii + ֊-^ etc......................... 36i
3(14-367. Propriétés des périodes. — Périodes elliptiques............ 365
368. Cas où le module est réel, positif et i...................... 369
309-372· Addition des arguments. — Multiplication..................... 371
III. — Développements des fonctions elliptiques.
373. Développement par la série de Maclaurin....................... 3^5
374-376. Développement par la série de Pourier........................ 876
377-378. Développement eu série de fractions.......................... 38i
379-389. Expression des fonctions elliptiques par les fonctions 6.... 38?.
390-392. Relations entre les fonctions 6. — Nouvelle démonstration
des formules d’addition.................................. 3g4
IV. — Transformation.
393-393. Énoncé du problème. — Relations entre les périodes.. 397
395. Simplification du problème.................................... 398
397-400. Transformations du premier degré............................. 399
401-403. Transformations du premier degré pour les fonctions 0. |o3
404. Division de la première période par 2....................... 4°6
405. Division de la deuxieme période par a....................... 4°6
406. Division de la première période par un nombre impair. 411
407. Division de la deuxième période par un nombre impair..... 41¡í
408. Multiplication de l’argument................................ 4J4
409- 415. Division de l’argument..................................... 4՝6
410- 420. Équation modulaire......................................... 422
V. — Intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce.
421-423. Intégrale de seconde espèce.................................. 426
424-420. Intégrale de troisième espèce................................ 4a®
427. Relations entre les périodes.................................. 46։
FIN DE LA TADLE DES MATIÈRES.
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