Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen: 2 Diefunctionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen
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New York
Johnson
1912
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Iiihalts-Vcrzeiclmiss.
Seite
Einleitung. 1
Erster Abschnitt.
Taavsm ölct e\TLAeu\.\g,eu automorphen t'unctionen
einer Veränderlichen.
Erstes Kapitel.
Begriff, Existenz und Gnmdeigenschaflcn der automorphen Functionen.
§ 1. Begriffsbestimmung der automorphen Functionen. 3
8 2. Herstellung eines zum Fundamental bereich gehörenden Elemcntar-
potontials zweiter Gattung. 8
§ 3. Herstellung automorpher Functionen der Gruppe F.12
8 4. Abbildung dos Fundamentalbereichs P auf eine geschlossene Riemann’-
sche Fläche.ift
g 5. Von der Gesammtheit aller zu einer Gruppe r gehörenden automorphen
Functionen und deren Hauptoigenschaftcn.17
§ 6. Classification und nähere Betrachtung der elementaren automorphen
Functionen.21
8 7. Vorbereitungen zur Classification der höheren automorphen Functionen 26
8 8. Classification und nähere Betrachtung der höheren automorphen Func-
tionen .29
8 9. Von den Integralen der automorphen Gebilde.36
§ 10. Allgemeines Eindeutigkeitstheorem. Anwendung auf lineare Differential-
gleichungen .40
§ 11. J als linear-polymorphe Function. Die Fundamentalprobleme.48
§ 12. Differentialgleichung dritter Ordnung für polymorphe Functionen . 47
8 13. Verallgemeinerung des Begriffs der automorphen Functionen.51
Zweites Kapitel.
Formeutheoretische Ausführungen für automorphe Gebilde
des Geschlechtes null.
8 1. Gestalten der Fundamentalbereiehe bei den Gebilden des Geschlechtes
null.56
§ 2. Recapitulation über die homogenen Variabelen, Substitutionen und
Gruppen.63
§ 3. Allgemeine Begriffsbestimmung der automorphen Formen.66
X
Inhalts -Verzeichniss.
Seite
§ 4. Der Differentiationsprocess und die Hauptformen der Gebilde des Ge-
schlechtes null. 71
§ 5. Die Schar der Primformen und die Grundformen bei automorphen Ge-
bilden des Geschlechtes null. 73
§ 6. Verhalten der automorphen Formen tpafa, ) gegenüber den Gruppen-
erzeugenden . 76
§ 7. Die Grundformen bei den Gruppen der Kreisbogendreiecke. 78
§ 8. Die eindeutigen automorphen Formen und ihre Multiplicatorsystemo . 83
§ 9. Die Anzahl der Multiplicatorsysteme M bei gegebener Gruppe r. . . 87
§ 10. Beispiele zur Bestimmung der Anzahl der Multiplicatorsysteme M.
Wirkung secundärer Relationen. 93
§ 11. Darstellung aller unverzweigten automorphen Formen eines Gebildes
vom Gesehleehte null durch die Prim- und Grundformen. 96
§12. Existenztheorem eindeutiger Formen ,?։) bei gegebenem Multi-
plicatorsystem M. 99
§ 13. Beziehungen zwischen einander inversen Multiplicatorsystemen . 102
§ 14. Ganze Formen und Formen mit vorgegebenen Polen.105
§ 15. Die gj, £s als linear-polymorphe Formen der zn .109
§ 16. Andere Gestalten der polymorphen Formen. Geschichtliches.113
§17. Differentialgleichung zweiter Ordnung für die polymorphen Formen
nullter Dimension.117
§ 18. Invariante Gestalt der Differentialgleichung für die polymorphen
Formen £1։ 121
§19. Reihendarstellung der polymorphen Formen im Falle « = 3.127
§ 20. Darstellung der polymorphen Formen im Falle n — 3 durch bestimmte
Integrale.131
Drittes Kapitel.
Theorie der Poincard’schen Reihen mit besonderen Ausführungen
für die Gebilde des Geschlechtes null.
§ 1. Ansatz der Poincard’schen Reihen.138
§ 2. Erste Convergenzbetrachtung der Poincard’schen Reihen.142
§ 3. Verhalten der Poincard’schen Reihen in parabolischen Spitzen . 147
§ 4. Von den Poincard’schen Reihen (— 2)tor Dimension bei Gruppen r mit
Grenzcurven.153
§ 6. Von den Poincard’schen Reihen (— 2)*°” Dimension bei Hauptkreis-
gruppen mit isoliert liegenden Grenzpunkten.157
§ 6. Convergenz der Poincard’schen Reihen (— 2),։r Dimension bei gewissen
Gruppen ohne Grenzcurven und ohne Hauptkreis.160
§ 7. Zweite Convergenzbetrachtung im Hauptkreisfalle. Stetige Abhängig-
keit der Poincard’schen Reihen von den Gruppenmoduln.167
§ 8. Von den Polen der Poincard’schen Reihen und der Möglichkeit des
identischen Verschwindens derselben. Ausführungen für den Fall p = 0. 175
§ 9. Constrnction einpoliger Poincard’scher Reihen.178
§ 10. Einpolige Reihen mit Polen in elliptischen Ecken.183
§ 11. Einführung der Elementarformen 186
§12. Verhalten der Elementarformen ß(£l։ i։) in einem parabolischen
Zipfel.192
Inhalts-Verzeichniss. XI
Seite
§ 13. Verhalten der Klementarformen bei Ausübung von Substitutionen der
Gruppe r auf |s. Ausführungen für Gebilde des Geschlechtes p = 0 197
§14. Über die Darstellbarkeit beliebiger automorpher Formen des Geschlechtes
null durch die Elementarformen und die Poiucaré’scben Reihen . . . 204
Viertes Kapitel.
Die automorphen Formen und ihre analytischen Darstellungen
bei Gebilden beliebigen Geschlechtes.
§ 1. Recapitulation über die Gruppen beliebigen Geschlechtes p und ihre
Erzeugung. 214
§ 2. Recapitulation und Ergänzung über die Theorie der Primform bei be-
liebigem algebraischen Gebilde.219
§ 3. Die polymorphen Formen bei einem Gebilde beliebigen Ge-
schlechtes p . . 228
§ 4. Differentialgleichung der polymorphen Functionen und Formen bei Ge-
bilden mit 0.233
§ 6. Darstellung aller unverzweigten automorphen Formen einer Gruppe r
beliebigen Geschlechtes durch die Prim- und Grundformen.241
§ 6. Die eindeutigen automorphen Formen und ihre Multiplicatorsysteme
bei einer Gruppe beliebigen Geschlechtes.244
§ 7. Existenz der eindeutigen Formen bei gegebenem Multiplicatorsystem
im Falle beliebigen Geschlechtes.246
§ 8. Weiteres über eindeutige automorphe Formen bei beliebigem p. Die
p Formen d։_։(fif ).251
§ 9. Begriff der conjugierten Formen. Erweiterter Riemann-Roch’scher Satz
und Anwendungen desselben.255
§ 10. Die Poincaré’schen Reihen und die Elementarformen bei beliebigem p.
Unimultiplicative Formen.261
§11. Zweipolige Reihen (·— 2)ter Dimension und Integrale 2*er Gattung bei
automorphen Gebilden beliebigen Geschlechtes p.264
§ 12. Die Integrale erster und dritter Gattung. Productdarstellung für die
Primform.268
§ 13. Über die Darstellbarkeit der automorphen Formen beliebigen Ge-
schlechtes p durch die Elementarformen und die Poincaré’schen
Reihen.273
§ 14. Schlussbemerkungen.278
Zweiter Abschnitt.
Fundamentaltheoreme über die Existenz polymorpher Functionen
auf Biemann’schen Flächen.
Erstes Kapitel.
Continuitätsbetrachtungen im Gebiete der Hauptkreisgruppen.
§ 1. Recapitulation über die Polygontheorie der Hauptkreisgruppen. 286
§ 2. Die Polygoncontinua vom Charakter (0, 3).289
§ 3. Die Polygoncontinua vom Charakter (0, 4).291
§ 4. Die Polygoncontinua vom Charakter (0, n).295
XTI
Inhalts-Verzeicliniss.
*
I
Seite
§ 5. Andere Darstellung der Polygoncontinua vom Charakter (0,4).
§ 6. Die Polygoncontinua vom Charakter (1, 1) . . . .
§ 7. Die Polygoncontinua vom Charakter (p, n).
§ 8. Übergang von den Polygoncontinuen zu den Gruppencontinuen . . .
§ 9. Die Discontinuität der Modulgmppe. .
§ JO. Die reduoierten Polygone vom Charakter (1,1).
§ 11. Die beim Charakter (1,1) auftretende Fläche dritten Grades 1 S . . .
§ 12. Der Discontinuitätsbereich der Modnlgruppe und die Gruppencontinua
des Charakters (1,1).
§ 13. Zusammenhang und Begrenzung des einzelnen Gruppencontinuums vom
Charakter (1,1).
§ 14. Die reduoierten Polygone vom Charakter (0, 4).
§ 15. Die beim Charakter (0, 4) auftretende Fläche dritten Grades d , . . .
§ lß. Der Discontinuitätsbereich der Modulgruppe und die Gruppencontinua
vorn Charakter (0, 4).
§ 17. Begrenzung und Zusammenhang des einzelnen Gruppencontinuums vom
Charakter (0, 4).
§ 18. Die normalen und die reducierten Polygone vom Charakter (0, n)
§ 19. Die Continua der reducierten Polygone vom Charakter (0, n) bei ge-
gebenen Kckeninvarlauten und fester Eckenoidnung.
§ 20. Der Discontinuitätsbereich der Modulgruppe und die Gruppencontinua
des Charakters (0, ri).
§ 21. Die Gruppencontinua vom Charakter (p, n).
g 22. Bericht über die Continua der Riemannschen Flächen des Ge-
schlechtes p.
§ 23. Bericht über die Continua der symmetrischen Riemann’schen Flächen
des Geschlechtes p.
§ 24. Stetigkeit der Beziehung zwischen dem Continuum der Gruppen und
dem Continuum dor Riemann’schen Flächen.
§ 25. Eindeutigkeit der Beziehung zwischen dem Continuum der Gruppen
und dem Continuum der Riemann’schen Flächen.
§26. Allgemeines über den Continuitätsbeweis des Fundamentaltheorems im
Gebiete der Hauptkreisgruppen.
§ 27. Durchführung des Continuitätsbeweises bei der Signatur (0,3; .
§ 28. Durchführung des Continuitätsbeweises bei der Signatur (0, 3; 1L). . .
g 29. Durchführung des Continuitätsbeweises bei der Signatur (1,1; ÍJ , . .
§ 30. Durchführung des Continuitätsbeweises bei der Signatur (0, 3) . . . .
§ 31. Darstellung der dreidimensionalen Continua Bg und B/ bei der Sig-
natur (1,1).
§ 32. Durchführung des Continuitätsbeweises bei der Signatur (1,1) . . . .
296
300
303
308
307
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408
414
416
422
425
429
433
i
j
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Zweites Kapitel.
Beweis des Hauptkreis- und des Grenzkreistheorems.
g 1. Geschichtliche Mittheilungen über die directen Beweismethoden der
Fundamentaltheoreme. .440
§ 2. Sätze über logarithmische Potentiale und Green’sche Functionen . . 446
§ 3. Weiteres über die Lösung der Randwerthaufgabe.451
§ 4. Die Green’sehe Function eines einfach zusammenhängenden Bereiches. 455
Inhalts - Verzeichniss.
XIII
Seite
§ B. Zwei Theoreme von Koebe.458
§ 6. Herstellung der Überlagernngsfiäche Fm im Grenzkrcisfalle.464
§ 7. Herstellung der Überlagerungsfläche F'K im Hauptkreisfalle.460
§ 8. Die Green’schen Functionen der Bereiche Fr und ihre Convergenz im
Hauptkrcisfalle. 472
§ 9. Abbildung der Cberlagerungsfläche airf eine Kreisseheibe. Gewinnung
des Hauptkroistheorems.478
§ 10. Einführung neuer Functionenreihen im Grenzkreisfalle.483
§11. Zusammenhang der Green’schen Functionen u, u" unter einander und
mit den Green’schen Functionen u.487
§ 12. Abbildung der Überlagerungsflilche mittelst der Function (u -f- iv ).
Gewinnung des Grenzkreistheorems.490
Drittes Kapitel.
Beweis des KUckkehrschiiittthcorems.
§ 1. Sätze über schlichte unendliche Abbilder einer Kreisfläche.496
§ 2. Sätze über schlichte endliche Abbilder einer Kreisfläche.499
§ 3. Der Verzerrungssatz für kreisförmige Bereiche.507
§ 4. Der Verzerrungssatz für beliebige Bereiche.511
§ 5. Folgerungen aus dem Verzerrungssatze.514
§ 6. Herstellung der Übcrlagernngsfläehe FK für eine mit p Rückkehr-
schnitten versehene Riemann’schc Fläche.518
§ 7. Abbildung der Fläche l \, auf einen schlichten Bereich bei speciellen
Rückkehrschnitten.521
§ 8. Abbildung der Fläche Fn auf einen schlichten Bereich bei beliebigen
Rückkehrschnitten.524
§ 9. Einführung eines zum Bereiche P„ gehörenden Systems analytischer
Transformationen.627
§ 10. Anwendung des Verzerrungssatzes auf den Bereich Pn.529
§ 11. Anwendung der Folgerungen des Verzerrungssatzes auf den Bereich Pn 533
§ 12. Durchführung des Convergenzbeweises der Functionen rj„(z).537
§ 13. Beweis des Linearitätssatzes.540
§ 14. Beweis des Unitätssatzes. Gewinnung des Rückkehrscbnitttlieorems . 546
§ 15. Koebe’s Beweis des allgemeinen Klein’sehen Fundamentaltheorems. . 548
Anhang.
Ein Beitrag zur Transformationstkeorie der automorphen Functionen.
§ 1, Allgemeiner Ansatz der Transformation eindeutiger automorpher Func-
tionen .554
§ 2. Der arithmetische Charakter der Gruppen von der Signatur (0, 3 i 2, 4, 5) 559
§ 3. Einführung der Transformation dritten Grades.563
§ 4. Aufstellung der Transtbrmationsgleichung zehnten Grades.570
§ 5. Die Galois’sehe Gruppe der Transfonnatiousgleichung und ihre cykli-
schen Untergruppen.՛.579
§ 6. Die nichtcyklischen Untergruppen dev und die erweiterte Gno . 585
§ 7. Die beiden Resolventen sechsten Grades der Transformationsgleichung 591
XIV
Inhalts - Verzeichniss.
Seite
§ 8. Die Discontinuitätsbereiche der zu den Oktaeder- und Tetraedergruppen
gehörenden jT։5 und ľ3#.595
§ 9. Die beiden Resolventen 15^“ Grades der Transformationsgleichung . 600
§ X0. Notiz über die zu den zehn gleichberechtigten 6r1R gehörenden
Gruppen JT։#.609
§ 11. Die Riemann’sehe Fläche der Galois’schcn Resolvente der Transfor-
mationsgleichung .610
§ 12. Die Curve Cü im oktaedrischen Coordinatensystem.619
§13. Die Curve G0 im ikosaedrischen Coordinatensystem.628
§ 14. Die Curvo Ca im harmonischen Coordinatensystem.635
§ 15. Die reellen Züge der C8 und der Charakter der Punkte a,b, c . . . 641
§ 16. Weitere geometrische Sätze über die Collineationsgruppe Gsao . . . 645
§17. Die Galois’sche Resolvente der Transformationsgleichung.650
§ 18. Die Lösung der Resolventen 6te ' und 15tcm Grades.653
§ 19. Lösung der Transformationsgleichung 10ton Grades.658
Sachregister.֊ . . .663 |
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