Analysis für Ingenieurstudenten: 1 Mit 197 Aufgaben und Lösungen
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Thun [u.a.]
Deutsch
1995
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorspann: Was man weiß, was man wissen sollte ... 1
1 Reelle Zahlen 5
1.1 Der Aufbau des Bereiches der reellen Zahlen 5
1.1.1 Natürliche Zahlen 5
1.1.2 Ganze Zahlen 5
1.1.3 Rationale Zahlen 5
1.1.4 Reelle Zahlen 6
1.2 Darstellung reeller Zahlen 8
1.2.1 Dekadisches Positionssystem 8
1.2.2 Duales Positionssystem 9
1.2.3 Weitere Positionssysteme 10
1.3 Rechnen mit Zahlen 10
1.3.1 Grundgesetze für das Rechnen mit reellen Zahlen 10
1.3.2 Rechnen mit natürlichen und ganzen Zahlen 11
1.3.3 Rechnen mit rationalen Zahlen 13
1.3.4 Absoluter Betrag 15
1.3.5 Mehrgliedrige Ausdrücke 16
1.4 Rechenarten dritter Stufe 20
1.4.1 Potenzieren 20
1.4.2 Radizieren 21
1.4.3 Rationalmachen des Nenners 22
1.4.4 Logarithmieren 23
1.4.5 Übersicht über Rechenarten 27
1.5 Spezielle Operationszeichen 29
1.5.1 Summenzeichen 29
1.5.2 Produktzeichen 30
IV INHALTSVERZEICHNIS
1.5.3 Fakultätszeichen 32
1.5.4 Binomialkoeffizient 32
1.6 Binomischer Lehrsatz 33
1.6.1 Pascalsches Koeffizientendreieck 33
1.6.2 Binomischer Lehrsatz 35
2 Komplexe Zahlen 37
2.1 Rein imaginäre Zahlen 37
2.1.1 Addition und Ordnung von imaginären Zahlen 37
2.1.2 Multiplikation 37 ;
2.1.3 Potenzieren 38
2.2 Darstellung komplexer Zahlen 38
2.2.1 Gaußsche Zahlenebene 38
2.2.2 Trigonometrische Darstellung 40
2.2.3 Exponentialdarstellung oder Eulersche Darstellung 40
2.2.4 Umrechnung komplexer Zahlen in verschiedene Darstellungen ... 41
2.3 Rechnen mit komplexen Zahlen 42
2.3.1 Addition und Subtraktion 42
2.3.2 Multiplikation 43
2.3.3 Division 45
2.3.4 Potenzieren 46
2.3.5 Radizieren 47
2.3.6 Logarithmieren 48
3 Grundbegriffe der Mengenlehre 49
3.1 Mengenbegriff 49
3.1.1 Darstellung von Mengen 49
3.2 Beziehungen zwischen Mengen 50
3 3 Mengenoperationen 52
3.3.1 Vereinigungsmenge 52
3.3.2 Durchschnittsmenge 53
3.3.3 Differenzmenge 54
1
INHALTSVERZEICHNIS V
3.3.4 Symmetrische Differenzmenge 54
3.3.5 Grundgesetze der Mengenalgebra 55
3.3.6 Produktmenge 56
3.4 Rechnen mit Intervallen 57
4 Abbildungen und Funktionen 58
4.1 Abbildungsbegriff 58
4.2 Spezielle Abbildungen 59
4.3 Umkehrabbildungen 60
5 Zahlenfolgen 62
5.1 Begriff der Zahlenfolge 62
5.1.1 Darstellung von Zahlenfolgen 62
5.2 Folgenarten 63
5.2.1 Arithmetische Folge 64
5.2.2 Geometrische Folge 65
5.2.3 Arithmetische Folge n-ter Ordnung 66
5.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen 66
5.3.1 Monotone Zahlenfolgen 66
5.3.2 Beschränkte Zahlenfolgen 66
5.3.3 Vorzeichenbehaftete Zahlenfolgen 67
5.3.4 Konvergente Zahlenfolgen 68
5.3.5 Aussagen über konvergente Zahlenfolgen 69
5.4 Grenzwertsätze von Zahlenfolgen 70
5.5 Intervallschachtelung 72
6 Numerisches Rechnen* 74
6.1 Fehlerrechnung 74
6.1.1 Rundungsregeln 74
6.1.2 Absoluter und relativer Fehler 76
6.2 Zahlendarstellung im Rechner 78
6.2.1 Darstellung natürlicher und ganzer Zahlen, Festkommazahlen ... 78
VI INHALTSVERZEICHNIS
6.2.2 Darstellung „reeller Zahlen, Fließkommazahlen 79
6.2.3 Quellen von Ungenauigkeiten: Wann ist eine Zahl 0? 80
63 Berechnung der Rechengenauigkeit 84
6.4 Bedeutung von Zahlensystemen: Berechnung von e 87
7 Aufgaben zum Vorspann 90
I Funktionen einer unabhängigen variablen 94
8 Grundlagen 94
8.1 Definition und Einteilung von Funktionen 94
8.1.1 Übersicht der elementaren Funktionen 95
8.2 Darstellungsarten für Funktionen 96
8.2.1 Analytische Darstellung 96
8.2.2 Graphische Darstellung 97
8.2.3. Tabellarische und numerische Darstellung 100 j
8.2.4 Verbale Beschreibung der Zuordnungsvorschrift 102
83 Eigenschaften von Funktionen 102
8.3.1 Nullstellen 102
8.3.2 Symmetrien 103
8.3.3 Periodizität 105
8.3.4 Monotonie und Beschränktheit 106
8.3.5 Umkehrbarkeit von Funktionen 107
9 Grenzwerte und Stetigkeit 109
9.1 Grenzwerte von Funktionen 109
9.1.1 Einführung und Überblick 109
9.1.2 Grenzwert von Funktionen 112
9.1.3 Verhalten von Funktionen im Unendlichen, Asymptoten 113
9.1.4 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen 113
9.2 Stetigkeit 114
9.2.1 Unstetigkeiten 115
INHALTSVERZEICHNIS VII
10 Ausgewählte elementare Funktionen 119
10.1 Einfache Funktionen 119
10.1.1 Konstante Funktionen 119
10.1.2 Betragsfunktion 119
10.1.3 Signumfunktion 120
10.1.4 Ganzzahligkeitsfunktion und Restfunktion 120
10.2 Lineare Funktionen 121
10.2.1 Definition und graphische Darstellung 121
10.3 Geradengleichungen 124
10.3.1 Normalform und allgemeine Form 124
10.3.2 Zwei-Punkte-Form 124
10.3.3 Punkt-Steigungs-Form 125
10.3.4 Achsen-Abschnitts-Form 127
10.4 Potenzfunktionen 127
10.4.1 Parabeln 128
10.4.2 Hyperbeln 131
10.4.3 Anwendungen 134
11 Ganzrationale Funktionen 136
11.1 Polynome 136
11.1.1 Analytische und graphische Darstellung 136
11.1.2 Nullstellen eines Polynoms 137
11.1.3 Polynomdivision 138
11.1.4 Verallgemeinerung der Produktform 141
11.1.5 Spezielle Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 141
11.2 Horner-Schema 142
11.2.1 Funktionswertberechnung mit Horner-Schema 142
11.2.2 Linearfaktorzerlegung mit Horner-Schema 143
11.2.3 Polynomdivision mit Horner-Schema 144
12 Gebrochenrationale Funktionen 145
12.1 Definitionen und Fallunterscheidungen 145
VIII INHALTSVERZEICHNIS
12.1.1 Echt gebrochenrationale Funktion 145
12.1.2 Unecht gebrochenrationale Funktion 146
12.2 Nullstellen 147
123 Polstellen 148
12.4 Lücken 150
12.5 Asymptoten 151
12.6 Anwendungen in der Technik 153
12.6.1 Kapazität eines Kugelkondensators 153
12.7 Partialbruchzerlegung 154
, 12,7:1 Partialbrüche 154
12.7.2 Koeffizientenbestimmung 155
13 Wurzelfunktionen 158
13.1 Wurzelfunktionen als Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen . . . 158
13.1.1 Anwendungen 160
13.1.2 Spezielle Wurzelfunktionen 162
14 Exponentialfunktionen 164
14.1 Grundlagen 164
14.1.1 Graphische Darstellung und Eigenschaften 164
14.2 e-Funktion 166
14.2.1 Wichtige spezielle Formen der e-Funktion 166
15 Logarithmusfunktionen 170
15.1 Grundlagen 170
15.1.1 Graphische Darstellung 170
15.1.2 Spezielle Logarithmusfunktionen 171
15.2 Exponential- und Logarithmusgleichungen 172
153 Funktionsdarstellung mit logarithmisch geteilten Skalen 174
15.3.1 Einfach-logarithmische oder halblogarithmische Darstellung . . . 175
15.3.2 Doppelt-logarithmische Darstellung 177
i
INHALTSVERZEICHNIS IX
16 Trigonometrische Funktionen 178
16.1 Winkel 178
16.1.1 Winkelmaße 178
16.2 Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck 180
16.2.1 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen .... 181
16.3 Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis 183
16.4 Graphische Darstellung und Eigenschaften 185
16.4.1 Zusammenfassung der Eigenschaften 188
16.5 Winkelfunktionsgesetze 189
16.5.1 Spezialfälle von Winkelfunktionsgesetzen 190
16.6 Goniometrische Gleichungen 191
16.7 Allgemeine Sinusfunktion 194
16.7.1 Harmonische Schwingung 194
16.7.2 Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz 195
16.7.3 Überlagerung von Schwingungen unterschiedlicher Frequenz . . . 196
17 Arkusfunktionen 200
17.1 Einführung und Definitionen 200
17.2 Graphische Darstellung 201
17.2.1 Interpretation am Einheitskreis 202
17.3 Eigenschaften und Beziehungen 203
18 Hyperbel- und Areafunktionen 205
18.1 Hyperbelfunktionen 205
18.1.1 Graphische Darstellung 205
18.1.2 Näherungen 206
18.1.3 Eigenschaften 207
18.1.4 Beziehung zwischen gleichseitiger Hyperbel und Hyperbelfunktionen209
18.1.5 Beziehungen zwischen Hyperbelfunktionen 209
18.1.6 Anwendungen 211
18.2 Areafunktionen 212
18.2.1 Graphische Darstellung 214
X INHALTSVERZEICHNIS
18.2.2 Beziehungen zwischen Areafunktionen 215
19 Darstellung ebener Kurven 217
19.1 Koordinatentransformationen 217
19.2 Darstellung in kartesischen Koordinatensystemen 217
19.2.1 Parallelverschiebung 218
19.2.2 Drehung 219
193 Darstellung in Polarkoordinaten 221
19.3.1 Übergang zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten 221
19.4 Parameterdarstellung ebener Kurven 226
19.5 Parameterdarstellung von Kurven zweiter Ordung 229
20 Interpolation von Funktionen* 231
20.1 Newtonsches Interpolationspolynom 231
20.2 Lagrangesches Interpolationspolynom 234
203 Interpolation bei äquidistanten Stützstellen 235
20.4 Lineare Interpolation als Spezialfall 238
20.5 Spline-Interpolation 238
21 Aufgaben zum Teil I: Funktionen 244
II Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen 250
22 Steigung und Tangentenproblem 250
22.1 Lokale Änderung von Funktionswerten 251
22.2 Momentangeschwindigkeit 252
23 Differentialquotient 253
23.1 Einseitige Ableitung 253
23.2 Berechnung von Ableitungen 254
233 Ableitung einer Funktion 255
24 Differential 257
INHALTSVERZEICHNIS XI
25 Höhere Ableitungen 259
26 Differentiationsregeln 261
26.1 Ableitung von speziellen elementaren Funktionen 261
26.2 Ableitung von zusammengesetzten Funktionen 262
26.2.1 Faktorregel 263
26.2.2 Summenregel 263
26.2.3 Produktregel 264
26.2.4 Quotientenregel 265
26.2.5 Kettenregel, Ableitung von mittelbaren Funktionen 266
263 Ableitung implizit gegebener Funktionen 267
26.4 Ableitung von Umkehrfunktionen 268
26.5 Logarithmische Ableitung 269
26.6 Ableitung von Funktionen in Parameterform 271
26.7 Ableitung von Funktionen in Polarkoordinatenform 273
26.8 Zusammenfassung wichtiger Differentiationsregeln 275
27 Sätze über differenzierbare Funktionen 277
27.1 Mittelwertsatz 277
27.1.1 Erweiterer Mittelwertsatz (Satz von Cauchy) 278
27.1.2 Satz von Rolle 278
27.2 Monotonieverhalten einer Funktion 279
273 Taylorsche Formel 280
27.3.1 Erweitertes Horner-Schema 280
27.3.2 Taylor-Polynom 282
27.3.3 Taylorsche Formel 283
27.4 Extremwerte 287
27.4.1 Ableitungen höherer Ordnung und Anwendungen 287
27.4.2 Relative und absolute Extremwerte 288
27.4.3 Wendepunkte 292
27.4.4 Extremwertaufgaben 294
27.5 Kurvenuntersuchungen 300
XII INHALTSVERZEICHNIS
27.5.1 Kurvenuntersuchungen von ganzrationalen Funktionen 301
27.5.2 Kurvenuntersuchungen von gebrochenrationalen Funktionen . . . 305
27.6 Bestimmung von Grenzwerten unbestimmter Ausdrücke 308
27.6.1 Unbestimmte Ausdrücke 308
28 Nullstellensuche und numerisches Lösen von Gleichungen* 312
28.1 Grafische Lösung 312
28.2 Intervallschachtelung 313
28.3 Newton-Raphson-Verfahren 314
28.4 Regula falsi und Sekantenverfahren 314
28.5 Pegasus-Verfahren 315
29 Numerische Differentation* 320
29.1 Vorwärtsgenommene Differenzenquotienten 320
29.2 Rückwärtsgenommene Differenzenquotienten 321
29.3 Zentrale Differenzenquotienten 321
29.4 Berechnung von Ableitungen auf dem Rechner 322
29.5 Rundungsfehler und numerisch gegebene Funktionen 322
30 Aufgaben zu Teil II: Differentialrechnung 324
III Integralrechnung für Funktionen einer Variablen 330
31 Bestimmte Integrale 330
31.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt 330
31.2 Unter- und Obersumme 332
31.3 Analytische Definition des bestimmten Integrals 334
31.4 Eigenschaften des bestimmten Integrals 336
31.5 Bestimmtes Integral als Funktion der oberen Grenze 339
31.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechung 340
32 Unbestimmtes Integral 342
32.1 Eigenschaften unbestimmter Integrale 345
INHALTSVERZEICHNIS XIII
32.2 Grundintegrale 346
33 Integrationsverfahren 349
33.1 Integration durch Substitution 349
33.1.1 Allgemeines Substitutionsverfahren 349
33.1.2 Lineare Substitution 351
33.1.3 Substitution bei Integranden der Form f[g(x)]g (x) 353
33.1.4 Substitution von trigonometrischen Funktionen 356
33.1.5 Substitution von Exponentialfunktionen 358
33.1.6 Substitution bei Wurzelfunktionen 359
33.1.7 Zusammenstellung von Substitutionsfunktionen 361
33.2 Partielle Integration 363
33.2.1 Partielle Integration 363
33.2.2 Integrand als Produkt von rationaler und transzendenter Funktion . 364
33.2.3 Integrand als Produkt von zwei transzendenten Funktionen .... 366
33.3 Integration durch Partialbruchzerlegung 368
34 Uneigentliche Integrale 374
34.1 Integrale mit unendlichem Integrationsintervall 374
34.2 Integrale mit Unendlichkeitsstellen des Integranden 376
34.2.1 Cauchyscher Hauptwert 377
35 Anwendungen 379
35.1 Geometrische Anwendungen 379
35.1.1 Flächeninhalt 379
35.1.2 Bogenlänge 383
35.1.3 Rauminhalt und Mantelflächen von Rotationskörpern 386
35.2 Physikalische und technische Anwendungen 390
35.2.1 Schwerpunkte und statische Momente 390
35.2.2 Trägheitsmomente 396
35.2.3 Arbeit 399
XIV INHALTSVERZEICHNIS
36 Numerische Integration* 403
36.1 Einfache numerische Verfahren 403
36.1.1 Rechteckformel 404
36.1.2 Trapezformel 406
36.1.3 Simpsonsche Formel und Keplersche Faßregel 409
36.2 Übersicht mit Angabe der Fehlerordnung 412
36.2.1 Geschlossene Quadraturformeln 413
36.2.2 Fehlerabschätzung - Richardson-Extrapolation 416
36.2.3 Offene Quadraturformeln 417
36.2.4 Integrationsverfahren im Vergleich 418
36.3 Romberg-Integration - Extrapolationsverfahren 419
36.4 Rombergschema für offene Intervalle 424
36.4.1 Integration über unendliche Intervalle 426
37 Aufgaben zu Teil III: Integralrechnung 432
38 Lösungen der Aufgaben 441
38.1 Lösungen zum Vorspann 441
38.2 Lösungen zu Teil I: Funktionen 443
383 Lösungen zu Teil II: Differentialrechnung 451
38.4 Lösungen zu Teil III: Integralrechnung 458
Index 465
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