Vorlesungen über mathematische Physik: 1 Vorlesungen über Mechanik
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Leipzig
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Seito
Erste Vorlesung......................................................■ 1
Aufgabe der Mechanik. Definition eines materiellen Punktes. Geschwindig-
keit. Beschleunigung und beschleunigende Kraft. Bewegung eines schweren
Punktes. Bewegung eines Planeten um die Sonne. Satz vom Parallelogramm
der Kräfte. Differentialgleichungen des Problems der drei Körper.
Zweite Vorlesung...........................................................13
Bewegung eines Punktes, der nicht frei ist. Einfaches Pendel. Bewegung
eines Systemes von Punkten, für welches Bedingungsgleichungcn gelten.
Masse eines materiellen Punktes. Bewegende Kraft. Eagrangc’s Grund-
gleichungen der Mechanik.
Dritte Vorlesung.............................................. 24
Das d’Alembert’sche Princip. Arbeit. Das Hamilton’sche Princip. Potential
oder Kräftefunction. Gleichgewicht. Das Princip der virtuellen Verrückungen.
Vierte Vorlesung.....................................; . . ...............33
Satz von der lebendigen Kraft. Stabilität eines Gleichgewichtes. Sätze
von der Bewegung des Schwerpunktes. Bewegung eines Systemes um seinen
Schwerpunkt. Flächensätze. Drehungsmomente.
Fünfte Vorlesung........................................ . ...............40
Bestimmung der Lago eines starren Körpers. Unendlich kleine Verrückung
eines solchen. Schraubonbewegung. Abhängigkeit der Drehungsmomente
eines Kräftesystemes von den Coordinatenachson. Hauptdrehungsmoment.
Sechste Vorlesung.......................................................... 53
Lebendige Kraft eines bewegten starren Körpers. Trägheitsmomente. Haupt-
achsen. Differentialgleichungen der Bewegung eines starren Körpers für den
Fall, dass dieser frei, und den Fall, dass ein Punkt desselben fest ist.
Siebente Vorlesung...........................................................62
Integration der Differentialgleichungen der Bewegung für einen starren
Körper, der um einen festen Punkt sich dreht, und auf den keine Kräfte
wirken. Stabilität der Drehung um die Achse des grössten und des kleinsten
Trägheitsmomentes. Fall, dass zwei der drei Hanptträgheitsmomentc ein-
ander gleich sind. Drehung eines schweren starren Körpers um einen festen
Punkt. Integration der für diese geltenden Differentialgleichungen unter
gewissen Voraussetzungen.
Achte Vorlesung..........................................................77
Messung der Schwere. Pendel. Oorrespondirendcs einfaches Pendel. Re-
versionspendol. Bessel’s Pendelversuche. Einfluss der Luft. Aenderungen
der Schwere mit der Höhe und mit der geographischen Breite.
Nennte Vorlesung.............................................................. . 86
Einfluss der Drehung der Erde auf die Bewegung der Körper an ihrer
Oberfläche. Centrifugalkraft. Abweichung frei fallender Körper von der
Lothlinie. Foucault’scher Pendelversuch.
Zehnte Vorlesung...................................... 95
Relative Verschiebungen der Theile eines Körpers. Dilatationen einer Linie,
einer Fläche, eines Raumtheiles. Die Veränderung eines unendlich kleinen
Theiles eines Körpers ist zusammengesetzt aus einer Verschiebung, einer
Drehung und einer Ausdehnung nach drei auf cinandersenkrechtenRiohtungen.
Hauptdilatationen. Bewegungen an der Oberfläche eines Körpers und an
der Berührungsfläche zweier Körper.
vm
Inhalts verzei elmiss.
Seito
Eilfte Vorlesung............................................................109
Druckkräfte. Abhängigkeit der Drackcomponcnten von der Richtung und
dem Orte des Flächenelementes, auf welches sie sich beziehen. Gleichheit
des Druckes auf beiden Seiten der Berührungsfläche zweier Körper. Innere
Kräfte. Werthe der Druekcomponenten bei Flüssigkeiten und elastischen
festen Körpern.
Zwölfte Vorlesung...........................................................125
Hydrostatik. Gleichgewicht einer Flüssigkeit ist nur hei Kräften möglich,
die ein einwerthiges Potential haben. Die freie Oberfläche ist eine Fläche
gleichen Potentials. Schwere Flüssigkeit. Schwere rotirende Flüssigkeit,
ftotirende Flüssigkeit, deren Theile von einem Punkte oder von einander
nach dem Newton’schen Gesetze angezogen werden. Abplattung der Erde.
Druckkräfte, welche eine Flüssigkeit auf ein Gcfäss, in dem sie enthalten
ist, oder auf einen eingetauchten Körper ausübt. Archimedisches Princip.
Dreizehnte Vorlesung........................................................135
Capillarerscheinungen. Potential der Capillarkräfte. Hauptkrümmungs-
radien und Krümmungslinien. Vergrösscrung, welche eine Fläche bei un-
endlich kleinen Verrückungen ihrer Punkte erleidet. Differentialgleichung
der Berührungsfläche zweier schwerer Flüssigkeiten. Grenzbedingung.
Grösse der Kraft, welche einen Körper im Gleichgewicht hält, der in einer
Richtung verschiebbar ist, und der zwei Flüssigkeiten berührt. Beispiele
für diese Kraft.
Vierzehnte Vorlesung........................................__..............150
Integration dcrDifferentialgleichung für die Berührungsfläche zweier schweren
Flüssigkeiten in dem Falle, dass dieselbe eine Rotationsfläche ist und die
Abstände der betrachteten Punkte von der Rotationsachse sehr klein oder
sehr gross sind. Erste und zweite Näherung.
Fünfzehnte Vorlesung........................................................161
Hydrodynamik. Differentialgleichungen von Lagrange und von Euler.
Rotationen der Flüssigkeitstheilchen. Wlrbellinien und Wirbelfaden.
Gesehwindigkeilspotcntial. Mehrwerthiges Geschwindigkeitspotential in
einem mehrfach zusammenhängenden Raume.
Seehszehntc Vorlesung.......................................................173
Incompressible Flüssigkeiten. Potential von Massen, die in Punkten con-
centrirt, oder in einem Raume oder in einer Fläche stetig verbreitet sind.
Potential einer Doppelschicht. Der Green’sche Satz. Darstellung einer
Function V, die in einem Raume der Gleichung d V = 0 genügt und mit
ihren ersten Diflerentialquotienten einwerthig und stetig ist, durch die
Summe der Potentiale einer einfachen Massenschicht und einer Doppelschicht
in der Oberfläche des Raumes. Bedingungen, welche zur Bestimmung von
V genügen. Stromlinien und Stromfäden. Fall, dass der zu betrachtende
Raum sieh in die Unendlichkeit erstreckt. Mehrwerthige Lösungen der
Gleichung ¿/ p = 0. Massenpotentiale, die nur von zwei Coördinaten ab-
hängig sind.
Siebeuzehnte Vorlesung............................. ......................... 197
Transformation der Gleichung dtp — 0 in beliebige orthogonale Coördi-
naten. Elliptische Coördinaten. Strömungen in den Linien, welche ein
System confocaler Ellipsoide senkrecht schneiden. Darstellung des Ge-
schwindigkeitspotentials dieser Strömungen als Potential von Massen-
schichten. Flüssigkeitsvolumen, welches in der Zeiteinheit durch einen
Querschnitt fliesst. Widerstand. Stromlinien, welche ein System confocaler
Hyperboloide senkrecht schneiden.
Achtzehnte Vorlesung............................... . ..................... . 211
Potential eines homogenen Ellipsoïdes. Potential eines homogenen ellip-
tischen Cylinders von unendlich grosser Länge. Ruhendes Ellipsoid in
einem Flüssigkeitsstrome. Stromlinien in dem Falle, dass das Ellipsoid ein
Rotationsellipsoid oder eine Kugel ist. Ein fester Körper bewegt sich in
der Flüssigkeit auf gegebene Weise; es wird die Bewegung der Flüssigkeit
gesucht. Fall, dass der Körper ein Ellipsoid oder eine Kugel ist. Be-
Inhalts Verzeichnis«։.
IX
Suite
wegung zweier Körper in der Flüssigkeit. Nähere Erörterung des Falles,
dass diese zwei unendlich kleine Kugeln sind.
Neunzehnte Vorlesung......................................................233
Differentialgleichungen für die Bewegung eines Körpers in einer Flüssig-
keit, auf den gegebene Kräfte wirken. Anwendung des Hamilton’schen
Principes auf diesen Fall. Bewegung des Körpers, wenn keine Kräfte
wirken. Vereinfachung der Aufgabe durch Voraussetzung gewisser Symme-
trieen. Kugel. Rotationskörper. Bewegung zweier unendlich kleiner
Kugeln in der Flüssigkeit. Kräfte, die diese auf einander ausüben.
Zwanzigste Vorlesung .....................................................2öl
Wirbelbewegungen. Gerade und parallele Wirbelfäden. Bewegung mehrerer
solcher Wirbelfäden von unendlich kleinen Querschnitten. Gerade Wirbel-
fäden, die einen Cy lind er von elliptischem Querschnitt stetig erfüllen.
Kreisförmige Wirbelfäden mit gemeinsamer A chse. Bewegung eines Wirbel-
ringes und zweier Wirbelringe von unendlich kleinen Querschnitten.
Einundzwanzigste Vorlesung................................................273
Functionen eines complexen Argumentes. Ihre Anwendung, um mögliche
Flüssigkeitsbewegungen zu finden. In den kleinsten Theilen ähnliche Ab-
bildung eines ebenen Flächenstückes auf einem anderen. Lineare Functionen.
Mehrwerthige Functionen. Abbildung einer Sichel auf einer anderen.
Zwcinndzwanzigste Vorlesung..............................................290
Flüssigkeitsstrahlen. Strahl, der aus einem Gefässe von gewisser Gestalt
austritt. Strahl, der eine ebene Wand trifft. Ebene Wand in einem Strome
von unendlicher Breite. Druck, den diese Wand erleidet.
Dreinndzwanzigste Vorlesung..............................................308
Bewegung der Luft oder einer andern cömpressibeln Flüssigkeit, auf deren
Thoile keine Kräfte wirken. Es wird die Existenz eines Geschwindigkeits-
potontials vorausgesetzt und die Geschwindigkeit als unendlich klein an-
genommen. Aufstellung der Bedingungen, durch welche das Geschwindigkeits-
potential bestimmt ist. Ebene Wellen. Reflexion derselben. Kugelförmige
Wellen. Berechnung des Gcschwindigkeitspotentials aus dem Anfangs-
zustandc für den Fall, dass der Luftraum unbegrenzt ist. Bewegung einer
festen Kugel in der Luft. Schwingungen einer Kugel. Intensität des
erzeugten Tones. Schwingungen zweier kleiner Kugeln.
Vierundzwanzigste Vorlesung...............................................322
Einfache Töne. Anwendung des Green’sohen Satzes auf das Geschwindig-
keitspotoutial eines einfachen Tones. Ebene Wellen. Stehende und fort-
schreitende Schwingungen. Eigentöne einer Luftsäule. Schwingungen der
Luft in einer offenen Röhre. Resonanz. Kugelförmige Wellen. Schwingungen
der Luft in einem Raume, dessen Dimensionen gegen die Wellenlänge
unendlich klein sind, (luhische Pfeifen. Berechnung der Resonanz und
Tonhöhe cubischer Pfeifen, wenn die Ocffnung eine Ellipse oder ein Kreis
ist. Berechnung der Resonanz und Tonhöhe cylindriseher Pfeifen für
gewisse Eälle.
Fihifundzwanzigste Vorlesung..............................................347
Bewegung einer incompressibeln Flüssigkeit, auf deren Theile Kräfte wirken.
Ausfluss einer schweren Flüssigkeit aus der Ocffnung eines Gefässes. Torri-
celli’sches Theorem. Stationäre Bewegung eines flüssigen Ellipsoides,
dessen Theile gegen einander gravitiren. Bewegung eines solchen, die
stationär ist in Bezug auf ein rotirendes Achsensystem. Unendlich kleine
Schwingungen einer schworen Flüssigkeit. Wellen einer schweren Flüssig-
keit von endlicher Höhe. Nichtstationäre Bewegung eines gravierenden
flüssigen Ellipsoids.
Scclisuwlzwanzigste Vorlesung.............................................369
Reibung einer incompressibeln Flüssigkeit. Aufstellung der Differential-
gleichungen und der Grenzbedingungen. Strömung der Flüssigkeit durch
eine lange, cylindrische Röhre. Einführung der Annahme, dass die Flüssig-
keit an festen Körpern, mit denen sie in. Berührung ist, haftet, und dass
die Geschwindigkeiten unendlich klein sind. Gleiehmässige Drehung einer
Kirchhoff, Mechanik. 1. Anfl. a**
X
Tidialtsv erzcichni ss.
Kugel iu der Flüssigkeit um einen Durchmesser oder eines Rotationsellipsoidex
um seine Symmetrieachse in dem Falle, dass die Flüssigkeit äusserlich
unbegrenzt oder durch eine concentrische Kugelfläche, resp. durch ein eon-
focales Ellipsoid begrenzt ist. Berechnung des Drehungsmomentes der
Kräfte, welche auf die Kugel oder das Ellipsoid wirken müssen. Widerstand
einer Kugel, die gleichmässig in der Flüssigkeit fortschreitet. Drehende
Schwingungen einer Kugel. Schwingungen einer Kugel, bei denen der
Mittelpunkt auf einer Geraden hin- und hergeht.
Siobeiiiiiidzwanzigste Vorlesung............................................388
Gleichgewicht und Bewegung elastischer fester Körper. Aufstellung der
Differentialgleichungen für Körper, die in verschiedenen Richtungen ver-
schiedene Elasticitat besitzen. Die Zahl der Constanten der Elasticitat
ist im Allgemeinen 21, sie verringert sich, wenn Ebenen der Symmetrie
vorhanden sind, und reducirt sich bei einem isotropen Körper auf 2. Das
Gleichgewichtsproblem hat nur eine Lösung. Wenn keine Kräfte auf die
Theile des Körpers wirken, so kann derselbe im Gleichgewicht sein, wenn
die Druckconiponenten Constanten gleich sind. Zusammendrückbarkeit,
Elasticitätscoefflcient. Gleichgewicht eines isotropen, cylindrischen Körpers,
auf dessen Grundflächen Drucke von gewisser Art wirken. Durchführung
der Rechnung für den Fall, dass der Querschnitt ein Kreis ist. Gleich-
gewicht einer Hohlkugel, auf deren Oberflächen constante und senkrechte
Drucke wirken.
AcMundzwaitzigsfe Vorlesung.................................................40G
EndlicheFormändemngen eines unendlich dünnen, ursprünglichcylindrischen
Stabes. Dilatationen eines kleinen Theiles desselben. Vereinfachungen, die
eiutreten, wenn der Querschnitt eine Ellipse, oder seine Ebene eine
Symmetrieebene ist. Potential der durch die Dilatationen erzeugten Kräfte.
Lebendige Kraft des Stabes, Gleichgewicht des Stahes unter dem Einfluss
von Druckkräften, die auf seine Enden wirken. Uebereinsiimmung des
hierauf bezüglichen Problems mit dem Problem der Rotation eines schweren
Körpers um einen festen Punkt. Der Stab kann eine Schraubenlinie bilden.
Gleichgewicht eines krummen Stabes, der ursprünglich eine Schrauben-
linie bildet.
Xeaimndzwanzigstc Vorlesnng.................................................428
Unendlich kleine Formänderungen eines unendlich dünnen, ursprünglich
cylindrischen Stabes. Biegung und Torsion für den Fall, dass der Stab
isotrop und nicht gespannt ist. Arbeit der durch die Dilatationen erzeugten
Kräfte für einen isotropen gespannten Stab. Biegung eines gespannten
Stabes. Methode von s’Gravesande zur Bestimmung des Elasticitäts-
coeffi dienten von Drähten. Biegung eines horizontal ausgespannten Drahtes
durch seine Schwere. Longitudinal- und Torsions-Schwingungen eines
Stabes. Transvcrsal-Schwingungen eines ungespannten Stabes. Transversal-
Schwingnngen einer schwach gespannten und einer stark gespannten Saite.
Dreissigste Vorlesung.......................................................449
Gleichgewicht und Bewegung einer unendlich dünnen, ursprünglich ebenen,
isotropen Platte. Dilatationen eines kleinen Theiles der Platte. Potential
der durch die Dilatationen erzeugten Kräfte. Unendlich kleine Formänderung.
Gleichgewicht hei longitudinalen Verrückungen. Differentialgleichungen
für die Transversal-Schwingungen einer freien Platte. Integration derselben
für den Fall, dass die Platte kreisförmig ist. Transversa 1-Schwingungen
einer gespannten Membran.
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