Einführung in Statistik und Messwertanalyse für Physiker:
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Hamburg
DESY
[2006]
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einführung................................................ 1
1.1 Ziel der Statistik........................................ 1
1.2 Wie definieren wir Wahrscheinlichkeit?..................... 3
1.3 Zufallsereignisse und -variable............................. 5
1.4 Mathematische Axiome und Sätze......................... 6
1.4.1 Axiome.......................................... 6
1.4.2 Bayes-Theorem................................... 7
1.5 Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen.......... 9
2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Eigenschaften ... 11
2.1 Definition.............................................. 11
2.1.1 Diskrete Verteilungen.............................. 12
2.1.2 Kontinuierliche Verteilungen........................ 13
2.1.3 Empirische Verteilungen............................ 15
2.2 Erwartungswerte........................................ 16
2.2.1 Definition und Eigenschaften des Erwartungswerts..... 17
2.2.2 Mittelwert........................................ 17
2.2.3 Varianz.......................................... 18
2.2.4 Schiefe........................................... 22
2.2.5 Kurtosis (Exzess).................................. 22
2.2.6 Diskussion........................................ 23
2.2.7 Beispiele......................................... 25
2.3 Momente und charakteristische Funktion................... 29
2.3.1 Momente......................................... 29
2.3.2 Charakteristische Funktion......................... 30
2.3.3 Beispiele......................................... 33
2.4 Variablentransformationen................................ 36
2.4.1 Berechnung der transformierten Dichte............... 36
2.4.2 Berechnung der passenden Transformation............ 40
2.5 Multivariate Wahrscheinlichkeitsdichten.................... 41
2.5.1 Wahrscheinlichkeitsdichte von zwei Variablen......... 41
X Inhaltsverzeichnis
2.5.2 Momente......................................... 44
2.5.3 Variablentransformation............................ 46
2.5.4 Variablenreduktion................................ 47
2.5.5 Berechnung der passenden Transformation............ 50
2.5.6 Verteilungen von mehr als zwei Variablen............. 51
2.5.7 Unabhängige, identisch verteilte Variable............. 52
2.6 Einige wichtige Verteilungen.............................. 52
2.6.1 Binomialverteilung................................ 52
2.6.2 Multinomialverteilung.............................. 54
2.6.3 Poisson-Verteilung................................. 55
2.6.4 Gleichverteilung................................... 61
2.6.5 Normalverteilung.................................. 62
2.6.6 Exponentialverteilung.............................. 67
2.6.7 x2-Verteilung .................................... 68
2.6.8 Gammaverteilung................................. 70
2.6.9 Cauchy-Verteilung................................ 71
2.6.10 Extremwertverteilung............................. 72
3 Messfehler................................................. 75
3.1 Allgemeine Überlegungen................................. 75
3.1.1 Bedeutung der Fehlerbestimmung................... 75
3.1.2 Überprüfung von zugeordneten Fehlern............... 76
3.1.3 Angabe von Fehlern............................... 76
3.1.4 Definition des Messwertes und seiner Unsicherheit..... 77
3.2 Bestimmung der Messunsicherheit......................... 78
3.2.1 Statistische Prozesse mit vorgegebener Form der
Verteilung........................................ 78
3.2.2 Ablesen eines Messgeräts........................... 79
3.2.3 Empirische Ermittlung aus einer Messreihe........... 79
3.2.4 Fehler der empirischen Varianz...................... 80
3.3 Systematische Fehler..................................... 81
3.4 Lineare Fehlerfortpflanzung............................... 83
3.4.1 Mittelung über mehrere Messwerte.................. 83
3.4.2 Funktionelle Abhängigkeit von einer Messgröße........ 84
3.4.3 Fehler einer Funktion mehrerer Messgrößen........... 85
3.4.4 Mehrere Funktionen mehrerer Messgrößen............ 87
3.4.5 Beispiele......................................... 88
3.4.6 Verfälschung (Bias) einer Messung................... 91
3.5 Konfidenzintervalle...................................... 92
4 Monte-Carlo-Simulation................................... 95
4.1 Einleitung.............................................. 95
4.2 Erzeugung einfacher statistischer Verteilungen.............. 97
4.2.1 Pseudozufallszahlen im Computer................... 97
Inhaltsverzeichnis XI
4.2.2 Erzeugungen einfacher Verteilungen durch
Variablentransformationen.......................... 99
4.2.3 Einfache Wegwerfmethode zur Erzeugung von
Verteilungen......................................103
4.2.4 Majorantenmethode...............................104
4.2.5 Behandlung additiver Wahrscheinlichkeitsdichten......107
4.2.6 Wichtung der Ereignisse............................108
4.2.7 Migrationsmethode................................109
4.3 Lösung von Integralen....................................112
4.3.1 Primitive Wegwerfmethode.........................112
4.3.2 Verbesserte Wegwerfmethode.......................114
4.3.3 Wichtungsmethode................................116
4.3.4 Rückführung auf Erwartungswerte...................118
4.3.5 Intervallbildung...................................118
4.4 Allgemeine Bemerkungen.................................118
Parameterschätzung I .....................................121
5.1 Einführung.............................................121
5.2 Schätzung bei gegebener Priorwahrscheinlichkeit............124
5.2.1 Diskrete Hypothesen...............................124
5.2.2 Kontinuierliche Parameter..........................126
5.3 Definition und anschauliche Bedeutung der Likelihood .......127
5.4 Das Likelihoodverhältnis - Beispiele........................131
5.5 Die Maximum-Likelihood-Methode zur Parameterbestimmung. 134
5.5.1 Das Rezept bei einen unbekannten Parameter.........135
5.5.2 Beispiele.........................................136
5.5.3 Likelihoodanpassung für mehrere Parameter..........139
5.5.4 Kombination von Messungen........................140
5.5.5 Likelihood für Histogramme........................141
5.5.6 Erweiterte Likelihood..............................144
5.5.7 Weitere Beispiele..................................144
5.5.8 Kurvenanpassung an Messpunkte....................146
5.5.9 Komplizierte Likelihoodfunktionen...................147
5.5.10 Vergleich von Beobachtungen mit einer Monte-Carlo-
Simulation ........................................149
5.6 Berücksichtigung von Zwangsbedingungen..................153
5.7 Reduktion des Variablenraums............................155
5.7.1 Das Problem......................................155
5.7.2 Zwei Variable und ein linearer Parameter.............155
5.7.3 Verallgemeinerung auf mehrere Variable und Parameterl56
5.7.4 Nichtlineare Parameter.............................158
5.7.5 Methode des approximierten Likelihoodschätzers......158
5.8 Eliminieren von Störparametern...........................161
5.8.1 Faktorisierung der Likelihood.......................162
5.8.2 Parametertransformation, Restrukturierung...........162
XII Inhaltsverzeichnis
5.8.3 Formale Restrukturierung..........................164
5.8.4 Profillikelihood.................................... 165
5.8.5 Integration über den Störparameter..................166
5-8.6 Explizite Angabe der Abhängigkeit vom Störparameter. 166
5.8.7 Empfehlung......................................167
6 Parameterschätzung II ....................................169
6.1 Likelihood und Information...............................169
6.1.1 Erschöpfende Statistiken...........................169
6.1.2 Das Konditionierungsprinzip........................171
6.1.3 Das Likelihoodprinzip.............................¦ 172
6.1.4 Bias von Maximum-Likelihood-Ergebnissen...........173
6.1.5 Anwendung von Abbruchregeln .....................176
6.2 Weitere Methoden der Parameteranpassung.................178
6.2.1 Momentenverfahren................................178
6.2.2 Methode der kleinsten Quadrate ....................180
6.2.3 Lineare Regression................................182
6.3 Zusammenfassung und Vergleich der Parameterschätzverfahren 183
7 Intervallschätzung.........................................185
7.1 Einführung.............................................185
7.2 Fehlerintervalle..........................................186
7.2.1 Parabolische Näherung.............................187
7.2.2 Allgemeiner Fall..................................188
7.3 Einseitige Grenzen.......................................193
7.3.1 Allgemeiner Fall...................................193
7.3.2 Obere Poisson-Grenzen, einfacher Fall................194
7.3.3 Poisson-Grenzen bei Daten mit Untergrund...........195
7.3.4 Unphysikalische Parameterwerte.....................198
8 Entfaltung.................................................199
8.1 Einführung.............................................199
8.1.1 Das Problem......................................199
8.1.2 Entfaltung durch Matrixinversion....................202
8.1.3 Die Transfermatrix................................204
8.1.4 Regularisierung...................................205
8.2 Entfaltung von Histogrammen............................206
8.2.1 Die Likelihoodfunktion.............................206
8.2.2 Stärke der Regularisierung..........................207
8.2.3 Überlegungen zum Binning.........................207
8.2.4 Wahl der Regularisierungsfunktion...................208
8.2.5 Iterative Entfaltung ...............................209
8.2.6 Regularisierung der Transfermatrix..................212
8.3 Binningfreie Verfahren...................................214
8.3.1 Iterative Entfaltung ...............................214
Inhaltsverzeichnis XIII
8.3.2 Migrationsverfaliren...............................214
8.4 Vergleich der Verfahren..................................216
8.5 Fehlerabschätzung für die entfaltete Verteilung..............217
8.6 Entfaltung von Spektren hoher Statistik....................220
8.6.1 Entropieverfahren.................................220
9 Signifikanztests............................................223
9.1 Einführung.............................................223
9.2 Der %2 - Test in verallgemeinerter Form....................227
9.2.1 Die Idee des ^-Vergleichs..........................227
9.2.2 Die x2-Verteilung und der x2-Test...................228
9.2.3 Verallgemeinerung auf beliebige Messwerte...........230
9.2.4 Die Wahl des Binning..............................231
9.2.5 Der x2-Test bei Anpassung von Parametern..........233
9.2.6 x2-Test bei kleinen Proben.........................234
9.3 Der Likelihoodverhältnistest für Histogramme...............234
9.4 Der Kolmogorov-Smirnov-Test............................235
9.5 Weitere verteilungsfreie Tests ohne Binning.................236
9.5.1 Tests der Kolmogorov-Smirnov und Cramer-v.Mises-
Familien .........................................237
9.5.2 Der Neymansche Glattheitstest .....................238
9.5.3 Der Energietest...................................239
9.5.4 Der L2-Test ......................................242
9.5.5 Problemangepasste Tests...........................242
9.6 Vergleich unterschiedlicher Testverfahren...................244
9.6.1 Univariate Verteilungen............................244
9.6.2 Multivariate Verteilungen ..........................245
9.7 Vergleich von Proben....................................246
9.7.1 Die Problemstellung...............................246
9.7.2 x2- und Kolmogorov-Smirnov-Test...................247
9.7.3 Der Energietest...................................247
10 Statistisches Lernen.......................................251
10.1 Einführung.............................................251
10.2 Funktionsnäherung......................................253
10.2.1 Wichtungsmethoden...............................254
10.2.2 Orthogonalfunktionen..............................255
10.2.3 Wavelets.........................................256
10.2.4 Splineanpassung...................................258
10.2.5 Anpassung mit allgemeinen Funktionen..............261
10.2.6 Beispiel..........................................261
10.3 Hauptkomponentenanalyse, Faktorenanalyse................263
10.4 Klassifizierung..........................................268
10.4.1 Diskriminanzanalyse...............................269
10.4.2 Neuronale Netze ..................................270
XIV Inhaltsverzeichnis
10.4.3 Wichtungsmethoden...............................277
10.4.4 Entscheidungsbäume...............................281
10.4.5 Vergleich der Methoden............................284
11 Hilfemethoden.............................................287
11.1 Dichteschätzung.....................................-----287
11.2 Bootstrap..............................................289
11.2.1 Einführung.......................................289
11.2.2 Definitionen und Varianzschätzung..................290
11.2.3 Genauigkeit der Fehlerschätzung....................291
11.2.4 Konfidenzintervalle................................293
11.2.5 Vergleich von zwei Proben..........................293
12 Anhang....................................................295
12.1 Allgemeine Sätze, Aspekte der Häufigkeitsstatistik...........295
12.1.1 Allgemeine Eigenschaften von Punktschätzungen......295
12.1.2 Klassische Konfidenzintervalle.......................302
12.2 P-Werte für EDF-Statistiken..............................307
12.3 Extremwertsuche........................................308
12.3.1 Monte-Carlo-Suche................................310
12.3.2 Simplexverfahren..................................310
12.3.3 Parabelmethode...................................310
12.3.4 Gradientenabstiegsverfahren........................311
12.3.5 Stochastische Elemente bei der Minimumsuche........313
12.4 Formehl für B-Splinefunktionen...........................314
12.4.1 Lineare B-Splines..................................314
12.4.2 Quadratische B-Splines.............................315
12.4.3 Kubische B-Splines................................315
Sachverzeichnis................................................323
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