Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II): mit 4 Tabellen und 101 Aufgaben
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Springer
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Teil I. Nichtrelativistische Vielteilchen-Systeme
1. Zweite Quantisierung 3
1.1 Identische Teilchen, Mehrteilchenzustände
und Permutationssymmetrie 3
1.1.1 Zustände und Observable von identischen Teilchen.... 3
1.1.2 Beispiele 6
1.2 Vollkommen symmetrische und antisymmetrische Zustände . . 8
1.3 Bosonen 10
1.3.1 Zustände, Fock-Raum, Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren 10
1.3.2 Teilchenzahloperator 13
1.3.3 Allgemeine Einteilchen- und Mehrteilchenoperatoren . 14
1.4 Fermionen 17
1.4.1 Zustände, Fock-Raum und Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren 17
1.4.2 Ein- und Mehrteilchenoperatoren 20
1.5 Feldoperatoren 21
1.5.1 Transformationen zwischen verschiedenen Basissystemen 21
1.5.2 Feldoperatoren 21
1.5.3 Feldgleichungen 23
1.6 Impulsdarstellung 25
1.6.1 Impulseigenfunktionen, Hamilton-Operator 25
1.6.2 Fouriertransforrnation der Dichte 27
1.6.3 Berücksichtigung des Spins 28
Aufgaben 29
2. Spin-1/2 Fermionen 33
2.1 Nichtwechselwirkcnde Fermionen 33
2.1.1 Fenni-Kugel. Anregungen 33
2.1.2 Einteilchenkorrelationsfunktion 35
2.1.3 Paarverteilungsfunktion 3(i
*2.1.4 Paarverteilungsfunktion, Dichtekorrelationsfunktionen
und Strukturfaktor 39
XII Inhaltsverzeichnis
2.2 Grundzustandsenergie
und elementare Theorie des Elektronengases 41
2.2.1 Hamilton-Operator 41
2.2.2 Grundzustandsenergie in Hartree-Fock-Näherung 43
2.2.3 Änderung der elektronischen Energieniveaus
durch die Coulomb-Wechselwirkung 46
2.3 Hartree-Fock Gleichungen für Atome 49
Aufgaben 52
3. Bosonen 55
3.1 Freie Bosonen 55
3.1.1 Paarverteilungsfunktion für freie Bosonen 55
*3.1.2 Zweiteilchenzustände von Bosonen 57
3.2 Schwach wechselwirkendes, verdünntes Bose-Gas 60
3.2.1 Quantenflüssigkeiten und Bose-Einstein-Kondensation. 60
3.2.2 Bogoliubov-Theorie
des schwach wechselwirkenden Bose-Gases 62
*3.2.3 Suprafiuidität 69
Aufgaben 72
4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response 75
4.1 Streuung und Response 75
4.2 Dichtematrix, Korrelationsfunktionen 82
4.3 Dynamische Suszeptibilität 85
4.4 Dispersionsrelationen 89
4.5 Spektraldarstellung 90
4.6 Fluktuations Dissipations- Theorem 91
4.7 Anwendungsbeispiele 92
*4.8 Syrnmetrieeigenschaften 99
4.8.1 Allgemeine Syinmetrierelationen 99
4.8.2 Symnietrieeigensehaften der Responsefunktion
für hermitesche Operatoren 102
4.9 Summenregeln 106
4.9.1 Allgemeine Struktur von Summenregeln 106
4.9.2 Anwendung auf die Anregungen in He II 108
Aufgaben 109
Literatur zu Teil I 111
Inhaltsverzeichnis XIII
Teil II. Relativistische Wellengleichungen
5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen 115
5.1 Einleitung 115
5.2 Klein-Gordon-Gleichung 116
5.2.1 Aufstellung mittels des Korrespondenzprinzips 116
5.2.2 Kontinuitätsgleichung 119
5.2.3 Freie Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung 120
5.3 Dirac-Gleichung 121
5.3.1 Aufstellung der Dirac-Gleichung 121
5.3.2 Kontinuitätsgleichung 122
5.3.3 Eigenschaften der Dirac-Matrizen 123
5.3.4 Die Dirac-Gleichung in kovarianter Form 124
5.3.5 Nichtrelativistischer Grenzfall
und Kopplung an das elektromagnetische Feld 125
Aufgaben 131
6. Lorentz- Transformationen
und Kovarianz der Dirac-Gleichung 133
6.1 Lorentz-Transformationen 133
6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung 137
6.2.1 Die Lorentz-Kovarianz
und Transformation von Spinoren 137
6.2.2 Bestimmung der Darstellung S(A) 138
6.2.3 Weitere Eigenschaften der S 141
6.2.4 Transformation von Bilinearformen 146
6.2.5 Eigenschaften der 7-Matrizen 147
6.3 Lösungen der Dirac-Gleichung für freie Teilchen 148
6.3.1 Spinoren mit endlichem Impuls 148
6.3.2 Orthogonalitätsrelationen und Dichte 151
6.3.3 Projektionsoperatoren 153
Aufgaben 154
7. Drehimpuls - Bahndrehinipuls und Spin 157
7.1 Passive und aktive Transformationen 157
7.2 Drehungen und Drehimpuls 158
Aufgaben 161
8. Bewegung im Coulomb-Potential 163
8.1 Klein-Gordon-Gleichung mit elektromagnetischem Feld 163
8.1.1 Ankopplung an das elektromagnetische Feld 163
8.1.2 Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb-Feld 164
8.2 Dirac-Gleichung für das Coulomb-Potential 170
Aufgaben 182
XIV Inhaltsverzeichnis
9. Foldy-Wouthuysen- Transformation
und Relativistische Korrekturen 183
9.1 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation 183
9.1.1 Problemstellung 183
9.1.2 Transformation für freie Teilchen 184
9.1.3 Wechselwirkung mit elektromagnetischem Feld 185
9.2 Relativistische Korrekturen und Lamb-Verschiebung 190
9.2.1 Relativistische Korrekturen 190
9.2.2 Abschätzung der Lamb-Verschiebung 191
Aufgaben 196
10. Physikalische Interpretation der Lösungen
der Dirac-Gleichung 197
10.1 Wellenpakete und Zitterbewegung 197
10.1.1 Superposition von Zuständen positiver Energie 198
10.1.2 Allgemeines Wellenpaket 199
*10.1.3 Allgemeine Lösung der freien Dirac-Gleichung
im Heisenberg-Bild 203
* 10.1.4 Klein-Paradoxon, Potentialschwelle 204
10.2 Löcher-Theorie 207
Aufgaben 210
11. Symmetrien und weitere Eigenschaften
der Dirac-Gleichung 211
* 11.1 Aktive und passive Transformationen,
Transformation von Vektoren 211
11.2 Invarianz und Erhaltungssätze 214
11.2.1 Allgemeine Transformation 214
11.2.2 Drehungen 215
11.2.3 Translationen 215
11.2.4 Raumspiegelung (Paritätstransformation) 216
11.3 Ladungskonjugation 216
11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr) 220
11.4.1 Bewegungsumkehr in der klassischen Physik 220
11.4.2 Zeitumkehr in der Quantenmechanik 224
11.4.3 Zeitumkehrinvarianz der Dirac-Gleichung 232
*11.4.4 Racah-Zeitspiegelung 238
•11.5 Helizität 240
*11.6 Fermionen mit Masse Null (Neutrinos) 242
Aufgaben 247
Literatur zu Teil II 249
Inhaltsveraeichnis XV
Teil III. Relativistische Felder
12. Quantisierung von relativistischen Feldern 253
12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen . . 253
12.1.1 Lineare Kette von gekoppelten Oszillatoren 253
12.1.2 Kontinuumsgrenzfall, schwingende Saite 259
12.1.3 Verallgemeinerung auf drei Dimensionen,
Zusammenhang mit dem Klein-Gordon-Feld 262
12.2 Klassische Feldtheorie 265
12.2.1 Lagrange-Funktion
und Euler-Lagrange Bewegungsgleichungen 265
12.3 Kanonische Quantisierung 270
12.4 Symmetrien und Erhaltungssätze, Noether Theorem 271
12.4.1 Energie-Impuls-Tensor, Kontinuitätsgleichungen
und Erhaltungssätze 271
12.4.2 Herleitung der Erhaltungssätze für Viererimpuls,
Drehimpuls und Ladung
aus dem Noetherschen Theorem 273
Aufgaben 280
13. Freie Felder 281
13.1 Das reelle Klein-Gordon-Feld 281
13.1.1 Lagrange-Dichte, Vertauschungsrelationen,
Hamilton-Operator 281
13.1.2 Propagatoren 285
13.2 Das komplexe Klein-Gordon-Feld 289
13.3 Quantisierung des Dirac-Feldes 292
13.3.1 Feldgleichungen 292
13.3.2 Erhaltungsgrößen 293
13.3.3 Quantisierung 294
13.3.4 Ladung 298
* 13.3.5 Grenzfall unendlichen Volumens 299
13.4 Spin-Statistik-Theorem 300
13.4.1 Propagatoren und Spin-Statistik-Theorem 300
13.4.2 Ergänzungen zum Antikommutator
und Propagator des Dirac-Feldes 306
Aufgaben 307
14. Quantisierung des Strahlungsfeldes 311
14.1 Klassische Elektrodynamik 311
14.1.1 Maxwell-Gleichungen 311
14.1.2 Eichtransformationen 313
14.2 Coulomb-Eichung 313
14.3 Lagrange Dichte für das elektromagnetische Feld 315
XVI Inhaltsverzeichnis
14.4 Freies elektromagnetisches Feld und dessen Quantisierung ... 316
14.5 Berechnung des Photon-Propagators 320
Aufgaben 324
15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik 325
15.1 Lagrange-Funktionen, wechselwirkende Felder 325
15.1.1 Nichtlineare Lagrange-Funktionen 325
15.1.2 Fermionen in einem äußeren Feld 326
15.1.3 Wechselwirkung von Elektronen mit dem
Strahlungsfeld: Quantenelektrodynamik (QED) 326
15.2 Wechselwirkungsdarstellung, Störungstheorie 328
15.2.1 Wechselwirkungsdarstellung (auch Dirac-Darstellung). 328
15.2.2 Störungstheorie 331
15.3 S-Matrix 333
15.3.1 Allgemeine Formulierung 333
15.3.2 Einfache Übergänge 337
•15.4 Wicksches Theorem 340
15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman-Diagramme 344
15.5.1 Der Term erster Ordnung 345
15.5.2 Mott-Streuung 346
15.5.3 Prozesse zweiter Ordnung 352
15.5.4 Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik 361
*15.6 Strahlungskorrekturen 364
15.6.1 Selbstenergie des Elektrons 364
15.6.2 Selbstenergie des Photons, Vakuumpolarisation 370
15.6.3 Vertexkorrekturen 372
15.6.4 Ward-Identität und Ladungsrenormierung 373
15.6.5 Anomales magnetisches Moment des Elektrons 376
Aufgaben 379
Literatur zu Teil III 381
Anhang 383
A Alternative Herleitung der Dirac-Gleichung 383
B Formeln 385
B.l Standarddarstellung 385
B.2 Chirale Darstellung 385
B.3 Majorana-Darstellungen 386
C Projektionsoperatoren für den Spin 386
C.l Definition 386
C.2 Ruhsystem 386
C.3 Bedeutung des Projektionsoperators P(n) im allge¬
meinen 387
D Wegintegraldarstellung der Quantenmechanik 391
Inhaltsverzeichnis XVII
E Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes,
Gupta-Bleuler-Methode 393
E.l Quantisierung und Feynman-Propagator 393
E.2 Die physikalische Bedeutung von longitudinalen
und skalaren Photonen 395
E.3 Der Feynman-Photonen-Propagator 398
E.4 Erhaltungsgrößen 400
F Die Ankopplung von geladenen skalaren Mesonen
an das elektromagnetische Feld 400
Sachverzeichnis 403
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