Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen:
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| Language: | Undetermined |
| Published: |
Leipzig
Teubner
1978
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| Edition: | 3., bearb. Aufl. |
| Series: | Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und sonstige anwendungsorientierte Berufe
2 |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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|---|---|
| adam_text | TEIL 1: DIFFERENTIALRECHNUNG
......................................................... 9 1.
PROBLEMSTELLUNG UND HISTORISCHES
.............................................. 9 2. GRENZWERTE
................................................................. 10
2.1. GRENZWERT EINER FUNKTION FUER X +X,,
........................................... 10 2.1.1. DEFINITION DES
GRENZWERTES EINER FUNKTION FUER X -P XO ............................ 10
2.1.2. DIE *O&-CHARAKTENSIERUNG* DES GRENZWERTES
.................................. 13 2.2. EINSEITIGE GRENZWERTE
......................................................... 15 2.3.
GRENZWERT EINER FUNKTION FUER X -+ + M UND X -+ - M
.......................... 17 2.4. BESTIMMTE UND UNBESTIMMTE DIVERGENZ
......................................... 18 2.5. GRENZWERTSAETZE
.............................................................. 20 3.
STETIGKEIT
................................................................... 25
3.1. DER BEGRIFF DER STETIGKEIT
...................................................... 25 3.2.
EINSEITIGE STETIGKEIT . STETIGKEIT AUF EINEM INTERVALL
................................ 27 3.3. UNSTETIGKEITSSTELLEN UND IHRE
KLASSIFIKATION ..................................... 29 3.4.
EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN
.............................................. 32 3.4.1. DAS RECHNEN MIT
STETIGEN FUNKTIONEN ........................................... 32
3.4.2. STETIGKEIT DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN
.......................................... 33 3.4.3. WEITERE
EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN
....................................... 35 3.4.4. STETIGKEIT DER
UMKEHRFUNKTION ................................................ 38 4.
ABLEITUNGEN
................................................................. 39
4.1. VORBEMERKUNGEN
............................................................ 39 4.2. DER
BEGRIFF DER ABLEITUNG
..................................................... 41 4.2.1.
DEFINITION DER ABLEITUNG
...................................................... 41 4.2.2.
BEDEUTUNG DER ABLEITUNG
..................................................... 42 4.2.3.
BEISPIELE
.................................................................... 43
4.2.4. EINSEITIGE ABLEITUNGEN
........................................................ 45 4.2.5.
DIFFERENZIERBARKEIT AUF EINEM INTERVALL
.......................................... 47 4.3. DIFFERENZIERBARKEIT
UND STETIGKEIT .............................................. 48 4.4.
ALLGEMEINE DIFFERENTIATIONSREGELN
.............................................. 48 4.4.1. ABLEITUNGEN VON
SUMME, PRODUKT UND QUOTIENT .................................. 48 4.4.2.
ABLEITUNG MITTELBARER FUNKTIONEN (KETTENREGEL)
.................................. 50 4.4.3. ABLEITUNG DER
URNKEHRFUNKTION ................................................ 52 4.5.
ABLEITUNGEN EINIGER GMNDFUNKTIONEN
.......................................... 53 4.5.1. TABELLE DER
ABLEITUNGEN ....................................................... 53
4.5.2. BEWEIS DER FORMELN VON 4.5.1.
................................................. 54 4.6. TECHNIK DES
DIFFERENZIERENS ................................................... 57
4.6.1. BEISPIELE
.................................................................... 57
4.6.2. LOGARITHMISCHE DIFFERENTIATION
................................................ 59 4.6.3. BEMERKUNGEN
............................................................... 61 4.7.
EINIGE ERGAENZUNGEN ZUM ABLEITUNGSBEGRIFF
...................................... 62 4.7.1. DIE
DIFFERENTIALGLEICHUNG Y = NY
.............................................. 62 4.7.2. DER
DIFFERENTIATIONSOPERATOR
................................................... 63 INHALT 5 4.8.
ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG
................................................. 65 4.8.1. DEFINITIONEN
UND BEISPIELE .....................................................65
4.8.2. PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER 2. ABLEITUNG
........................................ 67 4.8.3. RECHENREGELN FUER
ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG ................................. 68 5.
DIFFERENTIALE
................................................................69 5.1.
WEIERSTRASSSCHE ZERLEGUNGSFORMEL UND DIFFERENTIAL
................................ 69 5.2. FEHLERRECHNUNG UND DIFFERENTIAL
............................................... 72 5.2.1. GMNDBEGRIFFE
DER FEHLERRECHNUNG ............................................. 72
5.2.2. ANWENDUNG DES DIFFERENTIALS
...................................................75 5.3. DIFFERENTIALE
HOEHERER ORDNUNG ................................................. 78 6.
EIGENSCHAFTEN DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN
......................................79 6.1. DIE SAETZE VON FERMAT UND
ROLLE ............................................... 79 6.2.
MITTELWERTSAETZE DER DIFFERENTIALRECHNUNG
........................................ 80 6.2.1. DER MITTELWERTSATZ
DER DIFFERENTIALRECHNUNG ..................................... 80 6.2.2.
FOLGERUNGEN AUS DEM MITTELWERTSATZ
........................................... 84 6.2.3. DER ERWEITERTE
KITTEIWERTSATZ DER DIFFERENTIALRECHNUNG ............................ 85
6.3. DIE TAYLORSCHE FORMEL UND IHRE ANWENDUNG
.................................... 86 6.3.1. TAYLORSCHE FORMEL FUER
GANZE RATIONALE FUNKTIONEN ............................... 86 6.3.2. DAS
HOMERSCHE SCHEMA
......................................................87 6.3.3.
TAYLORSCHE FORMEL FUER BELIEBIGE FUNKTIONEN
..................................... 92 6.3.4. TAYLORSCHE FORMEL
EINIGER ELEMENTARER FUNKTIONEN ............................... 96 6.3.5.
ANWENDUNGEN DER TAYLORSCHEN FORMEL
.........................................100 7. UNTERSUCHUNG VON
FUNKTIONEN MIT HILFE IHRER ABLEITUNGEN ........................107 7.1.
BERECHNUNG VON GRENZWERTEN
.................................................107 7.1.1. VORBEMERKUNA
. ...............................................................107 0
+CO 7.1.2. GRENZWERTE VOM TYP - 9 ,O UND - ..*= (REGELN VON
BERNOULLI-DE 1 HOSPITAL) ......... 108 7.1.3. GRENZWERTE VOM TYP .. 0
.(+M) UND *(+-) - (+-) ........................ 111 7.1.4. GRENZWERTE
VOM TYP ,,W. (+C-)~ UND .. .. LKM ................................112
7.2. MONOTONIE
.............................................................113 7.3.
RELATIVE EXTREMWERTE
........................................................ 115 7.3.1. DER
BEGRIFF DES RELATIVEN EXTREMWERTES
.........................................115 7.3.2. EINE NOTWENDIGE
BEDINGUNG (KRITISCHE STELLEN) ...................................117
7.3.3. EINE HINREICHENDE BEDINGUNG
..................................................118 7.3.4. EINE
WEITERE HINREICHENDE BEDINGUNG
............................................121 7.4. ABSOLUTE
EXTREMWERTE ........................................................124
7.4.1. ERMITTLUNG ABSOLUTER EXTREMWERTE
.............................................124 7.4.2. EINIGE
ANWENDUNGEN .........................................................
125 7.5. KONVEXITAETUNDWENDEPUNKTE
................................................. 128 7.5.1. KONVEXE UND
KONKAVE FUNKTIONEN .............................................128
7.5.2. WENDEPUNKTE
................................................................131 7.6.
KURVENDISKUSSION
............................................................133 7.7.
NAEHERUNGSWEISE LOESUNG VON GLEICHUNGEN DER FORM F(X) = 0
..................... 137 7.7.1. VORBEMERKUNG
............................................................... 137
7.7.2. REGULA FALSI
.................................................................137
7.7.3. DAS NEWTONSCHE VERFAHREN
....................................................141 7.7.4. DAS
ALLGEMEINE ITERATIONSVERFAHREN
............................................. 145 6 ~NHALT TEIL2:
INTEGRAIRECHNUNG
............................................................ 153 8.
PROBLEMSTELLUNG UND HISTORISCHES
.............................................. 153 9. DAS UNBESTIMMTE
INTEGRAL ..................................................... 155 9.1.
DEFINITION UND EINIGE INTEGRATIONSREGELN
........................................ 155 9.1.1. STAMMFUNKTIONEN UND
UNBESTIMMTE INTEGRALE .................................... 155 9.1.2.
UNBESTIMMTE INTEGRALE DER GRUNDFUNKTIONEN
.................................... 156 9.1.3. EINIGE ALLGEMEINE
INTEGRATIONSREGELN FUER UNBESTIMMTE INTEGRALE .................... 157
9.1.4. DIE SUBSTITUTIONSMETHODE BEI UNBESTIMMTEN INTEGRALEN
........................... 159 9.1.5. DIE PARTIELLE INTEGRATION
....................................................... 162 9.1.6.
MOEGLICHKEITEN UND GRENZEN DER INTEGRATION UND DER INTEGRATIONSREGELN
.............. 164 9.2. INTEGRATION RATIONALER FUNKTIONEN
.............................................. 164 9.2.1.
PROBLEMSTELLUNG UND -REDUZIERUNG
.............................................. 164 9.2.2. ZERLEGUNG ECHT
GEBROCHENER RATIONALER FUNKTIONEN IH PARTIALBRUECHE ................. 165
9.2.3. INTEGRATION DER PARTIALBRUECHE
..................................................168 9.3. INTEGRATION
WEITERER FUNKTIONENKLASSEN ..........................................
171 9.3.1. DASINTEGRALI R(X, N- + B) DX
............................................. 172 9.3.2. DAS INTEGRAL I
R(E3 DX ...................................................... 173
9.3.3. DAS INTEGRAL I R(SIN X. COS X) DX
..............................................174 9.3.4. DAS INTEGRAL (
R (X. LAX2 + BX + C) DX ........................................ 175 D
9.3.5. ELLIPTISCHE INTEGRALE
......................................................... 176 10. DAS
BESTIMMTE INTEGRAL
....................................................... 177 10.1.
DEFINITION . EXISTENZ UND EIGENSCHAFTEN
......................................... 177 10.1.1. INTEGRALSUMMEN
.............................................................. 177
10.1.2. DAS BESTIMMTE INTEGRAL
....................................................... 177 10.1.3.
INTEGRIERBARE FUNKTIONEN
......................................................179 10.1.4.
EIGENSCHAFTEN DES BESTIMMTEN INTEGRALS
.........................................180 10.2. BERECHNUNG BESTIMMTER
INTEGRALE .............................................. 182 10.2.1.
PROBLEMATIK
................................................................. 182
10.2.2. BESTIMMTES INTEGRAL MIT VARIABLER OBERER GRENZE
................................. 183 10.2.3. HAUPTSATZ DER
DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG ................................. 185
10.2.4. DIE SUBSTITUTIONSMETHODE BEI BESTIMMTEN INTEGRALEN
............................. 187 10.3. NAEHEMNGSWEISE BERECHNUNG
BESTIMMTER INTEGRALE .............................. 190 10.3.1.
PROBLEMSTELLUNG
............................................................. 190
10.3.2. DIE RECHTECK- UND DIE TRAPEZFORMEL
............................................ 191 10.3.3. DIE SIMPSONSCHE
REGEL ....................................................... 194 10.4.
EINIGE ANWENDUNGEN DES BESTIMMTEN INTEGRALS
.................................. 199 10.4.1. ANWENDUNGEN IN DER
GEOMETRIE ................................................ 199 10.4.2.
ANWENDUNGEN IN DEN NATUR- UND INGENIEURWISSENSCHAFTEN
......................... 212 10.4.3. EIN INTEGRALMODELL IN DER OEKONOMIE
........................................... 218 10.5. EINIGE ERGAENZUNGEN
ZUM INTEGRALBEGRIFF ......................................... 219
10.5.1. DAS BESTIMMTE INTEGRAL UND DER MASSBEGRIFF
...................................... 219 10.5.2. ANDERE
INTEGRALBEGRIFFE
........................................................ 221 11.
UNEIGENTLICHE INTEGRALE
........................................................ 225 1 .1.
UNEIBENTLICHE INTEGRALE MIT UNENDLICHEN GRENZEN
................................ 225 11.1.1. DEFINITION UND BERECHNUNG
UNEIGENTLICHER INTEGRALE MIT UNENDLICHEN GRENZEN ........ 225 INHALT I
11.1.2. CAUCHYSCHER HAUPTWERT
....................................................... 231 11.1.3.
EXISTENZKRITERIEN (KONVERGENZKRITENEN) FUER UNEIGENTLICHE INTEGRALE
................. 232 11.2. UNEIGENTLICHE INTEGRALE MIT
NICHTBESCHRAENKTER FUNKTION ........................... 235 11.2.1.
DEFINITION UND BERECHNUNG
.................................................... 235 11.2.2. EINIGE
ERGAENZUNGEN ..........................................................
238 LOESUNGEN DER AUFGABEN
............................................................. 240
LITERATUR
..........................................................................
261 NAMEN- UND SACHREGISTER
............................................................ -262
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