Schwingungen: eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen ; mit 68 Aufgaben mit Lösungen
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Inhalt
1 Grundbegriffe und Darstellungsmittel 1
1.1 Grundbegriffe 1
1.2 Das Ausschlag-Zeit-Diagramm (x,t-Bild) 2
1.3 Vektorbild und komplexe Darstellung 4
1.4 Phasenkurven und Phasenporträt 8
1.5 Übergangsfunktion, Frequenzgang und Ortskurve 12
1.6 Möglichkeiten einer Klassifikation von Schwingungen 16
2 Freie Schwingungen 18
2.1 Ungedämpfte freie Schwingungen 18
2.1.1 Verschiedene Arten von Schwingern und ihre Differentialgleichungen 18
2.1.1.1 Feder-Masse-Pendel 18
2.1.1.2 Der elektrische Schwingkreis 20
2.1.1.3 Flüssigkeit im U-Rohr 22
2.1.1.4 Drehschwinger 22
2.1.1.5 Schwerependel 24
2.1.2 Das Verhalten linearer Schwinger 28
2.1.2.1 Lösungen der Differentialgleichung 28
2.1.2.2 Energiebeziehungen 31
2.1.2.3 Der Einfluss der Federmasse 32
2.1.2.4 Bestimmung der Frequenz aus dem Biegepfeil 34
2.1.3 Das Verhalten nichtlinearer Schwinger 35
2.1.3.1 Allgemeine Zusammenhänge 35
2.1.3.2 Das ebene Schwerependel 38
2.1.3.3 Anwendungendes Schwerependels 41
2.1.3.4 Schwinger mit stückweise linearer Rückführfunktion 43
2.1.3.5 Näherungsmethoden 46
2.2 Gedämpfte freie Schwingungen 50
2.2.1 Berücksichtigung dämpfender Einflüsse 50
2.2.2 Der lineare Schwinger 52
2.2.2.1 Reduktion der allgemeinen Gleichung 52
2.2.2.2 Lösung der Bewegungsgleichungen 53
2.2.2.3 Das Zeitverhalten der Lösungen 55
2.2.2.4 Das Phasenporträt 59
2.2.3 Nichtlineare Schwinger 61
2.2.3.1 Der allgemeine Fall 61
2.2.3.2 Dämpfung durch Festreibung 62
2.2.3.3 Quadratische Dämpfungskräfte 65
2.2.3.4 Näherungen für den Fall geringer Dämpfung 68
2.3 Aufgaben 70
3 Selbsterregte Schwingungen 72
3.1 Aufbau und Wirkungsweise selbsterregungsfähiger Systeme 72
3.1.1 Schwinger-und Speicher-Typ 72
3.1.2 Energiehaushalt und Phasenporträt 75
X Inhalt
3.2 Berechnungsverfahren 78
3.2.1 Allgemeine Verfahren 78
3.2.2 Berechnung mit linearisierten Ausgangsgleichungen 79
3.2.3 Das Verfahren von Ritz und Galerkin 82
3.2.4 Die Methode der langsam veränderlichen Amplitude 84
3.3 Beispiele von Schwingern mit Selbsterregung 86
3.3.1 Das Uhrenpendel 86
3.3.1.1 Stoßerregung und lineare Dämpfung 86
3.3.1.2 Stoßerregung und Festreibung 89
3.3.2 Der Röhren-Generator 90
3.3.3 Reibungsschwingungen 92
3.4 Kippschwingungen 9
3.4.1 Beispiele von Kippschwing-Systemen "'
3.4.2 Schwingungen in einem Relaisregelkreis 99
3.5 Aufgaben 102
4 Parametererregte Schwingungen ^
4.1 Beispiele von Schwingern mit Parametererregung 1°4
4.1.1 Das Schwerependel mit periodisch bewegtem Aufhängepunkt 104
4.1.2 Schwingungen in Kupplungsstangen-Antrieben ™$
4.1.3 Der elektrische Schwingkreis mit periodischen Parametern 106
4.1.4 Nachbarbewegungen stationärer Schwingungen 1°°
4.1.5 Das ebene Fadenpendel mit veränderlicher Pendellänge 107
4.2 Berechnung eines Schaukelschwingers
4.2.1 Das Anwachsen der Amplituden ~\
4.2.2 Der Einfluss von Dämpfung und Reibung jj*
4.3 Parametererregte Schwingungen in linearen Systemen J
4.3.1 Allgemeine mathematische Zusammenhänge
4.3.2 Mathieuschen Differentialgleichung
4.3.3 Methoden zur näherungsweisen Berechnung
4.4 Der Schaukelschwinger mit Parametererregung ;
4.5 Aufgaben 12U
122
5 Erzwungene Schwingungen
5.1 Die Reaktion linearer Systeme auf niehtperiodische äußere Erregungen 123
5.1.1 Übergangsfunktionen bei Erregung durch eine Sprungfunktion j-f
5.1.2 Übergangsfunktionen bei Erregung durch eine Stoßfunktion lj~
5.1.3 Allgemeine Erregerfunktionen -_
5.2 Periodische Erregungen in linearen Systemen .
5.2.1 Harmonische Erregerfunktionen .„„
5.2.1.1 Bewegungsgleichungen von Schwingern mit harmonischer Erregung U*
5.2.1.2 Vergrößerungsfunktion und Phasenverlauf
5.2.1.3 Leistung und Arbeit bei erzwungenen Schwingungen Yi
5.2.1.4 Übertragungsfunktion, Frequenzgang und Ortskurven li
5.2.1.5 Einschwingvorgänge .**
5.2.2 Lösung mit Hilfe der Fourier-Zerlegung .«
5.2.3 Das Anstückelverfahren ,„
5.3 Anwendungen der Resonanztheorie .„
5.3.1 Schwingungsmessgeräte
Inhalt XI
5.3.2 Schwingungsisolierung von Maschinen und Geräten 151
5.4 Erzwungene Schwingungen von nichtlinearen Schwingern 155
5.4.1 Problemstellung und Lösungsmöglichkeiten 156
5.4.2 Schwinger mit unstetiger Rückführfunktion 158
5.4.2.1 Exakte Lösungen für gleichperiodische Schwingungen 158
5.4.2.2 Vergleich mit der Näherungslösung 160
5.4.2.3 Die Stabilität der periodischen Lösungen 161
5.4.3 Harmonische Erregung von gedämpften nichtlinearen Schwingern 163
5.4.3.1 Lineare Dämpfung und kubische Rückstellkraft 163
5.4.3.2 Festreibung und lineare Rückstellkraft 168
5.4.4 Oberschwingungen, Kombinationsfrequenzen und Unterschwingungen 169
5.4.5 Gleichrichterwirkungen 172
5.4.6 Erzwungene Schwingungen in selbsterregungsfähigen Systemen 172
5.5 Aufgaben 176
6 Koppelschwingungen 178
6.1 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden 178
6.1.1 Freie Schwingungen eines ungedämpften linearen Koppelschwingers 179
6.1.2 Eigenschwingungen und Hauptkoordinaten 181
6.1.3 Eigenfrequenzen als Extremwerte eines Energieausdruckes 184
6.1.4 Das Schwerependel mit elastischem Faden 185
6.1.5 Das Körperpendel mit drehbarer Platte 188
6.1.6 Erzwungene Schwingungen eines linearen Koppelschwingers 190
6.2 Lineare Schwingungssysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden 192
6.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen 192
6.2.2 Eigenschwingungen und Hauptkoordinaten 195
6.2.3 Schwingerketten 198
6.2.4 Freie gedämpfte Schwingungen 202
6.2.5 Erzwungene Schwingungen 204
6.2.6 Allgemeine Schwingungssysteme 207
6.3 Verfahren zur Schwingungsanalyse am Beispiel einer Drehschwingerkette 208
6.3.1 Restgrößenverfahren 211
6.3.2 Übertragungsmatrizen-Verfahren 213
6.3.3 Methode der finiten Elemente 216
6.4 Aufgaben 218
7 Kontimiumsschwingungen 221
7.1 Saite, Dehn-und Torsionsstab 221
7.1.1 Bewegungsgleichungen für freie, ungedämpfte Schwingungen 221
7.1.1.1 Querschwingungen von Saite und Seil 221
7.1.1.2 Längsschwingungen von Dehnstab und Schraubenfeder 222
7.1.1.3 Drehschwingungen von Torsionsstäben 223
7.1.2 Lösung der Wellengleichung 224
7.2 Balken 228
7.2.1 Bewegungsgleichung für freie, ungedämpfte Balkenschwingungen 228
7.2.2 Lösung der Differentialgleichung für Balkenschwingungen 229
7.2.3 Beispiele für allgemeinere Balkenprobleme 232
7.2.3.1 Querschwingungen eines Balkens mit Längskraft 232
7.2.3.2 Querschwingungen eines umlaufenden Balkens 234
XII Inhalt
7.2.3.3 Querschwingungen eines Kragbalkens mit Endkörper 235
7.3 Erweiterungen auf gedämpfte und
erzwungene Schwingungen 236
7.3.1 Freie gedämpfte Schwingungen 238
7.3.2 Erzwungene Schwingungen 239
7.4 Näherungsverfahren 242
7.4.1 Diskretisierungsverfahren 242
7.4.1.1 Das Ritz-Verfahren 243
7.4.1.2DasGalerkin-Verfahren 245
7.4.2 Schrankenverfahren 247
7.4.2.1 Der Rayleigh-Quotient 247
7.4.2.2 Die Formeln von Southwell und Dunkerley 250
7.5 Aufgaben 252
8 Chaotische Bewegungen 254
8.1 Zeitdiskrete Systeme 254
8.1.1 Die logistische Abbildung 254
8.1.2 Konzept und Anwendung der Poincare-Abbildung 260
8.2 Zeitkontinuierliche Systeme 264
8.2.1 Konservative Systeme 265
8.2.2 Homokline Punkte und die Methode von Melnikov 266
8.2.3 Dissipative Systeme und Attraktoren 268
8.2.4 Merkmale regulärer und chaotischer Bewegungen 269
8.3 Beispiele 273
8.3.1 Der Reibungsschwinger mit Fremderregung 274
8.3.2 Der Duffmg-Schwinger 281
Lösungen der Aufgaben 284
Literaturverzeichnis 291
Sachverzeichnis 294 |
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