Finite Elemente: eine Einführung für Ingenieure
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2008
|
| Edition: | 4., erw. Aufl. |
| Subjects: | |
| Online Access: | Beschreibung für Leser Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Literaturverz. S. [588] - 604 |
| Physical Description: | XIV, 615 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783540721888 3540721886 |
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Inhaltsverzeichnis
»
1 Einleitung 1
1.1 Beispiele aus Konstruktionsberechnung und Mechanik 1
1.2 Einordnung einer Finite-Elemente-Rechnung in den Prozeß der
Konstruktionsberechnung 5
1.3 Finite-Elemente-Verfahren für allgemeine Feldprobleme 7
1.4 Die Finite-Elemente-Methode und andere Diskretisierungsverfahren 9
1.5 Zur historischen Entwicklung der Finite-Elemente-Methode 11
1.6 Gliederung des Buches 18
2 Differentialgleichungsformulierungen für Probleme der
Strukturmechanik 21
2.1 Tragwerkstypen 21
2.2 Grundgleichungen und Randbedingungen für Scheibe und Stab 24
2.2.1 Zustandsgrößen für Scheibe und Stab 24
2.2.2 Gleichgewichtsbedingungen 25
2.2.3 Materialgesetz (Elastizitätsgesetz) 27
2.2.4 Kinematische Aussagen 28
2.2.5 Verschiebungsdifferentialgleichungen 28
2.2.6 Randbedingungen 29
2.2.7 Zusammenfassung und Erweiterung auf dreidimensionale Kontinua . 33
2.3 Zustandsgrößen von Balken und Platten 35
2.4 Grundgleichungen für Balken und Platten 38
2.5 Übungsaufgaben 41
3 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und das Prinzip vom
Minimum der potentiellen Energie 49
3.1 Was ist das Prinzip der virtuellen Verrückungen und wie setzt man es ein? . 50
3.2 Ableitung des Prinzips der virtuellen Verrückungen aus den
Gleichgewichtsbedingungen 55
3.3 Das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie (Dirichletsches
Variationsprinzip) 59
3.4 Zulässige Verschiebungszustände 63
3.5 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für einzelne Kontinua 65
Inhaltsverzeichnis K
3.5.1 Das Prinzip für dreidimensionale Kontinua, Scheiben und Dehnstäbe . 65
3.5.2 Das Prinzip für Balken und Platten 65
3.6 Übertragung des Prinzips der virtuellen Verrückungen auf die
Wärmeleitungsaufgabe 69
3.6.1 Grundgleichungen der Wärmeleitung 70
3.6.2 Das Prinzip der virtuellen Temperatur 73
3.6.3 Analogie zwischen den Grundgleichungen der Wärmeleitung und den
Grundgleichungen der Strukturmechanik 74
3.7 Übungsaufgaben 76
4 Finite-Elemente-Verfahren für Scheibentragwerke und Fachwerke 85
4.1 Ein Verfahren der finiten Elemente für Scheibentragwerke 85
4.1.1 Vorbemerkung: Globale oder lokal begrenzte Ansätze 86
4.1.2 Verschiebungsansatz für ein Rechteckelement 88
4.1.3 Stetigkeit des Verschiebungsansatzes 91
4.1.4 Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen durch
Einführung des Verschiebungsansatzes 93
4.1.5 Ermittlung der Steifigkeitsmatrix und der Lastvektoren für
Rechteckelemente 95
4.1.6 Aufbau und Lösen des Gleichungssystems 103
4.1.7 Berechnung der Schnittkräfte und der Formänderungsenergie 108
4.1.8 Anschauliche Interpretation 109
4.1.9 Zusammenfassung 114
4.1.10 Einfache Beispielrechnung 118
4.1.11 Verbesserte Schnittkraftberechnung 128
4.2 Mechanisch begründete Anforderungen an ein Finite-Elemente-Verfahren . 132
4.2.1 Stetigkeit des Verschiebungsansatzes 133
4.2.2 Darstellbarkeit von Starrkörperverschiebungszuständen 134
4.2.3 Darstellbarkeit konstanter Verzerrungszustände 136
4.2.4 Symmetrie der Steifigkeitsmatrix 139
4.2.5 Positive Definitheit der Steifigkeitsmatrix 140
4.2.6 Kriterien für die Wahl von Ansatzfunktionen 142
4.2.7 Überprüfung der Matrizen des 4-Knoten-Rechteckelementes 143
4.3 Ein Verfahren der finiten Elemente für Fachwerke 146
4.3.1 Elementierung 14?
4.3.2 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen 148
4.3.3 1. Schritt: Festlegung des Elementtyps 148
4.3.4 2. Schritt: Differentiation des Verschiebungsansatzes 150
4.3.5 3. Schritt: Auswertung der Elementintegrale 150
4.3.6 4. Schritt: Aufbau der Systemmatrizen 151
4.3.7 5. Schritt: Lösen des Gleichungssystems 152
4.3.8 6. Schritt: Berechnung der Schnittkräfte 153
4.3.9 Ermittlung des exakten Verschiebungsansatzes 154
X Inhaltsverzeichnis
4.3.10 Beispielrechnung 156
4.3.11 Erweiterung auf räumliche Fachwerke 156
4.4 Übungsaufgaben 158
5 Umsetzung des Verfahrens zu einem Finite-Elemente-Programm 16S
5.1 Dateneingabe und Ergebnisausgabe 165
5.2 Einbau der Elementmatrizen in die Systemmatrix 168
5.3 Einbau der Verschiebungsrandbedingungen in die Systemmatrizen 173
5.4 Direkter Aufbau der Matrizen des gefesselten Systems 175
5.5 Lösen des Gleichungssystems 176
5.6 Übungsaufgaben 183
6 Zur Klassifikation von Elementen und Ansatzfunktionen 187
6.1 Finite Elemente in der Deformationsmethode 187
6.2 Problemtypen beim Kraftgrößenverfahren 193
6.3 Übungsaufgaben 196
7 Ansatzfunktionen für Elemente vom Scheibentyp 201
7.1 Einleitung 201
7.2 Ansatzfunktionen für Rechteckelemente durch Produktbildung 202
7.3 Ansatzfunktionen für Randpunkt- und Übergangselemente 210
7.3.1 Formfunktionen für Randpunktelemente 211
7.3.2 Entwicklung der Steifigkeitsmatrix von Randpunktelementen 219
7.3.3 Formfunktionen für Übergangselemente 220
7.4 Schiefwinklige und krummlinig berandete Elemente 223
7.4.1 Einleitung 223
7.4.2 Abbildungs Vorschriften zur Approximation der Elementgeometrie . 225
7.4.3 Einführung des Verschiebungsansatzes 227
7.4.4 Transformation des Differentialoperators und des Bereichsdifferentials 230
7.4.5 Aufbau von Elementmatrizen und -Vektoren 232
7.4.6 Anmerkungen zur numerischen Integration und zur
programmtechnischen Umsetzung 234
7.5 Ansatzfunktionen für Dreieckelemente 236
7.5.1 Dreieckskoordinaten 237
7.5.2 Formfunktionen für gradlinig berandete Dreieckelemente 239
7.5.3 Transformation des Differentialoperators und des Flächendifferentials 242
7.5.4 Integration 243
7.5.5 Krummlinig berandete Dreieckelemente 244
7.6 Anmerkungen zu inkompatiblen Ansätzen 245
7.7 Übungsaufgaben 248
Inhaltsverzeichnis XI
8 Numerische Probleme 253
8.1 Hinweise für den Einsatz krummlinig berandeter Elemente 253
8.1.1 Lage der Knoten 253
8.1.2 Ordnung der numerischen Integration 257
8.2 Kontrollalgorithmen für Element- und Systemmatrizen 262
8.3 Genauigkeit und Konvergenzverhalten 265
8.3.1 Definition von Begriffen 266
8.3.2 Schrankencharakter von Energiegrößen 268
8.3.3 Fehlerquellen 270
8.3.4 Ein einfacher Konvergenzbeweis 274
8.4 Richardson-Extrapolation 283
8.5 Beispielrechnungen 286
8.5.1 Scheibenstreifen unter periodischer, treppenförmiger
Randschubbelastung 286
8.5.2 Kragscheibe unter Rand- und Flächenlasten 288
8.6 Einige praktische Schlußfolgerungen aus den Untersuchungen zum
Genauigkeits- und Konvergenzverhalten 294
8.7 Übungsaufgaben 296
9 Finite Elemente für Balken und Platten 299
9.1 Vorbemerkung 299
9.2 Forderungen an Balken- und Plattenelemente 301
9.3 Elemente für schubstarre Balken und Platten 304
9.3.1 Hermite-Ansätze für Balkenelemente 304
9.3.2 Ein kompatibles Plattenrechteckelement 307
9.3.3 Zwei Plattenrechteckelemente mit 12 Freiheitsgraden 312
9.3.4 Einige Bemerkungen zu isoparametrischen Viereckelementen für
schubstarre Platten 314
9.3.5 Dreieckelemente für schubstarre Platten 315
9.3.6 Schlußfolgerungen 325
9.4 Elemente für schubweiche Balken und Platten 326
9.4.1 Elemente für schubweiche Balken 327
9.4.2 Elemente für schubweiche Balken auf der Grundlage eines modifizierten
Variationsprinzips 336
9.4.3 Viereckelemente für schubweiche Platten 340
9.5 Gemischt-hybride Verfahren zur Entwicklung von Steifigkeitsmatrizen für
Plächentragwerken 344
9.6 Verwendung von isoparametrischen Scheiben- und Volumenelementen für
Balken- und Plattenstrukturen 346
9.7 Zusammenfassender Vergleich der Elemente für die Behandlung von
Biegestrukturen 349
9.8 Übungsaufgaben 351
XII Inhaltsverzeichnis
10 Theorie 2. Ordnung, Stabilität, Schwingungen 354
10.1 Vorbemerkung 354
10.2 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen nach Theorie 2. Ordnung für
Balken 355
10.2.1 Nichtlineare Formulierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen 356
10.2.2 Lineare Formulierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen . 359
10.3 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen nach Theorie 2. Ordnung für
Platten 362
10.4 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für dynamische Probleme 363
10.5 Berücksichtigung von Dämpfung im Stoffgesetz 367
10.6 Einige numerische Ergebnisse zum Beulen und Schwingen von Platten . 370
10.6.1 Plattenbeulen 371
10.6.2 Plattenschwingungen 375
10.6.3 Ausnutzung der Symmetrie bei Rechnungen nach Theorie 2.
Ordnung 378
10.7 Übungsaufgaben 379
11 Ein Verfahren der finiten Elemente für ebene Rahmentragwerke . 384
11.1 Elementierung 385
11.2 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für statische Probleme nach Theorie
1. und 2. Ordnung 386
11.3 Matrizen des schubweichen Stabelementes 386
11.4 Aufbau der Systemmatrizen 388
11.5 Berechnung der Verschiebungen und der Schnittkräfte an den Elementenden 390
11.6 Zustandsgrößen im Element 392
11.6.1 Zustandsgrößen bei einer statischen Rechnung nach Theorie
1. Ordnung 392
11.6.2 Zustandsgrößen bei einer statischen Rechnung nach Theorie
2. Ordnung 394
11.7 Beispielrechnungen 396
11.8 Übungsaufgaben 401
12 Ein kombiniertes Verfahren für rotationssymmetrische
Flächentragwerke 407
12.1 Problemdefinition 407
12.2 Voraussetzungen und Grundgedanken des Verfahrens 409
12.3 Differentialgleichungsformulierung und Prinzipformulierung 411
12.4 Ausnutzung der Rotationssymmetrie 414
12.5 Numerische Integration des homogenen Differentialgleichungssystems im
statischen Fall 416
12.6 Teilinversion zur Steifigkeitsmatrix und Ermittlung von
Einheitsverschiebungszuständen 417
Inhaltsverzeichnis XHI
12.7 Ermittlung der Massenmatrix und des Belastungsvektors mit dem Prinzip
der virtuellen Verrückungen 419
12.8 Aufbau des Gleichungssystems 420
12.9 Einige Ergebnisse , 421
12.10 Einsatzgrenzen des Verfahrens 426
12.11 Schlußfolgerungen 427
12.12 Kopplung von Finite-Elemente- und Mehrkörpersystem-Modellen 428
12.13 Übungsaufgaben 430
13 Einstieg in nichtlineare Berechnungsmethoden 433
13.1 Spannungs- und Verzerrungsmaße 434
13.2 Materialgesetz 437
13.3 Prinzip der virtuellen Verrückungen 438
13.4 Geometrie- und Verschiebungsansätze 439
13.5 Transformationen 440
13.6 Aufstellen des Gleichungssystems 442
13.7 Iterationsvorschrift 443
13.8 Elementsteifigkeitsmatrix 445
13.9 Kontrolle der Elementmatrizen 448
13.10 Ablauf des Verfahrens 449
13.11 Beispiel 454
13.12 Übungsaufgaben 456
14 Anhang 459
14.1 Einige Bemerkungen zu den Integralsätzen 459
14.1.1 Greensche Formel 459
14.1.2 Integralsatz für die Membran 461
14.1.3 Integralsatz für die Scheibe 461
14.1.4 Integralsatz für die schubstarre Platte 463
14.2 Grundlagen und Grundbegriffe der Variationsrechnung 464
14.2.1 Fundamentalsatz der Variationsrechnung 464
14.2.2 Variationsprinzip, Funktional, Nebenbedingungen, wesentliche
Randbedingungen 465
14.2.3 Durchführung der Variation 467
14.2.4 Eulersche Differentialgleichung 470
14.2.5 Einbau von Nebenbedingungen mit Lagrangeschen
Multiplikatoren 471
14.2.6 Kanonisches Variationsprinzip 475
14.2.7 Übergang zum Castiglianoschen Funktional 476
14.2.8 Einbau von Übergangsbedingungen mit Lagrangeschen
Multiplikatoren: Das Funktional von Pian 477
14.2.9 Einbau von Randbedingungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren in
das diskretisierte Dirichletsche Funktional 479
XTV Inhaltsverzeichnis
14.3 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 481
14.3.1 Struktursymmetrie 481
14.3.2 Symmetrische und antimetrische Belastung 482
14.3.3 Behandlung einer Teilstruktur 483
14.3.4 Mehrfachsymmetrie 487
14.3.5 Zyklische Rotationssymmetrie 488
14.4 Übungsaufgaben 493
15 Lösungen der Übungsaufgaben 497
15.1 Vorbemerkungen 497
15.2 Lösungen zu Kapitel 2 497
15.3 Lösungen zu Kapitel 3 505
15.4 Lösungen zu Kapitel 4 511
15.5 Lösungen zu Kapitel 5 522
15.6 Lösungen zu Kapitel 6 528
15.7 Lösungen zu Kapitel 7 535
15.8 Lösungen zu Kapitel 8 544
15.9 Lösungen zu Kapitel 9 548
15.10 Lösungen zu Kapitel 10 552
15.11 Lösungen zu Kapitel 11 558
15.12 Lösungen zu Kapitel 12 568
15.13 Lösungen zu Kapitel 13 569
15.14 Lösungen zu Kapitel 14 574
Symbole und Bezeichnungen 578
Literatur 588
Sachverzeichnis 605 |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
»
1 Einleitung 1
1.1 Beispiele aus Konstruktionsberechnung und Mechanik 1
1.2 Einordnung einer Finite-Elemente-Rechnung in den Prozeß der
Konstruktionsberechnung 5
1.3 Finite-Elemente-Verfahren für allgemeine Feldprobleme 7
1.4 Die Finite-Elemente-Methode und andere Diskretisierungsverfahren 9
1.5 Zur historischen Entwicklung der Finite-Elemente-Methode 11
1.6 Gliederung des Buches 18
2 Differentialgleichungsformulierungen für Probleme der
Strukturmechanik 21
2.1 Tragwerkstypen 21
2.2 Grundgleichungen und Randbedingungen für Scheibe und Stab 24
2.2.1 Zustandsgrößen für Scheibe und Stab 24
2.2.2 Gleichgewichtsbedingungen 25
2.2.3 Materialgesetz (Elastizitätsgesetz) 27
2.2.4 Kinematische Aussagen 28
2.2.5 Verschiebungsdifferentialgleichungen 28
2.2.6 Randbedingungen 29
2.2.7 Zusammenfassung und Erweiterung auf dreidimensionale Kontinua . 33
2.3 Zustandsgrößen von Balken und Platten 35
2.4 Grundgleichungen für Balken und Platten 38
2.5 Übungsaufgaben 41
3 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und das Prinzip vom
Minimum der potentiellen Energie 49
3.1 Was ist das Prinzip der virtuellen Verrückungen und wie setzt man es ein? . 50
3.2 Ableitung des Prinzips der virtuellen Verrückungen aus den
Gleichgewichtsbedingungen 55
3.3 Das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie (Dirichletsches
Variationsprinzip) 59
3.4 Zulässige Verschiebungszustände 63
3.5 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für einzelne Kontinua 65
Inhaltsverzeichnis K
3.5.1 Das Prinzip für dreidimensionale Kontinua, Scheiben und Dehnstäbe . 65
3.5.2 Das Prinzip für Balken und Platten 65
3.6 Übertragung des Prinzips der virtuellen Verrückungen auf die
Wärmeleitungsaufgabe 69
3.6.1 Grundgleichungen der Wärmeleitung 70
3.6.2 Das Prinzip der virtuellen Temperatur 73
3.6.3 Analogie zwischen den Grundgleichungen der Wärmeleitung und den
Grundgleichungen der Strukturmechanik 74
3.7 Übungsaufgaben 76
4 Finite-Elemente-Verfahren für Scheibentragwerke und Fachwerke 85
4.1 Ein Verfahren der finiten Elemente für Scheibentragwerke 85
4.1.1 Vorbemerkung: Globale oder lokal begrenzte Ansätze 86
4.1.2 Verschiebungsansatz für ein Rechteckelement 88
4.1.3 Stetigkeit des Verschiebungsansatzes 91
4.1.4 Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen durch
Einführung des Verschiebungsansatzes 93
4.1.5 Ermittlung der Steifigkeitsmatrix und der Lastvektoren für
Rechteckelemente 95
4.1.6 Aufbau und Lösen des Gleichungssystems 103
4.1.7 Berechnung der Schnittkräfte und der Formänderungsenergie 108
4.1.8 Anschauliche Interpretation 109
4.1.9 Zusammenfassung 114
4.1.10 Einfache Beispielrechnung 118
4.1.11 Verbesserte Schnittkraftberechnung 128
4.2 Mechanisch begründete Anforderungen an ein Finite-Elemente-Verfahren . 132
4.2.1 Stetigkeit des Verschiebungsansatzes 133
4.2.2 Darstellbarkeit von Starrkörperverschiebungszuständen 134
4.2.3 Darstellbarkeit konstanter Verzerrungszustände 136
4.2.4 Symmetrie der Steifigkeitsmatrix 139
4.2.5 Positive Definitheit der Steifigkeitsmatrix 140
4.2.6 Kriterien für die Wahl von Ansatzfunktionen 142
4.2.7 Überprüfung der Matrizen des 4-Knoten-Rechteckelementes 143
4.3 Ein Verfahren der finiten Elemente für Fachwerke 146
4.3.1 Elementierung 14?
4.3.2 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen 148
4.3.3 1. Schritt: Festlegung des Elementtyps 148
4.3.4 2. Schritt: Differentiation des Verschiebungsansatzes 150
4.3.5 3. Schritt: Auswertung der Elementintegrale 150
4.3.6 4. Schritt: Aufbau der Systemmatrizen 151
4.3.7 5. Schritt: Lösen des Gleichungssystems 152
4.3.8 6. Schritt: Berechnung der Schnittkräfte 153
4.3.9 Ermittlung des exakten Verschiebungsansatzes 154
X Inhaltsverzeichnis
4.3.10 Beispielrechnung 156
4.3.11 Erweiterung auf räumliche Fachwerke 156
4.4 Übungsaufgaben 158
5 Umsetzung des Verfahrens zu einem Finite-Elemente-Programm 16S
5.1 Dateneingabe und Ergebnisausgabe 165
5.2 Einbau der Elementmatrizen in die Systemmatrix 168
5.3 Einbau der Verschiebungsrandbedingungen in die Systemmatrizen 173
5.4 Direkter Aufbau der Matrizen des gefesselten Systems 175
5.5 Lösen des Gleichungssystems 176
5.6 Übungsaufgaben 183
6 Zur Klassifikation von Elementen und Ansatzfunktionen 187
6.1 Finite Elemente in der Deformationsmethode 187
6.2 Problemtypen beim Kraftgrößenverfahren 193
6.3 Übungsaufgaben 196
7 Ansatzfunktionen für Elemente vom Scheibentyp 201
7.1 Einleitung 201
7.2 Ansatzfunktionen für Rechteckelemente durch Produktbildung 202
7.3 Ansatzfunktionen für Randpunkt- und Übergangselemente 210
7.3.1 Formfunktionen für Randpunktelemente 211
7.3.2 Entwicklung der Steifigkeitsmatrix von Randpunktelementen 219
7.3.3 Formfunktionen für Übergangselemente 220
7.4 Schiefwinklige und krummlinig berandete Elemente 223
7.4.1 Einleitung 223
7.4.2 Abbildungs Vorschriften zur Approximation der Elementgeometrie . 225
7.4.3 Einführung des Verschiebungsansatzes 227
7.4.4 Transformation des Differentialoperators und des Bereichsdifferentials 230
7.4.5 Aufbau von Elementmatrizen und -Vektoren 232
7.4.6 Anmerkungen zur numerischen Integration und zur
programmtechnischen Umsetzung 234
7.5 Ansatzfunktionen für Dreieckelemente 236
7.5.1 Dreieckskoordinaten 237
7.5.2 Formfunktionen für gradlinig berandete Dreieckelemente 239
7.5.3 Transformation des Differentialoperators und des Flächendifferentials 242
7.5.4 Integration 243
7.5.5 Krummlinig berandete Dreieckelemente 244
7.6 Anmerkungen zu inkompatiblen Ansätzen 245
7.7 Übungsaufgaben 248
Inhaltsverzeichnis XI
8 Numerische Probleme 253
8.1 Hinweise für den Einsatz krummlinig berandeter Elemente 253
8.1.1 Lage der Knoten 253
8.1.2 Ordnung der numerischen Integration 257
8.2 Kontrollalgorithmen für Element- und Systemmatrizen 262
8.3 Genauigkeit und Konvergenzverhalten 265
8.3.1 Definition von Begriffen 266
8.3.2 Schrankencharakter von Energiegrößen 268
8.3.3 Fehlerquellen 270
8.3.4 Ein einfacher Konvergenzbeweis 274
8.4 Richardson-Extrapolation 283
8.5 Beispielrechnungen 286
8.5.1 Scheibenstreifen unter periodischer, treppenförmiger
Randschubbelastung 286
8.5.2 Kragscheibe unter Rand- und Flächenlasten 288
8.6 Einige praktische Schlußfolgerungen aus den Untersuchungen zum
Genauigkeits- und Konvergenzverhalten 294
8.7 Übungsaufgaben 296
9 Finite Elemente für Balken und Platten 299
9.1 Vorbemerkung 299
9.2 Forderungen an Balken- und Plattenelemente 301
9.3 Elemente für schubstarre Balken und Platten 304
9.3.1 Hermite-Ansätze für Balkenelemente 304
9.3.2 Ein kompatibles Plattenrechteckelement 307
9.3.3 Zwei Plattenrechteckelemente mit 12 Freiheitsgraden 312
9.3.4 Einige Bemerkungen zu isoparametrischen Viereckelementen für
schubstarre Platten 314
9.3.5 Dreieckelemente für schubstarre Platten 315
9.3.6 Schlußfolgerungen 325
9.4 Elemente für schubweiche Balken und Platten 326
9.4.1 Elemente für schubweiche Balken 327
9.4.2 Elemente für schubweiche Balken auf der Grundlage eines modifizierten
Variationsprinzips 336
9.4.3 Viereckelemente für schubweiche Platten 340
9.5 Gemischt-hybride Verfahren zur Entwicklung von Steifigkeitsmatrizen für
Plächentragwerken 344
9.6 Verwendung von isoparametrischen Scheiben- und Volumenelementen für
Balken- und Plattenstrukturen 346
9.7 Zusammenfassender Vergleich der Elemente für die Behandlung von
Biegestrukturen 349
9.8 Übungsaufgaben 351
XII Inhaltsverzeichnis
10 Theorie 2. Ordnung, Stabilität, Schwingungen 354
10.1 Vorbemerkung 354
10.2 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen nach Theorie 2. Ordnung für
Balken 355
10.2.1 Nichtlineare Formulierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen 356
10.2.2 Lineare Formulierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen . 359
10.3 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen nach Theorie 2. Ordnung für
Platten 362
10.4 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für dynamische Probleme 363
10.5 Berücksichtigung von Dämpfung im Stoffgesetz 367
10.6 Einige numerische Ergebnisse zum Beulen und Schwingen von Platten . 370
10.6.1 Plattenbeulen 371
10.6.2 Plattenschwingungen 375
10.6.3 Ausnutzung der Symmetrie bei Rechnungen nach Theorie 2.
Ordnung 378
10.7 Übungsaufgaben 379
11 Ein Verfahren der finiten Elemente für ebene Rahmentragwerke . 384
11.1 Elementierung 385
11.2 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für statische Probleme nach Theorie
1. und 2. Ordnung 386
11.3 Matrizen des schubweichen Stabelementes 386
11.4 Aufbau der Systemmatrizen 388
11.5 Berechnung der Verschiebungen und der Schnittkräfte an den Elementenden 390
11.6 Zustandsgrößen im Element 392
11.6.1 Zustandsgrößen bei einer statischen Rechnung nach Theorie
1. Ordnung 392
11.6.2 Zustandsgrößen bei einer statischen Rechnung nach Theorie
2. Ordnung 394
11.7 Beispielrechnungen 396
11.8 Übungsaufgaben 401
12 Ein kombiniertes Verfahren für rotationssymmetrische
Flächentragwerke 407
12.1 Problemdefinition 407
12.2 Voraussetzungen und Grundgedanken des Verfahrens 409
12.3 Differentialgleichungsformulierung und Prinzipformulierung 411
12.4 Ausnutzung der Rotationssymmetrie 414
12.5 Numerische Integration des homogenen Differentialgleichungssystems im
statischen Fall 416
12.6 Teilinversion zur Steifigkeitsmatrix und Ermittlung von
Einheitsverschiebungszuständen 417
Inhaltsverzeichnis XHI
12.7 Ermittlung der Massenmatrix und des Belastungsvektors mit dem Prinzip
der virtuellen Verrückungen 419
12.8 Aufbau des Gleichungssystems 420
12.9 Einige Ergebnisse , 421
12.10 Einsatzgrenzen des Verfahrens 426
12.11 Schlußfolgerungen 427
12.12 Kopplung von Finite-Elemente- und Mehrkörpersystem-Modellen 428
12.13 Übungsaufgaben 430
13 Einstieg in nichtlineare Berechnungsmethoden 433
13.1 Spannungs- und Verzerrungsmaße 434
13.2 Materialgesetz 437
13.3 Prinzip der virtuellen Verrückungen 438
13.4 Geometrie- und Verschiebungsansätze 439
13.5 Transformationen 440
13.6 Aufstellen des Gleichungssystems 442
13.7 Iterationsvorschrift 443
13.8 Elementsteifigkeitsmatrix 445
13.9 Kontrolle der Elementmatrizen 448
13.10 Ablauf des Verfahrens 449
13.11 Beispiel 454
13.12 Übungsaufgaben 456
14 Anhang 459
14.1 Einige Bemerkungen zu den Integralsätzen 459
14.1.1 Greensche Formel 459
14.1.2 Integralsatz für die Membran 461
14.1.3 Integralsatz für die Scheibe 461
14.1.4 Integralsatz für die schubstarre Platte 463
14.2 Grundlagen und Grundbegriffe der Variationsrechnung 464
14.2.1 Fundamentalsatz der Variationsrechnung 464
14.2.2 Variationsprinzip, Funktional, Nebenbedingungen, wesentliche
Randbedingungen 465
14.2.3 Durchführung der Variation 467
14.2.4 Eulersche Differentialgleichung 470
14.2.5 Einbau von Nebenbedingungen mit Lagrangeschen
Multiplikatoren 471
14.2.6 Kanonisches Variationsprinzip 475
14.2.7 Übergang zum Castiglianoschen Funktional 476
14.2.8 Einbau von Übergangsbedingungen mit Lagrangeschen
Multiplikatoren: Das Funktional von Pian 477
14.2.9 Einbau von Randbedingungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren in
das diskretisierte Dirichletsche Funktional 479
XTV Inhaltsverzeichnis
14.3 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 481
14.3.1 Struktursymmetrie 481
14.3.2 Symmetrische und antimetrische Belastung 482
14.3.3 Behandlung einer Teilstruktur 483
14.3.4 Mehrfachsymmetrie 487
14.3.5 Zyklische Rotationssymmetrie 488
14.4 Übungsaufgaben 493
15 Lösungen der Übungsaufgaben 497
15.1 Vorbemerkungen 497
15.2 Lösungen zu Kapitel 2 497
15.3 Lösungen zu Kapitel 3 505
15.4 Lösungen zu Kapitel 4 511
15.5 Lösungen zu Kapitel 5 522
15.6 Lösungen zu Kapitel 6 528
15.7 Lösungen zu Kapitel 7 535
15.8 Lösungen zu Kapitel 8 544
15.9 Lösungen zu Kapitel 9 548
15.10 Lösungen zu Kapitel 10 552
15.11 Lösungen zu Kapitel 11 558
15.12 Lösungen zu Kapitel 12 568
15.13 Lösungen zu Kapitel 13 569
15.14 Lösungen zu Kapitel 14 574
Symbole und Bezeichnungen 578
Literatur 588
Sachverzeichnis 605 |
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