Mathematik für Biologen:
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Heidelberg
Spektrum, Akad. Verl.
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XIV, 330 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783827420169 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort...............................................................
VII
1 Einstieg und grafische Darstellungen von Messdaten.................. 1
1.1 Grafische Darstellung von Daten und unterschiedliche Mittelwerte......... 1
1.2 Weitere Analyse der vorliegenden Messdaten........................... 6
Übungsaufgaben........................................................ 10
2 Grundlegende Rechenoperationen .................................. 15
2.1 Welche Zahlen sind aus der Schule bekannt?............................ 15
2.1.1 Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises........................ 18
2.1.2 Weitere Bezeichnungen und Notationen......................... 19
2.1.3 Weitere Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen............... 21
2.2 Potenzen, Binomialkoeffizienten und der „Binomische Lehrsatz ........... 21
2.2.1 Binomische Formeln......................................... 24
2.2.2 Binomialkoeffizienten und der „Binomische Lehrsatz ............ 24
2.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion................................ 26
2.3.1 Das
Hardy-
Weinberg sche Gleichgewicht ....................... 36
2.4 Der Umgang mit fehlerhaften Daten / Rechnen mit Fehlern............... 39
Übungsaufgaben........................................................ 41
3 Rechnen mit Ungleichungen........................................ 45
3.1 Grundregeln für das Rechnen mit Ungleichungen........................ 45
3.2 Beschränktheit von Mengen.......................................... 52
Übungsaufgaben........................................................ 53
4 Polynome und Polynomdivision..................................... 55
4.1 Rechenoperationen mit Polynomen.................................... 55
4.2 Polynomdivision................................................... 57
Übungsaufgaben........................................................ 60
5 Lineare Gleichungssysteme......................................... 61
5.1 Das Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe von Einsetzen............. 61
5.2 Die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen........................ 64
5.3 Matrizen.......................................................... 68
5.3.1 Rechnen mit Matrizen........................................ 69
5.4 Determinanten und invertierbare Matrizen.............................. 77
5.4.1 Determinanten.............................................. 78
5.4.2 Berechnung der
Inversen
..................................... 81
5.5 Spezielle Gleichungssysteme und die Eigenwerte einer Matrix............. 84
5.5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren ................................ 87
5.6 Komplexe Zahlen.................................................. 91
5.6.1 Rechnen mit komplexen Zahlen................................ 99
Übungsaufgaben........................................................ 101
XU Inhaltsverzeichnis
6 Was ist eine Funktion?............................................. 107
6.1 Wie erhält man eine Funktionsgleichung aus experimentellen Daten?....... 108
6.2 Besondere Klassen von Funktionen ................................... 113
6.2.1 Lineare Funktionen.......................................... 113
6.2.2 Lineare Regression.......................................... 114
6.2.3 Polynome.................................................. 117
6.2.4 Approximation der Daten mithilfe von Lagrange-Polynomen....... 117
6.2.5 Rationale Funktionen........................................ 120
6.2.6 Potenzfunktionen............................................ 120
6.3 Eigenschaften von Funktionen........................................ 121
Übungsaufgaben........................................................ 123
7 Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie.......... 127
7.1 Die Exponentialfunktion ............................................ 128
7.2 Die Logarithmusfunktion............................................ 132
7.2.1 Die Radiocarbon-Methode.................................... 133
7.3 Die allgemeine Exponentialfunktion................................... 135
7.4 Logistisches Wachstum ............................................. 136
Übungsaufgaben........................................................ 137
8 Die trigonometrischen Funktionen.................................. 139
8.1 Rechenregeln für die Sinus- und die Cosinusfunktion .................... 144
8.1.1 Anwendung von Cosinus und Sinus............................ 144
8.1.2 Winkelmaße................................................ 145
8.2 Tangens und
Cotangens
............................................. 146
9 Differentialrechnung............................................... 149
9.1 Die Ableitung einer Funktion ........................................ 149
9.2 Differentiationsregeln............................................... 152
Übungsaufgaben........................................................ 161
10 Integralrechnung.................................................. 165
10.1 Der Begriff des Integrals............................................. 166
10.2 Integrationsregeln.................................................. 172
10.3 Uneigenfliche Integrale.............................................. 178
Übungsaufgaben........................................................ 180
11 Gewöhnliche Differentialgleichungen................................ 181
11.1 Die Trennung der Variablen.......................................... ] 86
11.2 Die Variation der Konstanten......................................... 189
11.3 Ansatz vom Typ der rechten Seite..................................... 194
11.4 Differentialgleichungssysteme........................................ 200
11.4.1 Von der einzelnen Differentialgleichung
η
-ter
Ordnung zum Diffe¬
rentialgleichungssystem erster Ordnung.........................201
11.4.2 Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung. 202
1
1
.4.3 Grafische Darstellung der Lösungen bzw. Phasendiagramme ....... 205
Inhaltsverzeichnis XIII
11.4.4 Stabilitätsanalyse von stationären Punkten....................... 205
11.4.5 Räuber-Beute-Modelle....................................... 209
Übungsaufgaben........................................................ 212
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung....................................... 215
12.1 Laplace-Wahrscheinlichkeit.......................................... 216
12.1.1 Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit................... 225
12.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit......................................... 225
12.2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen............................... 228
12.3 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit................................ 229
12.4 Der Satz von
Bayes
................................................. 233
12.5 Statistische Wahrscheinlichkeit....................................... 235
Übungsaufgaben........................................................ 236
13 Wahrscheinlichkeitsverteilungen.................................... 239
13.1 Zufallsvariable..................................................... 239
13.1.1 Diskrete Zufallsvariable...................................... 240
13.1.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen....................... 244
13.1.3 Stetige Zufallsvariable ....................................... 254
13.1.4 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen......................... 256
13.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen.................................. 260
13.3 Maßzahlen von Zufallsvariablen...................................... 261
13.3.1 Der Mittelwert bzw. der Erwartungswert einer Zufallsvariablen..... 261
13.3.2 Die Varianz und die Standardabweichung ....................... 262
13.3.3
α
-Quantile
................................................. 266
13.3.4 Die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient................... 268
13.4 Kenngrößen für Stichproben......................................... 269
13.5 Zentraler Grenzwertsatz............................................. 270
Übungsaufgaben........................................................ 271
14 Parameterschätzung............................................... 273
14.1 Schätzung des Erwartungswertes...................................... 273
14.1.1 Planung des Stichprobenumfangs bei einer Mittelwertschätzung___ 281
14.2
Maximum-Likelihood-
und Kleinste-Quadrate-Schätzer.................. 282
14.2.1 Maximum-Likelihood-Schätzer................................ 282
14.2.2 Kleinste-Quadrate-Schätzer................................... 283
14.3 Konfidenzintervalle für Varianzen..................................... 284
14.4 Konfidenzintervalle für das Verhältnis zweier Varianzen.................. 288
Übungsaufgaben........................................................ 291
15 Testen von Hypothesen / Ein-Stichproben-Tests....................... 295
15.1 Das Testen von Hypothesen über den Erwartungswert.................... 299
15.1.1 Das Testen von Hypothesen über den Erwartungswert einer annä¬
hernd normalverteilten Zufallsvariablen bei großen Stichproben (n >
30)........................................................ 299
XIV
________________________________________________Inhaltsverzeichnis
15.1.2 Das Testen von Hypothesen bzgl. der Mittelwerte von Bernoulli-
Experimenten bei großen Stichproben / Der sogenannte Binomial-Test 301
15.2 Der t-Test......................................................... 304
15.2.1 Der t-Test für abhängige Stichproben........................... 306
15.3 Der ^-TestAAnpassungstest......................................... 309
Übungsaufgaben........................................................ 319
Personenverzeichnis..................................................... 325
Stichwortverzeichnis..................................................... 327
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Vorwort.
VII
1 Einstieg und grafische Darstellungen von Messdaten. 1
1.1 Grafische Darstellung von Daten und unterschiedliche Mittelwerte. 1
1.2 Weitere Analyse der vorliegenden Messdaten. 6
Übungsaufgaben. 10
2 Grundlegende Rechenoperationen . 15
2.1 Welche Zahlen sind aus der Schule bekannt?. 15
2.1.1 Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises. 18
2.1.2 Weitere Bezeichnungen und Notationen. 19
2.1.3 Weitere Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen. 21
2.2 Potenzen, Binomialkoeffizienten und der „Binomische Lehrsatz". 21
2.2.1 Binomische Formeln. 24
2.2.2 Binomialkoeffizienten und der „Binomische Lehrsatz" . 24
2.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion. 26
2.3.1 Das
Hardy-
Weinberg'sche Gleichgewicht . 36
2.4 Der Umgang mit fehlerhaften Daten / Rechnen mit Fehlern. 39
Übungsaufgaben. 41
3 Rechnen mit Ungleichungen. 45
3.1 Grundregeln für das Rechnen mit Ungleichungen. 45
3.2 Beschränktheit von Mengen. 52
Übungsaufgaben. 53
4 Polynome und Polynomdivision. 55
4.1 Rechenoperationen mit Polynomen. 55
4.2 Polynomdivision. 57
Übungsaufgaben. 60
5 Lineare Gleichungssysteme. 61
5.1 Das Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe von Einsetzen. 61
5.2 Die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen. 64
5.3 Matrizen. 68
5.3.1 Rechnen mit Matrizen. 69
5.4 Determinanten und invertierbare Matrizen. 77
5.4.1 Determinanten. 78
5.4.2 Berechnung der
Inversen
. 81
5.5 Spezielle Gleichungssysteme und die Eigenwerte einer Matrix. 84
5.5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren . 87
5.6 Komplexe Zahlen. 91
5.6.1 Rechnen mit komplexen Zahlen. 99
Übungsaufgaben. 101
XU Inhaltsverzeichnis
6 Was ist eine Funktion?. 107
6.1 Wie erhält man eine Funktionsgleichung aus experimentellen Daten?. 108
6.2 Besondere Klassen von Funktionen . 113
6.2.1 Lineare Funktionen. 113
6.2.2 Lineare Regression. 114
6.2.3 Polynome. 117
6.2.4 Approximation der Daten mithilfe von Lagrange-Polynomen. 117
6.2.5 Rationale Funktionen. 120
6.2.6 Potenzfunktionen. 120
6.3 Eigenschaften von Funktionen. 121
Übungsaufgaben. 123
7 Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie. 127
7.1 Die Exponentialfunktion . 128
7.2 Die Logarithmusfunktion. 132
7.2.1 Die Radiocarbon-Methode. 133
7.3 Die allgemeine Exponentialfunktion. 135
7.4 Logistisches Wachstum . 136
Übungsaufgaben. 137
8 Die trigonometrischen Funktionen. 139
8.1 Rechenregeln für die Sinus- und die Cosinusfunktion . 144
8.1.1 Anwendung von Cosinus und Sinus. 144
8.1.2 Winkelmaße. 145
8.2 Tangens und
Cotangens
. 146
9 Differentialrechnung. 149
9.1 Die Ableitung einer Funktion . 149
9.2 Differentiationsregeln. 152
Übungsaufgaben. 161
10 Integralrechnung. 165
10.1 Der Begriff des Integrals. 166
10.2 Integrationsregeln. 172
10.3 Uneigenfliche Integrale. 178
Übungsaufgaben. 180
11 Gewöhnliche Differentialgleichungen. 181
11.1 Die Trennung der Variablen. ] 86
11.2 Die Variation der Konstanten. 189
11.3 Ansatz vom Typ der rechten Seite. 194
11.4 Differentialgleichungssysteme. 200
11.4.1 Von der einzelnen Differentialgleichung
η
-ter
Ordnung zum Diffe¬
rentialgleichungssystem erster Ordnung.201
11.4.2 Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung. 202
1
1
.4.3 Grafische Darstellung der Lösungen bzw. Phasendiagramme . 205
Inhaltsverzeichnis XIII
11.4.4 Stabilitätsanalyse von stationären Punkten. 205
11.4.5 Räuber-Beute-Modelle. 209
Übungsaufgaben. 212
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 215
12.1 Laplace-Wahrscheinlichkeit. 216
12.1.1 Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit. 225
12.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit. 225
12.2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen. 228
12.3 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. 229
12.4 Der Satz von
Bayes
. 233
12.5 Statistische Wahrscheinlichkeit. 235
Übungsaufgaben. 236
13 Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 239
13.1 Zufallsvariable. 239
13.1.1 Diskrete Zufallsvariable. 240
13.1.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 244
13.1.3 Stetige Zufallsvariable . 254
13.1.4 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 256
13.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. 260
13.3 Maßzahlen von Zufallsvariablen. 261
13.3.1 Der Mittelwert bzw. der Erwartungswert einer Zufallsvariablen. 261
13.3.2 Die Varianz und die Standardabweichung . 262
13.3.3
α
-Quantile
. 266
13.3.4 Die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient. 268
13.4 Kenngrößen für Stichproben. 269
13.5 Zentraler Grenzwertsatz. 270
Übungsaufgaben. 271
14 Parameterschätzung. 273
14.1 Schätzung des Erwartungswertes. 273
14.1.1 Planung des Stichprobenumfangs bei einer Mittelwertschätzung_ 281
14.2
Maximum-Likelihood-
und Kleinste-Quadrate-Schätzer. 282
14.2.1 Maximum-Likelihood-Schätzer. 282
14.2.2 Kleinste-Quadrate-Schätzer. 283
14.3 Konfidenzintervalle für Varianzen. 284
14.4 Konfidenzintervalle für das Verhältnis zweier Varianzen. 288
Übungsaufgaben. 291
15 Testen von Hypothesen / Ein-Stichproben-Tests. 295
15.1 Das Testen von Hypothesen über den Erwartungswert. 299
15.1.1 Das Testen von Hypothesen über den Erwartungswert einer annä¬
hernd normalverteilten Zufallsvariablen bei großen Stichproben (n >
30). 299
XIV
_Inhaltsverzeichnis
15.1.2 Das Testen von Hypothesen bzgl. der Mittelwerte von Bernoulli-
Experimenten bei großen Stichproben / Der sogenannte Binomial-Test 301
15.2 Der t-Test. 304
15.2.1 Der t-Test für abhängige Stichproben. 306
15.3 Der ^-TestAAnpassungstest. 309
Übungsaufgaben. 319
Personenverzeichnis. 325
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