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Reelle Zahlen: das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen

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Bibliographic Details
Main Author:	Deiser, Oliver 1971- (Author)
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Language:	German
Published:	Berlin [u.a.] Springer 2008
Edition:	2., korrigierte und erw. Aufl.
Series:	Springer-Lehrbuch
Subjects:	Kontinuumshypothese Reelle Zahl
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ISBN:	9783540793755

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adam_text	Inhalt Vorwort......................................................7 Einführung................................................. 11 Die Themen des Buches.................................... 14 Vokabular...................................................17 Mengen und Elemente.................................. 17 Logische Konventionen und Sprechweisen.................. 18 Zahlen............................................... 19 Relationen........................................... 20 Funktionen........................................... 21 Eine Tabelle.......................................... 22 Erster Abschnitt: Das klassische Kontinuum .......... 23 1.1 Irrationale Zahlen......................................25 Kommensurable Größen................................ 25 Der Algorithmus von Euklid............................. 28 Kettenbrüche......................................... 30 Das regelmäßige Pentagramm............................ 36 Irrationalität der Quadratwurzel.......................... 39 Überlieferung und Bedeutung der Inkommensurabilität....... 40 Andere irrationale Zahlen............................... 45 Rationale Approximationen.............................. 47 Algebraische und transzendente Zahlen.................... 51 Intermezzo: Zur Geschichte der Analysis .....................61 1.2 Mächtigkeiten..........................................72 Mächtigkeiten......................................... 72 Bestimmung einiger Mächtigkeiten........................ 75 Eine symbolische Arithmetik mit Mächtigkeiten............. 79 Das Kontinuumsproblem................................ 82 Historischer Überblick.................................. 85 Inhalt 1.3 Charakterisierungen und Konstruktionen..................90 Die Ordnung der rationalen Zahlen....................... 91 Vollständigkeit und Lücken.............................. 92 Die Ordnung der reellen Zahlen.......................... 94 Eine algebraische Charakterisierung....................... 96 b-adische und andere Entwicklungen..................... 104 Zwei klassische Konstruktionen der reellen Zahlen.......... 106 Eine moderne Konstruktion............................ 112 Zu den Konstruktionen................................ 128 Zur Geschichte des Kontinuumsbegriffs................... 129 Das komplexe Ergebnis und seine Kritik................... 139 Cantors Darstellung von 1872 im Original................. 144 1.4 Euklidische Isometrien.................................153 Das Erlanger Programm............................... 156 Permutationen und Isometrien.......................... 157 Isometrien und lineare Abbildungen...................... 160 Isometrien in einer Dimension.......................... 166 Isometrien in zwei Dimensionen......................... 167 Isometrien in drei Dimensionen......................... 170 Zur Geschichte der Untersuchung Euklidischer Isometrien ... 174 Besonderheiten der Isometriegrappen $i und 3>г ............ 175 Besonderheiten der Rotationsgruppe SO3................. 176 1.5 Inhalte und Maße......................................185 Das Maßproblem..................................... 186 Maße auf σ -Algebren .................................. 194 Eine Konstruktion des Lebesgue-Maßes................... 197 Mengen mit positivem Lebesgue-Maß und Intervalle........ 202 Das Lebesgue-Maß für höhere Dimensionen............... 204 Das geometrische Lebesgue-Integral..................... 207 Die analytische Definition des Lebesgue-Integrals........... 211 Integrationssätze..................................... 219 Riemann-Integral und Peano-Jordan-Inhalt................ 222 Vorläufer und Nachfolger des Peano-Jordan-Inhalts......... 229 Eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals............. 230 1.6 Die Grenzen des Messens...............................238 Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes...................... 238 Volle bewegungsinvariante Inhalte....................... 244 Paradoxe Zerlegungen................................. 261 Die Paradoxa von Hausdorffund Banach-Tarski............ 268 Mittelbare Gruppen................................... 274 Inhalt Zweiter Abschnitt : Die Folgenräume................. 283 2.1 Einführung in den Baireraum............................285 Endliche Folgen und Folgenräume....................... 288 Die natürliche Topologie auf den Folgenräumen............ 290 Offene und abgeschlossene Mengen im Baireraum.......... 292 Kodierung offener Mengen............................. 293 Repräsentation abgeschlossener Mengen durch Bäume....... 294 Die kanonische Ordnung auf dem Baireraum............... 300 Stetige Funktionen auf dem Baireraum.................... 301 Einfache Homöomorphien............................. 302 Kompaktheit......................................... 303 Baireraum, Cantorraum und Kontinuum im Vergleich....... 305 2.2 Topologische Untersuchungen..........................311 Polnische 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Spiele.................................... 413 Strategien........................................... 414 Gewinnstrategien und Determiniertheit................... 418 Spezielle Aspekte..................................... 419 Einfache Spiele mit ermittelbarem Gewinner............... 422 Nichtdeterminierte Mengen............................ 423 Determiniertheit der offenen und abgeschlossenen Mengen... 425 Regularitätsspiele..................................... 433 Determiniertheit von Punktklassen....................... 441 2.6 Borelmengen und projektíve Mengen....................444 Die Borel-Hierarchie.................................. 444 Borel-Mengen als stetige Bilder des Baireraumes............ 455 Borel-Determiniertheit................................ 456 Stetige Reduzierbarkeit................................ 464 Die Susiin-Operation und analytische Mengen............. 468 Charakterisierungen und Eigenschaften analytischer Mengen.. 471 Regularitätseigenschaften analytischer 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