Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler:
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| Main Authors: | , |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2008
|
| Edition: | 2., korr. Aufl. |
| Series: | Springer-Lehrbuch
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Literaturverz. S. [627] - 628 |
| Physical Description: | XVIII, 633 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 3540764925 9783540764922 |
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|---|---|
| adam_text |
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung. 1
2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität. 11
2.1 Kondition eines Problems. 11
2.1.1 Elementare Beispiele. 12
2.1.2 Bemessen, Normen . 15
2.1.3 Relative und Absolute Kondition. 18
2.1.4 Relative Konditionszahlen skalarwertiger Probleme . 19
2.1.5 Operatornormen, Konditionszahlen linearer
Abbildungen. 26
2.2 Rundungsfehler und Gleitpunktarithmetik. 35
2.2.1 Zahlendarstellungen . 35
2.2.2 Rundung, Maschinengenauigkeit. 37
2.2.3 Gleitpunktarithmetik und Fehlerverstärkung bei
elementaren Rechenoperationen. 39
2.3 Stabilität eines Algorithmus. 42
2.4 Übungen. 48
3 Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren. 51
3.1 Vorbemerkungen, Beispiele . 51
3.2 Kondition und Störungssätze. 58
3.2.1 Zeilenskalierung. 62
3.3 Wie man es nicht machen sollte. 64
3.4 Dreiecksmatrizen, Rückwärtseinsetzen. 65
3.5 Gauß-Elimination,
Lñ-Zerlegung
. 68
3.5.1 Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung. 71
3.5.2 Numerische Durchführung der LA-Zerlegung und
Implementierungshinweise. 76
3.5.3 Einige Anwendungen der Uz-Zerlegung. 79
3.6 Cholesky-Zerlegung. 82
3.7 Bandmatrizen. 88
XIV Inhaltsverzeichnis
3.8 Stabilitätsanalyse bei der LR- und Cholesky-Zerlegung. 91
3.9 Q-R-Zerlegung. 92
3.9.1
Givens-Rotationen
. 95
3.9.2 Householder-Transformationen.101
3.10 Übungen.107
4 Lineare Ausgleichsrechnung.117
4.1 Einleitung.117
4.2 Das lineare Ausgleichsproblem .120
4.3 Kondition des linearen Ausgleichsproblems.124
4.4 Numerische Lösung des linearen Ausgleichsproblems.127
4.4.1 Lösung der Normalgleichungen.127
4.4.2 Lösung über QÄ-Zerlegung.129
4.5 Zum statistischen Hintergrund - lineare Regression*.132
4.6 Orthogonale Projektion auf einen Teilraum* .135
4.7 Singulärwertzerlegung
(SVD)
und Pseudoinverse*.142
4.7.1 Berechnung von Singulärwerten.148
4.7.2 Rangbestimmung.150
4.7.3 Einige Anwendungshintergründe der
SVD
.152
4.8 Übungen.153
5 Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren 159
5.1 Vorbemerkungen.159
5.2 Kondition des Nullstellenproblems einer
skalaren
Gleichung . 162
5.3 Fixpunktiteration.164
5.4 Konvergenzordnung und Fehlerschätzung.175
5.5 Berechnung von Nullstellen von
skalaren
Gleichungen.180
5.5.1 Bisektion.180
5.5.2 Das Newton-Verfahren.181
5.5.3 Newton-ähnliche Verfahren.186
5.5.4 Zusammenfassende Hinweise zu den Methoden für
skalaře
Gleichungen.190
5.6 Das Newton-Verfahren für Systeme.190
5.6.1 Grundlagen des Newton-Verfahrens.190
5.6.2 Hinweise zur praktischen Durchführung des
Newton-Verfahrens.196
5.7 Berechnung von Nullstellen von Polynomen*.203
5.8 Übungen.207
6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung.213
6.1 Problemstellung.213
6.2 Das Gauß-Newton-Verfahren.215
6.2.1 Analyse der Gauß-Newton-Methode.216
6.2.2 Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren.221
6.3 Levenberg-Marquardt- Verfahren.222
Inhaltsverzeichnis
XV
6.4 Übungen.224
Berechnung von Eigenwerten.227
7.1 Einleitung.227
7.2 Einige theoretische Grundlagen.230
7.3 Eigenwertabschätzungen.234
7.4 Kondition des Eigenwertproblems.235
7.5 Vektoriteration.238
7.6
Inverse
Vektoriteration.243
7.7 QR- Verfahren.245
7.7.1 Die Unterraumiteration .246
7.7.2 Qn-Algorithmus .252
7.7.3 Praktische Durchführung des
Qiî-Algorithmus
.253
7.8 Übungen.261
Interpolation.265
8.1 Vorbemerkungen.265
8.2 Lagrange-Interpolationsaufgabe für Polynome.267
8.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Lagrange-Polynom-
interpolation.267
8.2.2 Auswertung des Interpolationspolynoms an einer
oder wenigen Stellen.270
8.2.3 Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der
Potenzform.272
8.2.4 Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der
Newtonschen Interpolationsformel.275
8.2.5 Restglieddarstellung - Fehleranalyse.280
8.3 Hermite-Interpolation*.285
8.4 Numerische Differentiation.290
8.5 Grenzen der Polynominterpolation.292
8.6 Beispiel einer Splineinterpolation* .294
8.7 Trigonometrische Interpolation - Schnelle
Fourier-
Transformation*
.299
8.7.1 Fourier-Reihen.299
8.7.2 Trigonometrische Interpolation und diskrete
Fourier-Transformation
.306
8.7.3 Schnelle
Fourier-Transformation (Fast Fourier
Transform FFT) .313
8.8 Übungen.318
Splinefunktionen.323
9.1 Splineräume und Approximationsgüte.324
9.1.1 B-Splines.326
9.1.2 B-Splines als Basis für den Splineraum.330
9.1.3 Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines.332
XVI Inhaltsverzeichnis
9.1.4 Stabilität der B-Spline-Basis.335
9.2 Splineinterpolation.336
9.3 Datenfit-Smoothing
Splines
.342
9.4 Übungen.346
10 Numerische Integration.347
10.1 Einleitung.347
10.2 Newton-Cotes-Formeln.351
10.3 Gauß-Quadratur.355
10.4 Extrapolation und Romberg-Quadratur .360
10.5 Zweidimensionale Integrale .365
10.5.1 Transformation von Integralen.365
10.5.2 Integration über dem Einheitsquadrat.369
10.5.3 Integration über dem Einheitsdreieck .370
10.6 Übungen.371
11 Gewöhnliche Differentialgleichungen.375
11.1 Einführung.375
11.2 Reduktion auf ein System 1. Ordnung.380
11.3 Einige theoretische Grundlagen.381
11.4 Einfache Einschrittverfahren.386
11.5 Fehlerbetrachtungen für Einschrittverfahren.393
11.5.1 Lokaler Abbruchfehler und Konsistenz .393
11.5.2 Zusammenhang zwischen Konsistenz und Konvergenz . 399
11.5.3 Praktische Bedeutung der Konvergenzordnung.404
11.5.4 Extrapolation.404
11.6 Runge-Kutta-Einschrittverfahren.406
11.6.1 Explizite RK-Verfahren.410
11.6.2 Implizite RK-Verfahren* .416
11.7 Schrittweitensteuerung bei Einschrittverfahren.419
11.8 Mehrschrittverfahren.423
11.8.1 Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren.423
11.8.2 Adams-Bashforth-Verfahren .426
11.8.3 Adams-Moulton-Verfahren.428
11.8.4 Prädiktor-Korrektor-Verfahren.430
11.8.5 Konvergenz von linearen Mehrschrittverfahren* .432
11.9 Steife Systeme .436
11.9.1 Einleitung.436
11.9.2 Stabilitätsintervalle.440
11.9.3 Stabilitätsgebiete:
Л
-Stabilität* .443
11.9.4 Rückwärtsdifferenzenmethoden.444
11.10 Zusammenfassende Bemerkungen.447
11.11 Übungen.449
Inhaltsverzeichnis XVII
12 Partielle Differentialgleichungen.455
12.1 Problemstellung und Prototypen .455
12.2 Korrekt gestellte Probleme - Kondition*.465
12.3 Differenzenverfahren für elliptische Randwertaufgaben.470
12.3.1 Diskretisierung der
Poisson-
Gleichung.470
12.3.2 Diskretisierung einer Konvektions-Diffusionsgleichung . 474
12.3.3 Fourieranalyse.478
12.3.4 Diskretisierungsfehleranalyse - Stabilität und
Konsistenz.480
12.4 Finite-Elemente-Methode für elliptische Randwertaufgaben* . 490
12.4.1 Schwache Formulierung eines elliptischen
Randwertproblems.491
12.4.2 Satz von Lax-Milgram und Galerkin-Diskretisierung . 495
12.4.3 Korrektgestelltheit der schwachen Formulierung
elliptischer Randwertprobleme .500
12.4.4 Galerkin-Diskretisierung mit Finite-Elemente-Räumen 502
12.4.5 Diskretisierungsfehleranalyse.506
12.4.6
А
-posteriori
Fehlerschranken und Adaptivität.511
12.4.7 Matrix-Vektor Darstellung des diskreten Problems . 516
12.5
Finite-
Volumen-Methode für elliptische Randwertaufgaben . . 523
12.5.1
Finite-
Volumen Methode mit
Voronoi-Kontrollvolumina.527
12.5.2
Finite-
Volumen Methode mit einem dualen Gitter . 530
12.6 Fazit: Vergleich der Methoden.534
12.7 Diskretisierung parabolischer Anfangs-Randwertaufgaben . 536
12.8 Übungen.538
13 Große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative
Lösungsverfahren.543
13.1 Beispiele großer dünnbesetzter Gleichungssysteme .543
13.2 Eigenschaften von Steifigkeitsmatrizen .545
13.3 Lineare Iterationsverfahren .549
13.3.1 Einleitung.549
13.3.2 Das Jacobi-Verfahren.554
13.3.3 Das Gauß-Seidel-Verfahren .558
13.3.4
SOR-
Verfahren.561
13.4 Die Methode der konjugierten Gradienten .566
13.5 Vorkonditionierung.575
13.6 Zusammenfassende Bemerkungen.583
13.7 Übungen.584
14 Numerische Simulationen: Vom Pendel bis zum Airbus . 589
14.1 Taktmechanismus.590
14.2 Datenfit.593
14.3 Ein Masse-Feder System.596
XVIII
Inhaltsverzeichnis
14.4 Wärmeleitung.602
14.5 Komplexere Beispiele numerischer Simulationen.607
14.5.1
Inverses
Wärmeleitproblem in einem
welligen Rieselfflm.608
14.5.2 Inkompressible Strömung in einer Blutpumpe.615
14.5.3 Kompressible Strömung um einen Flugzeugflügel.620
14.6 Übungen.624
Literaturverzeichnis .627
Sachverzeichnis.629 |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung. 1
2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität. 11
2.1 Kondition eines Problems. 11
2.1.1 Elementare Beispiele. 12
2.1.2 Bemessen, Normen . 15
2.1.3 Relative und Absolute Kondition. 18
2.1.4 Relative Konditionszahlen skalarwertiger Probleme . 19
2.1.5 Operatornormen, Konditionszahlen linearer
Abbildungen. 26
2.2 Rundungsfehler und Gleitpunktarithmetik. 35
2.2.1 Zahlendarstellungen . 35
2.2.2 Rundung, Maschinengenauigkeit. 37
2.2.3 Gleitpunktarithmetik und Fehlerverstärkung bei
elementaren Rechenoperationen. 39
2.3 Stabilität eines Algorithmus. 42
2.4 Übungen. 48
3 Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren. 51
3.1 Vorbemerkungen, Beispiele . 51
3.2 Kondition und Störungssätze. 58
3.2.1 Zeilenskalierung. 62
3.3 Wie man es nicht machen sollte. 64
3.4 Dreiecksmatrizen, Rückwärtseinsetzen. 65
3.5 Gauß-Elimination,
Lñ-Zerlegung
. 68
3.5.1 Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung. 71
3.5.2 Numerische Durchführung der LA-Zerlegung und
Implementierungshinweise. 76
3.5.3 Einige Anwendungen der Uz-Zerlegung. 79
3.6 Cholesky-Zerlegung. 82
3.7 Bandmatrizen. 88
XIV Inhaltsverzeichnis
3.8 Stabilitätsanalyse bei der LR- und Cholesky-Zerlegung. 91
3.9 Q-R-Zerlegung. 92
3.9.1
Givens-Rotationen
. 95
3.9.2 Householder-Transformationen.101
3.10 Übungen.107
4 Lineare Ausgleichsrechnung.117
4.1 Einleitung.117
4.2 Das lineare Ausgleichsproblem .120
4.3 Kondition des linearen Ausgleichsproblems.124
4.4 Numerische Lösung des linearen Ausgleichsproblems.127
4.4.1 Lösung der Normalgleichungen.127
4.4.2 Lösung über QÄ-Zerlegung.129
4.5 Zum statistischen Hintergrund - lineare Regression*.132
4.6 Orthogonale Projektion auf einen Teilraum* .135
4.7 Singulärwertzerlegung
(SVD)
und Pseudoinverse*.142
4.7.1 Berechnung von Singulärwerten.148
4.7.2 Rangbestimmung.150
4.7.3 Einige Anwendungshintergründe der
SVD
.152
4.8 Übungen.153
5 Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren 159
5.1 Vorbemerkungen.159
5.2 Kondition des Nullstellenproblems einer
skalaren
Gleichung . 162
5.3 Fixpunktiteration.164
5.4 Konvergenzordnung und Fehlerschätzung.175
5.5 Berechnung von Nullstellen von
skalaren
Gleichungen.180
5.5.1 Bisektion.180
5.5.2 Das Newton-Verfahren.181
5.5.3 Newton-ähnliche Verfahren.186
5.5.4 Zusammenfassende Hinweise zu den Methoden für
skalaře
Gleichungen.190
5.6 Das Newton-Verfahren für Systeme.190
5.6.1 Grundlagen des Newton-Verfahrens.190
5.6.2 Hinweise zur praktischen Durchführung des
Newton-Verfahrens.196
5.7 Berechnung von Nullstellen von Polynomen*.203
5.8 Übungen.207
6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung.213
6.1 Problemstellung.213
6.2 Das Gauß-Newton-Verfahren.215
6.2.1 Analyse der Gauß-Newton-Methode.216
6.2.2 Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren.221
6.3 Levenberg-Marquardt- Verfahren.222
Inhaltsverzeichnis
XV
6.4 Übungen.224
Berechnung von Eigenwerten.227
7.1 Einleitung.227
7.2 Einige theoretische Grundlagen.230
7.3 Eigenwertabschätzungen.234
7.4 Kondition des Eigenwertproblems.235
7.5 Vektoriteration.238
7.6
Inverse
Vektoriteration.243
7.7 QR- Verfahren.245
7.7.1 Die Unterraumiteration .246
7.7.2 Qn-Algorithmus .252
7.7.3 Praktische Durchführung des
Qiî-Algorithmus
.253
7.8 Übungen.261
Interpolation.265
8.1 Vorbemerkungen.265
8.2 Lagrange-Interpolationsaufgabe für Polynome.267
8.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Lagrange-Polynom-
interpolation.267
8.2.2 Auswertung des Interpolationspolynoms an einer
oder wenigen Stellen.270
8.2.3 Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der
Potenzform.272
8.2.4 Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der
Newtonschen Interpolationsformel.275
8.2.5 Restglieddarstellung - Fehleranalyse.280
8.3 Hermite-Interpolation*.285
8.4 Numerische Differentiation.290
8.5 Grenzen der Polynominterpolation.292
8.6 Beispiel einer Splineinterpolation* .294
8.7 Trigonometrische Interpolation - Schnelle
Fourier-
Transformation*
.299
8.7.1 Fourier-Reihen.299
8.7.2 Trigonometrische Interpolation und diskrete
Fourier-Transformation
.306
8.7.3 Schnelle
Fourier-Transformation (Fast Fourier
Transform FFT) .313
8.8 Übungen.318
Splinefunktionen.323
9.1 Splineräume und Approximationsgüte.324
9.1.1 B-Splines.326
9.1.2 B-Splines als Basis für den Splineraum.330
9.1.3 Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines.332
XVI Inhaltsverzeichnis
9.1.4 Stabilität der B-Spline-Basis.335
9.2 Splineinterpolation.336
9.3 Datenfit-Smoothing
Splines
.342
9.4 Übungen.346
10 Numerische Integration.347
10.1 Einleitung.347
10.2 Newton-Cotes-Formeln.351
10.3 Gauß-Quadratur.355
10.4 Extrapolation und Romberg-Quadratur .360
10.5 Zweidimensionale Integrale .365
10.5.1 Transformation von Integralen.365
10.5.2 Integration über dem Einheitsquadrat.369
10.5.3 Integration über dem Einheitsdreieck .370
10.6 Übungen.371
11 Gewöhnliche Differentialgleichungen.375
11.1 Einführung.375
11.2 Reduktion auf ein System 1. Ordnung.380
11.3 Einige theoretische Grundlagen.381
11.4 Einfache Einschrittverfahren.386
11.5 Fehlerbetrachtungen für Einschrittverfahren.393
11.5.1 Lokaler Abbruchfehler und Konsistenz .393
11.5.2 Zusammenhang zwischen Konsistenz und Konvergenz . 399
11.5.3 Praktische Bedeutung der Konvergenzordnung.404
11.5.4 Extrapolation.404
11.6 Runge-Kutta-Einschrittverfahren.406
11.6.1 Explizite RK-Verfahren.410
11.6.2 Implizite RK-Verfahren* .416
11.7 Schrittweitensteuerung bei Einschrittverfahren.419
11.8 Mehrschrittverfahren.423
11.8.1 Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren.423
11.8.2 Adams-Bashforth-Verfahren .426
11.8.3 Adams-Moulton-Verfahren.428
11.8.4 Prädiktor-Korrektor-Verfahren.430
11.8.5 Konvergenz von linearen Mehrschrittverfahren* .432
11.9 Steife Systeme .436
11.9.1 Einleitung.436
11.9.2 Stabilitätsintervalle.440
11.9.3 Stabilitätsgebiete:
Л
-Stabilität* .443
11.9.4 Rückwärtsdifferenzenmethoden.444
11.10 Zusammenfassende Bemerkungen.447
11.11 Übungen.449
Inhaltsverzeichnis XVII
12 Partielle Differentialgleichungen.455
12.1 Problemstellung und Prototypen .455
12.2 Korrekt gestellte Probleme - Kondition*.465
12.3 Differenzenverfahren für elliptische Randwertaufgaben.470
12.3.1 Diskretisierung der
Poisson-
Gleichung.470
12.3.2 Diskretisierung einer Konvektions-Diffusionsgleichung . 474
12.3.3 Fourieranalyse.478
12.3.4 Diskretisierungsfehleranalyse - Stabilität und
Konsistenz.480
12.4 Finite-Elemente-Methode für elliptische Randwertaufgaben* . 490
12.4.1 Schwache Formulierung eines elliptischen
Randwertproblems.491
12.4.2 Satz von Lax-Milgram und Galerkin-Diskretisierung . 495
12.4.3 Korrektgestelltheit der schwachen Formulierung
elliptischer Randwertprobleme .500
12.4.4 Galerkin-Diskretisierung mit Finite-Elemente-Räumen 502
12.4.5 Diskretisierungsfehleranalyse.506
12.4.6
А
-posteriori
Fehlerschranken und Adaptivität.511
12.4.7 Matrix-Vektor Darstellung des diskreten Problems . 516
12.5
Finite-
Volumen-Methode für elliptische Randwertaufgaben . . 523
12.5.1
Finite-
Volumen Methode mit
Voronoi-Kontrollvolumina.527
12.5.2
Finite-
Volumen Methode mit einem dualen Gitter . 530
12.6 Fazit: Vergleich der Methoden.534
12.7 Diskretisierung parabolischer Anfangs-Randwertaufgaben . 536
12.8 Übungen.538
13 Große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative
Lösungsverfahren.543
13.1 Beispiele großer dünnbesetzter Gleichungssysteme .543
13.2 Eigenschaften von Steifigkeitsmatrizen .545
13.3 Lineare Iterationsverfahren .549
13.3.1 Einleitung.549
13.3.2 Das Jacobi-Verfahren.554
13.3.3 Das Gauß-Seidel-Verfahren .558
13.3.4
SOR-
Verfahren.561
13.4 Die Methode der konjugierten Gradienten .566
13.5 Vorkonditionierung.575
13.6 Zusammenfassende Bemerkungen.583
13.7 Übungen.584
14 Numerische Simulationen: Vom Pendel bis zum Airbus . 589
14.1 Taktmechanismus.590
14.2 Datenfit.593
14.3 Ein Masse-Feder System.596
XVIII
Inhaltsverzeichnis
14.4 Wärmeleitung.602
14.5 Komplexere Beispiele numerischer Simulationen.607
14.5.1
Inverses
Wärmeleitproblem in einem
welligen Rieselfflm.608
14.5.2 Inkompressible Strömung in einer Blutpumpe.615
14.5.3 Kompressible Strömung um einen Flugzeugflügel.620
14.6 Übungen.624
Literaturverzeichnis .627
Sachverzeichnis.629 |
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