Einführung in die mathematische Logik:
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Heidelberg
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Ein Beispiel aus der Gruppentheorie. 2
1.2 Ein Beispiel aus der Theorie der Äquivalenzrelationen. '4
1.3 Eine erste Analyse . 5
1.4 Ausblick. 7
2 Syntax der Sprachen erster Stufe 9
2.1 Alphabete. 9
2.2 Das Alphabet einer Sprache erster Stufe. 12
2.3
Terme
und Ausdrücke in Sprachen erster Stufe. 13
2.4 Induktion im
Term-
und im Ausdruckskalkül. 17
2.5 Freie Variablen und Sätze . 24
3 Semantik der Sprachen erster Stufe 27
3.1 Strukturen und Interpretationen. 28
3.2 Eine Normierung der umgangssprachlichen Junktoren. 31
3.3 Die Modellbeziehung. 33
3.4 Die Folgerungsbeziehung. 34
3.5 Zwei Lemmata über die Modellbeziehung. 41
3.6 Einige einfache Symbolisierungen. 46
3.7 Fragen zur Symbolisierbarkeit. 50
3.8 Substitution. 54
4 Ein Sequenzenkalkül 61
4.1 Sequenzenregeln. 62
4.2 Grund- und Junktorenregeln. 64
4.3 Ableitbare Junktorenregeln. 66
4.4
Quantoren-
und Gleichheitsregeln. 68
4.5 Weitere ableitbare Regeln . 70
4.6 Eine Zusammenfassung. Ein Beispiel. 72
4.7 Widerspruchsfreiheit. 74
5 Der Vollständigkeitssatz 79
5.1 Der Satz von Henkin. 79
5.2 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen
(abzählbarer Fall). 84
5.3 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen
(allgemeiner Fall). 87
5.4 Der Vollständigkeitssatz. 90
6 Löwenheim und Skolem und der Endlichkeitssatz 91
6.1 Der Satz von Löwenheim und Skolem. 91
6.2 Der Endlichkeitssatz. 93
6.3 Elementare Klassen. 95
6.4 Elementar äquivalente Strukturen. 99
7 Zur Tragweite der ersten Stufe 105
7.1 Der formale Beweisbegriff .106
7.2 Mathematik im Rahmen der ersten Stufe.109
7.3 Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem der Mengenlehre . . . 114
7.4 Bemerkungen zum mengentheoretischen Aufbau der
Mathematik.118
8 Syntaktische Interpretationen und Normalformen 123
8.1 Termreduzierte Ausdrücke und relationale Symbolmengen . 123
8.2 Syntaktische Interpretationen.126
8.3 Definitionserweiterungen.134
8.4 Normalformen.137
9 Erweiterungen der Logik erster Stufe 145
9.1 Die Logik zweiter Stufe.146
9.2 Das System
£ωιω
.151
9.3 Das System CQ.157
10 Grenzen der formalen Methode 159
10.1 Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit.160
10.2 Registermaschinen .165
10.3 Das Halteproblem für Registermaschinen.172
10.4 Die Unentscheidbarkeit der Logik erster Stufe.177
10.5 Der Satz von Trachtenbrot und die Unvollständigkeit der Logik
zweiter Stufe .180
10.6 Theorien und Entscheidbarkeit.183
10.7 Selbstbezügliche Aussagen und die Gödelschen
Unvollständigkeitssätze.191
11 Freie Modelle und Logik-Programmierung 199
11.1 Der Satz von Herbrand.200
11.2 Freie Modelle und universelle Hornausdrücke.203
11.3 Herbrandstrukturen.209
11.4 Aussagenlogik.212
11.5 Aussagenlogische Resolution.218
11.6 Resolution in der ersten Stufe (ohne Unifikation).230
11.7 Logik-Programmierung.239
12 Eine algebraische Charakterisierung der elementaren
Äquivalenz 255
12.1 Endliche und partielle Isomorphie.256
12.2 Der Satz von
Fraïssé
.262
12.3 Der Beweis des Satzes von
Fraïssé
.264
12.4 Ehrenfeucht-Spiele .271
13 Die Sätze von Lindström 273
13.1 Logische Systeme.273
13.2 Reguläre logische Systeme mit Endlichkeitssatz .277
13.3 Der erste Satz von Lindström.278
13.4 Der zweite Satz von Lindström .285
Lösungshinweise zu den Aufgaben 291
Literaturverzeichnis 325
Symbolverzeichnis 329
Sach- und Personenverzeichnis 333 |
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Ein Beispiel aus der Gruppentheorie. 2
1.2 Ein Beispiel aus der Theorie der Äquivalenzrelationen. '4
1.3 Eine erste Analyse . 5
1.4 Ausblick. 7
2 Syntax der Sprachen erster Stufe 9
2.1 Alphabete. 9
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2.4 Induktion im
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2.5 Freie Variablen und Sätze . 24
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3.2 Eine Normierung der umgangssprachlichen Junktoren. 31
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3.6 Einige einfache Symbolisierungen. 46
3.7 Fragen zur Symbolisierbarkeit. 50
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4.3 Ableitbare Junktorenregeln. 66
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4.5 Weitere ableitbare Regeln . 70
4.6 Eine Zusammenfassung. Ein Beispiel. 72
4.7 Widerspruchsfreiheit. 74
5 Der Vollständigkeitssatz 79
5.1 Der Satz von Henkin. 79
5.2 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen
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5.3 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen
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5.4 Der Vollständigkeitssatz. 90
6 Löwenheim und Skolem und der Endlichkeitssatz 91
6.1 Der Satz von Löwenheim und Skolem. 91
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7 Zur Tragweite der ersten Stufe 105
7.1 Der formale Beweisbegriff .106
7.2 Mathematik im Rahmen der ersten Stufe.109
7.3 Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem der Mengenlehre . . . 114
7.4 Bemerkungen zum mengentheoretischen Aufbau der
Mathematik.118
8 Syntaktische Interpretationen und Normalformen 123
8.1 Termreduzierte Ausdrücke und relationale Symbolmengen . 123
8.2 Syntaktische Interpretationen.126
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8.4 Normalformen.137
9 Erweiterungen der Logik erster Stufe 145
9.1 Die Logik zweiter Stufe.146
9.2 Das System
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10 Grenzen der formalen Methode 159
10.1 Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit.160
10.2 Registermaschinen .165
10.3 Das Halteproblem für Registermaschinen.172
10.4 Die Unentscheidbarkeit der Logik erster Stufe.177
10.5 Der Satz von Trachtenbrot und die Unvollständigkeit der Logik
zweiter Stufe .180
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10.7 Selbstbezügliche Aussagen und die Gödelschen
Unvollständigkeitssätze.191
11 Freie Modelle und Logik-Programmierung 199
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