Repetitorium der Funktionentheorie: [komplexe Zahlen , elementare Funktionen, holomorphe Funktionen, konforme Abbildungen, Cauchy Theorie, Meromorphe Funktionen, Residuentheorie, Gammafunktion ; ca. 400 Aufgaben mit Lösungen]
Saved in:
| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Springe
Binomi
2007
|
| Edition: | [Nachdr.] |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 350 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783923923564 3923923562 |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
s
ver zeichnis
Teil
I:
Theorie 11
1 Komplexe Zahlen 11
1.1 Definition.............................. 11
1.2 Rechnen in
С
............................ 12
1.2.1 Komplexe Konjugierung.................. 12
1.2.2 Betrag und Argument, Polarkoordinaten......... 13
1.2.3 Potenzen und Wurzeln................... 15
1.3 Geometrisches............................ 16
1.4 Die komplexe Zahlenkugel..................... 18
1.4.1 Erweiterte Ebene
С
.................... 18
1.4.2 Stenographische Projektion................ 18
1.4.3 Chordale Metrik...................... 20
1.5 Topologisches............................ 21
1.5.1 Metrische Räume...................... 21
1.5.2 Folgen. Konvergenz..................... 24
1.5.3 Kompaktheit........................ 26
1.5.4 Zusammenhang, Gebiete.................. 27
1.5.5 Wege und Zykeln...................... 28
1.5.6 Umlaufzahl, Homologie .................. 30
1.5.7 Einfach zusammenhängende Gebiete........... 31
1.5.8 Homotopie ......................... 32
1.6 Folgen, Reihen und Produkte................... 33
1.6Л
Folgen............................ 33
1.6.2 Teilfolgen und Häufimgswerte............... 33
1.6.3 Konvergenz in
С
...................... 34
1.6.4 Reihen komplexer Zahlen................. 35
1.6.5 Konvergenzkriterien.................... 37
1.6.6 Reihenprodukte....................... 39
1.6.7 Unendliche Produkte
ксшірЗехег
Zahlen......... 40
2 Komplexe Funktionen 42
2.1 Stetige Funktionen......................... 42
2.1.1 Funktionsgrenzwerte.................... 42
2.1.2 Stetigkeit.......................... 43
2.1.3 Stetigkeit auf Punktmengen................ 45
2.1.4 Sätze über stetige Funktionen............... 46
6
2.2
Lineare
Abbildungen........................ 46
2.3 Polynome.............................. 48
2.4 Rationale Funktionen ....................... 50
2.4.1 Partialbruchzerlegung................... 52
2.5 Folgen und Reihen komplexer Funktionen............ 53
2.5.1 Punktweise Konvergenz.................. 53
2.5.2 Gleichmäßige Konvergenz................. 53
2.5.3 Lokal gleichmäßige bzw kompakte Konvergenz..... 55
2.5.4 Normal konvergente Reihen................ 55
2.5.5 Potenzreihen........................ 56
2.6 Elementare Funktionen....................... 59
2.6.1 Exponentialfunktion.................... 59
2.6.2 Trigonometrische und Hyperbel-Funktionen....... 60
2.6.3 Logarithmen........................ 63
2.6.4 Allgemeine Potenzen.................... 65
2.6.5
Arcuş
und Areafunktioneii................. 66
Differenzieren und Integrieren in
С
69
3.1 Komplexe Differenzierbarkeit................... 69
3.1.1 Vergleich mit der reellen Differenzierbarkeit....... 70
3.1.2 Einfache Eigenschaften und Rechenregeln........ 72
3.1.3 Wirtinger Kalkül...................... 73
3.2 Differenzieren und Integrieren nach reellen Variablen...... 75
3.2.1 Differenzieren nach reellen Variablen........... 75
3.2.2 Integration in reellen Intervallen............. 75
3.3 Wegintegrale in
С
.......................... 76
3.3.1 Rechenregeln........................ 78
3.4 Stammfunktionen.......................... 79
Holomorphe Funktionen 80
4.1 Holomoiphie-Kriterien....................... 80
4.2 Wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen........ 81
4.3 Cauchy-Integralsatz und -Formel................. 83
4.4 Ganze Funktionen......................... 85
4.5 Folgen und Familien holomorpher Funktionen.......... 87
4.5.1 Folgen und Reihen holomorpher Funktionen....... 87
4.5.2 Normale Familien...................... 88
4.6 Harmonische Funktionen...................... 90
4.6.1 Eigenschaften harmonischer Funktionen......... 90
4.6.2 Dirichlet-Problem und
Poisson-
Formel.......... 92
4.6.3 Konjugiert harmonische Funktionen........... 93
5 Geometrische Funktionentheorie 95
5.1 Lokales Verhalten.......................... 95
5.1.1 Winkeltreue......................... 95
5.1.2 Ordnung einer holomorphen Funktion.......... 96
5.2 Analytische Fortsetzung...................... 97
5.2.1 Spiegehmgsprmzip..................... 98
5.3 Konforme Abbildungen ...................... 99
5.3.1 Beispiele konformer Abbildungen............. 101
5.3.2 Automorphismen...................... 104
5.4 Möbius- Abbildungen........................ 106
5.4.1 Die Gruppe der Möbius-Abbildungen........... 106
5.4.2 AbbildimgHverhalten der Möbiuw-Abbildungen...... 107
5.4.3 Fixpunkte und Klassifizierung ron Möbins-Abbildungen 109
6 Isolierte Singularitäten 111
ö.l Laurentreihen............................ 111
6.1.1 Laurentreihe einer in einem Kreisring holomorphen Funk¬
tion ............................. 111
6.1.2 Laurententwicklung um eine isolierte Singularität .... 112
6.2 Isolierte Singularitäten....................... 112
6.2.1 Hebbare Singularitäten .................. 113
6.2.2 Pole............................. 114
6.2.3 Wesentliche Singularitäten................. 115
6.2.4 oo als isolierte Singularität ................ 116
6.3 Meromorphe Funktionen...................... 117
6.3.1 Logarithmische Ableitung................. 118
6.4 Residuen............................... 118
6.4.1 Rechenregeln........................ 119
6.4.2 Residuum im Punkt oo.................. 120
6.5 Residuensatz............................ 122
6.5.1 Argumentprinzip...................... 123
6.5.2 Satz von
Rotiché
...................... 124
6.6 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz....... 125
6.7 Partialbruchzeriegung....................... 129
6.7.1 Reihen meromorpher Funktionen............. 129
6.7.2 Partialbrachzerlegungen.................. 130
6.8 Produktdarstellungeii ....................... 131
6.8.1 Produkte holomorpher Funktionen............ 131
8
6.8.2 Produktdarstellungen................... 133
6.8.3 Divisoren.......................... 134
6.9 Gamrna-Funktion.......................... 135
Teil
II
: Aufgaben 139
7 Komplexe Zahlen 139
7.1 Theorie............................... 139
7.2 Rechnen in
С
............................ 142
7.3 Einheitswurzehi........................... 147
7.4 Stereographische Projektion.................... 151
7.5
Topologische^
............................ 155
7.6 Folgen und Reihen......................... 162
7.7 Produkte .............................. 168
8 Komplexe Funktionen 171
8.1 Polynome und rationale Funktionen ............... 171
8.2 Funktionen-Folgen und -Reihen.................. 180
8.3 Potenzreihen............................ 188
8.4 Exponentialfunktion und Logarithmus.............. 201
8.5 Trigonometrische Funktionen................... 209
8.6 Spezielle Funktionen........................ 219
8.7 Komplexe Differenzierbarkeit................... 226
8.8 Wirtinger-Kalkül.......................... 234
8.9 Komplexe Integration....................... 236
9 Holomorphe Funktionen 242
9.1 Zum Cauchy Integralsatz ..................... 242
9.2 Cauchy-Integralformel und -Ungleichungen ........... 248
9.3 Zum Maximumprinzip....................... 254
9.4 Ganze Funktionen......................... 260
9.5 Folgen und Familien holomorpher Funktionen.......... 265
9.6 Harmonische Funktionen...................... 271
10 Aufgaben zu konformen Abbildungen 282
10.1 Konforme Abbildungen und Automorphismen .......... 282
10.2 Möbius-Abbildungen........................ 291
11 Meromorphe Funktionen 302
11.1 Isolierte Singularitäten und Residuen............... 302
11.2 Residuensatz und Satz von
Rouché
................ 310
11.3 Berechnung reeller Integrale.................... 310
11.4 Partialbruchzerlegungen und Produktdarstelhmgen....... 328
11.5 Gamma-Funktion.......................... 337
Literaturverzeichnis 342
Partialbruchzerlegungen 343
Produkt dar Stellungen 344
Symbolverzeichnis 345
Index 346
|
| adam_txt |
Inhalt
s
ver zeichnis
Teil
I:
Theorie 11
1 Komplexe Zahlen 11
1.1 Definition. 11
1.2 Rechnen in
С
. 12
1.2.1 Komplexe Konjugierung. 12
1.2.2 Betrag und Argument, Polarkoordinaten. 13
1.2.3 Potenzen und Wurzeln. 15
1.3 Geometrisches. 16
1.4 Die komplexe Zahlenkugel. 18
1.4.1 Erweiterte Ebene
С
. 18
1.4.2 Stenographische Projektion. 18
1.4.3 Chordale Metrik. 20
1.5 Topologisches. 21
1.5.1 Metrische Räume. 21
1.5.2 Folgen. Konvergenz. 24
1.5.3 Kompaktheit. 26
1.5.4 Zusammenhang, Gebiete. 27
1.5.5 Wege und Zykeln. 28
1.5.6 Umlaufzahl, Homologie . 30
1.5.7 Einfach zusammenhängende Gebiete. 31
1.5.8 Homotopie . 32
1.6 Folgen, Reihen und Produkte. 33
1.6Л
Folgen. 33
1.6.2 Teilfolgen und Häufimgswerte. 33
1.6.3 Konvergenz in
С
. 34
1.6.4 Reihen komplexer Zahlen. 35
1.6.5 Konvergenzkriterien. 37
1.6.6 Reihenprodukte. 39
1.6.7 Unendliche Produkte
ксшірЗехег
Zahlen. 40
2 Komplexe Funktionen 42
2.1 Stetige Funktionen. 42
2.1.1 Funktionsgrenzwerte. 42
2.1.2 Stetigkeit. 43
2.1.3 Stetigkeit auf Punktmengen. 45
2.1.4 Sätze über stetige Funktionen. 46
6
2.2
Lineare
Abbildungen. 46
2.3 Polynome. 48
2.4 Rationale Funktionen . 50
2.4.1 Partialbruchzerlegung. 52
2.5 Folgen und Reihen komplexer Funktionen. 53
2.5.1 Punktweise Konvergenz. 53
2.5.2 Gleichmäßige Konvergenz. 53
2.5.3 Lokal gleichmäßige bzw kompakte Konvergenz. 55
2.5.4 Normal konvergente Reihen. 55
2.5.5 Potenzreihen. 56
2.6 Elementare Funktionen. 59
2.6.1 Exponentialfunktion. 59
2.6.2 Trigonometrische und Hyperbel-Funktionen. 60
2.6.3 Logarithmen. 63
2.6.4 Allgemeine Potenzen. 65
2.6.5
Arcuş
und Areafunktioneii. 66
Differenzieren und Integrieren in
С
69
3.1 Komplexe Differenzierbarkeit. 69
3.1.1 Vergleich mit der reellen Differenzierbarkeit. 70
3.1.2 Einfache Eigenschaften und Rechenregeln. 72
3.1.3 Wirtinger Kalkül. 73
3.2 Differenzieren und Integrieren nach reellen Variablen. 75
3.2.1 Differenzieren nach reellen Variablen. 75
3.2.2 Integration in reellen Intervallen. 75
3.3 Wegintegrale in
С
. 76
3.3.1 Rechenregeln. 78
3.4 Stammfunktionen. 79
Holomorphe Funktionen 80
4.1 Holomoiphie-Kriterien. 80
4.2 Wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen. 81
4.3 Cauchy-Integralsatz und -Formel. 83
4.4 Ganze Funktionen. 85
4.5 Folgen und Familien holomorpher Funktionen. 87
4.5.1 Folgen und Reihen holomorpher Funktionen. 87
4.5.2 Normale Familien. 88
4.6 Harmonische Funktionen. 90
4.6.1 Eigenschaften harmonischer Funktionen. 90
4.6.2 Dirichlet-Problem und
Poisson-
Formel. 92
4.6.3 Konjugiert harmonische Funktionen. 93
5 Geometrische Funktionentheorie 95
5.1 Lokales Verhalten. 95
5.1.1 Winkeltreue. 95
5.1.2 Ordnung einer holomorphen Funktion. 96
5.2 Analytische Fortsetzung. 97
5.2.1 Spiegehmgsprmzip. 98
5.3 Konforme Abbildungen . 99
5.3.1 Beispiele konformer Abbildungen. 101
5.3.2 Automorphismen. 104
5.4 Möbius- Abbildungen. 106
5.4.1 Die Gruppe der Möbius-Abbildungen. 106
5.4.2 AbbildimgHverhalten der Möbiuw-Abbildungen. 107
5.4.3 Fixpunkte und Klassifizierung \ron Möbins-Abbildungen 109
6 Isolierte Singularitäten 111
ö.l Laurentreihen. 111
6.1.1 Laurentreihe einer in einem Kreisring holomorphen Funk¬
tion . 111
6.1.2 Laurententwicklung um eine isolierte Singularität . 112
6.2 Isolierte Singularitäten. 112
6.2.1 Hebbare Singularitäten . 113
6.2.2 Pole. 114
6.2.3 Wesentliche Singularitäten. 115
6.2.4 oo als isolierte Singularität . 116
6.3 Meromorphe Funktionen. 117
6.3.1 Logarithmische Ableitung. 118
6.4 Residuen. 118
6.4.1 Rechenregeln. 119
6.4.2 Residuum im Punkt oo. 120
6.5 Residuensatz. 122
6.5.1 Argumentprinzip. 123
6.5.2 Satz von
Rotiché
. 124
6.6 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz. 125
6.7 Partialbruchzeriegung. 129
6.7.1 Reihen meromorpher Funktionen. 129
6.7.2 Partialbrachzerlegungen. 130
6.8 Produktdarstellungeii . 131
6.8.1 Produkte holomorpher Funktionen. 131
8
6.8.2 Produktdarstellungen. 133
6.8.3 Divisoren. 134
6.9 Gamrna-Funktion. 135
Teil
II
: Aufgaben 139
7 Komplexe Zahlen 139
7.1 Theorie. 139
7.2 Rechnen in
С
. 142
7.3 Einheitswurzehi. 147
7.4 Stereographische Projektion. 151
7.5
Topologische^
. 155
7.6 Folgen und Reihen. 162
7.7 Produkte . 168
8 Komplexe Funktionen 171
8.1 Polynome und rationale Funktionen . 171
8.2 Funktionen-Folgen und -Reihen. 180
8.3 Potenzreihen. 188
8.4 Exponentialfunktion und Logarithmus. 201
8.5 Trigonometrische Funktionen. 209
8.6 Spezielle Funktionen. 219
8.7 Komplexe Differenzierbarkeit. 226
8.8 Wirtinger-Kalkül. 234
8.9 Komplexe Integration. 236
9 Holomorphe Funktionen 242
9.1 Zum Cauchy Integralsatz . 242
9.2 Cauchy-Integralformel und -Ungleichungen . 248
9.3 Zum Maximumprinzip. 254
9.4 Ganze Funktionen. 260
9.5 Folgen und Familien holomorpher Funktionen. 265
9.6 Harmonische Funktionen. 271
10 Aufgaben zu konformen Abbildungen 282
10.1 Konforme Abbildungen und Automorphismen . 282
10.2 Möbius-Abbildungen. 291
11 Meromorphe Funktionen 302
11.1 Isolierte Singularitäten und Residuen. 302
11.2 Residuensatz und Satz von
Rouché
. 310
11.3 Berechnung reeller Integrale. 310
11.4 Partialbruchzerlegungen und Produktdarstelhmgen. 328
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Literaturverzeichnis 342
Partialbruchzerlegungen 343
Produkt dar Stellungen 344
Symbolverzeichnis 345
Index 346 |
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