Methoden der statistischen Inferenz: Likelihood und Bayes
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg
Spektrum Akademischer Verlag
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | XII, 304 Seiten Diagramme |
| ISBN: | 9783827419392 3827419395 |
Internformat
MARC
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Datensatz im Suchindex
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort...............................................................
vii
1 Einführung........................................................ 1
1.1 Statistische Inferenz.................................................. 1
1.2 Beispiele............................................................ 2
1.2.1 Anteilsschätzung............................................... 2
1.2.2 Vergleich von Anteilen.......................................... 2
1.2.3 Schätzung der Größe einer Population............................ 4
1.2.4 Überprüfung eines genetischen Gleichgewichtszustandes............ 4
1.2.5 Schätzung von diagnostischen Kenngrößen........................ 6
1.2.6 Schätzung von relativem Risiko aus Krebsregisterdaten............. 7
1.2.7 Statistische Analyse einer Therapiestudie......................... 7
1.2.8 Statistische Analyse von Überlebenszeiten........................ 9
1.3 Statistische Modelle.................................................. 9
1.4 Inhalt und Notation der Kapitel....................................... 12
2
Likelihood
......................................................... 15
2.1
Likelihood-
und Log-Likelihoodfunktion................................ 15
2.1.1 Beispiele...................................................... 17
2.1.2 Interpretation der
Likelihood
.................................... 25
2.1.3 Invarianz der
Likelihood
........................................ 25
2.1.4 Erweiterter Likelihoodbegriff.................................... 27
2.2 Score-Funktion und Fisher-Information................................. 28
2.3 Iterative Bestimmung des ML-Schätzers................................ 32
2.3.1 Numerische Optimierung ....................................... 32
2.3.2 Der EM-Algorithmus........................................... 35
2.4 Quadratische Approximation der Log-Likelihoodfunktion................. 38
2.5 Suffizienz........................................................... 41
2.5.1 Minimalsuffizienz.............................................. 44
2.5.2 Das Likelihood-Prinzip......................................... 45
Aufgaben............................................................... 46
3 Frequentistische Eigenschaften der
Likelihood
..................... 49
3.1 Erwartungstreue und Konsistenz ...................................... 50
3.2 Standardfehler und Konfidenzintervalle................................. 55
3.2.1 Standardfehler................................................. 55
3.2.2 Konfidenzintervalle und Pivots.................................. 56
3.2.3 Der Zusammenhang mit Signifikanztests.......................... 60
3.2.4 Die Delta-Regel................................................ 62
3.3 Die erwartete Fisher-Information und die Score-Statistik................. 64
Inhaltsverzeichnis
3.3.1 Die erwartete Fisher-Information................................ 64
3.3.2 Erwartungswert und Varianz der Score-Punktion .................. 65
3.3.3 Eigenschaften der erwarteten Fisher-Information................... 67
3.3.4 Die Verteilung der Score-Funktion............................... 70
3.3.5 Invarianz von Score-Konfidenzintervallen......................... 76
3.4 Die Verteilung des ML-Schätzers und die Wald-Statistik.................. 77
3.4.1 Die
Cramér-Rao-Schranke
...................................... 77
3.4.2 Konsistenz des Maximum-Likelihood-Schätzers.................... 78
3.4.3 Die Verteilung des Maximum-Likelihood-Schätzers................. 79
3.4.4 Die Wald-Statistik............................................. 81
3.5 Varianzstabilisierende Transformationen................................ 83
3.6 Die Likelihood-Quotienten-Statistik.................................... 87
3.7 Konstruktion von Konfidenzintervallen................................. 91
3.7.1 Fallstudie: Konfidenzintervalle für Anteile......................... 93
Aufgaben............................................................... 98
4 Likelihood-Inferenz bei vektoriellem Parameter...................105
4.1
Score-
Vektor und Fisher-Informationsmatrix............................105
4.2 Standardfehler und Wald-Konfidenzintervalle...........................110
4.3 Die Profil-Likelihood.................................................112
4.4 Frequentistische Eigenschaften der
Likelihood
im mehrdimensionalen Fall .. 122
4.4.1 Score-Statistik.................................................123
4.4.2 Wald-Statistik.................................................124
4.4.3 Die multivariate Delta-Regel....................................125
4.4.4 Likelihood-Quotienten-Statistik..................................125
4.5 Die verallgemeinerte Likelihood-Quotienten-Statistik.....................127
Aufgaben...............................................................134
5 Bayes-Inferenz ....................................................139
5.1 Die Posteriori-Verteilung.............................................139
5.2 Wahl der Priori-Verteilung............................................146
5.2.1 Konjugierte Priori-Verteilungen.................................. 146
5.2.2 Uneigentliche Priori-Verteilungen................................ 149
5.2.3 Nichtinformative Priori-Verteilungen............................. 150
5.3 Wahl von Punkt- und Intervallschätzer................................. 156
5.3.1 Verlust funkt
ion
und Bayes-Schätzer..............................156
5.3.2 Kompatible Punkt- und Intervallschätzer.........................161
5.3.3 Invariante Punkt- und Intervallschätzer...........................162
5.4 Bayes-Inferenz bei vektoriellem Parameter..............................163
5.4.
t
Wahl der Priori-Verteilung......................................163
5.4.2 Xichtinformative Priori-Verteilungen.............................165
5.4.3 Entfernung von Nuisance-Parametern............................167
Inhaltsverzeichnis xi
5.4.4 Kompatibilität von
uni-
und multivariaten Punktschätzern .........171
5.5 Einige Aussagen zur
Bayes-
Asymptotik................................. 172
5.5.1 Diskrete Asymptotik...........................................172
5.5.2 Stetige Asymptotik ............................................ 173
5.6 Empirische
В
ayes-
Verfahren...........................................176
Aufgaben...............................................................180
6 Numerische Methoden zur Bayes-Inferenz ........................185
6.1 Klassische numerische Verfahren.......................................185
6.2 Anwendung der Laplace-Approximation................................188
6.3 Monte-Carlo-Methoden...............................................192
6.3.1 Monte-Carlo-Integration........................................193
6.3.2
Importance Sampling...........................................
196
6.3.3 Die Verwerfungsmethode........................................197
6.4 Markov-Ketten-Monte-Carlo..........................................199
Aufgaben...............................................................209
7 Modellwahl........................................................213
7.1 Likelihood-basierte Modellwahl........................................215
7.1.1 Akaikes Informationskriterium...................................215
7.1.2 Schwarz sches Kriterium........................................216
7.2 Bayesianische Modellwahl.............................................217
7.2.1 Herleitung des Schwarz schen Kriteriums .........................221
7.2.2 Bayesianische Modellmittlung...................................223
7.2.3 Numerische Berechnung der
marginalen
Likelihood ................
224
Aufgaben...............................................................229
8 Prognose..........................................................233
8.1 Plug-in-Prognose....................................................233
8.2 Likelihood-Prognose .................................................234
8.2.1 Prädiktive
Likelihood
..........................................234
8.2.2 Bootstrap-Prognose............................................237
8.3 Bayes-Prognose......................................................241
8.3.1 Die prädiktive Verteilung.......................................241
8.3.2 Modellgemittelte Prognosen.....................................244
8.4 Bewertung von Prognosen............................................246
8.4.1 Trennschärfe und Kalibrierung..................................247
8.4.2 Bewertungsregeln..............................................252
Aufgaben...............................................................256
A
Ergänzungen aus der Stochastik...................................259
A.l Ungleichungen und Rechenregeln......................................259
A.l.l Jensen sche Ungleichung........................................259
xü Inhaltsverzeichnis
Α.
1.2 Kullback-Leibler-Diskrepanz und Entropie........................260
Α.
1.3 Informationsungleichung........................................260
Α.
1.4 Korrelation und Cauchy-Schwarz sche Ungleichung.................260
A.1.5 Randverteilungen..............................................261
A.1.6 Bedingte Verteilungen..........................................262
A-LÎ
Bedingte Erwartung und Varianz................................263
A.1.8 Satz von
Bayes
................................................264
Α.
1.9 Transformationssatz für Dichten.................................264
A.2 Asymptotik.........................................................265
A.2.1 Konvergenzarten...............................................265
A.2.2 Slutsky s Theorem.............................................266
A.2.3 Gesetze der großen Zahlen......................................266
A.2.4 Zentraler Grenzwertsatz........................................266
A.2.5 Delta-Regel...................................................267
A.3 Verteilungen........................................................267
В
Ergänzungen aus der linearen Algebra und
Analysis
..............279
B.l Cholesky-Zerlegung..................................................279
B.2 Invertierung von Blockmatrizen.......................................280
B.3 Sherman-Morrison-Formel............................................280
B.4 Kombination von quadratischen Formen................................281
B.5 Multivariate Ableitungen.............................................281
B.6 Taylor-Reihen.......................................................282
B.7 Leibnizregel für Parameterintegrale....................................283
B.8 Lagrange-Methode...................................................283
B.9 Landau-Notation....................................................283
С
Ergänzungen aus der Numerik....................................285
C.l Optimierung und Nullstellensuche.....................................285
C.1.0 Motivation....................................................285
C.l.l Das Bisektionsverfahren........................................286
C.1.2 Newton-Raphson ..............................................287
C.1.3 Sekanten-Methode.............................................291
C.2 Integration..........................................................291
C.2.1 Newton-Cotes.................................................292
C.2.2 Die Laplace-Approximation.....................................294
Literaturverzeichnis...................................................297
Index..................................................................301
Methoden der statistischen Inferenz werden in fast allen Bereichen der empirischen
Wissenschaften eingesetzt, um aus Daten zu lernen. Dieses Buch gibt eine an¬
gewandte Einführung in
Likelihood-
und Bayes-Verfahren, die zwei wichtigsten
Ansätze, um Parameter in stochastischen Modellen zu schätzen und die damit
verbundene Unsicherheit zu quantifizieren. Eigene Kapitel widmen sich der
Prognose zukünftiger Beobachtungen und der Modellwahl.
Ohne Unterstützung durch Computer ist der Einsatz dieser Methoden heute
undenkbar. Dieses Buch legt besonderes Gewicht auf die Beschreibung der nötigen
algorithmischen Verfahren, von der numerischen Optimierung bis hin zur
Monte-
Carlo
Integration. Alle Beispiele sind in der
Open-Source
Statistik-Software
R
gerechnet, wobei Teile des Programm-Codes explizit abgedruckt sind. An zahl¬
reichen Beispielen aus Medizin, Epidemiologie und Genetik wird der Einsatz der
Verfahren in der Praxis deutlich gemacht. Der Leser kann durch Bearbeitung von
Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels (mit ausgewählten Lösungen auf der
Website) den Stoff vertiefen.
Dieses Buch richtet sich in erster Linie an Studierende der Statistik, Mathematik
und Informatik. Aber auch Interessierten aus Bereichen der Lebenswissenschaften,
wie etwa der Biologie oder den Umweltwissenschaften wird es eine adäquate
Einführung in die Methoden der statistischen Inferenz geben. Nötige Kenntnisse
der Stochastik, Numerik und
Analysis, die
über ein elementares Niveau hinaus¬
gehen, sind in eigenen Anhängen beschrieben.
Prof. Dr. Leonhard Held ¡st seit September 2006 Inhaber des
Lehrstuhls für Biostatistik an der Universität Zürich. Zuvor war
er Professur für Biostatistik an der LMU München sowie
Lecturer
und Senior
Lecturer am imperial
College London und an der
Lancaster University.
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Vorwort.
vii
1 Einführung. 1
1.1 Statistische Inferenz. 1
1.2 Beispiele. 2
1.2.1 Anteilsschätzung. 2
1.2.2 Vergleich von Anteilen. 2
1.2.3 Schätzung der Größe einer Population. 4
1.2.4 Überprüfung eines genetischen Gleichgewichtszustandes. 4
1.2.5 Schätzung von diagnostischen Kenngrößen. 6
1.2.6 Schätzung von relativem Risiko aus Krebsregisterdaten. 7
1.2.7 Statistische Analyse einer Therapiestudie. 7
1.2.8 Statistische Analyse von Überlebenszeiten. 9
1.3 Statistische Modelle. 9
1.4 Inhalt und Notation der Kapitel. 12
2
Likelihood
. 15
2.1
Likelihood-
und Log-Likelihoodfunktion. 15
2.1.1 Beispiele. 17
2.1.2 Interpretation der
Likelihood
. 25
2.1.3 Invarianz der
Likelihood
. 25
2.1.4 Erweiterter Likelihoodbegriff. 27
2.2 Score-Funktion und Fisher-Information. 28
2.3 Iterative Bestimmung des ML-Schätzers. 32
2.3.1 Numerische Optimierung . 32
2.3.2 Der EM-Algorithmus. 35
2.4 Quadratische Approximation der Log-Likelihoodfunktion. 38
2.5 Suffizienz. 41
2.5.1 Minimalsuffizienz. 44
2.5.2 Das Likelihood-Prinzip. 45
Aufgaben. 46
3 Frequentistische Eigenschaften der
Likelihood
. 49
3.1 Erwartungstreue und Konsistenz . 50
3.2 Standardfehler und Konfidenzintervalle. 55
3.2.1 Standardfehler. 55
3.2.2 Konfidenzintervalle und Pivots. 56
3.2.3 Der Zusammenhang mit Signifikanztests. 60
3.2.4 Die Delta-Regel. 62
3.3 Die erwartete Fisher-Information und die Score-Statistik. 64
Inhaltsverzeichnis
3.3.1 Die erwartete Fisher-Information. 64
3.3.2 Erwartungswert und Varianz der Score-Punktion . 65
3.3.3 Eigenschaften der erwarteten Fisher-Information. 67
3.3.4 Die Verteilung der Score-Funktion. 70
3.3.5 Invarianz von Score-Konfidenzintervallen. 76
3.4 Die Verteilung des ML-Schätzers und die Wald-Statistik. 77
3.4.1 Die
Cramér-Rao-Schranke
. 77
3.4.2 Konsistenz des Maximum-Likelihood-Schätzers. 78
3.4.3 Die Verteilung des Maximum-Likelihood-Schätzers. 79
3.4.4 Die Wald-Statistik. 81
3.5 Varianzstabilisierende Transformationen. 83
3.6 Die Likelihood-Quotienten-Statistik. 87
3.7 Konstruktion von Konfidenzintervallen. 91
3.7.1 Fallstudie: Konfidenzintervalle für Anteile. 93
Aufgaben. 98
4 Likelihood-Inferenz bei vektoriellem Parameter.105
4.1
Score-
Vektor und Fisher-Informationsmatrix.105
4.2 Standardfehler und Wald-Konfidenzintervalle.110
4.3 Die Profil-Likelihood.112
4.4 Frequentistische Eigenschaften der
Likelihood
im mehrdimensionalen Fall . 122
4.4.1 Score-Statistik.123
4.4.2 Wald-Statistik.124
4.4.3 Die multivariate Delta-Regel.125
4.4.4 Likelihood-Quotienten-Statistik.125
4.5 Die verallgemeinerte Likelihood-Quotienten-Statistik.127
Aufgaben.134
5 Bayes-Inferenz .139
5.1 Die Posteriori-Verteilung.139
5.2 Wahl der Priori-Verteilung.146
5.2.1 Konjugierte Priori-Verteilungen. 146
5.2.2 Uneigentliche Priori-Verteilungen. 149
5.2.3 Nichtinformative Priori-Verteilungen. 150
5.3 Wahl von Punkt- und Intervallschätzer. 156
5.3.1 Verlust funkt
ion
und Bayes-Schätzer.156
5.3.2 Kompatible Punkt- und Intervallschätzer.161
5.3.3 Invariante Punkt- und Intervallschätzer.162
5.4 Bayes-Inferenz bei vektoriellem Parameter.163
5.4.
t
Wahl der Priori-Verteilung.163
5.4.2 Xichtinformative Priori-Verteilungen.165
5.4.3 Entfernung von Nuisance-Parametern.167
Inhaltsverzeichnis xi
5.4.4 Kompatibilität von
uni-
und multivariaten Punktschätzern .171
5.5 Einige Aussagen zur
Bayes-
Asymptotik. 172
5.5.1 Diskrete Asymptotik.172
5.5.2 Stetige Asymptotik . 173
5.6 Empirische
В
ayes-
Verfahren.176
Aufgaben.180
6 Numerische Methoden zur Bayes-Inferenz .185
6.1 Klassische numerische Verfahren.185
6.2 Anwendung der Laplace-Approximation.188
6.3 Monte-Carlo-Methoden.192
6.3.1 Monte-Carlo-Integration.193
6.3.2
Importance Sampling.
196
6.3.3 Die Verwerfungsmethode.197
6.4 Markov-Ketten-Monte-Carlo.199
Aufgaben.209
7 Modellwahl.213
7.1 Likelihood-basierte Modellwahl.215
7.1.1 Akaikes Informationskriterium.215
7.1.2 Schwarz'sches Kriterium.216
7.2 Bayesianische Modellwahl.217
7.2.1 Herleitung des Schwarz'schen Kriteriums .221
7.2.2 Bayesianische Modellmittlung.223
7.2.3 Numerische Berechnung der
marginalen
Likelihood .
224
Aufgaben.229
8 Prognose.233
8.1 Plug-in-Prognose.233
8.2 Likelihood-Prognose .234
8.2.1 Prädiktive
Likelihood
.234
8.2.2 Bootstrap-Prognose.237
8.3 Bayes-Prognose.241
8.3.1 Die prädiktive Verteilung.241
8.3.2 Modellgemittelte Prognosen.244
8.4 Bewertung von Prognosen.246
8.4.1 Trennschärfe und Kalibrierung.247
8.4.2 Bewertungsregeln.252
Aufgaben.256
A
Ergänzungen aus der Stochastik.259
A.l Ungleichungen und Rechenregeln.259
A.l.l Jensen'sche Ungleichung.259
xü Inhaltsverzeichnis
Α.
1.2 Kullback-Leibler-Diskrepanz und Entropie.260
Α.
1.3 Informationsungleichung.260
Α.
1.4 Korrelation und Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung.260
A.1.5 Randverteilungen.261
A.1.6 Bedingte Verteilungen.262
A-LÎ
Bedingte Erwartung und Varianz.263
A.1.8 Satz von
Bayes
.264
Α.
1.9 Transformationssatz für Dichten.264
A.2 Asymptotik.265
A.2.1 Konvergenzarten.265
A.2.2 Slutsky's Theorem.266
A.2.3 Gesetze der großen Zahlen.266
A.2.4 Zentraler Grenzwertsatz.266
A.2.5 Delta-Regel.267
A.3 Verteilungen.267
В
Ergänzungen aus der linearen Algebra und
Analysis
.279
B.l Cholesky-Zerlegung.279
B.2 Invertierung von Blockmatrizen.280
B.3 Sherman-Morrison-Formel.280
B.4 Kombination von quadratischen Formen.281
B.5 Multivariate Ableitungen.281
B.6 Taylor-Reihen.282
B.7 Leibnizregel für Parameterintegrale.283
B.8 Lagrange-Methode.283
B.9 Landau-Notation.283
С
Ergänzungen aus der Numerik.285
C.l Optimierung und Nullstellensuche.285
C.1.0 Motivation.285
C.l.l Das Bisektionsverfahren.286
C.1.2 Newton-Raphson .287
C.1.3 Sekanten-Methode.291
C.2 Integration.291
C.2.1 Newton-Cotes.292
C.2.2 Die Laplace-Approximation.294
Literaturverzeichnis.297
Index.301
Methoden der statistischen Inferenz werden in fast allen Bereichen der empirischen
Wissenschaften eingesetzt, um aus Daten zu lernen. Dieses Buch gibt eine an¬
gewandte Einführung in
Likelihood-
und Bayes-Verfahren, die zwei wichtigsten
Ansätze, um Parameter in stochastischen Modellen zu schätzen und die damit
verbundene Unsicherheit zu quantifizieren. Eigene Kapitel widmen sich der
Prognose zukünftiger Beobachtungen und der Modellwahl.
Ohne Unterstützung durch Computer ist der Einsatz dieser Methoden heute
undenkbar. Dieses Buch legt besonderes Gewicht auf die Beschreibung der nötigen
algorithmischen Verfahren, von der numerischen Optimierung bis hin zur
Monte-
Carlo
Integration. Alle Beispiele sind in der
Open-Source
Statistik-Software
R
gerechnet, wobei Teile des Programm-Codes explizit abgedruckt sind. An zahl¬
reichen Beispielen aus Medizin, Epidemiologie und Genetik wird der Einsatz der
Verfahren in der Praxis deutlich gemacht. Der Leser kann durch Bearbeitung von
Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels (mit ausgewählten Lösungen auf der
Website) den Stoff vertiefen.
Dieses Buch richtet sich in erster Linie an Studierende der Statistik, Mathematik
und Informatik. Aber auch Interessierten aus Bereichen der Lebenswissenschaften,
wie etwa der Biologie oder den Umweltwissenschaften wird es eine adäquate
Einführung in die Methoden der statistischen Inferenz geben. Nötige Kenntnisse
der Stochastik, Numerik und
Analysis, die
über ein elementares Niveau hinaus¬
gehen, sind in eigenen Anhängen beschrieben.
Prof. Dr. Leonhard Held ¡st seit September 2006 Inhaber des
Lehrstuhls für Biostatistik an der Universität Zürich. Zuvor war
er Professur für Biostatistik an der LMU München sowie
Lecturer
und Senior
Lecturer am imperial
College London und an der
Lancaster University. |
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