Differential- und Integralrechnung: 1
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Dt. Verl. d. Wiss.
2006
|
| Edition: | unveränd. Nachdr. d. 14. Aufl. |
| Series: | Hochschulbücher für Mathematik
61 |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 556 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3817112785 9783817112784 |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Einführung. Die reellen Zahlen.................... 15
S
1. Der Bereich der rationalen Zahlen ................... 16
б
1. Vorbemerkungen......................... 16
2. Die Ordnung des Bereichs der rationalen Zahlen............ 16
3. Addition und Subtraktion rationaler Zahlen.............. 16
4. Multiplikation und Division rationaler Zahlen............. 18
6. Das Archimedische Axiom..................... 20
§ 2. Einführung der irrationalen Zahlen. Ordnung des Bereichs der reellen Zahlen 20
6. Definition der irrationalen Zahl................... 20
7. Die Ordnung des Bereichs der reellen Zahlen............. 23
8. Hilfssätze............................ 24
9. Die Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalbrüche..... 25
10. Die Stetigkeit des Bereichs der reellen Zahlen............. 27
11. Grenzen von Zahlenmengen..................... 28
§ 3. Die Rechenoperationen mit reellen Zahlen................ 30
12. Definition der Summe reeller Zahlen................. 30
13. Eigenschaften der Addition..................... 31
14. Definition des Produktes reeller Zahlen ............... 32
15. Eigenschaften der Multiplikation.................. 33
16. Schlußbemerkungen........................ 35
17. Absolute Beträge......................... 35
§ 4. Weitere Eigenschaften und Anwendungen der reellen Zahlen........ 36
18. Existenz der Wurzel. Potenz mit rationalem Exponenten........ 36
19. Die Potenz mit beliebigem reellem Exponenten............ 37
20. Der Logarithmus......................... 39
21. Das Messen von Strecken...................... 40
I.
Theorie der Grenzwerte........................ 43
§ 1. Folgen und ihre Grenzwerte...................... 43
22. Veränderliche Größen, Polgen.................... 43
23. Der Grenzwert einer diskreten Veränderlichen............. 45
24. Unendlich kleine Größen...................... 47
25. Beispiele............................. 48
26. Einige Sätze über Folgen, die einen Grenzwert haben......... 52
27. Unendlich große Größen...................... 53
§ 2. Sätze über Grenzwerte, die ihre rechnerische Bestimmung erleichtern .... 65
28. Grenzübergänge bei Gleichungen und Ungleichungen.......... 55
29. Hilfssätze über unendlich kleine Größen............... 57
30. Arithmetische Operationen mit Veränderlichen............ 58
31. Unbestimmte Ausdrücke...................... 59
32. Beispiele für die Bestimmung von Grenzwerten............ 61
33. Der Stolzsche Satz und seine Anwendung............... 67
§ 3. Monotone Folgen...........................69
34. Grenzwert monotoner Folgen..................... 69
36. Beispiele.............................71
36. Die Zahl
e
............................76
37. Näherungsweise Berechnung der Zahl
e
................78
38. Ein Lemma über Intervallschaehtelungen...............81
§ 4. Das Konvergenzprinzip. Teilfolgen. Partielle Grenzwerte..........82
39. Das Konvergenzprinzip...................... 82
40. Teilfolgen und ihre Grenzwerte................... 84
41. Satz von
Bolzano-
Wjhbrstbass.................. 86
42. Der größte und der kleinste partielle Grenzwert............ 87
II.
Funktionen einer Veränderlichen....................91
§ 1. Der Funktionsbegriff.........................91
43. Die Veränderliche und ihr Variationsbereich..............91
44. Funktionale Abhängigkeit zwischen Veränderlichen. Beispiele......92
45. Die Definition des Funktionsbegriffs.................93
46. Die analytische Methode zur Vorgabe von Funktionen.........95
47. Graphische Darstellung von Funktionen...............97
48. Die wichtigsten Funktionenklassen.................99
49. Der Begriff der Umkehrfunktion..................103
50. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.......105
51. Verkettung von Funktionen. Schlußbemerkungen...........109
§ 2. Grenzwert einer Funktion.......................110
52. Definition des Grenzwertes einer Funktion.............. 110
53. Zurückführung auf den Fall einer diskreten Veränderlichen....... 112
54. Beispiele............................. 114
55. Erweiterung der Theorie der Grenzwerte............... 121
66. Beispiele............................. 124
57. Der Grenzwert einer monotonen Funktion..............126
58. Das allgemeine Kriterium von Bolzano-Cauchy............127
59. Größter und kleinster Grenzwert einer Funktion............128
§3. Klassifikation unendlich kleiner und unendlich großer Größen...... . 128
60. Vergleich unendlich kleiner Größen.................128
61. Die Skala der unendlich kleinen Größen...............130
61. Äquivalente unendlich kleine Größen.................131
63. Aussonderung des Hauptteils....................133
64. Aufgaben............................135
65. Klassifikation unendlich großer Größen................137
§ 4. Stetigkeit (und Unstetigkeit) von Punktionen ..............137
66. Definition der Stetigkeit einer Punktion in einem Punkt........ 137
67. Das Rechnen mit stetigen Punktionen................ 139
68. Beispiele stetiger Punktionen.................... 140
69. Einseitige Stetigkeit. Klassifikation der Unstetigkeitsstellen....... 141
70. Beispiele unstetiger Punktionen................... 142
71. Stetigkeit und Unstetigkeit der monotonen Punktionen......... 145
72. Die Stetigkeit der elementaren Punktionen.............. 145
73. Verkettung stetiger Punktionen................... 146
74. Lösung einer Punktionalgleielmng.................. 147
75. Charakterisierung der
Exponential-,
der Logarithmus- und der Potenz¬
funktion durch Punktionalgleichungen................ 148
76. Punktionalgleichungen der trigonometrischen Punktionen und der Hy¬
perbelfunktionen ......................... 150
77. Berechnung
топ
Grenzwerten mit Hilfe der Stetigkeit von Funktionen . . 151
78. Potenz-Exponentialausdrüoke.................... 154
79. Beispiele............................. 155
§ 5. Eigenschaften der stetigen Punktionen.................157
80. Der erste Zwischenwertsatz..................... 157
81. Anwendung auf die Lösung von Gleichungen............. 159
82. Zweiter Zwischenwertsatz..................... 159
83. Die Existenz der Umkehrfunktion.................. 160
84. Der Satz über Beschränktheit einer Punktion............. 162
85. Größter und kleinster Wert einer Punktion.............. 163
86. Die gleichmäßige Stetigkeit..................... 165
87. Der Satz von
Cantor
....................... 166
88. Der Heine-Borel-Lebesguesche Überdeckungssatz........... 167
89. Weitere Beweise der grundlegenden Sätze............... 169
Ш.
Ableitungen und Differentiale.....................172
§ 1. Die Ableitung und ihre Berechnung...................172
90. Berechnung der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Punktes .... 172
91. Die Tangente an eine Kurve.................... 173
92. Definition der Ableitung...................... 175
93. Beispiele für die Berechnung der Ableitung.............. 178
94. Die Ableitung der
inversen
Punktion................ 182
95. Formeln für Ableitungen...................... 183
96. Eine Formel für den Zuwachs der Funktion............. 184
97. Einfachste Regeln zur Berechnung der Ableitungen.......... 185
98. Die Ableitung mittelbarer Funktionen (Kettenregel).......... 187
99. Beispiele............................. 188
100. Einseitige Ableitungen......................194
101. Unendliche Ableitungen......................195
102. Weitere bemerkenswerte Beispiele.................196
§2. Das Differential............................197
103. Definition des Differentials.....................197
104. Zusammenhang zwischen der Existenz des Differentials und der Existenz
der Ableitung..........................198
105. Grundlegende Formeln und Regeln für die Bildung von Differentialen . 200
106. Invarianz des Differentials ....................201
107. Näherungsformeln mit Hilfe von Differentialen............203
108. Anwendung von Differentialen bei der Fehlerabschätzung.......206
§ 3. Grundlegende Sätze der Differentialrechnung...............208
109. Der Satz von
Fermât
....................... 208
110. Der Satz von Daeboux...................... 209
111. Der Satz von Rolle . ...................... 210
112. Der erste Mittehvertsatz der Differentialrechnung .......... 211
113. Der Grenzwert der Ableitung................... 213
114. Die Cauchysche Formel (zweiter Mittehvertsatz)........... 214
§ 4. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung..............215
116. Definition der Ableitungen höherer Ordnung.............215
116. Allgemeine Formeln für Ableitungen höherer Ordnung........217
117. Die Leibnizsche Formel......................220
118. Beispiele.............................222
119. Differentiale höherer Ordnung...................225
120. Nichtinvarianz der Differentiale höherer Ordnung..........226
121. Differentiation nach dem Parameter................226
122. Endliche Differenzen.......................228
§ 5. Die Taylorsche Formel.........................229
123. Die Taylorsche Formel für ein Polynom...............229
124. Entwicklung einer beliebigen Funktion. Das Restglied in der Peanoschen
Form..............................231
125. Beispiele.............................234
126. Andere Formen des Restgliedes..................237
127. Näherungsformeln........................239
§ 6. Interpolation.............................245
128. Die Grundaufgabe der Interpolation. Die Formel von Lagkange .... 245
129. Das Restglied der Lagrangeschen Folmel..............246
130. Interpolation mit mehrfachen Punkten. Die Hermitesche Formel .... 247
IV.
Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitungen.........250
§ 1. Studium des Funktionsverlaufs.....................250
131. Eine Bedingung dafür, daß eine Funktion eine Konstante ist .....250
132. Eine Bedingung für die Monotonie einer Funktion..........251
133. Beweis von Ungleichungen.....................254
134.
Maxima
und
Minima.
Notwendige Bedingungen...........257
135. Hinreichende Bedingungen. Erste Regel...............259
136. Beispiele.............................260
137. Zweite Regel ..........................265
138. Die Benutzung höherer Ableitungen................267
139. Das Aufsuchen größter und kleinster Werte.............269
140. Aufgaben............................270
§ 2. Konvexe (und konkave) Funktionen ..................275
141. Definition einer konvexen (konkaven) Funktion...........275
142. Einfachste Sätze über konvexe Funktionen.............276
143. Bedingungen für die Konvexität einer Funktion........... 278
144. Die Jensensehe Ungleichung und ihre Anwendung.......... 281
146. Wendepunkte.......................... 283
§ 3. Das Zeichnen von Kurven....................... 284
146. Aufgabenstellung......................... 284
147. Das Schema zur Konstruktion einer Kurve. Beispiele......... 286
148. Unendlichkeitsstellen. Unendliche Intervalle. Asymptoten....... 288
149. Beispiele............................. 290
§ 4. Auswertung unbestimmter Ausdrücke.................. 294
160. Der unbestimmte Ausdruck der Form —.............. 294
161. Der unbestimmte Ausdruck der Form —.............. 299
152. Andere Formen unbestimmter Ausdrücke.............. 301
§ 5. Die angenäherte Lösung von Gleichungen................ 304
153. Einführende Bemerkungen..................... 304
154. Die Regula
falsi
(Sehnenmethode).................. 304
166. Die Newtonsche Regel (Tangentenmethode)............. 308
156. Beispiele und Übungen...................... 310
157. Die kombinierte Methode..................... 314
158. Beispiele und Übungen...................... 316
V.
Funktionen mehrerer Veränderlicher.................. 319
§ 1. Grundbegriffe............................ 319
159. Funktionale Abhängigkeit zwischen Veränderlichen. Beispiele..... 319
160. Funktionen zweier Veränderlicher und ihr Definitionsbereich...... 320
161. Der arithmetische
w-dimensionale
Raum .............. 323
162. Beispiele für Bereiche im
я
-dimensionalen
Raum........... 326
163. Allgemeine Definition des offenen und des abgeschlossenen Bereichs . . 328
164. Funktionen von
η
Veränderlichen................. 330
165. Grenzwert von Funktionen mehrerer Veränderlicher......... 331
166. Reduktion auf Folgen....................... 333
167. Beispiele. . -........................... 334
168. Iterierte Grenzwerte....................... 336
§ 2. Stetige Funktionen............ .............. 338
169. Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . 338
170. Das Rechnen mit stetigen Funktionen................ 340
171. In einem Bereich stetige Funktionen. Die Sätze von Bolzaho-Cattchy . 341
172. Der Satz von
Bolzano-
Weiekstrass................ 342
173. Die Weierstraßschen Sätze .................... 344
174. Die gleichmäßige Stetigkeit.................... 345
175. Der Überdeckungssatz....................... 346
176. Weitere Beweise der grundlegenden Sätze.............. 347
§ 3. Ableitungen und Differentiale von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . 349
177. Partielle Ableitungen und partielle Differentiale........... 349
178. Der vollständige (totale) Zuwachs einer Funktion........... 352
179. Das vollständige Differential..................... 364
180. Geometrische Deutung im Fall einer Funktion zweier Veränderlicher . . 356
181. Ableitungen mittelbarer Funktionen................ 359
182. Beispiele............................... 360
183. Der Mittelwertsatz........................ 362
184. Die Ableitung in einer bestimmten Richtung ............. 363
186. Die Invarianz des (ersten) Differentials............... 366
186. Anwendung des vollständigen Differentials in der Näherungsrechnung . . 368
187. Homogene Funktionen ...................... 370
188. Die Eulersche Formel....................... 372
§ 4. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung..............373
189. Ableitungen höherer Ordnung................... 373
190. Der Satz über die gemischten Ableitungen.............. 375
191. Verallgemeinerung........................ 378
192. Ableitungen höherer Ordnung für mittelbare Funktionen........ 379
193. Differentiale höherer Ordnung................... 380
194. Differentiale mittelbarer Funktionen................ 383
196. Die Taylorsche Formel...................... 384
§ 5. Extremwerte. Größte und kleinste Werte................386
196. Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher. Notwendige Bedin¬
gungen .............................386
197. Hinreichende Bedingungen (für Funktionen zweier Veränderlicher) . . . 388
198. Hinreichende Bedingungen (der allgemeine
Fail)
...........391
199. Bedingungen dafür, daß kein
Extrémům
vorliegt...........393
200. Größte und kleinste Werte einer Funktion. Beispiele.........395
201. Aufgaben............................399
VI.
Funktionaldeterminanten und ihre Anwendung..............407
§ 1. Formale Eigenschaften der Funktionaldeterminanten...........407
202. Definition der Funktionaldeterminante...............407
203. Multiplikation von Funktionaldeterminanten ............408
204. Multiplikation von Funktionalmatrizen (Jacobischen Matrizen).....409
§ 2. Implizite Funktionen.........................412
205. Der Begriff der impliziten Funktion einer Veränderlichen....... 412
206. Existenz der impliziten Funktion.................. 413
207. Die Dif
f
erenzierbarkeit der impliziten Funktion............ 416
208. Implizite Funktionen mehrerer Veränderlicher............ 417
209. Berechnung der Ableitungen impliziter Funktionen.......... 423
210. Beispiele............................. 426
§ 3. Einige Anwendungen der Theorie der impliziten Funktionen........430
211.
Extrema
mit Nebenbedingungen..................430
212. Die Lagrangeschen Multiplikatoren (unbestimmte Faktoren)......432
213. Hinreichende Bedingungen für ein
Extrémům
mit Nebenbedingungen . . 434
214. Beispiele und Aufgaben......................435
215. Der Begriff der Unabhängigkeit von Funktionen...........439
216. Der Rang einer Funktionalmatrix..................441
§ 4. Variablensubstitution.........................444
217. Funktionen einer Veränderlichen.................. 444
218. Beispiele............................. 446
219. Funktionen mehrerer Veränderlicher. Ersetzung der unabhängigen Ver¬
änderlichen ........................... 448
220. Differentiale........................... 460
221. Der allgemeine Fall einer Variablensubstitution........... 461
222. Beispiele............................. 463
ΥΠ.
Anwendungen der Dfflerentialrechnung in der Geometrie.........462
§ 1. Analytische Darstellung von Kurven und Flächen.............462
223. Kurven in der Ebene (in rechtwinkligen Koordinaten) ........462
224. Beispiele............................464
226. Mechanisch erzeugte Kurven....................467
226. Kurven in der Ebene (in Polarkoordinaten). Beispiele......... 470
227. Flächen und Kurven im Baum................... 475
228. Parameterdarstellung....................... 476
229. Beispiele............................. 478
§ 2. Tangente und Tangentialebene.....................481
230. Die Tangente an eine ebene Kurve in rechtwinkligen Koordinaten . . .481
231. Beispiele............................. 483
232. Die Tangente in Polarkoordinaten................. 485
233. Beispiele............................. 486
234. Die Tangente an eine Raumkurve. Die Tangentialebene an eine Fläche . 487
235. Beispiele............................. 491
236.
Singulare
Punkte ebener Kurven.................. 492
237. Parameterdarstellung der Kurve.................. 496
§ 3. Berührung von Kurven........................498
238. Die Einhüllende einer Kurvenschar.................498
239. Beispiele.............................500
240. Charakteristische Punkte.....................504
241. Ordnung der Berührung zweier Kurven...............505
242. Eine der Kurven ist implizit gegeben................507
243. Schmiegungskurven .......................508
244. Ein anderer Zugang zu den Schmiegungskurven...........510
§ 4. Die Länge einer ebenen Kurve.....................611
245. Hilfssätze............................511
246. Richtung auf einer Kurve.....................612
247. Die Länge einer Kurve. Additivität der Bogenlänge..........513
248. Hinreichende Bedingungen für die Rektifizierbarkeit. Differential der
Bogenlänge...........................515
249. Der Bogen als Parameter. Positive Richtung der Tangente......517
§ 6. Die Krümmung einer ebenen Kurve...................520
250. Die Krümmung.........................520
251. Krümmungskreis und Krümmungsradius..............523
252. Beispiele.............................525
14 Inhalt
253. Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes........... 528
254. Evolute und Evolvente. Abwicklung der Evolute........... 629
255i Eigenschaften von Evolute und Evolvente.............. 532
256. Bestimmung der Evolvente.................... 634
Anbang. Das Problem der. Erweiterung
топ
Funktionen.............. 537
257. Bemerkungen zum Punktionsbegriff................ 537
258. Funktionen einer Veränderlichen.................. 538
259. Die Problemstellung in zweidimensionalen Fall ........... 539
260. Der Hauptsatz für die Erweiterung................. 541
261. Verallgemeinerung........................ 544
262. Schlußbemerkungen....................... 546
Namen- und Sachverzeichnis.......................... 548
|
| adam_txt |
Inhalt
Einführung. Die reellen Zahlen. 15
S
1. Der Bereich der rationalen Zahlen . 16
б
1. Vorbemerkungen. 16
2. Die Ordnung des Bereichs der rationalen Zahlen. 16
3. Addition und Subtraktion rationaler Zahlen. 16
4. Multiplikation und Division rationaler Zahlen. 18
6. Das Archimedische Axiom. 20
§ 2. Einführung der irrationalen Zahlen. Ordnung des Bereichs der reellen Zahlen 20
6. Definition der irrationalen Zahl. 20
7. Die Ordnung des Bereichs der reellen Zahlen. 23
8. Hilfssätze. 24
9. Die Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalbrüche. 25
10. Die Stetigkeit des Bereichs der reellen Zahlen. 27
11. Grenzen von Zahlenmengen. 28
§ 3. Die Rechenoperationen mit reellen Zahlen. 30
12. Definition der Summe reeller Zahlen. 30
13. Eigenschaften der Addition. 31
14. Definition des Produktes reeller Zahlen . 32
15. Eigenschaften der Multiplikation. 33
16. Schlußbemerkungen. 35
17. Absolute Beträge. 35
§ 4. Weitere Eigenschaften und Anwendungen der reellen Zahlen. 36
18. Existenz der Wurzel. Potenz mit rationalem Exponenten. 36
19. Die Potenz mit beliebigem reellem Exponenten. 37
20. Der Logarithmus. 39
21. Das Messen von Strecken. 40
I.
Theorie der Grenzwerte. 43
§ 1. Folgen und ihre Grenzwerte. 43
22. Veränderliche Größen, Polgen. 43
23. Der Grenzwert einer diskreten Veränderlichen. 45
24. Unendlich kleine Größen. 47
25. Beispiele. 48
26. Einige Sätze über Folgen, die einen Grenzwert haben. 52
27. Unendlich große Größen. 53
§ 2. Sätze über Grenzwerte, die ihre rechnerische Bestimmung erleichtern . 65
28. Grenzübergänge bei Gleichungen und Ungleichungen. 55
29. Hilfssätze über unendlich kleine Größen. 57
30. Arithmetische Operationen mit Veränderlichen. 58
31. Unbestimmte Ausdrücke. 59
32. Beispiele für die Bestimmung von Grenzwerten. 61
33. Der Stolzsche Satz und seine Anwendung. 67
§ 3. Monotone Folgen.69
34. Grenzwert monotoner Folgen. 69
36. Beispiele.71
36. Die Zahl
e
.76
37. Näherungsweise Berechnung der Zahl
e
.78
38. Ein Lemma über Intervallschaehtelungen.81
§ 4. Das Konvergenzprinzip. Teilfolgen. Partielle Grenzwerte.82
39. Das Konvergenzprinzip. 82
40. Teilfolgen und ihre Grenzwerte. 84
41. Satz von
Bolzano-
Wjhbrstbass. 86
42. Der größte und der kleinste partielle Grenzwert. 87
II.
Funktionen einer Veränderlichen.91
§ 1. Der Funktionsbegriff.91
43. Die Veränderliche und ihr Variationsbereich.91
44. Funktionale Abhängigkeit zwischen Veränderlichen. Beispiele.92
45. Die Definition des Funktionsbegriffs.93
46. Die analytische Methode zur Vorgabe von Funktionen.95
47. Graphische Darstellung von Funktionen.97
48. Die wichtigsten Funktionenklassen.99
49. Der Begriff der Umkehrfunktion.103
50. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.105
51. Verkettung von Funktionen. Schlußbemerkungen.109
§ 2. Grenzwert einer Funktion.110
52. Definition des Grenzwertes einer Funktion. 110
53. Zurückführung auf den Fall einer diskreten Veränderlichen. 112
54. Beispiele. 114
55. Erweiterung der Theorie der Grenzwerte. 121
66. Beispiele. 124
57. Der Grenzwert einer monotonen Funktion.126
58. Das allgemeine Kriterium von Bolzano-Cauchy.127
59. Größter und kleinster Grenzwert einer Funktion.128
§3. Klassifikation unendlich kleiner und unendlich großer Größen. . 128
60. Vergleich unendlich kleiner Größen.128
61. Die Skala der unendlich kleinen Größen.130
61. Äquivalente unendlich kleine Größen.131
63. Aussonderung des Hauptteils.133
64. Aufgaben.135
65. Klassifikation unendlich großer Größen.137
§ 4. Stetigkeit (und Unstetigkeit) von Punktionen .137
66. Definition der Stetigkeit einer Punktion in einem Punkt. 137
67. Das Rechnen mit stetigen Punktionen. 139
68. Beispiele stetiger Punktionen. 140
69. Einseitige Stetigkeit. Klassifikation der Unstetigkeitsstellen. 141
70. Beispiele unstetiger Punktionen. 142
71. Stetigkeit und Unstetigkeit der monotonen Punktionen. 145
72. Die Stetigkeit der elementaren Punktionen. 145
73. Verkettung stetiger Punktionen. 146
74. Lösung einer Punktionalgleielmng. 147
75. Charakterisierung der
Exponential-,
der Logarithmus- und der Potenz¬
funktion durch Punktionalgleichungen. 148
76. Punktionalgleichungen der trigonometrischen Punktionen und der Hy¬
perbelfunktionen . 150
77. Berechnung
топ
Grenzwerten mit Hilfe der Stetigkeit von Funktionen . . 151
78. Potenz-Exponentialausdrüoke. 154
79. Beispiele. 155
§ 5. Eigenschaften der stetigen Punktionen.157
80. Der erste Zwischenwertsatz. 157
81. Anwendung auf die Lösung von Gleichungen. 159
82. Zweiter Zwischenwertsatz. 159
83. Die Existenz der Umkehrfunktion. 160
84. Der Satz über Beschränktheit einer Punktion. 162
85. Größter und kleinster Wert einer Punktion. 163
86. Die gleichmäßige Stetigkeit. 165
87. Der Satz von
Cantor
. 166
88. Der Heine-Borel-Lebesguesche Überdeckungssatz. 167
89. Weitere Beweise der grundlegenden Sätze. 169
Ш.
Ableitungen und Differentiale.172
§ 1. Die Ableitung und ihre Berechnung.172
90. Berechnung der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Punktes . 172
91. Die Tangente an eine Kurve. 173
92. Definition der Ableitung. 175
93. Beispiele für die Berechnung der Ableitung. 178
94. Die Ableitung der
inversen
Punktion. 182
95. Formeln für Ableitungen. 183
96. Eine Formel für den Zuwachs der Funktion. 184
97. Einfachste Regeln zur Berechnung der Ableitungen. 185
98. Die Ableitung mittelbarer Funktionen (Kettenregel). 187
99. Beispiele. 188
100. Einseitige Ableitungen.194
101. Unendliche Ableitungen.195
102. Weitere bemerkenswerte Beispiele.196
§2. Das Differential.197
103. Definition des Differentials.197
104. Zusammenhang zwischen der Existenz des Differentials und der Existenz
der Ableitung.198
105. Grundlegende Formeln und Regeln für die Bildung von Differentialen . 200
106. Invarianz des Differentials .201
107. Näherungsformeln mit Hilfe von Differentialen.203
108. Anwendung von Differentialen bei der Fehlerabschätzung.206
§ 3. Grundlegende Sätze der Differentialrechnung.208
109. Der Satz von
Fermât
. 208
110. Der Satz von Daeboux. 209
111. Der Satz von Rolle . . 210
112. Der erste Mittehvertsatz der Differentialrechnung . 211
113. Der Grenzwert der Ableitung. 213
114. Die Cauchysche Formel (zweiter Mittehvertsatz). 214
§ 4. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.215
116. Definition der Ableitungen höherer Ordnung.215
116. Allgemeine Formeln für Ableitungen höherer Ordnung.217
117. Die Leibnizsche Formel.220
118. Beispiele.222
119. Differentiale höherer Ordnung.225
120. Nichtinvarianz der Differentiale höherer Ordnung.226
121. Differentiation nach dem Parameter.226
122. Endliche Differenzen.228
§ 5. Die Taylorsche Formel.229
123. Die Taylorsche Formel für ein Polynom.229
124. Entwicklung einer beliebigen Funktion. Das Restglied in der Peanoschen
Form.231
125. Beispiele.234
126. Andere Formen des Restgliedes.237
127. Näherungsformeln.239
§ 6. Interpolation.245
128. Die Grundaufgabe der Interpolation. Die Formel von Lagkange . 245
129. Das Restglied der Lagrangeschen Folmel.246
130. Interpolation mit mehrfachen Punkten. Die Hermitesche Formel . 247
IV.
Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitungen.250
§ 1. Studium des Funktionsverlaufs.250
131. Eine Bedingung dafür, daß eine Funktion eine Konstante ist .250
132. Eine Bedingung für die Monotonie einer Funktion.251
133. Beweis von Ungleichungen.254
134.
Maxima
und
Minima.
Notwendige Bedingungen.257
135. Hinreichende Bedingungen. Erste Regel.259
136. Beispiele.260
137. Zweite Regel .265
138. Die Benutzung höherer Ableitungen.267
139. Das Aufsuchen größter und kleinster Werte.269
140. Aufgaben.270
§ 2. Konvexe (und konkave) Funktionen .275
141. Definition einer konvexen (konkaven) Funktion.275
142. Einfachste Sätze über konvexe Funktionen.276
143. Bedingungen für die Konvexität einer Funktion. 278
144. Die Jensensehe Ungleichung und ihre Anwendung. 281
146. Wendepunkte. 283
§ 3. Das Zeichnen von Kurven. 284
146. Aufgabenstellung. 284
147. Das Schema zur Konstruktion einer Kurve. Beispiele. 286
148. Unendlichkeitsstellen. Unendliche Intervalle. Asymptoten. 288
149. Beispiele. 290
§ 4. Auswertung unbestimmter Ausdrücke. 294
160. Der unbestimmte Ausdruck der Form —. 294
161. Der unbestimmte Ausdruck der Form —. 299
152. Andere Formen unbestimmter Ausdrücke. 301
§ 5. Die angenäherte Lösung von Gleichungen. 304
153. Einführende Bemerkungen. 304
154. Die Regula
falsi
(Sehnenmethode). 304
166. Die Newtonsche Regel (Tangentenmethode). 308
156. Beispiele und Übungen. 310
157. Die kombinierte Methode. 314
158. Beispiele und Übungen. 316
V.
Funktionen mehrerer Veränderlicher. 319
§ 1. Grundbegriffe. 319
159. Funktionale Abhängigkeit zwischen Veränderlichen. Beispiele. 319
160. Funktionen zweier Veränderlicher und ihr Definitionsbereich. 320
161. Der arithmetische
w-dimensionale
Raum . 323
162. Beispiele für Bereiche im
я
-dimensionalen
Raum. 326
163. Allgemeine Definition des offenen und des abgeschlossenen Bereichs . . 328
164. Funktionen von
η
Veränderlichen. 330
165. Grenzwert von Funktionen mehrerer Veränderlicher. 331
166. Reduktion auf Folgen. 333
167. Beispiele. . -. 334
168. Iterierte Grenzwerte. 336
§ 2. Stetige Funktionen.'. 338
169. Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . 338
170. Das Rechnen mit stetigen Funktionen. 340
171. In einem Bereich stetige Funktionen. Die Sätze von Bolzaho-Cattchy . 341
172. Der Satz von
Bolzano-
Weiekstrass. 342
173. Die Weierstraßschen Sätze . 344
174. Die gleichmäßige Stetigkeit. 345
175. Der Überdeckungssatz. 346
176. Weitere Beweise der grundlegenden Sätze. 347
§ 3. Ableitungen und Differentiale von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . 349
177. Partielle Ableitungen und partielle Differentiale. 349
178. Der vollständige (totale) Zuwachs einer Funktion. 352
179. Das vollständige Differential. 364
180. Geometrische Deutung im Fall einer Funktion zweier Veränderlicher . . 356
181. Ableitungen mittelbarer Funktionen. 359
182. Beispiele. 360
183. Der Mittelwertsatz. 362
184. Die Ableitung in einer bestimmten Richtung . 363
186. Die Invarianz des (ersten) Differentials. 366
186. Anwendung des vollständigen Differentials in der Näherungsrechnung . . 368
187. Homogene Funktionen . 370
188. Die Eulersche Formel. 372
§ 4. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.373
189. Ableitungen höherer Ordnung. 373
190. Der Satz über die gemischten Ableitungen. 375
191. Verallgemeinerung. 378
192. Ableitungen höherer Ordnung für mittelbare Funktionen. 379
193. Differentiale höherer Ordnung. 380
194. Differentiale mittelbarer Funktionen. 383
196. Die Taylorsche Formel. 384
§ 5. Extremwerte. Größte und kleinste Werte.386
196. Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher. Notwendige Bedin¬
gungen .386
197. Hinreichende Bedingungen (für Funktionen zweier Veränderlicher) . . . 388
198. Hinreichende Bedingungen (der allgemeine
Fail)
.391
199. Bedingungen dafür, daß kein
Extrémům
vorliegt.393
200. Größte und kleinste Werte einer Funktion. Beispiele.395
201. Aufgaben.399
VI.
Funktionaldeterminanten und ihre Anwendung.407
§ 1. Formale Eigenschaften der Funktionaldeterminanten.407
202. Definition der Funktionaldeterminante.407
203. Multiplikation von Funktionaldeterminanten .408
204. Multiplikation von Funktionalmatrizen (Jacobischen Matrizen).409
§ 2. Implizite Funktionen.412
205. Der Begriff der impliziten Funktion einer Veränderlichen. 412
206. Existenz der impliziten Funktion. 413
207. Die Dif
f
erenzierbarkeit der impliziten Funktion. 416
208. Implizite Funktionen mehrerer Veränderlicher. 417
209. Berechnung der Ableitungen impliziter Funktionen. 423
210. Beispiele. 426
§ 3. Einige Anwendungen der Theorie der impliziten Funktionen.430
211.
Extrema
mit Nebenbedingungen.430
212. Die Lagrangeschen Multiplikatoren (unbestimmte Faktoren).432
213. Hinreichende Bedingungen für ein
Extrémům
mit Nebenbedingungen . . 434
214. Beispiele und Aufgaben.435
215. Der Begriff der Unabhängigkeit von Funktionen.439
216. Der Rang einer Funktionalmatrix.441
§ 4. Variablensubstitution.444
217. Funktionen einer Veränderlichen. 444
218. Beispiele. 446
219. Funktionen mehrerer Veränderlicher. Ersetzung der unabhängigen Ver¬
änderlichen . 448
220. Differentiale. 460
221. Der allgemeine Fall einer Variablensubstitution. 461
222. Beispiele. 463
ΥΠ.
Anwendungen der Dfflerentialrechnung in der Geometrie.462
§ 1. Analytische Darstellung von Kurven und Flächen.462
223. Kurven in der Ebene (in rechtwinkligen Koordinaten) .462
224. Beispiele.464
226. Mechanisch erzeugte Kurven.467
226. Kurven in der Ebene (in Polarkoordinaten). Beispiele. 470
227. Flächen und Kurven im Baum. 475
228. Parameterdarstellung. 476
229. Beispiele. 478
§ 2. Tangente und Tangentialebene.481
230. Die Tangente an eine ebene Kurve in rechtwinkligen Koordinaten . . .481
231. Beispiele. 483
232. Die Tangente in Polarkoordinaten. 485
233. Beispiele. 486
234. Die Tangente an eine Raumkurve. Die Tangentialebene an eine Fläche . 487
235. Beispiele. 491
236.
Singulare
Punkte ebener Kurven. 492
237. Parameterdarstellung der Kurve. 496
§ 3. Berührung von Kurven.498
238. Die Einhüllende einer Kurvenschar.498
239. Beispiele.500
240. Charakteristische Punkte.504
241. Ordnung der Berührung zweier Kurven.505
242. Eine der Kurven ist implizit gegeben.507
243. Schmiegungskurven .508
244. Ein anderer Zugang zu den Schmiegungskurven.510
§ 4. Die Länge einer ebenen Kurve.611
245. Hilfssätze.511
246. Richtung auf einer Kurve.612
247. Die Länge einer Kurve. Additivität der Bogenlänge.513
248. Hinreichende Bedingungen für die Rektifizierbarkeit. Differential der
Bogenlänge.515
249. Der Bogen als Parameter. Positive Richtung der Tangente.517
§ 6. Die Krümmung einer ebenen Kurve.520
250. Die Krümmung.520
251. Krümmungskreis und Krümmungsradius.523
252. Beispiele.525
14 Inhalt
253. Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes. 528
254. Evolute und Evolvente. Abwicklung der Evolute. 629
255i Eigenschaften von Evolute und Evolvente. 532
256. Bestimmung der Evolvente. 634
Anbang. Das Problem der. Erweiterung
топ
Funktionen. 537
257. Bemerkungen zum Punktionsbegriff. 537
258. Funktionen einer Veränderlichen. 538
259. Die Problemstellung in zweidimensionalen Fall . 539
260. Der Hauptsatz für die Erweiterung. 541
261. Verallgemeinerung. 544
262. Schlußbemerkungen. 546
Namen- und Sachverzeichnis. 548 |
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