Numerik linearer Gleichungssysteme: eine Einführung in moderne Verfahren; mit MATLAB-Implementierungen
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Inhaltsverzeichnis
1 Beispiele für das Auftreten linearer Gleichungssysteme 1
2 Grundlagen der linearen Algebra
2.1 Vektornormen und Skalarprodukt
2.2 Lineare Operatoren, Matrizen und Matrixnormen 13
2.3 Konditionszahl und singuläre Werte 25
9Q
2.4 Der Banachsche Fixpunktsatz
2.5 Übungsaufgaben
3 Direkte Verfahren 36
3.1 Gauß-Elimination 36
3.2 Cholesky-Zerlegung 46
3.3 QR-Zerlegung 49
3.3.1 Das Gram-Schmidt-Verfahren 49
3.3.2 Die QR-Zerlegung nach Givens 55
3.4 Übungsaufgaben 59
4 Iterative Verfahren
4.1 Splitting-Methoden 65
4.1.1 Jacobi-Verfahren 69
4.1.2 Gauß-Seidel-Verfahren 74
77
4.1.3 Relaxationsverfahren
4.1.3.1 Jacobi-Relaxationsverfahren '°
4.1.3.2 Gauß-Seidel-Relaxationsverfahren 80
4.1.4 Richardson-Verfahren
4.1.5 Symmetrische Splitting-Methoden Vi
Q7
4.2 Mehrgitterverfahren
4.2.1 Zweigitterverfahren 105
4.2.2 Der Mehrgitteralgorithmus 109
4.2.3 Das vollständige Mehrgitterverfahren m
xi
4.3 Projektionsmethoden und Krylov-Unterraum-Verfahren 112
4.3.1 Verfahren für symmetrische, positiv definite Matrizen 117
4.3.1.1 Die Methode des steilsten Abstiegs 118
4.3.1.2 Das Verfahren der konjugierten Richtungen 124
4.3.1.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten 126
4.3.2 Verfahren für reguläre Matrizen 135
4.3.2.1 Der Arnoldi-Algorithmus und die FOM 135
4.3.2.2 Der Lanczos-Algorithmus und die D-Lanczos-Methode . . 140
4.3.2.3 Der Bi-Lanczos-Algorithmus 144
4.3.2.4 Das GMRES-Verfahren 149
4.3.2.5 Das BiCG-Verfahren 164
4.3.2.6 Das CGS-Verfahren 171
4.3.2.7 Das BiCGSTAB-Verfahren 174
4.3.2.8 Das TFQMR-Verfahren 180
4.3.2.9 Das QMRCGSTAB-Verfahren 189
4.3.2.10 Konvergenzanalysen 192
4.4 Übungsaufgaben 194
5 Präkonditionierer 200
5.1 Skalierungen 201
5.2 Polynomiale Präkonditioner 204
5.3 Splitting-assoziierte Präkonditionierer 207
5.4 Die unvollständige LU-Zerlegung 208
5.5 Die unvollständige Cholesky-Zerlegung 211
5.6 Die unvollständige QR-Zerlegung 212
5.7 Die unvollständige Frobenius-Inverse 214
5.8 Das präkonditionierte CG-Verfahren 216
5.9 Das präkonditionierte BiCGSTAB-Verfahren 219
5.10 Vergleich der Präkonditionierer 221
5.11 Übungsaufgaben 225
A Implementierungen in MATLAB 226
Literaturverzeichnis 239
Index 244
I |
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X .
Inhaltsverzeichnis
1 Beispiele für das Auftreten linearer Gleichungssysteme 1
2 Grundlagen der linearen Algebra
2.1 Vektornormen und Skalarprodukt
2.2 Lineare Operatoren, Matrizen und Matrixnormen 13
2.3 Konditionszahl und singuläre Werte 25
9Q
2.4 Der Banachsche Fixpunktsatz
2.5 Übungsaufgaben
3 Direkte Verfahren 36
3.1 Gauß-Elimination 36
3.2 Cholesky-Zerlegung 46
3.3 QR-Zerlegung 49
3.3.1 Das Gram-Schmidt-Verfahren 49
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3.4 Übungsaufgaben 59
4 Iterative Verfahren
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4.1.4 Richardson-Verfahren
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4.2 Mehrgitterverfahren
4.2.1 Zweigitterverfahren 105
4.2.2 Der Mehrgitteralgorithmus 109
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4.3 Projektionsmethoden und Krylov-Unterraum-Verfahren 112
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4.3.1.1 Die Methode des steilsten Abstiegs 118
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4.3.2.6 Das CGS-Verfahren 171
4.3.2.7 Das BiCGSTAB-Verfahren 174
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4.3.2.10 Konvergenzanalysen 192
4.4 Übungsaufgaben 194
5 Präkonditionierer 200
5.1 Skalierungen 201
5.2 Polynomiale Präkonditioner 204
5.3 Splitting-assoziierte Präkonditionierer 207
5.4 Die unvollständige LU-Zerlegung 208
5.5 Die unvollständige Cholesky-Zerlegung 211
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5.8 Das präkonditionierte CG-Verfahren 216
5.9 Das präkonditionierte BiCGSTAB-Verfahren 219
5.10 Vergleich der Präkonditionierer 221
5.11 Übungsaufgaben 225
A Implementierungen in MATLAB 226
Literaturverzeichnis 239
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