Numerische Mathematik:
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|---|---|
| Format: | Electronic eBook |
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Teubner
2006
|
| Edition: | 6., überarb. Aufl. |
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| Item Description: | Literaturverz. S. 547 - 559 |
| Physical Description: | 1 Online-Ressource (574 S.) graph. Darst. |
| ISBN: | 9783835190641 |
| DOI: | 10.1007/978-3-8351-9064-1 |
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Record in the Search Index
| _version_ | 1804137270155935744 |
|---|---|
| adam_text | Inhalt
Einleitung 13
1 Fehlertheorie 15
1.1 Fehlerarten 15
1.2 Zahldarstellung 16
1.3 Rundungsfehler 18
1.4 Differenzielle Fehleranalyse 21
1.5 Ergänzungen und Beispiele 24
1.5.1 Rückwärts Fehleranalyse (backward analysis) 24
1.5.2 Numerische Stabilität 25
1.6 Software 28
1.7 Aufgaben 28
2 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden 30
2.1 Der Gauß Algorithmus 30
2.1.1 Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung 30
2.1.2 Pivotstrategien 38
2.1.3 Ergänzungen 43
2.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen 47
2.2.1 Normen 47
2.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition 52
2.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften 56
2.3.1 Symmetrische, positiv definite Systeme 56
2.3.2 Bandgleichungen 62
2.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme 64
2.4 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner 67
2.4.1 Voll besetzte Systeme 68
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme 73
2.5 Anwendungen 82
2.5.1 Schaltkreistheorie 82
2.5.2 Fluss durch ein Rohrnetz mit Pumpe 84
8 Inhalt
2.5.3 Ebenes Fachwerk 85
2.6 Software 87
2.7 Aufgaben 88
3 Interpolation und Approximation 91
3.1 Polynominterpolation 92
3.1.1 Problemstellung 92
3.1.2 Lagrange Interpolation 95
3.1.3 Newton Interpolation 95
3.1.4 Hermite Interpolation 98
3.1.5 Inverse Interpolation 100
3.1.6 Anwendung: Numerische Differenziation 101
3.2 Splines 106
3.2.1 Kubische Splines 107
3.2.2 B Splines 1. Grades 112
3.2.3 Kubische B Splines 114
3.3 Zweidimensionale Splineverfahren 119
3.3.1 Bilineare Tensorsplines 120
3.3.2 Bikubische Tensorsplines 123
3.4 Kurveninterpolation 125
3.4.1 Problemstellung 125
3.4.2 Numerische Lösung mit Splines 126
3.5 Kurven und Flächen mit Bezier Polynomen 127
3.5.1 Bernstein Polynome 127
3.5.2 Bezier Darstellung eines Polynoms 129
3.5.3 Der Casteljau Algorithmus 130
3.5.4 Bezier Kurven 131
3.5.5 Bezier Flächen 137
3.6 Gauß Approximation 140
3.6.1 Diskrete Gauß Approximation 142
3.6.2 Kontinuierliche Gauß Approximation 144
3.7 Trigonometrische Approximation 145
3.7.1 Fourier Reihen 145
3.7.2 Effiziente Berechnung der Fourier KoefRzienten 154
3.8 Orthogonale Polynome 161
3.8.1 Approximation mit Tschebyscheff Polynomen 162
3.8.2 Interpolation mit Tschebyscheff Polynomen 170
3.8.3 Die Legendre Polynome 174
3.9 Software 179
3.10 Aufgaben 180
Inhalt 9
4 Nichtlineare Gleichungen 183
4.1 Theoretische Grundlagen 183
4.1.1 Problemstellung 183
4.1.2 Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz 185
4.1.3 Stabilität und Kondition 189
4.2 Gleichungen in einer Unbekannten 190
4.2.1 Das Verfahren der Bisektion 190
4.2.2 Das Verfahren von Newton 192
4.2.3 Die Sekantenmethode 195
4.2.4 Brents Black box Methode 196
4.2.5 Verfahrensvergleich 198
4.3 Gleichungen in mehreren Unbekannten 199
4.3.1 Fixpunktiteration und Konvergenz 199
4.3.2 Das Verfahren von Newton 200
4.4 Nullstellen von Polynomen 207
4.4.1 Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton Maehly 207
4.4.2 Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow 211
4.5 Software 215
4.6 Aufgaben 215
5 Eigenwertprobleme 218
5.1 Theoretische Grundlagen 219
5.1.1 Das charakteristische Polynom 219
5.1.2 Ähnlichkeitstransformationen 219
5.1.3 Symmetrische Eigenwertprobleme 220
5.1.4 Elementare Rotationsmatrizen 220
5.2 Das klassische Jacobi Verfahren 222
5.3 Die Vektoriteration 229
5.3.1 Die einfache Vektoriteration nach von Mises 229
5.3.2 Die inverse Vektoriteration 231
5.4 Transformationsmethoden 232
5.4.1 Transformation auf Hessenberg Form 233
5.4.2 Transformation auf tridiagonale Form 237
5.4.3 Schnelle Givens Transformation 239
5.5 Qfi Algorithmus 243
5.5.1 Grundlagen zur QR Transformation 243
5.5.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte 248
5.5.3 Qfi Doppelschritt, komplexe Eigenwerte 253
5.5.4 Qfi Algorithmus für tridiagonale Matrizen 256
5.5.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren 260
10 Inhalt
5.6 Das allgemeine Eigenwertproblem 261
5.6.1 Der symmetrisch positiv definite Fall 261
5.7 Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität 264
5.8 Anwendung: Membranschwingungen 268
5.9 Software 270
5.10 Aufgaben 271
6 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 274
6.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen 274
6.2 Methoden der Orthogonaltransformation 278
6.2.1 Givens Transformation 279
6.2.2 Spezielle Rechentechniken 284
6.2.3 Householder Transformation 286
6.3 Singulärwertzerlegung 292
6.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme 296
6.4.1 Gauß Newton Methode 297
6.4.2 Minimierungsverfahren 300
6.5 Software 304
6.6 Aufgaben 305
7 Numerische Integration 307
7.1 Newton Cotes Formeln 308
7.1.1 Konstruktion von Newton Cotes Formeln 308
7.1.2 Verfeinerung der Trapezregel 310
7.2 Romberg Integration 313
7.3 Transformationsmethoden 315
7.3.1 Periodische Integranden 316
7.3.2 Integrale über E 318
7.3.3 Variablensubstitution 320
7.4 Gauß Integration 323
7.4.1 Eingebettete Gauß Regeln 331
7.5 Adaptive Integration 332
7.6 Mehrdimensionale Integration 336
7.6.1 Produktintegration 336
7.6.2 Integration über Standardgebiete 337
7.7 Software 338
7.8 Aufgaben 339
Inhalt 11
8 Anfangswertprobleme 342
8.1 Einführung 343
8.1.1 Problemklasse und theoretische Grundlagen 343
8.1.2 Möglichkeiten numerischer Lösung 345
8.2 Einschrittverfahren 350
8.2.1 Konsistenz 350
8.2.2 Runge Kutta Verfahren 353
8.2.3 Explizite Runge Kutta Verfahren 354
8.2.4 Halbimplizite Runge Kutta Verfahren 358
8.2.5 Schrittweitensteuerung 359
8.3 Mehrschrittverfahren 363
8.3.1 Verfahren vom Adams Typ 363
8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion 368
8.4 Stabilität 376
8.4.1 Inhärente Instabilität 376
8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren 378
8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren 380
8.4.4 Steife Differenzialgleichungen 384
8.5 Anwendung: Lotka Volterras Wettbewerbsmodell 388
8.6 Soaware 391
8.7 Aufgaben 392
9 Rand und Eigenwertprobleme 395
9.1 Problemstellung und Beispiele 395
9.2 Lineare Randwertaufgaben 399
9.2.1 Allgemeine Lösung 399
9.2.2 Analytische Methoden 401
9.2.3 Analytische Methoden mit Funktionenansätzen 404
9.3 Schießverfahren 408
9.3.1 Das Einfach Schießverfahren 408
9.3.2 Das Mehrfach Schießverfahren 413
9.4 Differenzenverfahren 418
9.4.1 Dividierte Differenzen 418
9.4.2 Diskretisierung der Randwertaufgabe 419
9.5 Software 424
9.6 Aufgaben 425
10 Partielle Differenzialgleichungen 427
10.1 Differenzenverfahren 427
10.1.1 Problemstellung 427
12 Inhalt
10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe 429
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen 434
10.1.4 Diskretisierungsfehler 444
10.1.5 Ergänzungen 446
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben 448
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode 448
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode 454
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten 459
10.2.4 Zweidimensionale Probleme 461
10.3 Methode der finiten Elemente 466
10.3.1 Grundlagen 466
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente 469
10.3.3 Elementweise Bearbeitung 471
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen 477
10.3.5 Beispiele 477
10.4 Software 482
10.5 Aufgaben 483
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren 487
11.1 Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen 487
11.2 Gesamtschritt und Einzelschrittverfahren 489
11.2.1 Konstruktion der Iterationsverfahren 489
11.2.2 Einige Konvergenzsätze 494
11.2.3 Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation 506
11.3 Methode der konjugierten Gradienten 513
11.3.1 Herleitung des Algorithmus 513
11.3.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten 518
11.3.3 Konvergenzabschätzung 521
11.3.4 Vorkonditionierung 525
11.4 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen 531
11.4.1 Grundlagen des Verfahrens 531
11.4.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften 535
11.5 Speicherung schwach besetzter Matrizen 540
11.6 Software 543
11.7 Aufgaben 543
Literaturverzeichnis 547
Sachverzeichnis 560
|
| adam_txt |
Inhalt
Einleitung 13
1 Fehlertheorie 15
1.1 Fehlerarten 15
1.2 Zahldarstellung 16
1.3 Rundungsfehler 18
1.4 Differenzielle Fehleranalyse 21
1.5 Ergänzungen und Beispiele 24
1.5.1 Rückwärts Fehleranalyse (backward analysis) 24
1.5.2 Numerische Stabilität 25
1.6 Software 28
1.7 Aufgaben 28
2 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden 30
2.1 Der Gauß Algorithmus 30
2.1.1 Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung 30
2.1.2 Pivotstrategien 38
2.1.3 Ergänzungen 43
2.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen 47
2.2.1 Normen 47
2.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition 52
2.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften 56
2.3.1 Symmetrische, positiv definite Systeme 56
2.3.2 Bandgleichungen 62
2.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme 64
2.4 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner 67
2.4.1 Voll besetzte Systeme 68
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme 73
2.5 Anwendungen 82
2.5.1 Schaltkreistheorie 82
2.5.2 Fluss durch ein Rohrnetz mit Pumpe 84
8 Inhalt
2.5.3 Ebenes Fachwerk 85
2.6 Software 87
2.7 Aufgaben 88
3 Interpolation und Approximation 91
3.1 Polynominterpolation 92
3.1.1 Problemstellung 92
3.1.2 Lagrange Interpolation 95
3.1.3 Newton Interpolation 95
3.1.4 Hermite Interpolation 98
3.1.5 Inverse Interpolation 100
3.1.6 Anwendung: Numerische Differenziation 101
3.2 Splines 106
3.2.1 Kubische Splines 107
3.2.2 B Splines 1. Grades 112
3.2.3 Kubische B Splines 114
3.3 Zweidimensionale Splineverfahren 119
3.3.1 Bilineare Tensorsplines 120
3.3.2 Bikubische Tensorsplines 123
3.4 Kurveninterpolation 125
3.4.1 Problemstellung 125
3.4.2 Numerische Lösung mit Splines 126
3.5 Kurven und Flächen mit Bezier Polynomen 127
3.5.1 Bernstein Polynome 127
3.5.2 Bezier Darstellung eines Polynoms 129
3.5.3 Der Casteljau Algorithmus 130
3.5.4 Bezier Kurven 131
3.5.5 Bezier Flächen 137
3.6 Gauß Approximation 140
3.6.1 Diskrete Gauß Approximation 142
3.6.2 Kontinuierliche Gauß Approximation 144
3.7 Trigonometrische Approximation 145
3.7.1 Fourier Reihen 145
3.7.2 Effiziente Berechnung der Fourier KoefRzienten 154
3.8 Orthogonale Polynome 161
3.8.1 Approximation mit Tschebyscheff Polynomen 162
3.8.2 Interpolation mit Tschebyscheff Polynomen 170
3.8.3 Die Legendre Polynome 174
3.9 Software 179
3.10 Aufgaben 180
Inhalt 9
4 Nichtlineare Gleichungen 183
4.1 Theoretische Grundlagen 183
4.1.1 Problemstellung 183
4.1.2 Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz 185
4.1.3 Stabilität und Kondition 189
4.2 Gleichungen in einer Unbekannten 190
4.2.1 Das Verfahren der Bisektion 190
4.2.2 Das Verfahren von Newton 192
4.2.3 Die Sekantenmethode 195
4.2.4 Brents Black box Methode 196
4.2.5 Verfahrensvergleich 198
4.3 Gleichungen in mehreren Unbekannten 199
4.3.1 Fixpunktiteration und Konvergenz 199
4.3.2 Das Verfahren von Newton 200
4.4 Nullstellen von Polynomen 207
4.4.1 Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton Maehly 207
4.4.2 Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow 211
4.5 Software 215
4.6 Aufgaben 215
5 Eigenwertprobleme 218
5.1 Theoretische Grundlagen 219
5.1.1 Das charakteristische Polynom 219
5.1.2 Ähnlichkeitstransformationen 219
5.1.3 Symmetrische Eigenwertprobleme 220
5.1.4 Elementare Rotationsmatrizen 220
5.2 Das klassische Jacobi Verfahren 222
5.3 Die Vektoriteration 229
5.3.1 Die einfache Vektoriteration nach von Mises 229
5.3.2 Die inverse Vektoriteration 231
5.4 Transformationsmethoden 232
5.4.1 Transformation auf Hessenberg Form 233
5.4.2 Transformation auf tridiagonale Form 237
5.4.3 Schnelle Givens Transformation 239
5.5 Qfi Algorithmus 243
5.5.1 Grundlagen zur QR Transformation 243
5.5.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte 248
5.5.3 Qfi Doppelschritt, komplexe Eigenwerte 253
5.5.4 Qfi Algorithmus für tridiagonale Matrizen 256
5.5.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren 260
10 Inhalt
5.6 Das allgemeine Eigenwertproblem 261
5.6.1 Der symmetrisch positiv definite Fall 261
5.7 Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität 264
5.8 Anwendung: Membranschwingungen 268
5.9 Software 270
5.10 Aufgaben 271
6 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 274
6.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen 274
6.2 Methoden der Orthogonaltransformation 278
6.2.1 Givens Transformation 279
6.2.2 Spezielle Rechentechniken 284
6.2.3 Householder Transformation 286
6.3 Singulärwertzerlegung 292
6.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme 296
6.4.1 Gauß Newton Methode 297
6.4.2 Minimierungsverfahren 300
6.5 Software 304
6.6 Aufgaben 305
7 Numerische Integration 307
7.1 Newton Cotes Formeln 308
7.1.1 Konstruktion von Newton Cotes Formeln 308
7.1.2 Verfeinerung der Trapezregel 310
7.2 Romberg Integration 313
7.3 Transformationsmethoden 315
7.3.1 Periodische Integranden 316
7.3.2 Integrale über E 318
7.3.3 Variablensubstitution 320
7.4 Gauß Integration 323
7.4.1 Eingebettete Gauß Regeln 331
7.5 Adaptive Integration 332
7.6 Mehrdimensionale Integration 336
7.6.1 Produktintegration 336
7.6.2 Integration über Standardgebiete 337
7.7 Software 338
7.8 Aufgaben 339
Inhalt 11
8 Anfangswertprobleme 342
8.1 Einführung 343
8.1.1 Problemklasse und theoretische Grundlagen 343
8.1.2 Möglichkeiten numerischer Lösung 345
8.2 Einschrittverfahren 350
8.2.1 Konsistenz 350
8.2.2 Runge Kutta Verfahren 353
8.2.3 Explizite Runge Kutta Verfahren 354
8.2.4 Halbimplizite Runge Kutta Verfahren 358
8.2.5 Schrittweitensteuerung 359
8.3 Mehrschrittverfahren 363
8.3.1 Verfahren vom Adams Typ 363
8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion 368
8.4 Stabilität 376
8.4.1 Inhärente Instabilität 376
8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren 378
8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren 380
8.4.4 Steife Differenzialgleichungen 384
8.5 Anwendung: Lotka Volterras Wettbewerbsmodell 388
8.6 Soaware 391
8.7 Aufgaben 392
9 Rand und Eigenwertprobleme 395
9.1 Problemstellung und Beispiele 395
9.2 Lineare Randwertaufgaben 399
9.2.1 Allgemeine Lösung 399
9.2.2 Analytische Methoden 401
9.2.3 Analytische Methoden mit Funktionenansätzen 404
9.3 Schießverfahren 408
9.3.1 Das Einfach Schießverfahren 408
9.3.2 Das Mehrfach Schießverfahren 413
9.4 Differenzenverfahren 418
9.4.1 Dividierte Differenzen 418
9.4.2 Diskretisierung der Randwertaufgabe 419
9.5 Software 424
9.6 Aufgaben 425
10 Partielle Differenzialgleichungen 427
10.1 Differenzenverfahren 427
10.1.1 Problemstellung 427
12 Inhalt
10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe 429
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen 434
10.1.4 Diskretisierungsfehler 444
10.1.5 Ergänzungen 446
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben 448
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode 448
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode 454
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten 459
10.2.4 Zweidimensionale Probleme 461
10.3 Methode der finiten Elemente 466
10.3.1 Grundlagen 466
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente 469
10.3.3 Elementweise Bearbeitung 471
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen 477
10.3.5 Beispiele 477
10.4 Software 482
10.5 Aufgaben 483
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren 487
11.1 Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen 487
11.2 Gesamtschritt und Einzelschrittverfahren 489
11.2.1 Konstruktion der Iterationsverfahren 489
11.2.2 Einige Konvergenzsätze 494
11.2.3 Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation 506
11.3 Methode der konjugierten Gradienten 513
11.3.1 Herleitung des Algorithmus 513
11.3.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten 518
11.3.3 Konvergenzabschätzung 521
11.3.4 Vorkonditionierung 525
11.4 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen 531
11.4.1 Grundlagen des Verfahrens 531
11.4.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften 535
11.5 Speicherung schwach besetzter Matrizen 540
11.6 Software 543
11.7 Aufgaben 543
Literaturverzeichnis 547
Sachverzeichnis 560 |
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