Approximationsalgorithmen: eine Einführung
Gespeichert in:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Teubner
2006
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Leitfäden der Informatik
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort VII
I Grundlagen 1
1 Schnelle Algorithmen und hartnäckige Probleme 3
1.1 Lösungen berechnen und überprüfen in Polynomialzeit: P vs. NP 4
1.2 Approximationsalgorithmen: Schnell, aber nicht optimal 10
1.3 Literatur zu Kapitel 1 12
Übungen zu Kapitel 1 14
2 Approximation mit absoluter Gütegarantie 17
2.1 Graphfärbbarkeit 18
2.1.1 Knotenfarbungen 19
Knotenfärbung beliebiger Graphen 19
Knotenfärbung planarer Graphen 22
2.1.2 Kantenfärbung beliebiger Graphen 24
2.2 Ein Unmöglichkeitsergebnis für das Rucksackproblem 28
2.3 Literatur zu Kapitel 2 30
Übungen zu Kapitel 2 31
3 Approximation mit relativer Gütegarantie 35
3.1 Das metrische Traveling Salesperson Problem 37
3.1.1 Einfüge Heuristiken 38
3.1.2 Christofides Algorithmus 42
3.1.3 Abschließende Bemerkungen 46
3.2 Unabhängige Mengen und noch einmal Knotenfärbungen 46
3.2.1 Das Independent Set Problem 46
Allgemeine Analyse von GreedyIS 48
Analyse von GreedyIS in Abhängigkeit von der chromatischen Zahl . 50
3.2.2 Ein besserer Knotenfärbungsalgorithmus 51
3.3 Ein Unmöglichkeitsergebnis für das Traveling Salesperson Problem 52
3.4 Literatur zu Kapitel 3 55
Übungen zu Kapitel 3 57
4 Approximationsschemata 65
4.1 Ein pseudopolynomieller exakter Algorithmus für das Rucksackproblem .... 67
4.2 Ein streng polynomielles Approximationsschema für das Rucksackproblem . . 70
4.3 Unmöglichkeitsergebnisse für Approximationsschemata 72
4.4 Literatur zu Kapitel 4 74
Übungen zu Kapitel 4 76
5 Komplexitätstheoretische Zwischenbetrachtungen: Klassen eine Hierarchie 81
5.1 Literatur zu Kapitel 5 85
Übungen zu Kapitel 5 86
II Techniken 89
6 Techniken für randomisierte Approximationsalgorithmen 91
6.1 Die probabilistische Methode 92
6.2 Randomized Rounding 96
6.2.1 Die Arithmetisierung von Max SAT 96
6.2.2 Von der rationalen zur ganzzahligen Lösung 98
6.3 Der hybride Ansatz: Kombination mehrerer Verfahren 101
6.4 Semidefinite Optimierung ^3
6.4.1 Definitionen und Resultate der Semidefiniten Optimierung 104
6.4.2 Das Problem des maximalen Schnitts 105
6.5 Derandomisierung: Die Methode der bedingten Erwartungswerte Hl
6.6 Literatur zu Kapitel 6 1l6
Übungen zu Kapitel 6 118
7 Lineare Optimierung und Approximationsalgorithmen 125
7.1 Die Ganzzahligkeitslücke und ihre Beziehung zur relativen Güte 126
7.2 Das SETCOVER Problem und seine Arithmetisierung 127
7.3 Deterministisches Runden 131
7.4 Randomized Rounding: Von Monte Carlo nach Las Vegas 132
7.5 Dualität 134
7.5.1 Grundlagen 135
7.5.2 Dualität und Approximationsalgorithmen 137
Einsatz im Entwurf von Algorithmen: Dual Fitting 139
Einsatz in der Analyse von Algorithmen 139
7.5.3 Anwendung der Dualität auf das Problem SetCover 139
Entwurf: Dual Fitting 140
Analyse: Ein besserer, vermutlich sogar der bestmögliche Ansatz ... 143
7.6 Literatur zu Kapitel 7 145
Übungen zu Kapitel 7 147
8 Approximate Counting und die Monte Carlo Methode 151
8.1 Kombinatorische Zählprobleme und #P Vollständigkeit 152
8.2 Relative Gütegarantie, die Expansion und die Wahl des Universums 154
8.3 Randomisierte Approximationsschemata und Wahrscheinlichkeitsverstärkung . 158
8.4 Die klassische Monte Carlo Methode 160
8.4.1 Der Monte Carlo Algorithmus und das Estimator Theorem 161
8.4.2 #DNF und Importance Sampling 163
8.5 DieMarkov Ketten Monte Carlo Methode 165
8.5.1 Ein Exkurs über Random Walks 165
8.5.2 Zählen zulässiger Knotenfärbungen 170
8.5.3 Weitere Anwendungen der Markov Ketten Monte Carlo Methode ... 177
8.6 Dynamische Programmierung und die Monte Carlo Methode 178
8.7 Unmöglichkeitsergebnisse für #IS 182
8.8 Literatur zu Kapitel 8 184
Übungen zu Kapitel 8 187
A Die Landauschen Symbole 191
B Werkzeuge aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung 193
Literaturverzeichnis 197
Index 204
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort VII
I Grundlagen 1
1 Schnelle Algorithmen und hartnäckige Probleme 3
1.1 Lösungen berechnen und überprüfen in Polynomialzeit: P vs. NP 4
1.2 Approximationsalgorithmen: Schnell, aber nicht optimal 10
1.3 Literatur zu Kapitel 1 12
Übungen zu Kapitel 1 14
2 Approximation mit absoluter Gütegarantie 17
2.1 Graphfärbbarkeit 18
2.1.1 Knotenfarbungen 19
Knotenfärbung beliebiger Graphen 19
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2.1.2 Kantenfärbung beliebiger Graphen 24
2.2 Ein Unmöglichkeitsergebnis für das Rucksackproblem 28
2.3 Literatur zu Kapitel 2 30
Übungen zu Kapitel 2 31
3 Approximation mit relativer Gütegarantie 35
3.1 Das metrische Traveling Salesperson Problem 37
3.1.1 Einfüge Heuristiken 38
3.1.2 Christofides' Algorithmus 42
3.1.3 Abschließende Bemerkungen 46
3.2 Unabhängige Mengen und noch einmal Knotenfärbungen 46
3.2.1 Das Independent Set Problem 46
Allgemeine Analyse von GreedyIS 48
Analyse von GreedyIS in Abhängigkeit von der chromatischen Zahl . 50
3.2.2 Ein besserer Knotenfärbungsalgorithmus 51
3.3 Ein Unmöglichkeitsergebnis für das Traveling Salesperson Problem 52
3.4 Literatur zu Kapitel 3 55
Übungen zu Kapitel 3 57
4 Approximationsschemata 65
4.1 Ein pseudopolynomieller exakter Algorithmus für das Rucksackproblem . 67
4.2 Ein streng polynomielles Approximationsschema für das Rucksackproblem . . 70
4.3 Unmöglichkeitsergebnisse für Approximationsschemata 72
4.4 Literatur zu Kapitel 4 74
Übungen zu Kapitel 4 76
5 Komplexitätstheoretische Zwischenbetrachtungen: Klassen eine Hierarchie 81
5.1 Literatur zu Kapitel 5 85
Übungen zu Kapitel 5 86
II Techniken 89
6 Techniken für randomisierte Approximationsalgorithmen 91
6.1 Die probabilistische Methode 92
6.2 Randomized Rounding 96
6.2.1 Die Arithmetisierung von Max SAT 96
6.2.2 Von der rationalen zur ganzzahligen Lösung 98
6.3 Der hybride Ansatz: Kombination mehrerer Verfahren 101
6.4 Semidefinite Optimierung ^3
6.4.1 Definitionen und Resultate der Semidefiniten Optimierung 104
6.4.2 Das Problem des maximalen Schnitts 105
6.5 Derandomisierung: Die Methode der bedingten Erwartungswerte Hl
6.6 Literatur zu Kapitel 6 1l6
Übungen zu Kapitel 6 118
7 Lineare Optimierung und Approximationsalgorithmen 125
7.1 Die Ganzzahligkeitslücke und ihre Beziehung zur relativen Güte 126
7.2 Das SETCOVER Problem und seine Arithmetisierung 127
7.3 Deterministisches Runden 131
7.4 Randomized Rounding: Von Monte Carlo nach Las Vegas 132
7.5 Dualität 134
7.5.1 Grundlagen 135
7.5.2 Dualität und Approximationsalgorithmen 137
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7.5.3 Anwendung der Dualität auf das Problem SetCover 139
Entwurf: Dual Fitting 140
Analyse: Ein besserer, vermutlich sogar der bestmögliche Ansatz . 143
7.6 Literatur zu Kapitel 7 145
Übungen zu Kapitel 7 147
8 Approximate Counting und die Monte Carlo Methode 151
8.1 Kombinatorische Zählprobleme und #P Vollständigkeit 152
8.2 Relative Gütegarantie, die Expansion und die Wahl des Universums 154
8.3 Randomisierte Approximationsschemata und Wahrscheinlichkeitsverstärkung . 158
8.4 Die klassische Monte Carlo Methode 160
8.4.1 Der Monte Carlo Algorithmus und das Estimator Theorem 161
8.4.2 #DNF und Importance Sampling 163
8.5 DieMarkov Ketten Monte Carlo Methode 165
8.5.1 Ein Exkurs über Random Walks 165
8.5.2 Zählen zulässiger Knotenfärbungen 170
8.5.3 Weitere Anwendungen der Markov Ketten Monte Carlo Methode . 177
8.6 Dynamische Programmierung und die Monte Carlo Methode 178
8.7 Unmöglichkeitsergebnisse für #IS 182
8.8 Literatur zu Kapitel 8 184
Übungen zu Kapitel 8 187
A Die Landauschen Symbole 191
B Werkzeuge aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung 193
Literaturverzeichnis 197
Index 204 |
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