Das kindliche Verständnis der Begriffe "die Hälfte" und "das Doppelte": theoretische Grundlegung und empirische Untersuchung
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Hildesheim
Franzbecker
2006
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Einleitung.1
1 Zur Bedeutung der Begriffe „die Hälfte" und „das Doppelte".5
1.1 Arithmetische Grandlagen eines mathematisch korrekten Begriffsverständnisses. 6
1.2 Verwendung der Bezeichnungen in der Alltagssprache.14
1.3 Halbieren und Verdoppeln in der Geschichte der Mathematik.17
1.3.1 Das ägyptische Verdopplungsverfahren zur Multiplikation und Division.17
1.3.2 Verdoppeln und Halbieren als eigenständige Rechenoperationen.19
1.4 Hälfte und Doppeltes als Themen des Mathematikunterrichts.21
1.4.1 Die Einführung der Begriffe im Mathematikunterricht des ersten Schuljahres.22
1.4.2 Die rechnerische Nutzung des Halbierens und Verdoppeins.27
1.4.3 „Die Hälfte" als besondere Bruchzahl.33
2 „Die Hälfte" und „das Doppelte" als Gegenstand empirischer
Forschung.36
2.1 Die Beziehungen des Teils zum Ganzen - Studien in der Tradition Piagets.37
2.1.1 Das Teil-Ganzes- Schema.37
2.1.2 Die Studien Piagets mit Bezug zum Halbieren und Verdoppeln.39
2.1.3
„Conservation
and the Notion of
,Half " - Eine Studie in der Tradition Piagets.46
2.1.4 Konsequenzen für die eigene Studie.49
2.2 Das Zerlegen in gleiche Teile als Grundlage eines elementaren
Bruchzahlverständmsses.51
2.2.1 Studien aufbauend auf dem SOLO- Entwicklungsmodell.52
2.2.2 Weitere Studien zu einem elementaren Brechzahlverständnis.56
2.2.3 Konsequenzen für die eigene Studie.73
2.3 „Das Doppelte" im Sinne von Addition und Multiplikation.77
2.3.1 Verdoppeln als Addition zweier gleicher Summanden.78
2.3.2 Verdoppeln als Spezialfall der Multiplikation.82
2.3.3 Konsequenzen für die eigene Studie.87
2.4 Vorkenntnisse von Schulanfängern zum Halbieren und Verdoppeln.87
II
_ Inhaltsverzeichnis
3 Einflüsse der „guten Gestalt" auf die visuelle Wahrnehmung.94
3.1 Die Gesetze der Strukturierung des Wahrnehmungsfeldes in der
Gestaltpsychologie.95
3.2 Die Wahrnehmung einer Symmetrie.102
4 Typenbildung und Theoriegenerierung.107
4.1 Forschungsmethode und Theoriegenerierung.107
4.2 Empirisch begründete Typenbildung.109
4.2.1 Erarbeitung von Vergleichsdimensionen.111
4.2.2 Gruppierung der Fälle und Analyse empirischer Regelmäßigkeiten.120
4.2.3 Analyse inhaltlicher Sinnzusammenhänge und Typenbüdung.123
4.2.4 Charakterisierung der gebildeten Typen.126
5 Die empirische Untersuchung.129
5.1 Das Forschungsinteresse.129
5.2 Das Design der Untersuchung.132
5.2.1 Die Konzeption der Interviews.132
5.2.2 Die Dokumentation der empirischen Daten.135
5.3 Die Durchführung der Untersuchung.,.,.136
5:3.1 Die Versuchspersonen.136
5.3.2 Durchführung der Interviews.138
6 Die Auswahl der Aufgaben.140
6.1 Das Schema zur Konstruktion der Aufgabenstellungen.140
6.2 Die Aufgaben in den Interviews.144
7 Das Kategorienschema zur Kodierung des Datenmaterials.153
7.1 Das Kategorienschema für Aufgabenbearbeitungen zur „Hälfte".154
7.2 Das Kategorienschema für Aufgabenbearbeitungen zum „Doppelten".164
8 „Die Hälfte" - Individuelles und idealtypisches
Begriffsverständnis.172
8.1 Varianten in der Lösung einer Aufgabe.173
8.2 Einzelfallanaiyse Robert, Test 2.181
8.3. Einzelfallanalyse Lisa-
Mano,
Test 4.191
Inhaltsverzeichnis
Ш
8.4 Einzelfallanalyse Franziska, Test 3.202
8.5 Einzelfallanalyse Simon, Test 3.211
8.6 Idealtypisches Begriffsverständnis.214
8.6.1 Idealtypus „Mathematisch korrektes Halbieren".215
8.6.2 Idealtypus „Zerlegen in genau zwei Teile".217
8.6.3 Idealtypus „Zerlegen in gleiche Teile".219
8.6.4 Abweichungen von den beschriebenen Idealtypen.220
8.6.5 Zusammenfassende Übersicht über das Datenmaterial.222
8.7 Enrwicklungsverläufe im kindlichen Begriffsverständnis.226
8.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung.227
8.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel.230
8.7.3 Empirische Entwicklungsverlaufe.233
8.7.4 Modell zur Entwicklung des Begriffsverstandnisses.246
9 „Das Doppelte" - Individuelles und idealtypisches
Begriffsverständnis.250
9.1 Varianten in der Losung einer Aufgabe.,.250
9.2 Einzelfallanalyse Florian, Test 2.259
9.3 Einzelfallanalyse Benjamin, Test 2.263
9.4 Einzelfallanalyse Lisa-Mano, Test 3.271
9.5 Einzelfallanalyse Naomi, Test 3.280
9.6 Idealtypisches Begriffsverständnis.289
9.6.1 Idealtypus „Mathematisch korrektes Verdoppeln".290
9.6.2 Idealtypus „Erzeugen des Doppelten innerhalb der Vorgabe".291
9.6.3 Idealtypus „Erzeugen des Doppelten mit Erweitern der Vorgabe".293
9.6.4 Idealtypus „das Doppelte als größerer Teil".295
9.6.5 Abweichungen von den beschriebenen Idealtypen.297
9.6.6 Zusammenfassende Obersicht aber das Datenmaterial.299
9.7 Entwicklungsverläufe im kindlichen Begriffsverständnis.303
9.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung.303
9.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel.307
9.7.3 Empirische Entwicklungsverläufe.311
9.7.4 Modell zur Entwicklung des
Begriffsverstandnisses
.322
IV
_ Inhaltsverzeichnis
10 Ergänzende Auswertungen und Zusammenfassung der
Ergebnisse.328
10.1 Einflussfaktoren auf die kindlichen Bearbeitungen.328
10.1.1 Art und „Gestalt" der verwendeten Quantitäten.328
10.1.2 Die Art der sprachlichen Formulierung.332
10.1.3 Verfügbarkeit des Materials und Handlungsfflöglichkeit am Material.343
10.1.4 Bekanntheitsgrad des verwendeten Materials.345
10.1.5 Aufgaben zum Halbieren bei ungerader Elementanzahl.346
10.2 Arithmetische Kompetenzen beim Halbieren und Verdoppeln.348
10.3 „Die Hälfte" als Operation des Unterteilens.351
10.4 Zusammenhänge im kindlichen Verständnis der Begriffe „die Hälfte"
und „das Doppelte".353
10.5 Mögliche „Klippen" im Lernprozess.,.359
10.6 Fazit.361
11. Resümee und didaktische Folgerungen.365
Literatur.372 |
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Einleitung.1
1 Zur Bedeutung der Begriffe „die Hälfte" und „das Doppelte".5
1.1 Arithmetische Grandlagen eines mathematisch korrekten Begriffsverständnisses. 6
1.2 Verwendung der Bezeichnungen in der Alltagssprache.14
1.3 Halbieren und Verdoppeln in der Geschichte der Mathematik.17
1.3.1 Das ägyptische Verdopplungsverfahren zur Multiplikation und Division.17
1.3.2 Verdoppeln und Halbieren als eigenständige Rechenoperationen.19
1.4 Hälfte und Doppeltes als Themen des Mathematikunterrichts.21
1.4.1 Die Einführung der Begriffe im Mathematikunterricht des ersten Schuljahres.22
1.4.2 Die rechnerische Nutzung des Halbierens und Verdoppeins.27
1.4.3 „Die Hälfte" als besondere Bruchzahl.33
2 „Die Hälfte" und „das Doppelte" als Gegenstand empirischer
Forschung.36
2.1 Die Beziehungen des Teils zum Ganzen - Studien in der Tradition Piagets.37
2.1.1 Das Teil-Ganzes- Schema.37
2.1.2 Die Studien Piagets mit Bezug zum Halbieren und Verdoppeln.39
2.1.3
„Conservation
and the Notion of
,Half " - Eine Studie in der Tradition Piagets.46
2.1.4 Konsequenzen für die eigene Studie.49
2.2 Das Zerlegen in gleiche Teile als Grundlage eines elementaren
Bruchzahlverständmsses.51
2.2.1 Studien aufbauend auf dem SOLO- Entwicklungsmodell.52
2.2.2 Weitere Studien zu einem elementaren Brechzahlverständnis.56
2.2.3 Konsequenzen für die eigene Studie.73
2.3 „Das Doppelte" im Sinne von Addition und Multiplikation.77
2.3.1 Verdoppeln als Addition zweier gleicher Summanden.78
2.3.2 Verdoppeln als Spezialfall der Multiplikation.82
2.3.3 Konsequenzen für die eigene Studie.87
2.4 Vorkenntnisse von Schulanfängern zum Halbieren und Verdoppeln.87
II
_ Inhaltsverzeichnis
3 Einflüsse der „guten Gestalt" auf die visuelle Wahrnehmung.94
3.1 Die Gesetze der Strukturierung des Wahrnehmungsfeldes in der
Gestaltpsychologie.95
3.2 Die Wahrnehmung einer Symmetrie.102
4 Typenbildung und Theoriegenerierung.107
4.1 Forschungsmethode und Theoriegenerierung.107
4.2 Empirisch begründete Typenbildung.109
4.2.1 Erarbeitung von Vergleichsdimensionen.111
4.2.2 Gruppierung der Fälle und Analyse empirischer Regelmäßigkeiten.120
4.2.3 Analyse inhaltlicher Sinnzusammenhänge und Typenbüdung.123
4.2.4 Charakterisierung der gebildeten Typen.126
5 Die empirische Untersuchung.129
5.1 Das Forschungsinteresse.129
5.2 Das Design der Untersuchung.132
5.2.1 Die Konzeption der Interviews.132
5.2.2 Die Dokumentation der empirischen Daten.135
5.3 Die Durchführung der Untersuchung.,.,.136
5:3.1 Die Versuchspersonen.136
5.3.2 Durchführung der Interviews.138
6 Die Auswahl der Aufgaben.140
6.1 Das Schema zur Konstruktion der Aufgabenstellungen.140
6.2 Die Aufgaben in den Interviews.144
7 Das Kategorienschema zur Kodierung des Datenmaterials.153
7.1 Das Kategorienschema für Aufgabenbearbeitungen zur „Hälfte".154
7.2 Das Kategorienschema für Aufgabenbearbeitungen zum „Doppelten".164
8 „Die Hälfte" - Individuelles und idealtypisches
Begriffsverständnis.172
8.1 Varianten in der Lösung einer Aufgabe.173
8.2 Einzelfallanaiyse Robert, Test 2.181
8.3. Einzelfallanalyse Lisa-
Mano,
Test 4.191
Inhaltsverzeichnis
Ш
8.4 Einzelfallanalyse Franziska, Test 3.202
8.5 Einzelfallanalyse Simon, Test 3.211
8.6 Idealtypisches Begriffsverständnis.214
8.6.1 Idealtypus „Mathematisch korrektes Halbieren".215
8.6.2 Idealtypus „Zerlegen in genau zwei Teile".217
8.6.3 Idealtypus „Zerlegen in gleiche Teile".219
8.6.4 Abweichungen von den beschriebenen Idealtypen.220
8.6.5 Zusammenfassende Übersicht über das Datenmaterial.222
8.7 Enrwicklungsverläufe im kindlichen Begriffsverständnis.226
8.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung.227
8.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel.230
8.7.3 Empirische Entwicklungsverlaufe.233
8.7.4 Modell zur Entwicklung des Begriffsverstandnisses.246
9 „Das Doppelte" - Individuelles und idealtypisches
Begriffsverständnis.250
9.1 Varianten in der Losung einer Aufgabe.,.250
9.2 Einzelfallanalyse Florian, Test 2.259
9.3 Einzelfallanalyse Benjamin, Test 2.263
9.4 Einzelfallanalyse Lisa-Mano, Test 3.271
9.5 Einzelfallanalyse Naomi, Test 3.280
9.6 Idealtypisches Begriffsverständnis.289
9.6.1 Idealtypus „Mathematisch korrektes Verdoppeln".290
9.6.2 Idealtypus „Erzeugen des Doppelten innerhalb der Vorgabe".291
9.6.3 Idealtypus „Erzeugen des Doppelten mit Erweitern der Vorgabe".293
9.6.4 Idealtypus „das Doppelte als größerer Teil".295
9.6.5 Abweichungen von den beschriebenen Idealtypen.297
9.6.6 Zusammenfassende Obersicht aber das Datenmaterial.299
9.7 Entwicklungsverläufe im kindlichen Begriffsverständnis.303
9.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung.303
9.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel.307
9.7.3 Empirische Entwicklungsverläufe.311
9.7.4 Modell zur Entwicklung des
Begriffsverstandnisses
.322
IV
_ Inhaltsverzeichnis
10 Ergänzende Auswertungen und Zusammenfassung der
Ergebnisse.328
10.1 Einflussfaktoren auf die kindlichen Bearbeitungen.328
10.1.1 Art und „Gestalt" der verwendeten Quantitäten.328
10.1.2 Die Art der sprachlichen Formulierung.332
10.1.3 Verfügbarkeit des Materials und Handlungsfflöglichkeit am Material.343
10.1.4 Bekanntheitsgrad des verwendeten Materials.345
10.1.5 Aufgaben zum Halbieren bei ungerader Elementanzahl.346
10.2 Arithmetische Kompetenzen beim Halbieren und Verdoppeln.348
10.3 „Die Hälfte" als Operation des Unterteilens.351
10.4 Zusammenhänge im kindlichen Verständnis der Begriffe „die Hälfte"
und „das Doppelte".353
10.5 Mögliche „Klippen" im Lernprozess.,.359
10.6 Fazit.361
11. Resümee und didaktische Folgerungen.365
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