Integralrechnung:
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Oldenburg
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2007
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Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort.3
2 Einführung.9
3 Voraussetzungen.11
3.1 Zahlen.11
3.2 Ungleichungen.11
3.2.1 Algebra der Ungleichungen.12
3.3 Funktionen.12
3.3.1 Stetige Funktionen.14
3.3.2 Stetigkeitsregel.14
4 Die Fläche unter einer Kurve.17
4.1 Bedingungen für eine Flächenfunktion.17
4.2 Beispiele und Aufgaben.19
4.2.1 Ein einfaches Beispiel.19
4.2.2 Aufgaben.20
4.2.3 Konstruktion der Integralfunktion.21
4.2.4 Ein klassisches Beispiel.21
4.2.5 Konstruktion der Integralfunktion.22
4.2.6 Aufgaben.23
5 Definition und Eigenschaften der Integralfunktion.25
5.1 Definition und elementare Eigenschaften.25
5.1.1 Linearität.25
5.1.2 Additivität.26
5.1.3 Translokationsinvarianz.26
5.2 Bezeichnungen.26
5.2.1 Beispiel.28
5.3 Eindeutigkeit der Integral
funktion
.28
5.4 Additivität.31
5.5 Stetigkeit der Integralfunktion.32
5.6 Monotonieeigenschaft.33
5.7 Gespiegelte Funktionen.34
5.8 Integralfunktion für nicht monotone Funktionen.35
5.8.1 Beispiel.36
5.9 Negative Funktionswerte.38
5.9.1 Beispiel.39
5.10 Beziehungen zum Cauchy-Integral.39
5.11 Nullintegrale.40
6 Umkehrung der Integration: Die Differentiation.43
6.1 Definition der Ableitung.43
6.1.1 Definition.44
6.1.2 Beispiele.45
6.2 Negative Steigungen.46
6.2.1 Beispiel.46
6.2.2 Beispiel.47
6.3
Optimaler
Funktionswert.47
6.3.1
Beispiel
.47
6.4
Eigenschaften
der Ableitung.48
6.5 Eindeutigkeit und Bedeutung der Ableitung.48
6.5.1 Eindeutigkeit.49
6.5.2 Bedeutung der Ableitung.50
6.6 Beziehungen zur Standardmathematik.50
6.7 Konstruktion der Ableitung.51
7 Integral und Ableitung wichtiger Funktionen.53
7.1 Polynome.'.53
7.1.1 Integralfunktion.53
7.1.2 Ableitung.54
7.2 Trigonometrische Funktionen.55
7.2.1 Integralfunktion von Sinus.55
7.2.2 Integralfunktion des Cosinus.55
7.2.3 Ableitung von Sinus und Cosinus.56
7.3 Die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus.57
7.3.1 Integralfunktion der
е
-Funktion.57
7.3.2 Ableitung der
е
-Funktion.58
7.3.3 Integralfunktion des natürlichen Logarithmus.58
7.3.4 Ableitung des natürlichen Logarithmus.58
8 Regeln zur Integration und Differentiation.61
8.1 Produktregeln.61
8.1.1 Produktregel für die Differentiation.61
8.1.2 Partielle Integration.62
8.2 Reziprokregel.62
8.3 Quotientenregel.63
8.4 Substitutionsregel.63
8.4.1 Substitutionsregel für die Differentiation.65
8.5 Inversionsregel.65
8.5.1 Inversionsregel für die Differentiation.66
8.5.2 Inversionsregel für Integration.66
8.5.3 Quotientenregel für Integral
funktionen
.67
8.6 Tangens und Kotangens.68
8.6.1 Integral.68
8.6.2 Ableitung.68
8.6.3 Direkte Beweise.68
8.6.4 Arcus-Funktionen.69
9 Linienlänge.71
9.1.1 Beispiel.72
9.1.2 Beispiel.72
10 Reihenentwicklung und Funktionswerte.75
10.1 Reihenentwicklung für die
е
-Funktion.75
10.2 Fehler beim Abbruch der Reihe und Restglied.76
10.3 Reihen für trigonometrische Funktionen.77
10.4 Die Logarithmusfunktion.78
11 Integrale mit mehreren Variablen.81
11.1.1 Beispiel.81
12
Stieltjes-Integral
.83
13 Aufgaben.85
13.1 Integration der Konstanten.85
13.2 Integration von Sprungfunktion.85
13.2.1 Integration einer einfachen Sprungfunktion.85
13.2.2 Integration einer Funktion mit mehreren Sprüngen.86
13.2.3 Integration einer allgemeinen Sprungfunktion.87
13.3 Man integriere die folgenden Funktionen.88
14 Literaturverzeichnis.91
15 Stichwortverzeichnis.93 |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort.3
2 Einführung.9
3 Voraussetzungen.11
3.1 Zahlen.11
3.2 Ungleichungen.11
3.2.1 Algebra der Ungleichungen.12
3.3 Funktionen.12
3.3.1 Stetige Funktionen.14
3.3.2 Stetigkeitsregel.14
4 Die Fläche unter einer Kurve.17
4.1 Bedingungen für eine Flächenfunktion.17
4.2 Beispiele und Aufgaben.19
4.2.1 Ein einfaches Beispiel.19
4.2.2 Aufgaben.20
4.2.3 Konstruktion der Integralfunktion.21
4.2.4 Ein klassisches Beispiel.21
4.2.5 Konstruktion der Integralfunktion.22
4.2.6 Aufgaben.23
5 Definition und Eigenschaften der Integralfunktion.25
5.1 Definition und elementare Eigenschaften.25
5.1.1 Linearität.25
5.1.2 Additivität.26
5.1.3 Translokationsinvarianz.26
5.2 Bezeichnungen.26
5.2.1 Beispiel.28
5.3 Eindeutigkeit der Integral
funktion
.28
5.4 Additivität.31
5.5 Stetigkeit der Integralfunktion.32
5.6 Monotonieeigenschaft.33
5.7 Gespiegelte Funktionen.34
5.8 Integralfunktion für nicht monotone Funktionen.35
5.8.1 Beispiel.36
5.9 Negative Funktionswerte.38
5.9.1 Beispiel.39
5.10 Beziehungen zum Cauchy-Integral.39
5.11 Nullintegrale.40
6 Umkehrung der Integration: Die Differentiation.43
6.1 Definition der Ableitung.43
6.1.1 Definition.44
6.1.2 Beispiele.45
6.2 Negative Steigungen.46
6.2.1 Beispiel.46
6.2.2 Beispiel.47
6.3
Optimaler
Funktionswert.47
6.3.1
Beispiel
.47
6.4
Eigenschaften
der Ableitung.48
6.5 Eindeutigkeit und Bedeutung der Ableitung.48
6.5.1 Eindeutigkeit.49
6.5.2 Bedeutung der Ableitung.50
6.6 Beziehungen zur Standardmathematik.50
6.7 Konstruktion der Ableitung.51
7 Integral und Ableitung wichtiger Funktionen.53
7.1 Polynome.'.53
7.1.1 Integralfunktion.53
7.1.2 Ableitung.54
7.2 Trigonometrische Funktionen.55
7.2.1 Integralfunktion von Sinus.55
7.2.2 Integralfunktion des Cosinus.55
7.2.3 Ableitung von Sinus und Cosinus.56
7.3 Die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus.57
7.3.1 Integralfunktion der
е
-Funktion.57
7.3.2 Ableitung der
е
-Funktion.58
7.3.3 Integralfunktion des natürlichen Logarithmus.58
7.3.4 Ableitung des natürlichen Logarithmus.58
8 Regeln zur Integration und Differentiation.61
8.1 Produktregeln.61
8.1.1 Produktregel für die Differentiation.61
8.1.2 Partielle Integration.62
8.2 Reziprokregel.62
8.3 Quotientenregel.63
8.4 Substitutionsregel.63
8.4.1 Substitutionsregel für die Differentiation.65
8.5 Inversionsregel.65
8.5.1 Inversionsregel für die Differentiation.66
8.5.2 Inversionsregel für Integration.66
8.5.3 Quotientenregel für Integral
funktionen
.67
8.6 Tangens und Kotangens.68
8.6.1 Integral.68
8.6.2 Ableitung.68
8.6.3 Direkte Beweise.68
8.6.4 Arcus-Funktionen.69
9 Linienlänge.71
9.1.1 Beispiel.72
9.1.2 Beispiel.72
10 Reihenentwicklung und Funktionswerte.75
10.1 Reihenentwicklung für die
е
-Funktion.75
10.2 Fehler beim Abbruch der Reihe und Restglied.76
10.3 Reihen für trigonometrische Funktionen.77
10.4 Die Logarithmusfunktion.78
11 Integrale mit mehreren Variablen.81
11.1.1 Beispiel.81
12
Stieltjes-Integral
.83
13 Aufgaben.85
13.1 Integration der Konstanten.85
13.2 Integration von Sprungfunktion.85
13.2.1 Integration einer einfachen Sprungfunktion.85
13.2.2 Integration einer Funktion mit mehreren Sprüngen.86
13.2.3 Integration einer allgemeinen Sprungfunktion.87
13.3 Man integriere die folgenden Funktionen.88
14 Literaturverzeichnis.91
15 Stichwortverzeichnis.93 |
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