Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung: eine Einführung
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Berlin [u.a.]
Springer
2007
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Record in the Search Index
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 9
1.1 Analytische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 10
1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 12
1.2.1 Geometrische Eigenschaften von Flüssen 12
1.2.2 Hamiltonsche Flüsse 13
1.2.3 Die symplektische Form 15
1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 16
1.3.1 Observable und Zustände 16
1.3.2 Die Poisson Klammer und die Zeitentwicklung 20
1.4 Warum „Geometrische Mechanik 21
1.5 Aufgaben 22
2 Differentialgeometrische Grundlagen 29
2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 30
2.1.1 Karten und Atlanten 30
2.1.2 Tangentialvektoren und das Tangentenbündel 35
2.1.3 Vektorfelder. Flüsse und Lie Klanunern 11
2.2 Vektorbündel 4.1
2.2.1 Bündelkarten und erste Eigenschaften 16
2.2.2 Konstruktionen von Vektorbündeln 50
2.2.3 Algebraische Strukturen für Schnitte von Yektorbündeln 54
2.2.4 Kovariante Ableitungen und Krümmung 60
2.2.5 Orientierung und n Diehtenbünde! 63
2.3 Kalkül auf Mannigfaltigkeiten 72
2.3.1 Tensorfelder und Lie Ablcitung 72
2.3.2 Differentialformen 75
2.3.3 Multivektorfelder und die Schouten Nijenhuis Klammer »2
2.3.4 Integration auf Mannigfaltigkeiten 87
2.4 Aufgaben 92
X Inhaltsverzeichnis
3 Symplektische Geometrie 105
3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenräume 105
3.1.1 Definitionen und erste Eigenschaften 106
3.1.2 Hamiltonsche Vektorfelder und Poisson Klammern 108
3.1.3 Das Darboux Theorem 113
3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten 118
3.2.1 Kotangentenbündel 118
3.2.2 Von Lagrangescher zu Hamiltonscher Mechanik 130
3.2.3 Fast Komplexe Strukturen und Kähler
Mannigfaltigkeiten 138
3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion 151
3.3.1 Lie Gruppen und Gruppenwirkungen 152
3.3.2 Impulsabbildungen 175
3.3.3 Die Marsden Weinstein Reduktion 185
3.4 Aufgaben 191
4 Poisson Geometrie 209
4.1 Poisson Mannigfaltigkeiten 210
4.1.1 Poisson Klammern und Poisson Tensoren 211
4.1.2 Hamiltonsche und Poisson Vektorfelder 215
4.1.3 Beispiele von Poisson Mannigfaltigkeiten 218
4.1.4 Symplektische Blätterung und das Splitting Theorem . . 225
4.1.5 Poisson Abbildungen 233
4.2 Lie Algebroide und Poisson Kohomologie 237
4.2.1 Lie Algebroide 238
4.2.2 Poisson Kohomologie 247
4.2.3 Die fundamentale und die modulare Klasse 253
4.2.4 Formale Poisson Tensoren 257
4.3 Aufgaben 271
5 Quantisierung: Erste Schritte 281
5.1 Die Problemstellung 281
5.1.1 Klassische Mechanik und Quantenmechanik im Vergleich283
5.1.2 Quantisierung und klassischer Limes 288
5.2 Kanonische Quantisierung für polynomiale Funktionen 292
5.2.1 Das Groenewold van Hove Theorem 294
5.2.2 Ordnungsvorschriften: Standard und Weyl Ordnung . . . 299
5.2.3 Wick , Anti Wick und ^ Ordnung 303
5.2.4 Die ersten Sternprodukte 306
5.3 Symbolkalkül für Pseudodifferentialoperatoren 314
5.3.1 Integralformeln und Pseudodifferentialoperatoren 315
5.3.2 Integralformeln für die Sternprodukte 324
5.3.3 Asymptotische Entwicklungen und ihre Konvergenz .... 331
5.3.4 Asymptotische Entwicklung und klassischer Limes 336
5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenbündel 337
Inhaltsverzeichnis XI
5.4.1 Standardgeordnete Quantisierung auf T*Q 338
5.4.2 K Ordnung und Sternprodukte auf T*Q 347
5.5 Aufgaben 355
6 Formale Deformationsquantisierung 371
6.1 Sternprodukte auf Poisson Mannigfaltigkeiten 372
6.1.1 Ziele und Erwartungen 372
6.1.2 Die Definition von Sternprodukten 374
6.1.3 Existenz und Klassifikation von Sternprodukten 380
6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber 386
6.2.1 A Adische Topologie und der Banachsche Fixpunktsatz . 389
6.2.2 Die Gerstenhaber Klammer und der Hochschild Komplex393
6.2.3 Formale Deformationen assoziativer Algebren 402
6.2.4 Eine formale assoziative Deformation 410
6.2.5 Das Hochschild Kostant Rosenberg Theorem 413
6.3 Kalkül mit Sternprodukten 419
6.3.1 Inverse, Exponential und Logarithmusfunktion 419
6.3.2 Derivationen von Sternprodukten 423
6.3.3 Automorphismen von Sternprodukten 429
6.3.4 Zeitentwicklung und die Heisenberg Gleichung 433
6.3.5 Spurfunktionale 437
6.4 Die Fedosov Konstruktion 444
6.4.1 Das formale Weyl Algebrabündel 446
6.4.2 Die Fedosov Derivation 453
6.4.3 Die Fedosov Taylor Reihe und das Fedosov Sternprodukt464
6.4.4 Die Fedosov Klasse 470
6.5 Aufgaben 474
7 Zustände und Darstellungen 485
7.1 Zustände als positive Funktionale 486
7.1.1 Geordnete Ringe, Prä Hilbert Räume und Algebren . . 487
7.1.2 Positivitätsbegriffe 495
7.1.3 Positive Funktionale in der Defonnationsquantisienmg . 501
7.1.4 Die KMS Bedingung und thermodynainische Zustände . 507
7.1.5 Positive Deformationen 512
7.2 Darstellungen und GNS Konstruktion 517
7.2.1 Elementare Darstellungstheorie einer Algebra 518
7.2.2 Die allgemeine GNS Konstruktion 522
7.2.3 GNS Darstellungen in der Deformationsquant isienmg . . 525
7.2.4 Deformation und klassischer Limes von Darstellungen 537
7.3 Aufgaben 544
XII Inhaltsverzeichnis
A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten 551
A.l Zerlegungen der Eins 551
A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren 556
A.3 Differentialoperatoren der Algebra C°°(M) 560
A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren 566
A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektor bündeln . . 573
Kommentiertes Literaturverzeichnis 579
Literaturverzeichnis 583
Sachverzeichnis 601
|
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 9
1.1 Analytische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 10
1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 12
1.2.1 Geometrische Eigenschaften von Flüssen 12
1.2.2 Hamiltonsche Flüsse 13
1.2.3 Die symplektische Form 15
1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik 16
1.3.1 Observable und Zustände 16
1.3.2 Die Poisson Klammer und die Zeitentwicklung 20
1.4 Warum „Geometrische Mechanik" 21
1.5 Aufgaben 22
2 Differentialgeometrische Grundlagen 29
2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 30
2.1.1 Karten und Atlanten 30
2.1.2 Tangentialvektoren und das Tangentenbündel 35
2.1.3 Vektorfelder. Flüsse und Lie Klanunern 11
2.2 Vektorbündel 4.1
2.2.1 Bündelkarten und erste Eigenschaften 16
2.2.2 Konstruktionen von Vektorbündeln 50
2.2.3 Algebraische Strukturen für Schnitte von Yektorbündeln 54
2.2.4 Kovariante Ableitungen und Krümmung 60
2.2.5 Orientierung und n Diehtenbünde! 63
2.3 Kalkül auf Mannigfaltigkeiten 72
2.3.1 Tensorfelder und Lie Ablcitung 72
2.3.2 Differentialformen 75
2.3.3 Multivektorfelder und die Schouten Nijenhuis Klammer »2
2.3.4 Integration auf Mannigfaltigkeiten 87
2.4 Aufgaben 92
X Inhaltsverzeichnis
3 Symplektische Geometrie 105
3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenräume 105
3.1.1 Definitionen und erste Eigenschaften 106
3.1.2 Hamiltonsche Vektorfelder und Poisson Klammern 108
3.1.3 Das Darboux Theorem 113
3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten 118
3.2.1 Kotangentenbündel 118
3.2.2 Von Lagrangescher zu Hamiltonscher Mechanik 130
3.2.3 Fast Komplexe Strukturen und Kähler
Mannigfaltigkeiten 138
3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion 151
3.3.1 Lie Gruppen und Gruppenwirkungen 152
3.3.2 Impulsabbildungen 175
3.3.3 Die Marsden Weinstein Reduktion 185
3.4 Aufgaben 191
4 Poisson Geometrie 209
4.1 Poisson Mannigfaltigkeiten 210
4.1.1 Poisson Klammern und Poisson Tensoren 211
4.1.2 Hamiltonsche und Poisson Vektorfelder 215
4.1.3 Beispiele von Poisson Mannigfaltigkeiten 218
4.1.4 Symplektische Blätterung und das Splitting Theorem . . 225
4.1.5 Poisson Abbildungen 233
4.2 Lie Algebroide und Poisson Kohomologie 237
4.2.1 Lie Algebroide 238
4.2.2 Poisson Kohomologie 247
4.2.3 Die fundamentale und die modulare Klasse 253
4.2.4 Formale Poisson Tensoren 257
4.3 Aufgaben 271
5 Quantisierung: Erste Schritte 281
5.1 Die Problemstellung 281
5.1.1 Klassische Mechanik und Quantenmechanik im Vergleich283
5.1.2 Quantisierung und klassischer Limes 288
5.2 Kanonische Quantisierung für polynomiale Funktionen 292
5.2.1 Das Groenewold van Hove Theorem 294
5.2.2 Ordnungsvorschriften: Standard und Weyl Ordnung . . . 299
5.2.3 Wick , Anti Wick und ^ Ordnung 303
5.2.4 Die ersten Sternprodukte 306
5.3 Symbolkalkül für Pseudodifferentialoperatoren 314
5.3.1 Integralformeln und Pseudodifferentialoperatoren 315
5.3.2 Integralformeln für die Sternprodukte 324
5.3.3 Asymptotische Entwicklungen und ihre Konvergenz . 331
5.3.4 Asymptotische Entwicklung und klassischer Limes 336
5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenbündel 337
Inhaltsverzeichnis XI
5.4.1 Standardgeordnete Quantisierung auf T*Q 338
5.4.2 K Ordnung und Sternprodukte auf T*Q 347
5.5 Aufgaben 355
6 Formale Deformationsquantisierung 371
6.1 Sternprodukte auf Poisson Mannigfaltigkeiten 372
6.1.1 Ziele und Erwartungen 372
6.1.2 Die Definition von Sternprodukten 374
6.1.3 Existenz und Klassifikation von Sternprodukten 380
6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber 386
6.2.1 A Adische Topologie und der Banachsche Fixpunktsatz . 389
6.2.2 Die Gerstenhaber Klammer und der Hochschild Komplex393
6.2.3 Formale Deformationen assoziativer Algebren 402
6.2.4 Eine formale assoziative Deformation 410
6.2.5 Das Hochschild Kostant Rosenberg Theorem 413
6.3 Kalkül mit Sternprodukten 419
6.3.1 Inverse, Exponential und Logarithmusfunktion 419
6.3.2 Derivationen von Sternprodukten 423
6.3.3 Automorphismen von Sternprodukten 429
6.3.4 Zeitentwicklung und die Heisenberg Gleichung 433
6.3.5 Spurfunktionale 437
6.4 Die Fedosov Konstruktion 444
6.4.1 Das formale Weyl Algebrabündel 446
6.4.2 Die Fedosov Derivation 453
6.4.3 Die Fedosov Taylor Reihe und das Fedosov Sternprodukt464
6.4.4 Die Fedosov Klasse 470
6.5 Aufgaben 474
7 Zustände und Darstellungen 485
7.1 Zustände als positive Funktionale 486
7.1.1 Geordnete Ringe, Prä Hilbert Räume und ' Algebren . . 487
7.1.2 Positivitätsbegriffe 495
7.1.3 Positive Funktionale in der Defonnationsquantisienmg . 501
7.1.4 Die KMS Bedingung und thermodynainische Zustände . 507
7.1.5 Positive Deformationen 512
7.2 Darstellungen und GNS Konstruktion 517
7.2.1 Elementare Darstellungstheorie einer ' Algebra 518
7.2.2 Die allgemeine GNS Konstruktion 522
7.2.3 GNS Darstellungen in der Deformationsquant isienmg . . 525
7.2.4 Deformation und klassischer Limes von " Darstellungen 537
7.3 Aufgaben 544
XII Inhaltsverzeichnis
A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten 551
A.l Zerlegungen der Eins 551
A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren 556
A.3 Differentialoperatoren der Algebra C°°(M) 560
A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren 566
A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektor bündeln . . 573
Kommentiertes Literaturverzeichnis 579
Literaturverzeichnis 583
Sachverzeichnis 601 |
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