Kombinatorische Optimierung erleben: in Studium und Unterricht
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| Format: | Electronic eBook |
|---|---|
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Vieweg
2007
|
| Edition: | 1. Aufl. |
| Series: | Mathematik erleben
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| Subjects: | |
| Online Access: | BTU01 BTW01 FFW01 FHA01 FHM01 FHN01 FHR01 FKE01 FRO01 TUM01 UBA01 UBM01 UBR01 UBT01 UBW01 UBY01 UER01 UPA01 Volltext Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Literaturverz. S. [305] - 308 |
| Physical Description: | 1 Online-Ressource (XVI, 311 S.) Ill., graph. Darst., Kt. |
| ISBN: | 9783528032166 9783834891204 |
| DOI: | 10.1007/978-3-8348-9120-4 |
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Record in the Search Index
| _version_ | 1804137125389533184 |
|---|---|
| adam_text | Inhalt
42 — ein Geleitwort von Peter Gritzmann xi
Vorwort xiii
1
Brigitte Lutz Westphal
Optimal zum Ziel: Das Kürzeste Wege Problem 1
1 U Bahn Fahrten, Schulwege und die Reise von Datenpaketen . . 1
Problem 1 U Bahn fahren 1
Problem 2 Den Schulweg oder den Weg zur Arbeit optimieren 2
Problem 3 Datenpakete verschicken 3
2 Die Qual der Wahl: Was soll optimiert werden? 3
3 Alle Möglichkeiten probieren: Enumeration 4
4 Graphen und Graphenisomorphie 6
Graphen und Wege 6
Das Graphenlabor 8
Graphenisomorphie 10
Matrizen 14
5 Die Breitensuche 16
Erste Ideen für einen »Weg mit minimaler Anzahl von Kanten
Algorithmus« 16
Die Froschperspektive und die Lochblende 18
Formulierung der Breitensuche 20
Blättertausch und Rollenspiel: Überprüfen der Formulierung 24
6 Der Algorithmus von Dijkstra 26
Gewichtete Graphen 26
Den Algorithmus von Dijkstra nacherfinden 28
7 Mehr über optimale Wege 33
vi Inhalt
8 Vertiefung: Korrektheitsbeweise 35
Korrektheitsbeweis für die Breitensuche 35
Korrektheitsbeweis für den Algorithmus von Dijkstra .... 37
2
Brigitte Lutz Westphal
Günstig verbunden: Minimale aufspannende Bäume 39
1 Leitungsnetze planen, Straßen erneuern und Computer verkabeln 39
Problem 1 Leitungen erneuern 39
Problem 2 Straßenbeläge kostengünstig verbessern 41
Problem 3 Telefonleitungen mieten 41
Problem 4 Computernetzwerke verkabeln 42
2 Das Problem modellieren 42
3 Bäume 44
Eindeutigkeit der Wege 45
Die Anzahl der Baumkanten 46
Die Anzahl der aufspannenden Bäume 50
4 Die Tiefensuche 53
Der Algorithmus 53
Korrektheitsbeweis 56
Das Daumenkino und noch einmal die Lochblende 56
Exkurs: Ariadne — die erste Informatikerin 58
Enge Verwandte: Tiefensuche und Breitensuche 60
5 Die Algorithmen von Kruskal und Prim 62
Kosten kommen ins Spiel 62
Zwei »gierige« Vorgehensweisen 63
6 Steinerbäume 65
7 Vertiefung: Korrektheitsbeweise für die Algorithmen von Kruskal
und Prim 66
3
Brigitte Lutz Westphal
Mathematik für die Müllabfuhr: Das chinesische Postbotenproblem 69
1 Tourenplanung für Müllabfuhr, Postzustellung und Museen ... 69
Problem 1 Müllabfuhr optimieren 69
Problem 2 Das chinesische Postbotenproblem 70
Problem 3 Ein Museum planen 71
Inhalt vii
2 Modellierung durch Graphen 71
Welche Informationen werden zur Lösung der Aufgabe
benötigt? 71
Wie genau soll das Modell werden? 74
3 Das chinesische Postbotenproblem 76
4 Eulergraphen und Eulertouren 77
Die Müllabfuhr, die Königsberger Brücken und Leonhard Euler 77
Algorithmen für Eulertouren 79
Figuren in einem Zug zeichnen 84
5 Knotengrade 84
Die Anzahl der ungeraden Knoten 85
Ein weiterer Beweis für die Anzahl der Blätter im Baum ... 87
Mehr über Knotengrade 87
6 Matchings: Was die Müllabfuhr mit Partnerwahl zu tun hat ... 89
7 Die Lösung für Müllautos und andere Anwendungen 91
8 Thema mit Variationen: Andere Postbotenprobleme 93
4
Martin Grötschel
Schnelle Rundreisen: Das Travelling Salesman Problem 95
1 Problem 1 Städtereisen 95
Die Modellierung als Graph 96
2 Problem 2 Das Bohren von Leiterplatten 98
3 Löcher bohren: Die Zielfunktion 101
4 Der Ursprung des Travelling Salesman Problems 106
5 Lösungsmethoden 108
Exakte Algorithmen: Enumeration 109
Exakte Algorithmen: Ganzzahlige Programmierung 111
Greedy Algorithmen 115
Approximationsalgorithmen für das STSP 118
Verbesserungsverfahren 123
6 Vertiefung 124
Die Nichtapproximierbarkeit des TSP 124
Zufall und das TSP 126
7 Lösungen und Literaturhinweise 128
viii Inhalt
5
Timo Leuders
Wenn es Mathematikern zu bunt wird: Färbeprobleme 131
1 Landkarten, Fische, Handys und Botschafter 131
Problem 1 Landkartenfärbung 133
Problem 2 Fischgesellschaften 133
Problem 3 Handynetze 135
Problem 4 Diplomatenkarussell 135
Wie passt das alles zusammen? 136
2 Ideen, Begriffe und Zusammenhänge 137
Graphen als Modelle 138
Ein kleiner Abstecher oder: »Da bist du platt« 142
Reichen vier Farben denn nun immer? Plättbarkeit und
Färbbarkeit 148
Wie sieht es aber nun mit 4 Farben aus? 153
3 Wie knackt man die Färbungsprobleme praktisch? 154
Fingerübungen 154
Jetzt wird es handgreiflicher: Färbealgorithmen 157
Von der Heuristik zum Algorithmus 164
»Vorwärts, und nicht vergessen!« 165
Wie aus einem Beweis ein Algorithmus wird 168
6
Stephan Hußmann
Mit Mathematik spielend gewinnen: Kombinatorische Spiele 171
1 Mit Mathematik spielend gewinnen 171
Spiel 1 Bridg It 171
Spiel 2 Shannon Switching Game 172
Spiel 3 Trianguli 173
Spiel 4 Hex 173
2 Spiele mit mathematischer Strategie gewinnen 174
Bridg It Zugänge zur Graphentheorie 175
Kann das Spiel jemals unentschieden enden? 176
Wie kann eine geeignete Gewinnstrategie aussehen? 180
Wer beginnt, der gewinnt 181
3 Shannon Switching Game l83
4 Trianguli 191
5 Hex 197
Inhalt ix
7
Stephan Hußmann
Wer passt zu wem? Matchings 203
1 Jobs und Tanzkurse immer eine Frage der richtigen Zuordnung 203
Problem 1 Jobverteilung 203
Problem 2 Tanzkurs 205
2 Eine Entdeckungsreise durch die Welt der Matchings 205
Aufweicher Seite stehst du? Zweigeteilte Graphen 206
3 Stellen und Bewerber 210
Jetzt einmal gierig! 212
Perfekt matchen 213
Gute Nachbarschaftsverhältnisse 214
Jetzt wird geheiratet 216
Immer abwechselnd 218
Knoten statt Kanten 224
Eine Decke voller Knoten 226
4 Ein kurzer Ausblick: Matchings auf gewichteten Graphen 228
8
Stephan Hußmann
Wie viel passt noch in die Leitung? Flüsse und Netzwerke 233
1 Von Flüssen und Gewinnchancen 233
Problem 1 Energietransport 234
Problem 2 Handballmeisterschaft 236
2 Wie viel Wasser passt in den Fluss? 237
Viele Wege führen zum Ziel 240
Fluss und Kapazität 241
Welche Wege gibt es überhaupt? 244
Von verschiedenen Standorten auf das Problem schauen . . . 246
Alltagserfahrungen nutzbar machen 246
Netzwerkschnitte 247
Vorwärts oder Rückwärts 248
Wie lässt sich ein Fluss maximieren? 251
Kleinster Schnitt trifft größten Fluss 253
Auf der Suche nach einem Algorithmus 254
3 Wer wird erster? 257
Spiele und Mannschaften 258
x Inhalt
9
Martin Grötschel
Das Problem mit der Komplexität: V = MV7. 265
, 10
Andreas Brieden und Peter Gritzmann
Von Ackerbau und polytopalen Halbnormen: Diskrete Optimierung für
die Landwirtschaft 275
1 Problem Flurbereinigung 275
2 Lösung durch computergestütze Enumeration? 278
3 Modellierung 279
Die Nebenbedingungen 279
Geometrisch/zahlentheoretische Interpretation der zulässigen
Menge 283
Wahl der Zielfunktion 286
Abstandsmessung 288
Abstandsmaximierung 291
Polytopale Halbnormen 294
Zusammenfassung des Algorithmus 299
4 Umsetzung in der Praxis 300
Optimierungsvorschlag 300
Postoptimierung vor Ort 301
5 Fazit 304
Literatur 305
Index 309
|
| adam_txt |
Inhalt
42 — ein Geleitwort von Peter Gritzmann xi
Vorwort xiii
1
Brigitte Lutz Westphal
Optimal zum Ziel: Das Kürzeste Wege Problem 1
1 U Bahn Fahrten, Schulwege und die Reise von Datenpaketen . . 1
Problem 1 U Bahn fahren 1
Problem 2 Den Schulweg oder den Weg zur Arbeit optimieren 2
Problem 3 Datenpakete verschicken 3
2 Die Qual der Wahl: Was soll optimiert werden? 3
3 Alle Möglichkeiten probieren: Enumeration 4
4 Graphen und Graphenisomorphie 6
Graphen und Wege 6
Das Graphenlabor 8
Graphenisomorphie 10
Matrizen 14
5 Die Breitensuche 16
Erste Ideen für einen »Weg mit minimaler Anzahl von Kanten
Algorithmus« 16
Die Froschperspektive und die Lochblende 18
Formulierung der Breitensuche 20
Blättertausch und Rollenspiel: Überprüfen der Formulierung 24
6 Der Algorithmus von Dijkstra 26
Gewichtete Graphen 26
Den Algorithmus von Dijkstra nacherfinden 28
7 Mehr über optimale Wege 33
vi Inhalt
8 Vertiefung: Korrektheitsbeweise 35
Korrektheitsbeweis für die Breitensuche 35
Korrektheitsbeweis für den Algorithmus von Dijkstra . 37
2
Brigitte Lutz Westphal
Günstig verbunden: Minimale aufspannende Bäume 39
1 Leitungsnetze planen, Straßen erneuern und Computer verkabeln 39
Problem 1 Leitungen erneuern 39
Problem 2 Straßenbeläge kostengünstig verbessern 41
Problem 3 Telefonleitungen mieten 41
Problem 4 Computernetzwerke verkabeln 42
2 Das Problem modellieren 42
3 Bäume 44
Eindeutigkeit der Wege 45
Die Anzahl der Baumkanten 46
Die Anzahl der aufspannenden Bäume 50
4 Die Tiefensuche 53
Der Algorithmus 53
Korrektheitsbeweis 56
Das Daumenkino und noch einmal die Lochblende 56
Exkurs: Ariadne — die erste Informatikerin 58
Enge Verwandte: Tiefensuche und Breitensuche 60
5 Die Algorithmen von Kruskal und Prim 62
Kosten kommen ins Spiel 62
Zwei »gierige« Vorgehensweisen 63
6 Steinerbäume 65
7 Vertiefung: Korrektheitsbeweise für die Algorithmen von Kruskal
und Prim 66
3
Brigitte Lutz Westphal
Mathematik für die Müllabfuhr: Das chinesische Postbotenproblem 69
1 Tourenplanung für Müllabfuhr, Postzustellung und Museen . 69
Problem 1 Müllabfuhr optimieren 69
Problem 2 Das chinesische Postbotenproblem 70
Problem 3 Ein Museum planen 71
Inhalt vii
2 Modellierung durch Graphen 71
Welche Informationen werden zur Lösung der Aufgabe
benötigt? 71
Wie genau soll das Modell werden? 74
3 Das chinesische Postbotenproblem 76
4 Eulergraphen und Eulertouren 77
Die Müllabfuhr, die Königsberger Brücken und Leonhard Euler 77
Algorithmen für Eulertouren 79
Figuren in einem Zug zeichnen 84
5 Knotengrade 84
Die Anzahl der ungeraden Knoten 85
Ein weiterer Beweis für die Anzahl der Blätter im Baum . 87
Mehr über Knotengrade 87
6 Matchings: Was die Müllabfuhr mit Partnerwahl zu tun hat . 89
7 Die Lösung für Müllautos und andere Anwendungen 91
8 Thema mit Variationen: Andere Postbotenprobleme 93
4
Martin Grötschel
Schnelle Rundreisen: Das Travelling Salesman Problem 95
1 Problem 1 Städtereisen 95
Die Modellierung als Graph 96
2 Problem 2 Das Bohren von Leiterplatten 98
3 Löcher bohren: Die Zielfunktion 101
4 Der Ursprung des Travelling Salesman Problems 106
5 Lösungsmethoden 108
Exakte Algorithmen: Enumeration 109
Exakte Algorithmen: Ganzzahlige Programmierung 111
Greedy Algorithmen 115
Approximationsalgorithmen für das STSP 118
Verbesserungsverfahren 123
6 Vertiefung 124
Die Nichtapproximierbarkeit des TSP 124
Zufall und das TSP 126
7 Lösungen und Literaturhinweise 128
viii Inhalt
5
Timo Leuders
Wenn es Mathematikern zu bunt wird: Färbeprobleme 131
1 Landkarten, Fische, Handys und Botschafter 131
Problem 1 Landkartenfärbung 133
Problem 2 Fischgesellschaften 133
Problem 3 Handynetze 135
Problem 4 Diplomatenkarussell 135
Wie passt das alles zusammen? 136
2 Ideen, Begriffe und Zusammenhänge 137
Graphen als Modelle 138
Ein kleiner Abstecher oder: »Da bist du platt« 142
Reichen vier Farben denn nun immer? Plättbarkeit und
Färbbarkeit 148
Wie sieht es aber nun mit 4 Farben aus? 153
3 Wie knackt man die Färbungsprobleme praktisch? 154
Fingerübungen 154
Jetzt wird es handgreiflicher: Färbealgorithmen 157
Von der Heuristik zum Algorithmus 164
»Vorwärts, und nicht vergessen!« 165
Wie aus einem Beweis ein Algorithmus wird 168
6
Stephan Hußmann
Mit Mathematik spielend gewinnen: Kombinatorische Spiele 171
1 Mit Mathematik spielend gewinnen 171
Spiel 1 Bridg It 171
Spiel 2 Shannon Switching Game 172
Spiel 3 Trianguli 173
Spiel 4 Hex 173
2 Spiele mit mathematischer Strategie gewinnen 174
Bridg It Zugänge zur Graphentheorie 175
Kann das Spiel jemals unentschieden enden? 176
Wie kann eine geeignete Gewinnstrategie aussehen? 180
Wer beginnt, der gewinnt 181
3 Shannon Switching Game l83
4 Trianguli 191
5 Hex 197
Inhalt ix
7
Stephan Hußmann
Wer passt zu wem? Matchings 203
1 Jobs und Tanzkurse immer eine Frage der richtigen Zuordnung 203
Problem 1 Jobverteilung 203
Problem 2 Tanzkurs ' 205
2 Eine Entdeckungsreise durch die Welt der Matchings 205
Aufweicher Seite stehst du? Zweigeteilte Graphen 206
3 Stellen und Bewerber 210
Jetzt einmal gierig! 212
Perfekt matchen 213
Gute Nachbarschaftsverhältnisse 214
Jetzt wird geheiratet 216
Immer abwechselnd 218
Knoten statt Kanten 224
Eine Decke voller Knoten 226
4 Ein kurzer Ausblick: Matchings auf gewichteten Graphen 228
8
Stephan Hußmann
Wie viel passt noch in die Leitung? Flüsse und Netzwerke 233
1 Von Flüssen und Gewinnchancen 233
Problem 1 Energietransport 234
Problem 2 Handballmeisterschaft 236
2 Wie viel Wasser passt in den Fluss? 237
Viele Wege führen zum Ziel 240
Fluss und Kapazität 241
Welche Wege gibt es überhaupt? 244
Von verschiedenen Standorten auf das Problem schauen . . . 246
Alltagserfahrungen nutzbar machen 246
Netzwerkschnitte 247
Vorwärts oder Rückwärts 248
Wie lässt sich ein Fluss maximieren? 251
Kleinster Schnitt trifft größten Fluss 253
Auf der Suche nach einem Algorithmus 254
3 Wer wird erster? 257
Spiele und Mannschaften 258
x Inhalt
9
Martin Grötschel
Das Problem mit der Komplexität: V = MV7. 265
, 10
Andreas Brieden und Peter Gritzmann
Von Ackerbau und polytopalen Halbnormen: Diskrete Optimierung für
die Landwirtschaft 275
1 Problem Flurbereinigung 275
2 Lösung durch computergestütze Enumeration? 278
3 Modellierung 279
Die Nebenbedingungen 279
Geometrisch/zahlentheoretische Interpretation der zulässigen
Menge 283
Wahl der Zielfunktion 286
Abstandsmessung 288
Abstandsmaximierung 291
Polytopale Halbnormen 294
Zusammenfassung des Algorithmus 299
4 Umsetzung in der Praxis 300
Optimierungsvorschlag 300
Postoptimierung vor Ort 301
5 Fazit 304
Literatur 305
Index 309 |
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