Angewandte Mathematik für Physiker: mit ... 102 Übungsaufgaben und 61 durchgerechneten Anwendungsbeispielen
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
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| Schlagworte: | |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vektoranalysis............................................ 1
1.1 Einleitung............................................. 1
1.2
Vektoralgebra
.......................................... 2
1.2.1 Vektoraddition.................................. 2
1.2.2 Das Skalarprodukt............................... 3
1.2.3 Das Vektorprodukt .............................. 4
1.3 X ektordifferenzialoperationen ............................ 9
1.3.1
Differenziai
ion
nach einem Parameter.............. 10
1.3.2 Der Gradientoperator............................ 14
1.3.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes .................. IG
1.3.4 Die Rotation eines Vektorfeldes ................... 18
1.8.Г)
Mehrfache Differenzialoperat
ionen
................. 20
1.4 Vektorintegraloperationen ............................... 21
1.4.1 Der
Gauiľsche
Satz.............................. 21
1.4.2 Der Green sche Satz ............................. 23
1.4.3 Der Stokes sehe Satz............................. 24
1.5 Orthogonale krummlinige Koordinaten.................... 30
1.5.1 Zylinderkoordinateii............................. 32
1.5.2 Kugelkoordinaten ............................... 34
1.6 Tensoren.............................................. 35
l.G.l Andere Definition eines Vektors................... 35
1.6.2 Definition eines Tensors.......................... 40
1.G.3 Diagonalisierung eines Tensors.................... 41
1.0.4
Differenziai-
und Integraloperationen............... 44
Komplexe Zahlen und Dirac s ¿-Funktion................. 49
2.1 Einleitung............................................. 49
2.2 Komplexe Zahlen und elementare Funktionen.............. 49
2.2.1 Komplexe Zahlen................................ 50
2.2.2 Elementare Rechenregeln......................... 50
2.2.3 Die Gauß sche Zahlenebene....................... 51
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen........... 54
2.2.5 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen 56
2.2.
G
Die hyperbolischen Funktionen.................... 57
2.2.7 Der Logarithmus................................ 58
2.2.8 Abschließende Bemerkungen...................... 59
2.3 Die Dirac sche ¿-Funktion.........................,..... 02
2.3.1 Definition der ¿-Funktion......................... 62
2.3.2 Rechenregeln der ¿-Funktion...................... 64
3 Der Funktionenraum ..................................... 71
3.1 Einleitung............................................. 71
3.2 Die Fourier-Reihen ..................................... 71
3.3 Das
Fourier-Integral
.................................... 76
3.4 Orthogonale Funktionensysteme.......................... 79
3.4.1 Das Skalarprodukt............................... 79
3.4.2 Reihen nach orthogonalen Funktionen.............. 81
3.4.3 Operatoren im Hilbert-Raum ..................... 83
3.5 Das Sturm-Liouville sche Eigenwertproblem................ 89
4 Partielle Differenzialgleichungen.......................... 99
4.1 Einleitung............................................. 99
4.2 Lineare partielle Differenzialgleichungen der Physik......... 99
4.3 Die Separationsmethode................................. 102
4.3.1 Beispiel ........................................ 102
4.3.2 Separation der Helmholtz-Gleichung...............104
4.4 Die Methode der Green-Funktion.........................108
4.4.1 Allgemeine Betrachtungen........................108
4.4.2 Eigenschaften der Green-Funktion.................111
4.4.3 Auffindung der Green-Funktion ...................113
4.4.4 Die Green-Funktion der Helmholtz-Gleichung.......115
5 Spezielle Funktionen......................................129
5.1 Einleitung............................................. 129
5.2 Die Ganniiafunktion und Verwandtes .....................129
5.3 Gewöhnliche lineare Differenzialgleichungen................ 137
5.3.1 Lösung von Differenzialgleichungen
durch Potenzreihen.............................. 137
5.3.2 Differenzialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 145
5.4 Kugelfunkt
.ionen
........................................148
5.4.1 Die Legendre-Polynome..........................149
•5.4.2 Zweite Definition der Legendre-Polynome...........151
5.4.3 Orthogonalität der Legendre-Polynome............. 156
5.4.4 Die zugeordneiiten Legendre-Polynome............. 157
5.4.5 Die Kugelfiächenfunktionen....................... 159
5.4.6 Das Additionstheorem der Kugelfiächenfunktionen . . . 161
Inhaltsverzeichnis
IX
5.5 Bessel-Funktionen...................................... 16
í
5.5.1 Reihenlösung der Bessel sehen Differenzialgleiclmng . . 108
5.5.2 Bessel-Funktionen mit ganzzahligem Index.......... 17(1
5.5.3 Rekursionsformeln und Verwandtes................ 173
5.5.4 Sphärische Bessel-Funktionen..................... 175
5.5.5 Modifizierte Bessel-Funktionen.................... 179
5.5.6 Das Sturm-Liouville-Problein der Bessel-Funktionen . 181
5.6 Die Hermite- und Laguerre-Funktionen.................... 189
5.6.1 Die
Hermit
e-Funktionen.......................... 190
5.6.2 Die Laguerre-Funktionen......................... 195
Variationsrechnung.......................................20o
6.1 Einleitung.............................................205
6.2 Die Euler-Gleichung der Variationsrechnung...............205
6.3 Variationsproblem mit mehreren abhängigen Veränderlichen . 211
6.4 Variationsproblein mit mehreren unabhängigen
Veränderlichen.........................................213
6.5 Die isoperimetrischen Probleme ..........................210
6.5.1 Isoperimetrische Probleme mit mehreren abhängigen
Veränderlichen..................................217
6.5.2 Isoperimetrische Probleme mit mehreren
unabhängigen Veränderlichen.....................220
Theorie komplexer Funktionen............................223
7.1 Einleitung.............................................223
7.2 Die analytischen Funktionen.............................223
7.2.1 Die Cauchy-Riemann schen Differenzialgleichungen . . 224
7.2.2 Die konforme Abbildung .........................226
7.2.3 Elementare Rechenoperationen analytischer
Funktionen.....................................227
7.2.4 Singularitäten analytischer Funktionen.............228
7.2.5 Der unendlich ferne Punkt........................231
7.3 Integration im komplexen Gebiet.........................231
7.3.1 Linienintegrale in der komplexen Zahlenebene....... 231
7.3.2 Der Fundamentalsatz von Cauchy................. 233
7.3.3 Der Fundamentalsatz für mehrfach
zusammenhängende Bereiche...................... 241
7.3.4 Die Integralformel von Cauchy.................... 243
7.3.5 Analytische Fortsetzung.......................... 247
7.3.6 Der Cauchy sche Residuensatz .................... 248
7.3.7 Anwendungen des Residuensatzes.................. 249
7.3.8 Berechnung bestimmter Integrale.................. 252
7.4 Die
Laplace-
Transformation.............................. 262
7.4.1 Vorbemerkungen................................ 262
X
Inhaltsverzeichnis
7.4.2
Definition
deľ
Laplace-Transformation
.............202
7.4.3 Drei wichtige Theoreme..........................263
8 Wahrscheinlichkeit und Statistik..........................269
8.1 Einleitende Bemerkungen................................269
8.2 Kombinatorik..........................................269
8.2.1 Permutationen und Kombinationen................269
8.2.2 Die Binomialkoeffizienten.........................272
8.3 Wahrscheinlichkeitstheorie...............................274
8.3.1 Definition der Wahrscheinlichkeit..................274
8.3.2 Mittelwert und quadratische Abweichung...........275
8.4 Spezielle Verteilungen...................................277
8.4.1 Die
Bernoulli-
Verteilung..........................277
8.4.2 Die
G
auß-Verteilung.............................278
8.4.3 Die
Poisson-
Verteilung...........................281
A Differenziai-
und Integralrechnung........................283
A.l Difierenzialrechnung....................................283
A.l.l Die Ableitung...................................283
A.l.2 Die partielle Ableitung...........................283
A.1.3 Elementare Ableitimgsregeln......................284
A.l.4 Ableitung trigonometrischer und
inverser
Funktionen 285
A.l.5 Ableitung hyperbolischer und
inverser
Funktionen . . . 285
A.l.6
Differenziale
....................................285
Α.
1.7
Maxima
und
Minima
einer Funktion...............286
A.l.8 Mittelwertsätze .................................286
A.l.9 Unbestimmte Formen............................287
A.l.10 Der Taylor sche Satz.............................287
A.l. 11 Reihen elementarer Funktionen....................288
A.l.12
Differentiation
von Integralen.....................289
A.2 Integralrechnung .......................................289
A.2.1 Das unbestimmte Integral........................289
A.2.2 Integration von Polynomen.......................290
A.2.3 Integration rationaler Funktionen..................290
A.2.4 Integration trigonometrischer Funktionen...........291
A.2.5 Exponentialfunktion und hyperbolische Funktionen . . 291
A.2.6 Integration von Wiirzelausdrücken.................292
A.2.7 Integration von Produkten........................292
A.2.8 Das bestimmte Integral ..........................293
A.2.9 Ungleichungen zwischen Integralen.................294
A.2.10 Uneigentliche Integrale...........................294
A.2.11 Bestimmte Integrale von Funktionen...............295
A.2.12 Variablentransformation bei Mehrfachintegralen.....295
A.3 Elementare Differenzialgleichungen .......................296
A.3.1 Methode der Variablentrennung...................296
is
XI
Α.
3.2 Methode der Variablensubstitution ................290
A.3.3 Lagrange-Methode der Variation der Konstanten .... 297
A.3.4 Methode von
Bernoulli
...........................297
Α.
3.5 Erniedrigung des Grades einer Diü ereiizialgleichung . . 297
A.3.G Vollständiges
Differenziai
.........................298
В
Lineare Algebra ..........................................299
B.l Matrizen..............................................299
B.l.l Matrixdefinition und Multiplikation................299
B.l.2 Matrixtypen und Rechenregehi....................300
B.1.3 Matrizen mit komplexen Elementen................302
B.2 Determinanten.........................................304
B.2.1 Definition einer Determinante.....................304
B.2.2 Rechenregehi für Determinanten...................304
B.3 Lösung eines linearen Gleichungssystenis..................305
B.3.1 Inhomogenes Gleicliungssysteni....................305
B.3.2 Homogenes Gleicliungssystem.....................30C
С
Einige ergänzende Bücher ................................309
Index.........................................................311
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Vektoranalysis. 1
1.1 Einleitung. 1
1.2
Vektoralgebra
. 2
1.2.1 Vektoraddition. 2
1.2.2 Das Skalarprodukt. 3
1.2.3 Das Vektorprodukt . 4
1.3 X'ektordifferenzialoperationen . 9
1.3.1
Differenziai
ion
nach einem Parameter. 10
1.3.2 Der Gradientoperator. 14
1.3.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes . IG
1.3.4 Die Rotation eines Vektorfeldes . 18
1.8.Г)
Mehrfache Differenzialoperat
ionen
. 20
1.4 Vektorintegraloperationen . 21
1.4.1 Der
Gauiľsche
Satz. 21
1.4.2 Der Green'sche Satz . 23
1.4.3 Der Stokes'sehe Satz. 24
1.5 Orthogonale krummlinige Koordinaten. 30
1.5.1 Zylinderkoordinateii. 32
1.5.2 Kugelkoordinaten . 34
1.6 Tensoren. 35
l.G.l Andere Definition eines Vektors. 35
1.6.2 Definition eines Tensors. 40
1.G.3 Diagonalisierung eines Tensors. 41
1.0.4
Differenziai-
und Integraloperationen. 44
Komplexe Zahlen und Dirac's ¿-Funktion. 49
2.1 Einleitung. 49
2.2 Komplexe Zahlen und elementare Funktionen. 49
2.2.1 Komplexe Zahlen. 50
2.2.2 Elementare Rechenregeln. 50
2.2.3 Die Gauß'sche Zahlenebene. 51
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen. 54
2.2.5 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen 56
2.2.
G
Die hyperbolischen Funktionen. 57
2.2.7 Der Logarithmus. 58
2.2.8 Abschließende Bemerkungen. 59
2.3 Die Dirac'sche ¿-Funktion.,. 02
2.3.1 Definition der ¿-Funktion. 62
2.3.2 Rechenregeln der ¿-Funktion. 64
3 Der Funktionenraum . 71
3.1 Einleitung. 71
3.2 Die Fourier-Reihen . 71
3.3 Das
Fourier-Integral
. 76
3.4 Orthogonale Funktionensysteme. 79
3.4.1 Das Skalarprodukt. 79
3.4.2 Reihen nach orthogonalen Funktionen. 81
3.4.3 Operatoren im Hilbert-Raum . 83
3.5 Das Sturm-Liouville'sche Eigenwertproblem. 89
4 Partielle Differenzialgleichungen. 99
4.1 Einleitung. 99
4.2 Lineare partielle Differenzialgleichungen der Physik. 99
4.3 Die Separationsmethode. 102
4.3.1 Beispiel . 102
4.3.2 Separation der Helmholtz-Gleichung.104
4.4 Die Methode der Green-Funktion.108
4.4.1 Allgemeine Betrachtungen.108
4.4.2 Eigenschaften der Green-Funktion.111
4.4.3 Auffindung der Green-Funktion .113
4.4.4 Die Green-Funktion der Helmholtz-Gleichung.115
5 Spezielle Funktionen.129
5.1 Einleitung. 129
5.2 Die Ganniiafunktion und Verwandtes .129
5.3 Gewöhnliche lineare Differenzialgleichungen. 137
5.3.1 Lösung von Differenzialgleichungen
durch Potenzreihen. 137
5.3.2 Differenzialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 145
5.4 Kugelfunkt
.ionen
.148
5.4.1 Die Legendre-Polynome.149
•5.4.2 Zweite Definition der Legendre-Polynome.151
5.4.3 Orthogonalität der Legendre-Polynome. 156
5.4.4 Die zugeordneiiten Legendre-Polynome. 157
5.4.5 Die Kugelfiächenfunktionen. 159
5.4.6 Das Additionstheorem der Kugelfiächenfunktionen . . . 161
Inhaltsverzeichnis
IX
5.5 Bessel-Funktionen. 16
í
5.5.1 Reihenlösung der Bessel'sehen Differenzialgleiclmng . . 108
5.5.2 Bessel-Funktionen mit ganzzahligem Index. 17(1
5.5.3 Rekursionsformeln und Verwandtes. 173
5.5.4 Sphärische Bessel-Funktionen. 175
5.5.5 Modifizierte Bessel-Funktionen. 179
5.5.6 Das Sturm-Liouville-Problein der Bessel-Funktionen . 181
5.6 Die Hermite- und Laguerre-Funktionen. 189
5.6.1 Die
Hermit
e-Funktionen. 190
5.6.2 Die Laguerre-Funktionen. 195
Variationsrechnung.20o
6.1 Einleitung.205
6.2 Die Euler-Gleichung der Variationsrechnung.205
6.3 Variationsproblem mit mehreren abhängigen Veränderlichen . 211
6.4 Variationsproblein mit mehreren unabhängigen
Veränderlichen.213
6.5 Die isoperimetrischen Probleme .210
6.5.1 Isoperimetrische Probleme mit mehreren abhängigen
Veränderlichen.217
6.5.2 Isoperimetrische Probleme mit mehreren
unabhängigen Veränderlichen.220
Theorie komplexer Funktionen.223
7.1 Einleitung.223
7.2 Die analytischen Funktionen.223
7.2.1 Die Cauchy-Riemann'schen Differenzialgleichungen . . 224
7.2.2 Die konforme Abbildung .226
7.2.3 Elementare Rechenoperationen analytischer
Funktionen.227
7.2.4 Singularitäten analytischer Funktionen.228
7.2.5 Der unendlich ferne Punkt.231
7.3 Integration im komplexen Gebiet.231
7.3.1 Linienintegrale in der komplexen Zahlenebene. 231
7.3.2 Der Fundamentalsatz von Cauchy. 233
7.3.3 Der Fundamentalsatz für mehrfach
zusammenhängende Bereiche. 241
7.3.4 Die Integralformel von Cauchy. 243
7.3.5 Analytische Fortsetzung. 247
7.3.6 Der Cauchy'sche Residuensatz . 248
7.3.7 Anwendungen des Residuensatzes. 249
7.3.8 Berechnung bestimmter Integrale. 252
7.4 Die
Laplace-
Transformation. 262
7.4.1 Vorbemerkungen. 262
X
Inhaltsverzeichnis
7.4.2
Definition
deľ
Laplace-Transformation
.202
7.4.3 Drei wichtige Theoreme.263
8 Wahrscheinlichkeit und Statistik.269
8.1 Einleitende Bemerkungen.269
8.2 Kombinatorik.269
8.2.1 Permutationen und Kombinationen.269
8.2.2 Die Binomialkoeffizienten.272
8.3 Wahrscheinlichkeitstheorie.274
8.3.1 Definition der Wahrscheinlichkeit.274
8.3.2 Mittelwert und quadratische Abweichung.275
8.4 Spezielle Verteilungen.277
8.4.1 Die
Bernoulli-
Verteilung.277
8.4.2 Die
G
auß-Verteilung.278
8.4.3 Die
Poisson-
Verteilung.281
A Differenziai-
und Integralrechnung.283
A.l Difierenzialrechnung.283
A.l.l Die Ableitung.283
A.l.2 Die partielle Ableitung.283
A.1.3 Elementare Ableitimgsregeln.284
A.l.4 Ableitung trigonometrischer und
inverser
Funktionen 285
A.l.5 Ableitung hyperbolischer und
inverser
Funktionen . . . 285
A.l.6
Differenziale
.285
Α.
1.7
Maxima
und
Minima
einer Funktion.286
A.l.8 Mittelwertsätze .286
A.l.9 Unbestimmte Formen.287
A.l.10 Der Taylor'sche Satz.287
A.l. 11 Reihen elementarer Funktionen.288
A.l.12
Differentiation
von Integralen.289
A.2 Integralrechnung .289
A.2.1 Das unbestimmte Integral.289
A.2.2 Integration von Polynomen.290
A.2.3 Integration rationaler Funktionen.290
A.2.4 Integration trigonometrischer Funktionen.291
A.2.5 Exponentialfunktion und hyperbolische Funktionen . . 291
A.2.6 Integration von Wiirzelausdrücken.292
A.2.7 Integration von Produkten.292
A.2.8 Das bestimmte Integral .293
A.2.9 Ungleichungen zwischen Integralen.294
A.2.10 Uneigentliche Integrale.294
A.2.11 Bestimmte Integrale von Funktionen.295
A.2.12 Variablentransformation bei Mehrfachintegralen.295
A.3 Elementare Differenzialgleichungen .296
A.3.1 Methode der Variablentrennung.296
is
XI
Α.
3.2 Methode der Variablensubstitution .290
A.3.3 Lagrange-Methode der Variation der Konstanten . 297
A.3.4 Methode von
Bernoulli
.297
Α.
3.5 Erniedrigung des Grades einer Diü'ereiizialgleichung . . 297
A.3.G Vollständiges
Differenziai
.298
В
Lineare Algebra .299
B.l Matrizen.299
B.l.l Matrixdefinition und Multiplikation.299
B.l.2 Matrixtypen und Rechenregehi.300
B.1.3 Matrizen mit komplexen Elementen.302
B.2 Determinanten.304
B.2.1 Definition einer Determinante.304
B.2.2 Rechenregehi für Determinanten.304
B.3 Lösung eines linearen Gleichungssystenis.305
B.3.1 Inhomogenes Gleicliungssysteni.305
B.3.2 Homogenes Gleicliungssystem.30C
С
Einige ergänzende Bücher .309
Index.311 |
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