Kreisgeometrie - gestern und heute: von der Anschauung zur Abstraktion
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| Main Authors: | , |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Darmstadt
Wiss. Buchges.
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XI, 195 S. Ill., graph. Darst. 25 cm |
| ISBN: | 9783534204625 353420462X |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Prolog
1
I.
Elementargeometrie...................................................
З
1. Ein Ausflug in die geometrische Optik .............................. 3
1.1 Hohlspiegelgesetze........................................................ 3
1.2 Die Sache mit dem Brennpunkt .......................................... 4
1.3 Die Hohlspiegelformel von J. Newton ..................................... 5
2. Die Kreisspiegelung ................................................... 5
2.1 Definition ................................................................ 5
2.2 Ein Blick in die Geschichte ...............................................
б
3. Punktweise Konstruktionen .......................................... 9
3.1 Die klassische Konstruktion .............................................. 9
3.2 Und noch eine Konstruktion.............................................. 9
4. Wie operiert unsere Abbildung? ..................................... 9
5. Das Problem mit dem Mittelpunkt
M
.............................. 10
6. Zykeltreue.............................................................. 11
6.1 Satz...................................................................... 11
6.2 Definition ................................................................ 12
7. Winkeltreue und Orthogonalzykel ................................... 13
7.1 Das Winkelmaß............................................................ 13
7.2-7.3 Sätze..................................................................... 13
7.4 Zykelspiegelungen ........................................................ 15
8. Verhältnis und Doppelverhältnis ..................................... 15
8.1 Definition ................................................................ 15
8.2 Satz...................................................................... 15
8.3 Definition ................................................................ 16
8.4 Satz...................................................................... 16
8.5 Sonderfälle ............................................................... 17
9. Ein Ausflug in die Büscheltheorie.................................... 18
9.1 Definition ................................................................ 18
9.2 Konstruktionen im Büschel ............................................... 19
9.2.1 Konstruktion ............................................................. 19
9.2.2 Eine weitere Konstruktion................................................ 20
10. Kugelspiegelung ....................................................... 20
10.1 Definition der Kugelspiegelung ........................................... 20
V
10.2 Sphärentreue ............................................................... 21
10.3 Sphärenspiegelungen ....................................................... 21
10.4 Zykeltreue.................................................................. 21
11. Wo finden wir Kreis- und Kugelspiegelungen? ....................... 21
11.1 Der
Inversor
von Peaucellier ................................................ 22
11.2 Humorvolles................................................................ 23
11.3 Verrücktes: die Hohlwelt.................................................... 23
11.3.1 Was versteht man unter der Hohlwelttheorie? ............................... 23
11.3.2 Die Zunft der Hohlweltler .................................................. 23
11.3.3 Was steckt mathematisch dahinter?......................................... 24
11.3.4 Ein Beispiel ................................................................ 24
11.4 Die Thomson-Spiegelung ................................................... 25
11.4.1 Das Vorspiel ............................................................... 25
11.4.2 Aus der Schulgeometrie..................................................... 26
11.4.3 Wo bleibt der Zusammenhang mit der Kreisspiegelung?..................... 27
11.4.4 Zurück zur Physik, zur Elektrostatik ....................................... 27
11.4.5 Der Thomsonsche Spiegeltrick .............................................. 28
11.5 Weitere Anwendungen ...................................................... 28
11.5.1 Seifenblasen ................................................................ 28
11.5.2 Wechselstromtechnik ....................................................... 28
11.5.3 Anatomie .................................................................. 29
11.5.4 Aus der Molekularbiologie .................................................. 30
12. Kreis- und Kugelspiegelung als Beweistrick........................... 31
12.1 Zwei fossile Schließungssätze ................................................ 31
12.1.1 Der Satz von Miquel ....................................................... 31
12.1.2 Der 7-Punkte-Satz ......................................................... 33
12.1.3 Der Büschelsatz ............................................................ 34
12.2 Steiner-Kreisketten ......................................................... 36
12.2.1 Das Problem ............................................................... 36
12.2.2 Ein Sonderfall .............................................................. 36
12.2.3 Zusammenhang zwischen
R, r, d
und
φ
...................................... 37
12.2.4 Satz ........................................................................ 38
12.2.5 Berechnungen .............................................................. 39
12.3 Soddy-Kugeln .............................................................. 39
12.3.1 Das Problem ............................................................... 39
12.3.2 Satz ........................................................................ 39
12.3.3 Zeichnerische Darstellung ................................................... 42
12.4 Die Ungleichung von
Ptolemaios
............................................ 43
12.5 Was gibt es sonst noch alles? ............................................... 43
12.5.1 Zirkelkonstruktionen ....................................................... 44
12.5.2 Das Apollonius-Problem .................................................... 44
12.5.3 Steiner-Kugelketten ........................................................ 45
13. Aufgaben zu Kapitel
I
.................................................. 45
14. Schlussbetrachtung zum elementargeometrischen Teil ............... 48
VI
TI Geometrie
analytisch-algebraisch ...................................... 49
ι
Analytische
Geometrie
im Sinne von
Descartes ......................
49
1.1 Wir schauen zurück! ........................................................ 49
1 2 Wiederholungen aus der Schule ............................................. 51
1 2.1 Kartesische Koordinaten, die Punkte ....................................... 51
1.2.2 Gerade und Ebene.......................................................... 51
1.2.3 Kreis und Kugel ............................................................ 51
1.2-4 Vorteile? ................................................................... 51
1 3 Kreis- und Kugelspiegelung - jetzt analytisch............................... 52
1.4 Zykeltreue.................................................................. 53
1.5 Spiegelung an einer Geraden ................................................ 54
1.6 Kurven bei Kreisspiegelung ................................................. 55
1.6.1 Spezialparabel —> Kissoide ................................................ 55
1.6.2 Spezialhyperbel —> Lemniskate ............................................. 57
1.6.3 Spezialhyperbel —> Strophoide .............................................. 59
1.6.4 Weitere Aktivitäten ........................................................ 62
1.7 Aufgaben zu Kapitel 11,1.................................................... 63
2. Analytische Geometrie im Sinne von Gauß ........................... 64
2.1 Über algebraische Strukturen ............................................... 64
2.1.1 Verknüpfung ............................................................... 64
2.1.2 Gruppe..................................................................... 65
2.1.3 Körper ..................................................................... 65
2.2 Körpererweiterung.......................................................... 66
2.2.1 Hinführung zu
С
........................................................... 66
2.2.2 Exakte Definition von
С
.................................................... 66
2.2.3 Zwei weitere Definitionen ................................................... 67
2.3 Veranschaulichungen ....................................................... 67
2.3.1 Die Gauß-Ebene ............................................................ 67
2.3.2 Andere Schreibweisen....................................................... 68
2.3.3 Grundoperationen in der Zahlenebene ...................................... 68
2.3.4 Die Riemann-Zahlenkugel .................................................. 68
2.4 Etwas Historie.............................................................. 69
2.4.1 Zur Geschichte der komplexen Zahlen....................................... 69
2.4.2 Carl Friedrich Gauß (1777-1855) ........................................... 70
2.5 Grundelemente ............................................................. 72
2.5.1 Punkte ..................................................................... 72
2.5.2 Geraden über
С
............................................................ 72
2.5.3 Kreise über
С
.............................................................. 72
2.6 Spiegelungen über
С
....................................................... 73
2.6.1 Satz: Spiegelung an Spezialkreis ............................................ 73
2.6.2 Satz: Spiegelung an Kreis allgemein......................................... 73
2.6.3 Satz: Spiegelung an Gerade ................................................. 74
2.7 Orthogonalität ............................................................. 74
2.7.1 Definition .................................................................. 75
2.7.2 Orthogonalitätskriterien .................................................... 75
VII
2.8
Zykelverwandtschaften
..................................................... 76
2.8.1
Weitere,
besonders einfache Beispiele ....................................... 76
2.8.2 Homographien
H
.......................................................... 78
2.8.3 Antihomographien
H
...................................................... 81
2.8.4 Ein echter Höhepunkt ...................................................... 83
2.9 Nochmals zurück zu den Spiegelungen ...................................... 83
2.9.1 Satz, ein Nebengipfel....................................................... 83
2.9.2 Spiegelungsprodukte ungerader Länge ...................................... 85
2.10 v. Staudt, ein fast vergessener Mathematiker ............................... 85
2.11 Aufgaben zu Kapitel 11,2 ................................................... 86
3. Geometrie über Körperpaaren (K, L) ................................. 87
3.1 Etwas Algebra ............................................................. 89
3.1.1 Definitionen................................................................ 89
3.1.2 Einige Sätze - ohne Beweis................................................. 89
3.1.3 Restklassenbildung......................................................... 90
3.1.4 Quadratische Körpererweiterung ........................................... 91
3.2 Grundelemente endlicher (K, L)-Geometrie ................................. 93
3.2.1 (K, L)-Punkte ............................................................. 93
3.2.2 (K, L)-Geraden ............................................................ 93
3.2.3 (K, L)-Kreise, (K, L)-Zykel................................................. 95
3.3 (K, L)-Zykelverwandtschaften .............................................. 98
3.3.1 Definitionen und der erweiterte v. Staudt-Satz ............................. 98
3.3.2 Punkte auf einer (K, L)-Geraden ........................................... 99
3.3.3 Punkte auf einem (K, L)-Kreis ............................................. 99
3.3.4 Dreitransitivität von
H
.................................................... 100
3.3.5 Satz ....................................................................... 101
3.3.6 Der Satz von Miquel ....................................................... 102
3.4 (K, L)-Spiegelungen ........................................................ 103
3.5 Ein konkretes Beispiel endlicher (K,
L)-Geometrie
.......................... 104
3.6 Orthogonalität ............................................................. 106
3.6.1 Definition, Kriterien ....................................................... 106
3.6.2 Ein erstes
Kuriosum
....................................................... 106
3.6.3 Ein zweites
Kuriosum
...................................................... 107
3.6.4 Ein drittes
Kuriosum
...................................................... 107
3.7 Berührzykelketten, ein spezielles Problem .................................. 108
3.7.1 Berühr-Tripel .............................................................. 108
3.7.2 Apollonius-Konfiguration .................................................. 108
3.7.3 Coxeter-Konfiguration ..................................................... 110
3.7.4 Geschlossene Steiner-Ketten................................................ 110
3.7.5 Satz ....................................................................... 112
3.7.6 Und noch mehr! ............................................................ 112
3.8 Was bleibt noch zu tun? ................................................... 113
3.8.1 Ausbau der endlichen und nicht-endlichen (K,
/^-Geometrie
................ 113
3.8.2 Anspruchsvollere Klettereien ............................................... 113
3.9 Aufgaben zu Kapitel 11,3 ................................................... 113
4. Zusammenfassung zu Teil
II
........................................... 115
VIII
III Die affine
Geometrie
............................................. 116
i
Was ist
Axiomatik?
............................................... 116
ч
j
Das Axiomensystem
Σ ..............................................
116
і
2 Die Theorie
Th
(Σ)
................................................. 117
! 3
Modelle
Mod
(Σ)
.................................................... 117
,
£ Zwei Arten von Axiomensystemen ................................... 117
14 1
Heteronome
Axiomensysteme........................................ 117
14.2 Autonome Axiomensysteme ......................................... 117
1 5 Grenzen der Willkür................................................. 118
1 5.1 Kein Axiom zu viel .................................................. 118
1.5.2 Kein Axiom zu wenig................................................ 118
1.5.3 Widerspruchsfreiheit ................................................ 118
lg Große Ziele und ihr Ende ............................................ 119
1.6.1 Der Formalismus .................................................... 119
1.6.2 Die Sätze von
Godei
................................................. 120
1.6.3 Das bittere Ende .................................................... 120
1.7 David Hubert (1862-1943) - eine Legende ........................... 121
2# Aus der klassischen Schulgeometrie............................. 122
2.1 Der Satz von
Desargues
............................................. 122
2.2 Der Satz von
Pappus
................................................ 124
2.3 Zusammenhänge .................................................... 125
3_ Das Axiomensystem der affinen Ebene......................... 126
3.
ι
Einige Grundbegriffe ................................................ 126
3.2 Die Axiome
Σ^
= {AUA2,A3} ...................................... 126
3.3 Definition ........................................................... 126
3.4 Unabhängigkeit ..................................................... 127
3.5 Verschiedene Modelle
Mod
(ΣΑ) .....................................
127
3.5.1 Die vertraute Schulgeometrie ........................................ 127
3.5.2 Endliche Modelle.................................................... 128
3.5.3 Analytisches Modell über
R
......................................... 130
3.5.4 Algebraisches Modell über dem Körper
К
........................... 132
3.6 Vollständigkeit ...................................................... 133
4. Sätze aus der affinen Geometrie, Th
(Ед)
..................... 136
4.1-4.9 Sätze................................................................ 136
4.10 Definitionen ......................................................... 140
4.11-4.14 Sätze ................................................................ 140
5. Abbildungen in der affinen Ebene .............................. 141
5.1 Kollineationen....................................................... 141
5.2 Dilatationen......................................................... 141
5.3 Einige grundlegende Definitionen .................................... 142
5.3.1 Fixelemente ......................................................... 142
5.3.2 Spurgeraden......................................................... 142
5.4 Sätze über Dilatationen ............................................. 142
5.4.1-5.4.3 Sätze ................................................................ 142
5.5 Spezielle Dilatationen ............................................... 143
IX
5.6 Sätze über Translationen und zentrische Streckungen ................ 143
5.6.1 5.6.4 Sätze ................................................................ 143
5.7 Abbildungsgruppen .................................................. 144
5.7.1 Satz ................................................................. 144
5.7.2 Eine Erweiterung zu 5.7.1 ........................................... 146
5.7.3 Eine Verallgemeinerung ............................................. 147
6. Abbildungen und Schließungssätze ............................. 148
6.1-6.4 Sätze ................................................................ 148
7. Zur Existenz von Abbildungen .................................. 151
8. Ein Gipfel ......................................................... 151
8.1 Die erste Richtung .................................................. 151
8.1.1 Dilatationen
D
(5.2) ................................................. 152
8.1.2 Zentrische Streckungen Z{F) mit Zentrum F{z , z-i) (5.5)........... 152
8.1.3 Translationen T{s) mit konstanter Richtung
s
(5.5) ................. 153
8.1.4 Zusammenfassung ................................................... 154
8.2 Die zweite Richtung ................................................. 154
8.2.1 Konstruktion des Körpers
К
........................................ 154
8.2.2 Die Koordinatenebene ............................................... 157
9. Rudimentäre Strukturen ......................................... 159
10. Aufgaben zu
III
................................................... 160
11. Zusammenfassung zu Teil
III
.................................... 161
IV.
Möbius-Geometrie................................................ 162
1. Das Axiomensystem der Möbius-Ebene ........................ 162
1.1 Grundbegriffe ....................................................... 162
1.2 Die Axiome
ΣΜ
=
{Мь
M2,
ΜΆ}
.................................... 162
1.3 Definition ........................................................... 163
1.4 Und wer war Möbius? ............................................... 163
1.5 Unabhängigkeit ..................................................... 165
1.6 Verschiedene Modelle
Mod
(ΣΜ) ....................................
166
1.6.1 Die vertraute Schulgeometrie ........................................ 166
1.6.2 Endliche Modelle .................................................... 167
1.6.3 Analytisch-algebraische Modelle ..................................... 168
1.6.4 Ausblicke auf herrliche Gipfel........................................ 168
1.7 Vollständigkeit ...................................................... 169
2. Sätze aus der M-Geometrie, Th
(ΣΜ)
.......................... 170
2.1 Satz ................................................................. 170
2.2 Definition ........................................................... 171
2.3-2.4 Sätze ................................................................ 171
2.5 Definition (siehe dazu auch 1,9) ...................................... 172
2.6 Satz
(Analógon
zu 111,4.4) ........................................... 172
2.7-2.12 Sätze ................................................................ 173
2.13 Definition ........................................................... 176
2.14-2.18 Sätze ................................................................ 176
3. Untersuchungen in den Ableitungen von M-Ebenen .......... 178
3.1 Definition ........................................................... 178
X
2 Einige Lemmata zum Sehnenvierseit ................................. 178
3 2 1-3 2 4 Lemmata............................................................. 179
4. Satz ................................................................. 180
5 Und nochmals ein Gipfel.......................................... 183
6 Ausblick ............................................................ 184
γ
Aufgaben zu
IV
.................................................... 186
8> Zusammenfassung zu Teil
IV
..................................... 187
Epilog ............................................................................ 188
Vertiefende und weiterführende Literatur .......................................... 190
Register...........................................................................
Abbildungsnachweis............................................................... 195
XI
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Prolog
1
I.
Elementargeometrie.
З
1. Ein Ausflug in die geometrische Optik . 3
1.1 Hohlspiegelgesetze. 3
1.2 Die Sache mit dem Brennpunkt . 4
1.3 Die Hohlspiegelformel von J. Newton . 5
2. Die Kreisspiegelung . 5
2.1 Definition . 5
2.2 Ein Blick in die Geschichte .
б
3. Punktweise Konstruktionen . 9
3.1 Die klassische Konstruktion . 9
3.2 Und noch eine Konstruktion. 9
4. Wie operiert unsere Abbildung? . 9
5. Das Problem mit dem Mittelpunkt
M
. 10
6. Zykeltreue. 11
6.1 Satz. 11
6.2 Definition . 12
7. Winkeltreue und Orthogonalzykel . 13
7.1 Das Winkelmaß. 13
7.2-7.3 Sätze. 13
7.4 Zykelspiegelungen . 15
8. Verhältnis und Doppelverhältnis . 15
8.1 Definition . 15
8.2 Satz. 15
8.3 Definition . 16
8.4 Satz. 16
8.5 Sonderfälle . 17
9. Ein Ausflug in die Büscheltheorie. 18
9.1 Definition . 18
9.2 Konstruktionen im Büschel . 19
9.2.1 Konstruktion . 19
9.2.2 Eine weitere Konstruktion. 20
10. Kugelspiegelung . 20
10.1 Definition der Kugelspiegelung . 20
V
10.2 Sphärentreue . 21
10.3 Sphärenspiegelungen . 21
10.4 Zykeltreue. 21
11. Wo finden wir Kreis- und Kugelspiegelungen? . 21
11.1 Der
Inversor
von Peaucellier . 22
11.2 Humorvolles. 23
11.3 Verrücktes: die Hohlwelt. 23
11.3.1 Was versteht man unter der Hohlwelttheorie? . 23
11.3.2 Die Zunft der Hohlweltler . 23
11.3.3 Was steckt mathematisch dahinter?. 24
11.3.4 Ein Beispiel . 24
11.4 Die Thomson-Spiegelung . 25
11.4.1 Das Vorspiel . 25
11.4.2 Aus der Schulgeometrie. 26
11.4.3 Wo bleibt der Zusammenhang mit der Kreisspiegelung?. 27
11.4.4 Zurück zur Physik, zur Elektrostatik . 27
11.4.5 Der Thomsonsche Spiegeltrick . 28
11.5 Weitere Anwendungen . 28
11.5.1 Seifenblasen . 28
11.5.2 Wechselstromtechnik . 28
11.5.3 Anatomie . 29
11.5.4 Aus der Molekularbiologie . 30
12. Kreis- und Kugelspiegelung als Beweistrick. 31
12.1 Zwei fossile Schließungssätze . 31
12.1.1 Der Satz von Miquel . 31
12.1.2 Der 7-Punkte-Satz . 33
12.1.3 Der Büschelsatz . 34
12.2 Steiner-Kreisketten . 36
12.2.1 Das Problem . 36
12.2.2 Ein Sonderfall . 36
12.2.3 Zusammenhang zwischen
R, r, d
und
φ
. 37
12.2.4 Satz . 38
12.2.5 Berechnungen . 39
12.3 Soddy-Kugeln . 39
12.3.1 Das Problem . 39
12.3.2 Satz . 39
12.3.3 Zeichnerische Darstellung . 42
12.4 Die Ungleichung von
Ptolemaios
. 43
12.5 Was gibt es sonst noch alles? . 43
12.5.1 Zirkelkonstruktionen . 44
12.5.2 Das Apollonius-Problem . 44
12.5.3 Steiner-Kugelketten . 45
13. Aufgaben zu Kapitel
I
. 45
14. Schlussbetrachtung zum elementargeometrischen Teil . 48
VI
TI Geometrie
analytisch-algebraisch . 49
ι
Analytische
Geometrie
im Sinne von
Descartes .
49
1.1 Wir schauen zurück! . 49
1 2 Wiederholungen aus der Schule . 51
1 2.1 Kartesische Koordinaten, die Punkte . 51
1.2.2 Gerade und Ebene. 51
1.2.3 Kreis und Kugel . 51
1.2-4 Vorteile? . 51
1 3 Kreis- und Kugelspiegelung - jetzt analytisch. 52
1.4 Zykeltreue. 53
1.5 Spiegelung an einer Geraden . 54
1.6 Kurven bei Kreisspiegelung . 55
1.6.1 Spezialparabel —> Kissoide . 55
1.6.2 Spezialhyperbel —> Lemniskate . 57
1.6.3 Spezialhyperbel —> Strophoide . 59
1.6.4 Weitere Aktivitäten . 62
1.7 Aufgaben zu Kapitel 11,1. 63
2. Analytische Geometrie im Sinne von Gauß . 64
2.1 Über algebraische Strukturen . 64
2.1.1 Verknüpfung . 64
2.1.2 Gruppe. 65
2.1.3 Körper . 65
2.2 Körpererweiterung. 66
2.2.1 Hinführung zu
С
. 66
2.2.2 Exakte Definition von
С
. 66
2.2.3 Zwei weitere Definitionen . 67
2.3 Veranschaulichungen . 67
2.3.1 Die Gauß-Ebene . 67
2.3.2 Andere Schreibweisen. 68
2.3.3 Grundoperationen in der Zahlenebene . 68
2.3.4 Die Riemann-Zahlenkugel . 68
2.4 Etwas Historie. 69
2.4.1 Zur Geschichte der komplexen Zahlen. 69
2.4.2 Carl Friedrich Gauß (1777-1855) . 70
2.5 Grundelemente . 72
2.5.1 Punkte . 72
2.5.2 Geraden über
С
. 72
2.5.3 Kreise über
С
. 72
2.6 Spiegelungen über
С
. 73
2.6.1 Satz: Spiegelung an Spezialkreis . 73
2.6.2 Satz: Spiegelung an Kreis allgemein. 73
2.6.3 Satz: Spiegelung an Gerade . 74
2.7 Orthogonalität . 74
2.7.1 Definition . 75
2.7.2 Orthogonalitätskriterien . 75
VII
2.8
Zykelverwandtschaften
. 76
2.8.1
Weitere,
besonders einfache Beispiele . 76
2.8.2 Homographien
H
. 78
2.8.3 Antihomographien
H
. 81
2.8.4 Ein echter Höhepunkt . 83
2.9 Nochmals zurück zu den Spiegelungen . 83
2.9.1 Satz, ein Nebengipfel. 83
2.9.2 Spiegelungsprodukte ungerader Länge . 85
2.10 v. Staudt, ein fast vergessener Mathematiker . 85
2.11 Aufgaben zu Kapitel 11,2 . 86
3. Geometrie über Körperpaaren (K, L) . 87
3.1 Etwas Algebra . 89
3.1.1 Definitionen. 89
3.1.2 Einige Sätze - ohne Beweis. 89
3.1.3 Restklassenbildung. 90
3.1.4 Quadratische Körpererweiterung . 91
3.2 Grundelemente endlicher (K, L)-Geometrie . 93
3.2.1 (K, L)-Punkte . 93
3.2.2 (K, L)-Geraden . 93
3.2.3 (K, L)-Kreise, (K, L)-Zykel. 95
3.3 (K, L)-Zykelverwandtschaften . 98
3.3.1 Definitionen und der erweiterte v. Staudt-Satz . 98
3.3.2 Punkte auf einer (K, L)-Geraden . 99
3.3.3 Punkte auf einem (K, L)-Kreis . 99
3.3.4 Dreitransitivität von
H
. 100
3.3.5 Satz . 101
3.3.6 Der Satz von Miquel . 102
3.4 (K, L)-Spiegelungen . 103
3.5 Ein konkretes Beispiel endlicher (K,
L)-Geometrie
. 104
3.6 Orthogonalität . 106
3.6.1 Definition, Kriterien . 106
3.6.2 Ein erstes
Kuriosum
. 106
3.6.3 Ein zweites
Kuriosum
. 107
3.6.4 Ein drittes
Kuriosum
. 107
3.7 Berührzykelketten, ein spezielles Problem . 108
3.7.1 Berühr-Tripel . 108
3.7.2 Apollonius-Konfiguration . 108
3.7.3 Coxeter-Konfiguration . 110
3.7.4 Geschlossene Steiner-Ketten. 110
3.7.5 Satz . 112
3.7.6 Und noch mehr! . 112
3.8 Was bleibt noch zu tun? . 113
3.8.1 Ausbau der endlichen und nicht-endlichen (K,
/^-Geometrie
. 113
3.8.2 Anspruchsvollere Klettereien . 113
3.9 Aufgaben zu Kapitel 11,3 . 113
4. Zusammenfassung zu Teil
II
. 115
VIII
III Die affine
Geometrie
. 116
i
Was ist
Axiomatik?
. 116
ч
j
Das Axiomensystem
Σ .
116
і
2 Die Theorie
Th
(Σ)
. 117
!'3
Modelle
Mod
(Σ)
. 117
,
£ Zwei Arten von Axiomensystemen . 117
14 1
Heteronome
Axiomensysteme. 117
14.2 Autonome Axiomensysteme . 117
1 5 Grenzen der Willkür. 118
1 5.1 Kein Axiom zu viel . 118
1.5.2 Kein Axiom zu wenig. 118
1.5.3 Widerspruchsfreiheit . 118
lg Große Ziele und ihr Ende . 119
1.6.1 Der Formalismus . 119
1.6.2 Die Sätze von
Godei
. 120
1.6.3 Das bittere Ende . 120
1.7 David Hubert (1862-1943) - eine Legende . 121
2# Aus der klassischen Schulgeometrie. 122
2.1 Der Satz von
Desargues
. 122
2.2 Der Satz von
Pappus
. 124
2.3 Zusammenhänge . 125
3_ Das Axiomensystem der affinen Ebene. 126
3.
ι
Einige Grundbegriffe . 126
3.2 Die Axiome
Σ^
= {AUA2,A3} . 126
3.3 Definition . 126
3.4 Unabhängigkeit . 127
3.5 Verschiedene Modelle
Mod
(ΣΑ) .
127
3.5.1 Die vertraute Schulgeometrie . 127
3.5.2 Endliche Modelle. 128
3.5.3 Analytisches Modell über
R
. 130
3.5.4 Algebraisches Modell über dem Körper
К
. 132
3.6 Vollständigkeit . 133
4. Sätze aus der affinen Geometrie, Th
(Ед)
. 136
4.1-4.9 Sätze. 136
4.10 Definitionen . 140
4.11-4.14 Sätze . 140
5. Abbildungen in der affinen Ebene . 141
5.1 Kollineationen. 141
5.2 Dilatationen. 141
5.3 Einige grundlegende Definitionen . 142
5.3.1 Fixelemente . 142
5.3.2 Spurgeraden. 142
5.4 Sätze über Dilatationen . 142
5.4.1-5.4.3 Sätze . 142
5.5 Spezielle Dilatationen . 143
IX
5.6 Sätze über Translationen und zentrische Streckungen . 143
5.6.1 5.6.4 Sätze . 143
5.7 Abbildungsgruppen . 144
5.7.1 Satz . 144
5.7.2 Eine Erweiterung zu 5.7.1 . 146
5.7.3 Eine Verallgemeinerung . 147
6. Abbildungen und Schließungssätze . 148
6.1-6.4 Sätze . 148
7. Zur Existenz von Abbildungen . 151
8. Ein Gipfel . 151
8.1 Die erste Richtung . 151
8.1.1 Dilatationen
D
(5.2) . 152
8.1.2 Zentrische Streckungen Z{F) mit Zentrum F{z\, z-i) (5.5). 152
8.1.3 Translationen T{s) mit konstanter Richtung
s
(5.5) . 153
8.1.4 Zusammenfassung . 154
8.2 Die zweite Richtung . 154
8.2.1 Konstruktion des Körpers
К
. 154
8.2.2 Die Koordinatenebene . 157
9. Rudimentäre Strukturen . 159
10. Aufgaben zu
III
. 160
11. Zusammenfassung zu Teil
III
. 161
IV.
Möbius-Geometrie. 162
1. Das Axiomensystem der Möbius-Ebene . 162
1.1 Grundbegriffe . 162
1.2 Die Axiome
ΣΜ
=
{Мь
M2,
ΜΆ}
. 162
1.3 Definition . 163
1.4 Und wer war Möbius? . 163
1.5 Unabhängigkeit . 165
1.6 Verschiedene Modelle
Mod
(ΣΜ) .
166
1.6.1 Die vertraute Schulgeometrie . 166
1.6.2 Endliche Modelle . 167
1.6.3 Analytisch-algebraische Modelle . 168
1.6.4 Ausblicke auf herrliche Gipfel. 168
1.7 Vollständigkeit . 169
2. Sätze aus der M-Geometrie, Th
(ΣΜ)
. 170
2.1 Satz . 170
2.2 Definition . 171
2.3-2.4 Sätze . 171
2.5 Definition (siehe dazu auch 1,9) . 172
2.6 Satz
(Analógon
zu 111,4.4) . 172
2.7-2.12 Sätze . 173
2.13 Definition . 176
2.14-2.18 Sätze . 176
3. Untersuchungen in den Ableitungen von M-Ebenen . 178
3.1 Definition . 178
X
2 Einige Lemmata zum Sehnenvierseit . 178
3 2 1-3 2 4 Lemmata. 179
4.' Satz . 180
5 Und nochmals ein Gipfel. 183
6' Ausblick . 184
γ
Aufgaben zu
IV
. 186
8> Zusammenfassung zu Teil
IV
. 187
Epilog . 188
Vertiefende und weiterführende Literatur . 190
Register.
Abbildungsnachweis. 195
XI |
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