Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
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Berlin [u.a.]
de Gruyter
2007
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Vorwort
v
Zufall und Mathematik 1
I
Wahrscheinlichkeitstheorie 5
1 Mathematische Beschreibung von Zufallssituationen 7
1.1 Wahrscheinlichkeitsräume ....................... 7
1.2 Eigenschaften und Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen ... 15
1.3 Zufallsvariablen............................. 20
Aufgaben ................................... 24
2 Stochastische Standardmodelle 27
2.1 Die Gleichverteilungen......................... 27
2.2 Urnenmodelle mit Zurücklegen..................... 30
2.3 Urnenmodelle ohne Zurücklegen.................... 35
2.4 Die Poisson-Verteilungen........................ 39
2.5 Wartezeit-Verteilungen ......................... 40
2.6 Die Normalverteilungen......................... 46
Aufgaben ................................... 48
3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 52
3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten..................... 52
3.2 Mehrstufige Modelle .......................... 59
3.3 Unabhängigkeit............................. 66
3.4 Existenz unabhängiger Zufallsvariablen, Produktmaße......... 71
3.5 Der Poisson-Prozess........................... 76
3.6 Simulationsverfahren.......................... 80
3.7 Asymptotische Ereignisse........................ 85
Aufgaben ................................... 87
χ
Inhalt
4 Erwartungswert und Varianz 93
4.1 Der Erwartungswert........................... 93
4.2 Wartezeitparadox und fairer Optionspreis................ 101
4.3 Varianz und Kovarianz ......................... 108
4.4 Erzeugende Funktionen......................... 111
Aufgaben ................................... 115
5 Gesetz der großen Zahl und zentraler Grenzwertsatz 120
5.1 Das Gesetz der großen Zahl....................... 120
5.2 Die Normalapproximation der Binomialverteilungen ......... 132
5.3 Der zentrale Grenzwertsatz....................... 140
5.4 Normal- oder
Poisson-Approximation?
................. 145
Aufgaben ................................... 147
6 Markov-Ketten 153
6.1 Die Markov-Eigenschaft ........................ 153
6.2 Absorptionswahrscheinlichkeiten.................... 156
6.3 Asymptotische Stationarität....................... 161
6.4 Rückkehr zum Startpunkt........................ 173
Aufgaben ................................... 182
II
Statistik 191
7 Parameterschätzung 193
7.1 Der Ansatz der Statistik......................... 193
7.2 Die Qual der Wahl............................ 198
7.3 Das Maximum-Likelihood-Prinzip................... 201
7.4 Erwartungstreue und quadratischer Fehler............... 207
7.5 Beste Schätzer.............................. 210
7.6 Konsistenz von Schätzern........................ 216
7.7 Bayes-Schätzer............................. 220
Aufgaben ................................... 224
8 Konfidenzbereiche 229
8.1 Definition und Konstruktionsverfahren................. 229
8.2 Konfidenzintervalle im Binomialmodell ................ 235
8.3 Ordnungsintervalle ........................... 241
Aufgaben ................................... 245
Inhalt xi
9 Rund um die Normalverteilung 248
9.1 Die mehrdimensionale Normalverteilung................ 248
9.2 Die
χ2-,
F-
und
í
-Verteilungen..................... 251
Aufgaben ................................... 258
10 Testen von Hypothesen 262
10.1 Entscheidungsprobleme......................... 262
10.2 Alternativtests.............................. 268
10.3 Beste einseitige Tests.......................... 273
10.4 Parametertests im Gauß-Produktmodell ................ 276
Aufgaben ................................... 286
11 Asymptotische Tests und Rangtests 290
11.1 Normalapproximation von
Multinomial
Verteilungen.......... 290
11.2 Der Chiquadrat-Anpassungstest..................... 297
11.3 Der Chiquadrat-Test auf Unabhängigkeit................ 304
11.4 Ordnungs-und Rangtests........................ 310
Aufgaben ................................... 320
12 Regressions- und Varianzanalyse 325
12.1 Einfache lineare Regression....................... 325
12.2 Das lineare Modell ........................... 329
12.3 Das lineare Gauß-Modell........................ 333
12.4 Varianzanalyse ............................. 341
Aufgaben ................................... 349
Verteilungstabellen 357
Literatur 363
Symbolverzeichnis 367
Index 371
|
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3.7 Asymptotische Ereignisse. 85
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Inhalt
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4.1 Der Erwartungswert. 93
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5.1 Das Gesetz der großen Zahl. 120
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5.3 Der zentrale Grenzwertsatz. 140
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9.1 Die mehrdimensionale Normalverteilung. 248
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10 Testen von Hypothesen 262
10.1 Entscheidungsprobleme. 262
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