Diskrete Mathematik: eine Entdeckungsreise
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Springer
2007
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 Eine kleine Problemsammlung 2
1.2 Notation 8
1.3 Vollständige Induktion 18
1.4 Funktionen 28
1.5 Relationen 35
1.6 Äquivalenz und andere spezielle Relationen 40
2 Ordnungen 47
2.1 Ordnungen und wie man sie zeichnen kann 47
2.2 Ordnungen und lineare Ordnungen 53
2.3 Die Teilmengenrelation 57
2.4 Groß heißt lang oder dick 59
3 Zähltheorie 64
3.1 Funktionen und Teilmengen 64
3.2 Permutationen 70
3.3 Binomialkoeffizienten 73
3.4 Näherungen: Eine Einführung 85
3.5 Näherungen: Fakultät 93
3.6 Näherungen: Binomialkoeffizienten 101
3.7 Inklusion-Exklusion 106
3.8 Vertauschte Hüte 112
4 Graphen 119
4.1 Definition eines Graphen; Isomorphismus 119
4.2 Teilgraphen, Komponenten, Adjazenzmatrix 129
4.3 Gradfolgen 136
4.4 Euler sehe Graphen 142
4.5 Gerichtete Eulersche Graphen 151
4.6 2-Zusammenhang 156
4.7 Dreiecksfreie Graphen: ein Extremalproblem 163
xvi Inhaltsverzeichnis
5 Bäume 168
5.1 Definition und Charakterisierungen 168
5.2 Isomorphismen von Bäumen 175
5.3 Aufspannende Bäume eines Graphen 182
5.4 Minimal aufspannende Bäume 188
5.5 Die Algorithmen von
Jarník
und
Borůvka
195
6 Graphen in der Ebene 201
6.1 Zeichnungen in die Ebene und andere Flächen 201
6.2 Kreise in ebenen Graphen 209
6.3 Die Euler-Formel 217
6.4 Das Vier-Farben-Problem 227
7 Die Methode des Doppelten Abzählens 240
7.1 Paritätsargumente 240
7.2 Der Satz von Sperner 250
7.3 Ein Problem der
extremalen
Graphentheorie 258
8 Die Anzahl aufspannender Bäume 264
8.1 Die Cayley-Formel 264
8.2 Ein Beweis mit Gradfolgen 266
8.3 Ein Beweis mit Wirbeltieren 268
8.4 Ein Beweis mit dem Prüfer-Code 270
8.5 Beweise mit Determinanten 274
8.6 Der zurzeit wohl einfachste Beweis 285
9 Endliche
projektive
Ebenen 289
9.1 Definition und grundlegende Eigenschaften 289
9.2 Existenz endlicher
projektiver
Ebenen 300
9.3 Orthogonale lateinische Quadrate 306
9.4 Kombinatorische Anwendungen 310
10 Wahrscheinlichkeit und
probabilistische
Beweise 314
10.1 Beweis durch Zählen 314
10.2 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 321
10.3 Zufallsvariable und Erwartungswert 333
10.4 Einige Anwendungen 339
11
Ramsey—
Theorie 350
11.1 Eine Party zu sechst 351
11.2 Der Satz von
Ramsey
für Graphen 352
11.3 Eine untere Schranke für die Ramsey-Zahlen 355
Inhaltsverzeichnis xvii
12 Erzeugende Funktionen 358
12.1 Polynome 358
12.2 Potenzreihen 362
12.3 Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt 375
12.4 Binäre Bäume 383
12.5 Würfeln 388
12.6 Zufallswege 389
12.7 Zahlpartitionen 393
13 Anwendungen der Linearen Algebra 401
13.1 Designs 401
13.2 Die Fisher-Ungleichung 407
13.3 Überdeckungen mit bipartiten Graphen 411
13.4 Der Zyklenraum eines Graphen 414
13.5 Ströme und Schnitte 418
13.6 Probabilistisches Testen 423
Anhang: Grundlagen aus der Algebra 435
Literatur 445
Hinweise zu ausgewählten Übungen 451
Stichwortverzeichnis 475
|
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 Eine kleine Problemsammlung 2
1.2 Notation 8
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1.5 Relationen 35
1.6 Äquivalenz und andere spezielle Relationen 40
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4.6 2-Zusammenhang 156
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xvi Inhaltsverzeichnis
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7 Die Methode des Doppelten Abzählens 240
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Literatur 445
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Stichwortverzeichnis 475 |
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