Taschenbuch der Mathematik:
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| Format: | Book |
|---|---|
| Language: | German Russian |
| Published: |
Frankfurt am Main
Deutsch
2006
|
| Edition: | Nachdr. der 6., vollst. überarb. und erg. Aufl. |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XLII, 1145 S. zahlr. graph. Darst. |
| ISBN: | 3817120060 9783817120062 |
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|---|---|
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V
Inhaltsverzeichnis
Tabellenverzeichnis XXXIX
1 Arithmetik 1
1.1 Elementare Rechenregeln................................ 1
1.1.1 Zahlen...................................... 1
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen............... 1
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen................ 1
1.1.1.3 Reelle Zahlen............................. 2
1.1.1.4 Kettenbrüche............................. 3
1.1.1.5 Kommensurabilität.......................... 4
1.1.2 Beweismethoden................................. 5
1.1.2.1 Direkter Beweis............................ 5
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch......... 5
1.1.2.3 Vollständige Induktion........................ 5
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis......................... 6
1.1.3 Summen und Produkte............................. 6
1.1.3.1 Summen................................ 6
1.1.3.2 Produkte ............................... 7
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen........................ 8
1.1.4.1 Potenzen ...............................
S
1.1.4.2 Wurzeln................................ 8
1.1.4.3 Logarithmen ............................. 9
1.1.4.4 Spezielle Logarithmen ........................ 9
1.1.5 Algebraische Ausdrücke............................. 10
1.1.5.1 Definitionen.............................. 10
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke............... 11
1.1.6 Ganzrationale Ausdrücke............................ 11
1.1.6.1 Darstellung in Form eines Polynoms................. 11
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren................ 11
1.1.6.3 Spezielle Formeln........................... 12
1.1.6.4 Binomischer Satz........................... 12
1.1.6.5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome . . 14
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke ........................ 14
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form................ 14
1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils............... 15
1.1.7.3 Partialbruchzerlegung ........................ 15
1.1.7.4 Umformung von Proportionen.................... 17
1.1.8 Irrationale Ausdrücke.............................. 17
1.2 Endliche Reihen..................................... 18
1.2.1 Definition der endlichen Reihe......................... 18
1.2.2 Arithmetische Reihen.............................. 18
1.2.3 Geometrische Reihe............................... 19
1.2.4 Spezielle endliche Reihen............................ 19
1.2.5 Mittelwerte................................... 19
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel......................... 19
1.2.5.2 Geometrisches Mittel......................... 20
1.2.5.3 Harmonisches Mittel......................... 20
1.2.5.4 Quadratisches Mittel......................... 20
VI
Inhaltsverzeichnis
1.2.5.5 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen
a
und
b
..... 20
1.3 Finanzmathematik ................................... 21
1.3.1 Prozentrechnung ................................ 21
1.3.2 Zinseszinsrechnung............................... 22
1.3.3 Tilgungsrechnung................................ 23
1.3.3.1 Tilgung................................ 23
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten ........................ 23
1.3.3.3 Gleiche Annuitäten.......................... 24
1.3.4 Rentenrechnung................................. 24
1.3.4.1 Rente................................. 24
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente.................... 25
1.3.4.3 Kontostand nach
n
Rentenzahlungen................ 25
1.3.5 Abschreibungen................................. 26
1.4 Ungleichungen...................................... 28
1.4.1 Reine Ungleichungen.............................. 28
1.4.1.1 Definitionen.............................. 28
1.4.1.2 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ
I
und
II
......... 29
1.4.2 Spezielle Ungleichungen............................. 30
1.4.2.1 Dreiecksungleichung ......................... 30
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen . 30
1.4.2.3 Ungleichung für das arithmetische und das geometrische Mittel . . 30
1.4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel . . 30
1.4.2.5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen . 30
1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung...................... 31
1.4.2.7 Binomische Ungleichung....................... 31
1.4.2.8 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.................. 31
1.4.2.9 Tschebyscheffsche Ungleichung.................... 31
1.4.2.10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung.......... 32
1.4.2.11 Höldersche Ungleichung ....................... 32
1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung..................... 33
1.4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades.................. 33
1.4.3.1 Allgemeines.............................. 33
1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades....................... 33
1.4.3.3 Ungleichungen 2. Grades....................... 33
1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades............. 34
1.5 Komplexe Zahlen.................................... 34
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen........................ 34
1.5.1.1 Imaginäre Einheit........................... 34
1.5.1.2 Komplexe Zahlen........................... 34
1.5.2 Geometrische Darstellung............................ 35
1.5.2.1 Vektordarstellung........................... 35
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen..................... 35
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen ........... 35
1.5.2.4 Exponentialform einer komplexen Zahl............... 36
1.5.2.5 Konjugiert komplexe Zahlen..................... 36
1.5.3 Rechnen mit komplexen Zahlen......................... 36
1.5.3.1 Addition und Subtraktion...................... 36
1.5.3.2 Multiplikation............................. 37
1.5.3.3 Division................................ 37
1.5.3.4 Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten.......... 38
1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl.................. 38
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der
η
-ten
Wurzel aus einer komplexen Zahl 38
Inhaltsverzeichnis
VII
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen..................... 38
1.6.1 Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform ......... 38
1.6.1.1 Definitionen.............................. 38
1.6.1.2 Systeme aus
η
algebraischen Gleichungen.............. 39
1.6.1.3 Scheinbare Wurzeln.......................... 39
1.6.2 Gleichungen 1. bis 4. Grades.......................... 39
1.6.2.1 Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)............ 39
1.6.2.2 Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)......... 40
1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)........... 40
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades........................ 42
1.6.2.5 Gleichungen 5. und höheren Grades................. 43
1.6.3 Gleichungen
η
-ten
Grades........................... 43
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen...... 43
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten................ 44
1.6.4 Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen ... 45
1.6.4.1 Definition............................... 45
1.6.4.2 Exponentialgleichungen ....................... 46
1.6.4.3 Logarithmische Gleichungen..................... 46
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen.................... 46
1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen................ 47
Funktionen und ihre Darstellung 48
2.1 Funktionsbegriff..................................... 48
2.1.1 Definition der Funktion............................. 48
2.1.1.1 Funktion................................ 48
2.1.1.2 Reelle Funktion............................ 48
2.1.1.3 Funktion von mehreren Veränderlichen............... 48
2.1.1.4 Komplexe Funktion.......................... 48
2.1.1.5 Weitere Funktionen.......................... 48
2.1.1.6 Funktionale.............................. 48
2.1.1.7 Funktion und Abbildung....................... 49
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Funktion................ 49
2.1.2.1 Angabe einer Funktion........................ 49
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Funktionen............. 49
2.1.3 Einige Funktionstypen............................. 50
2.1.3.1 Monotone Funktionen ........................ 50
2.1.3.2 Beschränkte Funktionen....................... 51
2.1.3.3 Extremwerte von Funktionen..................... 51
2.1.3.4 Gerade Funktionen.......................... 51
2.1.3.5 Ungerade Funktionen......................... 51
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen...... 52
2.1.3.7 Periodische Funktionen........................ 52
2.1.3.8
Inverse
oder Umkehrfunktionen................... 52
2.1.4 Grenzwert von Funktionen........................... 53
2.1.4.1 Definition des Grenzwertes einer Funktion ............. 53
2.1.4.2 Zurückfährung auf den Grenzwert, einer Folge............ 53
2.1.4.3 Kom-ergenzkriterium von Cauchy.................. 53
2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion ............... 54
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion..... 54
2.1.4.6 Grenzwert einer Funktion für
χ
gegen unendlich .......... 54
2.1.4.7 Sätze über Grenzwerte von Funktionen............... 55
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten .................... 55
VIII Inhaltsverzeichnis
2.1.4.9 Größenordnung von Funktionen und Landau-Symbole....... 57
2.1.5 Stetigkeit einer Funktion............................ 58
2.1.5.1 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle .................. 58
2.1.5.2 Definition der Stetigkeit ....................... 59
2.1.5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten............ 59
2.1.5.4 Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen .... 60
2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen.................. 61
2.2 Elementare Funktionen................................. 62
2.2.1 Algebraische Funktionen............................ 62
2.2.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) ............... 62
2.2.1.2 Gebrochenrationale Funktionen................... 62
2.2.1.3 Irrationale Funktionen........................ 63
2.2.2 Transzendente Funktionen........................... 63
2.2.2.1 Exponentialfunktionen........................ 63
2.2.2.2 Logarithmische Funktionen...................... 63
2.2.2.3 Trigonometrische Funktionen .................... 63
2.2.2.4
Inverse
trigonometrische Funktionen................. 63
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen.......................... 63
2.2.2.6
Inverse
Hyperbelfunktionen..................... 63
2.2.3 Zusammengesetzte Funktionen......................... 63
2.3 Polynome ........................................ 64
2.3.1 Linearo Funktion................................ 64
2.3.2 Quadratisches Polynom............................. 64
2.3.3 Polynom 3. Grades............................... 64
2.3.4 Polynom
η
-ten
Grades............................. 65
2.3.5 Parabel
η
ter
Ordnung............................. 66
2.4 Gebrochenrationale Funktionen ............................ 66
2.4.1 Spezielle gebrochen lineare Funktion...................... 66
2.4.2 Gebrochenlineare Funktion........................... 66
2.4.3 Kurve 3. Ordnung. Typ
I
............................ 67
2.4.4 Kurve 3. Ordnung. Typ
II
............................ 67
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ
III
........................... 69
2.4.6 Reziproke Potenz................................ 70
2.5 Irrationale Funktionen ................................. 71
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom................... 71
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom............... 71
2.5.3 Potenzfunktion................................. 71
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen................ 72
2.G.1 Exponentialfunktion .............................. 72
2.6.2 Logarithmische Funktionen........................... 73
2.6.3 Gaußsche Glockenkurve............................. 73
2.6.4 Exponentialsumme............................... 73
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve................... 74
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion................ 75
2.7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen)................... 76
2.7.1 Grundlagen................................... 76
2.7.1.1 Definition und Darstellung...................... 76
2.7.1.2 Wertebereiche und Funktionsverläufe................ 78
2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen.............. 80
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen..... 80
2.7.2.2 Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme)..................... 80
2.7.2
Inhaltsverzeichnis
IX
2.7.2.3 Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache.......... 81
2.7.2.4 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels.......... 82
2.7.2.5 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen . . 82
2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktionen............... 82
2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen............... 83
2.7.3 Beschreibung von Schwingungen........................ 83
2.7.3.1 Problemstellung ............................ 83
2.7.3.2
Superposition
oder Überlagerung von Schwingungen........ 83
2.7.3.3 Vektordiagramm für Schwingungen................. 84
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen.................... 84
2.8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) .................... 85
2.8.1 Definition der zyklometrischen Funktionen .................. 85
2.8.2 Zurückführung auf die Hauptwerte....................... 85
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten.................... 86
2.8.4 Formeln für negative Argumente........................ 87
2.8.5 Summe und Differenz von arcsin
χ
und
arcsin y
................ 87
2.8.6 Summe und Differenz von
arceos
χ
und
arceos y
................ 87
2.8.7 Summe und Differenz von
arctan
χ
und
arctan
y
............... 87
2.8.8 Spezielle Beziehungen für arcsin x.
arceos
χ.
arctan x
............. 88
2.9 Hyperbelfunktionen................................... 88
2.9.1 Definition der Hyperbelfunktionen....................... 88
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen ............... 89
2.9.2.1 Hyperbelsinus............................. 89
2.9.2.2 Hyperbelkosinus ........................... 89
2.9.2.3 Hyperbeltangens........................... 90
2.9.2.4 Hyperbelkotangens.......................... 90
2.9.3 Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen................... 90
2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer Variablen................. 90
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Ar¬
gumentes ............................... 90
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente................... 90
2.9.3.4 Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme)......................... 91
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments........... 91
2.9.3.6 Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen............. 91
2.9.3.7 Hyperbelfunktionen des halben Arguments............. 91
2.9.3.8 Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen......... 91
2.9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Funktionen mit Hilfe komplexer Argumente............. 92
2.10
Areafunktionen
..................................... 92
2.10.1 Definitionen................................... 92
2.10.1.1 Areasinus............................... 92
2.10.1.2 Areakosinus.............................. 92
2.10.1.3 Areatangens.............................. 93
2.10.1.4 Areakotangens ............................ 93
2.10.2 Darstellung der Areafunkiionen durch den natürlichen Logarithmus..... 93
2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen
Areafunktionen
........... 94
2.10.4 Summen und Differenzen von
Areafunktionen
................. 94
2.10.5 Formeln für negative Argumente........................ 94
2.11 Kurven dritter Ordnung................................. 95
2.11.1 Semikubische Parabel.............................. 95
2.11.2
Versiera
der Agnesi............................... 95
X
Inhaltsverzeichnis
2.11.3 Kartesisches Blatt................................ 96
2.11.4 Zissoide ..................................... 96
2.11.5 Strophoide.................................... 96
2.12 Kurven vierter Ordnung................................. 97
2.12.1 Konchoide des Nikomedes............................ 97
2.12.2 Allgemeine Konchoide ............................. 98
2.12.3 Pascalsche Schnecke............................... 98
2.12.4 Kardioide.................................... 99
2.12.5 Cassinische Kurven............................... 100
2.12.6 Lemniskate ................................... 101
2.13 Zykloiden ........................................ 101
2.13.1 Gewöhnliche Zykloide.............................. 101
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden ............ 102
2.13.3 Epizykloide................................... 103
2.13.4 Hypozykloide und Astroide ........................... 104
2.13.5 Verlängerte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide.......... 105
2.14 Spiralen................ ......................... 105
2.14.1 Archimedische Spirale.............................. 105
2.14.2 Hyperbolische Spirale.............................. 106
2.14.3 Logarithmische Spirale............................. 106
2.14.4 Evolvente des Kreises.............................. 107
2.14.5 Klothoide.................................... 107
2.15 Verschiedene andere Kurven.............................. 108
2.15.1 Kettenlinie oder Katenoide........................... 108
2.15.2 Schleppkurve oder Traktrix........................... 108
2.16 Aufstellung empirischer Kurven ............................ 109
2.16.1 Verfahrensweise................................. 109
2.16.1.1 Kurvenbildervergleiche........................ 109
2.16.1.2 Rektifizierung............................. 109
2.16.1.3 Parameterbestimmung........................ 109
2.16.2 Gebräuchlichste empirische Formeln...................... 110
2.16.2.1 Potenzfunktionen........................... 110
2.16.2.2 Exponentialfunktionen........................ 110
2.16.2.3 Quadratisches Polynom........................ 111
2.16.2.4 Gebrochenlineare Funktion...................... 112
2.16.2.5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom......... 112
2.16.2.6 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve.............. 113
2.16.2.7 Kurve 3. Ordnung, Typ
II
...................... 113
2.16.2.8 Kurve 3. Ordnung, Typ
III
...................... 113
2.16.2.9 Kurve 3. Ordnung, Typ
I
....................... 113
2.16.2.10 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion........... 114
2.16.2.11 Exponentialsumme.......................... 114
2.16.2.12 Vollständig durchgerechnetes Beispiel................ 115
2.17 Skalen und Funktionspapiere.............................. 116
2.17.1 Skalen...................................... 116
2.17.2 Ftmktionspapiere................................ 118
2.17.2.1 Einfach logarithmisches Funktionspapier.............. 118
2.17.2.2 Doppelt-logarithmisches Funktionspapier.............. 118
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala............. 118
2.17.2.4 Hinweis................................ 119
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen....................... 120
2.18.1 Definition und Darstellung........................... 120
Inhaltsverzeichnis
XI
2.18.1.1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher........ 120
2.18.1.2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 120
2.18.2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche .................... 121
2.18.2.1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion . . 121
2.18.2.2 Zweidimensionale Gebiete...................... 121
2.18.2.3 Drei-und mehrdimensionale Gebiete ................ 121
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Funktion............... 121
2.18.2.5 Formen der analytischen Darstellung einer Funktion........ 123
2.18.2.6 Abhängigkeit von Funktionen.................... 124
2.18.3 Grenzwerte ................................... 125
2.18.3.1 Definition............................... 125
2.18.3.2 Exakte Formulierung......................... 125
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche............ 125
2.18.3.4 Iterierte Grenzwerte ......................... 125
2.18.4 Stetigkeit .................................... 126
2.18.5 Eigenschaften stetiger Funktionen....................... 126
2.18.5.1 Nullstellensatz von
Bolzano
..................... 126
2.18.5.2 Zwischenwertsatz........................... 126
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Funktion ............ 126
2.18.5.4 Satz von
Weierstrass
über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes............................ 126
2.19 Nomographie ...................................... 127
2.19.1 Nomogramme.................................. 127
2.19.2 Netztafeln.................................... 127
2.19.3 Fluchtlinientafeln................................ 128
2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt . . . 128
2.19.3.2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten ge¬
radlinigen Skala............................ 129
2.19.3.3 Fluchtlinientafeln mit zwei paraHelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala.............................. 129
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche................... 130
Geometrie 131
3.1 Planimetrie ....................................... 131
3.1.1 Grundbegriffe.................................. 131
3.1.1.1 Punkt. Gerade, Strahl. Strecke.................... 131
3.1.1.2 Winkel................................. 131
3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidenden Geraden............. 132
3.1.1.4 Winkelpaare an geschnittenen Parallelen.............. 132
3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß............... 133
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis-und Hyperbel-Funktionen........ 133
3.1.2.1 Definition der Kreis-oder trigonometrischen Funktionen...... 133
3.1.2.2 Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen.......... 134
3.1.3 Ebene Dreiecke................................. 135
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken.................... 135
3.1.3.2 Symmetrie............................... 136
3.1.4 Ebene Vierecke................................. 138
3.1.4.1 Parallelogramm............................ 138
3.1.4.2 Rechteck und Quadrat........................ 138
3.1.4.3 Rhombus oder Raute......................... 138
3.1.4.4 Trapez................................. 138
3.1.4.5 Allgemeines Viereck ......................... 139
XII Inhaltsverzeichnis
3.1.4.6 Sehnenviereck............................. 139
3.1.4.7 Tangentenviereck........................... 140
3.1.5 Ebene Vielecke oder Polygone ......................... 140
3.1.5.1 Allgemeines Vieleck.......................... 140
3.1.5.2 Regelmäßige konvexe Vielecke.................... 140
3.1.5.3 Einige regelmäßige konvexe Vielecke................. 141
3.1.6 Ebene Kreisfiguren............................... 142
3.1.6.1 Kreis.................................. 142
3.1.6.2 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor) . 144
3.1.6.3 Kreisring ............................... 144
3.2 Ebene Trigonometrie.................................. 145
3.2.1 Dreiecksberechnungen.............................. 145
3.2.1.1 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken......... 145
3.2.1.2 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken......... 145
3.2.2 Geodätische Anwendungen........................... 148
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten....................... 148
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie........................ 149
3.2.2.3 Vermessungstechnische Anwendungen................ 151
3.3 Stereometrie....................................... 154
3.3.1 Geraden und Ebenen im Raum......................... 154
3.3.2 Kanten. Ecken, Raumwinkel.......................... 155
3.3.3 Polyeder..................................... 156
3.3.4 Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind............. 159
3.4 Sphärische Trigonometrie................................ 163
3.4.1 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel.................. 163
3.4.1.1 Kurven. Bogen und Winkel auf der Kugel.............. 163
3.4.1.2 Spezielle Koordinatensysteme.................... 165
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck ......................... 166
3.4.1.4 Sphärisches Dreieck.......................... 166
3.4.1.5 Polardreieck.............................. 167
3.4.1.6 Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke............... 168
3.4.1.7 Dreikant................................ 168
3.4.2 Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke ................... 168
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen......................... 168
3.4.2.2 Grundformeln und Anwendungen.................. 169
3.4.2.3 Weitere Formeln ........................... 172
3.4.3 Berechnung sphärischer Dreiecke........................ 173
3.4.3.1 Grundaufgaben. Genauigkeitsbetrachtungen............ 173
3.4.3.2 Rechtwinklig sphärisches Dreieck .................. 173
3.4.3.3 Schiefwinklig sphärisches Dreieck.................. 175
3.4.3.4 Sphärische Kurven.......................... 179
3.5
Vektoralgebra
und analytische Geometrie....................... 185
3.5.1 Vektoralgebra.................................. 185
3.5.1.1 Definition des Vektors ........................ 185
3.5.1.2 Rechenregeln............................. 186
3.5.1.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt.................. 188
3.5.1.4 Mehrfache multiplikative Verknüpfungen.............. 190
3.5.1.5 Vektorielle Gleichungen........................ 192
3.5.1.6 Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors..... 193
3.5.1.7 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra........... 194
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene ....................... 195
3.5.2.1 Ebene Koordinatensysteme ..................... 195
Inhaltsverzeichnis
XIII
3.5.2.2 Koordinatentransformationen.................... 196
3.5.2.3 Spezielle Punkte in der Ebene.................... 197
3.5.2.4 Flächeninhalte ............................ 199
3.5.2.5 Gleichung einer Kurve........................ 199
3.5.2.6 Gerade................................. 199
3.5.2.7 Kreis.................................. 202
3.5.2.8 Ellipse................................. 204
3.5.2.9 Hyperbel ............................... 206
3.5.2.10 Parabel................................ 208
3.5.2.11 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)................. 210
3.5.3 Analytische Geometrie des Raumes ...................... 213
3.5.3.1 Grundlagen, räumliche Koordinatensysteme............ 213
3.5.3.2 Transformation rechtwinkliger Koordinaten............. 217
3.5.3.3 Teilung einer Strecke......................... 219
3.5.3.4 System aus vier Punkten....................... 219
3.5.3.5 Gleichung einer Fläche........................ 219
3.5.3.6 Ebenen im Raum........................... 220
3.5.3.7 Geraden im Raum .......................... 223
3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden........ 225
3.5.3.9 Flächen 2. Ordnung. Gleichungen in Normalform.......... 226
3.5.3.10 Flächen 2. Ordnung, allgemeine Theorie............... 230
3.6 Differentialgeometrie.................................. 232
3.6.1 Ebene Kurven.................................. 232
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven ..................... 232
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve..................... 232
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten.......... 238
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung .... 243
3.6.1.5 Evoluten und Evolventen....................... 244
3.6.1.6 Einhüllende von Kurvenscharen................... 244
3.6.2 Raumkurven................................... 245
3.6.2.1 Definitionen für Raumkurven .................... 245
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein......................... 246
3.6.2.3 Krümmung und Windung...................... 248
3.6.3 Flächen ..................................... 251
3.6.3.1 Definitionen für Flächen....................... 251
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennonnale................ 252
3.6.3.3 Linienelement auf einer Fläche.................... 253
3.6.3.4 Krümmung einer Fläche....................... 255
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen............... 257
3.6.3.6 Geodätische Linien auf einer Fläche................. 258
Lineare Algebra 259
4.1 Matrizen......................................... 259
4.1.1 Begriff der Matrix................................ 259
4.1.2 Quadratische Matrizen............................. 260
4.1.3 Vektoren..................................... 261
4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen........................ 262
4.1.5 Rechenregeln für Matrizen........................... 265
4.1.6 Vektor-und Matrizennorm........................... 266
4.1.6.1 Vektornormen............................. 266
4.1.6.2 Matrizennormen ........................... 267
4.2 Determinanten...................................... 267
XIV Inhaltsverzeichnis
4.2.1 Definitionen................................... 267
4.2.2 Rechenregeln für Determinanten........................ 268
4.2.3 Berechnung von Determinanten ........................ 269
4.3 Tensoren......................................... 270
4.3.1 Transformation des Koordinatensystems.................... 270
4.3.2 Tensoren in kartesischen Koordinaten..................... 270
4.3.3 Tensoren mit speziellen Eigenschaften..................... 272
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe........................... 272
4.3.3.2 Invariante Tensoren.......................... 273
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen............... 274
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren............ 274
4.3.4.2 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 274
4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2. Stufe ................................ .275
4.3.4.4 Rechenregeln............................. 276
4.3.5 Pseudotensoren................................. 277
4.3.5.1 Punktspiegelung am Koordinatenursprung............. 277
4.3.5.2 Einführung des Begriffs Pseudotensor................ 278
4.4 Lineare Gleichungssysteme............................... 279
4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren..................... 279
4.4.1.1 Lineare Systeme............................ 279
4.4.1.2 Austauschverfahren.......................... 279
4.4.1.3 Lineare Abhängigkeiten ....................... 280
4.4.1.4 Invertierung einer Matrix....................... 280
4.4.2 Lösung linearer Gleichungssysteme....................... 280
4.4.2.1 Definition und Lösbarkeit ...................... 280
4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens................ 282
4.4.2.3 Cramersche Regel........................... 283
4.4.2.4 Gaußscher Algorithmus........................ 284
4.4.3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme................... 285
4.4.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme ....................... 285
4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme 286
4.5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen............................ 286
4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem......................... 286
4.5.2 Spezielles Eigenwertproblem.......................... 286
4.5.2.1 Charakteristisches Polynom..................... 286
4.5.2.2 Reelle symmetrische Matrizen. Ähnlichkeitstransformationen . . . 288
4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen......... 289
4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten...... 291
4.5.3 Smgulärvrertzerlegung.............................. 293
ι
Algebra und Diskrete Mathematik 295
5.1 Logik........................................... 295
5.1.1 Anssagenlogik.................................. 295
5.1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik......................... 298
5.2 Mengenlehre....................................... 299
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen........................ 299
5.2.2 Operationen mit Mengen............................ 301
5.2.3 Relation™ und Abbildungen.......................... 303
5.2.4 Äquivalenz- und ürdnungsrelationen...................... 306
5.2.5 Mächtigkeit von Mengen............................ 307
Inhaltsverzeichnis
XV
5.3 Klassische algebraische Strukturen........................... 308
5.3.1 Operationen................................... 308
5.3.2 Halbgruppen................................... 308
5.3.3 Gruppen..................................... 309
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften............. 309
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte................. 310
5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen................... 312
5.3.4 Darstellung von Gruppen............................ 313
5.3.4.1 Definitionen.............................. 313
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen........................ 313
5.3.4.3 Direkte Summe von Darstellungen.................. 314
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen................. 315
5.3.4.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen .............. 315
5.3.4.6 Erstes Schursches Lemma ...................... 316
5.3.4.7 Clebsch-Gordan-Reihe........................ 316
5.3.4.8 Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe
Ѕм
...... 316
5.3.5 Anwendungen von Gruppen .......................... 317
5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente............. 317
5.3.5.2 Symmetriegruppen.......................... 317
5.3.5.3 Symmetrieoperationen bei Molekülen................ 318
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie ............. 320
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik............ 322
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik............ 322
5.3.6 Ringe und Körper................................ 323
5.3.6.1 Definitionen.............................. 323
5.3.6.2 Unterringe. Ideale........................... 324
5.3.6.3 Homomorphismen, Isomorphismen. Homomorphiesatz....... 324
5.3.6.4 Endliche Körper und Schieberegister ................ 324
5.3.7 Vektorräume................................... 327
5.3.7.1 Definition............................... 327
5.3.7.2 Lineare Abhängigkeit......................... 327
5.3.7.3 Lineare Abbildungen......................... 327
5.3.7.4 Unterräume. Dimensionsformel ................... 328
5.3.7.5 Euklidische Vektorräume. Euklidische Norm............ 328
5.3.7.6 Lineare Operatoren in Vektorräumen................ 329
5.4 Elementare Zahlentheorie................................ 330
5.4.1 Teilbarkeit.................................... 330
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln............ 330
5.4.1.2 Primzahlen.............................. 330
5.4.1.3 Teilbarkeitskriterien ......................... 332
5.4.1.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 333
5.4.1.5 Fibonacci-Zahlen........................... 334
5.4.2 Lineare Diophantische Gleichungen ...................... 335
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen......................... 337
5.4.4 Sätze von
Fermat.
Euler und Wilson...................... 341
5.4.5 Codierungen................................... 341
5.4.5.1 Prüfzeichenverfahren......................... 342
5.4.5.2 Fehlerkorrigierende Codes...................... 343
5.5 Kryptologie....................................... 346
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie............................ 346
5.5.2 Kryptosysteme ................................. 346
5.5.3 Mathematische Präzisierung.......................... 346
XVI Inhaltsverzeichnis
5.5.4 Sicherheit von
Kryptosystemen.........................
347
5.5.4.1 Methoden der klassischen Kryptologie................ 347
5.5.4.2 Affine Substitutionen......................... 348
5.5.4.3 Vigenere-Chiffre........................... 348
5.5.4.4 Matrixsubstitutionen......................... 348
5.5.5 Methoden
dei
klassischen
Kryptoanalysis
................... 349
5.5.5.1 Statistische Analyse.......................... 349
5.5.5.2 Kasiski-Friedman-Test........................ 349
5.5.6 One-Time-Tape................................. 350
5.5.7 Verfahren mit öffentlichem Schlüssel...................... 350
5.5.7.1 Konzept von
Dime
und Hellman................... 350
5.5.7.2 Einwegfunktionen........................... 351
5.5.7.3 RSA-Verfahren............................ 351
5.5.8 AES-Algorithmus (Advanced
Encryption
Standard)............. 352
5.5.9 IDEA-Algorithnms (International Data
Encryption Algorithm).......
352
5.6 Universelle Algebra................................... 353
5.6.1 Definition.................................... 353
5.6.2 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren..................... 353
5.6.3 Homomorphismen................................ 353
5.6.4 Homomorphiesatz................................ 354
5.6.5 Varietäten.................................... 354
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren.......................... 354
5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra......................... 355
5.7.1 Definition.................................... 355
5.7.2 Dualitätsprinzip................................. 355
5.7.3 Endliche Boolesche Algebren.......................... 356
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen....................... 356
5.7.5 Boolesche Funktionen. Boolesche Ausdrücke.................. 356
5.7.6 Normalformen.................................. 358
5.7.7 Schaltalgebra.................................. 358
5.8 Algorithmen der Graphentheorie............................ 361
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen....................... 361
5.8.2 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen.................. 364
5.8.2.1 Kantenfolgen............................. 364
5.8.2.2 Eulersche Linien ........................... 365
5.8.2.3 Hamilton-Kreise........................... 366
5.8.3 Bäume und Gerüste............................... 367
5.8.3.1 Bäume................................. 367
5.8.3.2 Gerüste................................ 368
5.8.4 Matchmgs.................................... 369
5.8.5 Planare Graphen................................ 370
5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen......................... 371
5.8.7 Transportnetze ................................. 372
5.9
Fuzzy-
Logik....................................... 374
5.9.1 Grundlagen der Fuzzy-Logik.......................... 374
5.9.1.1 Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen) ...... 374
5.9.1.2 Zugeliörigkeitsfunktionen....................... 375
5.9.1.3 Fuzzy-Mengen............................ 377
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen....................... 378
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen . 379
5.9.2.2 Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen........... 379
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren.................... 382
Inhaltsverzeichnis XVII
5.9.2.4 Erweiterungsprinzip ......................... 382
5.9.2.5 Unscharfe Komplementfunktion................... 382
5.9.3
Fuzzy-
wertige Relationen............................ 383
5.9.3.1 Fuzzy-Relationen........................... 383
5.9.3.2
Fuzzy-
-Relationenprodukt Ro
S
.................. 385
5.9.4 Fuzzy-Inferenz ................................. 386
5.9.5 Defuzzifizierungsmethoden........................... 388
5.9.6 Wissensbasierte
Fuzzy
Systeme........................ 389
5.9.6.1 Methode
Mamďani
.......................... 389
5.9.6.2 Methode Sugeno ........................... 389
5.9.6.3 Kognitive Systeme.......................... 390
5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem ............... 392
Differentialrechnung 394
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen ................. 394
6.1.1 Differentialquotient............................... 394
6.1.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlicher.......... 395
6.1.2.1 Ableitungen elementarer Funktionen ................ 395
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren.................. 395
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung......................... 401
6.1.3.1 Definition der Ableitungen höherer Ordnung............ 401
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen..... 401
6.1.3.3 Leibnizsche Regel........................... 401
6.1.3.4 Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung . . . 402
6.1.3.5 Ableitungen höherer Ordnung der
inversen
Funktion........ 402
6.1.4 Hauptsätze der Differentialrechnung...................... 403
6.1.4.1 Monotoniebedingungen........................ 403
6.1.4.2 Satz von
Fermat
............................ 403
6.1.4.3 Satz von Rolle............................. 404
6.1.4.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung............... 404
6.1.4.5 Satz von Taylor für Funktionen von einer Veränderlichen...... 405
6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung..... 405
6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten............. 405
6.1.5.1
Maxima
und
Minima
......................... 405
6.1.5.2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes 406
6.1.5.3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funk¬
tion
y
= f(x).............................. 406
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte............... 407
6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion . 407
6.2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen............. 408
6.2.1 Partielle Ableitungen.............................. 408
6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Funktion.................. 408
6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen.......... 408
6.2.1.3 Begriff des Differentials........................ 408
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials................. 409
6.2.1.5 Partielles Differential......................... 410
6.2.2 Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung......... 410
6.2.2.1 Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderliehen (totales Differential)................. 410
6.2.2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen......... 411
6.2.2.3 Satz von Taylor für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . 412
6.2.3 Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren Veränderlichen..... 413
XVIII
Inhaltsverzeichnis
6.2.3.1 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen ........ 413
6.2.3.2 Differentiation impliziter Funktionen................ 413
6.2.4 Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und Koordinatentrans¬
formationen ................................... 415
6.2.4.1 Funktion von einer Veränderlichen.................. 415
6.2.4.2 Funktion zweier Veränderlicher ................... 416
6.2.5 Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen ......... 417
6.2.5.1 Definition............................... 417
6.2.5.2 Geometrische Bedeutung....................... 417
6.2.5.3 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei
Veränderlichen ............................ 418
6.2.5.4 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von
η
Veränderlichen 418
6.2.5.5 Lösung von Approximationsaufgaben................ 418
6.2.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 419
Unendliche Reihen 420
7.1 Zahlenfolgen....................................... 420
7.1.1 Eigenschaften von Zahlenfolgen ........................ 420
7.1.1.1 Definition der Zahlenfolge ...................... 420
7.1.1.2 Monotone Zahlenfolgen........................ 420
7.1.1.3 Beschränkte Folgen.......................... 420
7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen.......................... 421
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern............................ 422
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze.......................... 422
7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen........... 422
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen......... 423
7.2.2 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern............ 423
7.2.2.1 Vergleichskriterium ......................... 423
7.2.2.2 Quotientenkriterium von d Alembert ................ 424
7.2.2.3 Wurzelkriterium von Cauchy..................... 424
7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy.................... 425
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz....................... 425
7.2.3.1 Definition............................... 425
7.2.3.2 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen............. 426
7.2.3.3 Alternierende Reihen......................... 426
7.2.4 Einige spezielle Reihen............................. 427
7.2.4.1 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern....... 427
7.2.4.2 Bemoullische und Eulersche Zahlen................. 428
7.2.5 Abschätzung des Reihenrestes......................... 429
7.2.5.1 Abschätzung mittels
Majorante
................... 429
7.2.5.2 Alternierende konvergente Reihen.................. 430
7.2.5.3 Spezielle Reihen............................ 430
7.3 Funktionenreihen.................................... 430
7.3.1 Definitionen................................... 430
7.3.2 Gleichmaßige Konvergenz............................ 431
7.3.2.1 Definition. Satz von
Weierstrass
................... 431
7.3.2.2 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen........... 432
7.3.3 Potenzreihen.................................... 432
7.3.3.1 Definition. Konvergenz........................ 432
7.3.3.2 Rechnen mit Potenzreihen...................... 433
7.3.3.3 Entwicklung in Taylor-Reihen. MacLaurinsche Reihe ....... 434
7.3.4 Xäherungsformeln................................ 435
Inhaltsverzeichnis
XIX
7.3.5 Asymptotische Potenzreihen.......................... 435
7.3.5.1 Asymptotische Gleichheit ...................... 435
7.3.5.2 Asymptotische Potenzreihen..................... 435
7.4 Fourier-Reiheii ..................................... 437
7.4.1 Trigonometrische Summe und
Fourier-
Reihe................. 437
7.4.1.1 Grundbegriffe............................. 437
7.4.1.2 Wichtigste Eigenschaften von
Fourier
-Reihen............ 438
7.4.2 Koeffizientenbestimnmng für symmetrische Funktionen ........... 439
7.4.2.1 Symmetrien verschiedener Art.................... 439
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe........... 440
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden.......... 441
7.4.4 Fourier-Reihe und
Fourier-Integral
...................... 441
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen ............. 442
Integralrechnung 444
8.1 Unbestimmtes Integral................................. 444
8.1.1 Stammfunktion oder Integral.......................... 444
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale........................ 445
8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen .................. 445
8.1.2 Integrationsregeln................................ 445
8.1.3 Integration rationaler Funktionen ....................... 449
8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome).......... 449
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen.............. 449
8.1.3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung............... 449
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen ...................... 452
8.1.4.1 Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen . 452
8.1.4.2 Integration binoinischer
Integranden
................. 453
8.1.4.3 Elliptische Integrale.......................... 453
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen................... 455
8.1.5.1 Substitution.............................. 455
8.1.5.2 Vereinfachte Methoden........................ 455
8.1.6 Integration weiterer transzendenter Funktionen................ 456
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen................. 456
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen.................. 456
8.1.6.3 Anwendung der partiellen Integration................ 457
8.1.6.4 Integrale transzendenter Funktionen................. 457
8.2 Bestimmte Integrale................................... 457
8.2.1 Grundbegriffe. Regeln und Sätze........................ 457
8.2.1.1 Definition und Existenz des bestimmten Integrals.......... 457
8.2.1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale................. 458
8.2.1.3 Weitere Sätze über Integrationsgrenzen............... 460
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale.................. 462
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale...................... 464
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals . . . 464
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie................... 465
8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik............... 467
8.2.3 Uneigentliche Integrale.
Stieltjes-
und Lebesgue-Integrale.......... 470
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffs.............. 470
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen........... 471
8.2.3.3 Integrale mit unbeschränktem
Integranden
............. 473
8.2.4 Parameterintegrale............................... 476
8.2.4.1 Definition des Parameterintegrals.................. 476
XX
Inhaltsverzeichnis
8.2.4.2 Differentiation unter dem Integralzeichen.............. 476
8.2.4.3 Integration unter dem Integralzeichen................ 476
8.2.5 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen . 477
8.3 Kurvenintegrale..................................... 479
8.3.1 Kurvenintegrale 1. Art............................. 480
8.3.1.1 · Definitionen.............................. 480
8.3.1.2 Existenzsatz.............................. 480
8.3.1.3 Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art............... 481
8.3.1.4 Anwendimgen des Kurvenintegrals 1. Art.............. 482
8.3.2 Kurvenintegrale 2. Art ............................. 482
8.3.2.1 Definitionen.............................. 482
8.3.2.2 Existenzsatz.............................. 483
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art............... 483
8.3.3 Kurvenintegrale allgemeiner Art........................ 484
8.3.3.1 Definition............................... 484
8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art......... 484
8.3.3.3 Umlaufintegral............................ 485
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg.......... 485
8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall........................ 485
8.3.4.2 Existenz der Stammfunktkm..................... 486
8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall........................ 486
8.3.4.4 Berechnung der Stammfunktion................... 486
8.4 Mehrfaenintegrale.................................... 488
8.4.1 Doppelintegral.................................. 488
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals...................... 488
8.4.1.2 Berechnung des Doppelintegrals................... 489
8.4.1.3 Anwendungen von Doppelintegralen................. 491
8.4.2 Dreifachintegral................................. 491
8.4.2.1 Begriff des Dreifachintegrals..................... 491
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals.................. 492
8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen................ 496
8.5 Oberflächenmtegrale .................................. 496
8.5.1 Oberflächenintegrale 1. Art........................... 496
8.5.1.1 Begriff des Oberflächenintegralsl. Art................ 496
8.5.1.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 1. Art............. 498
8.5.1.3 Anwendungen des Oberflächenintegrals 1. Art ........... 499
8.5.2 Oberflächenintegrale 2. Art........................... 499
8.5.2.1 Begriff des Oberflächenintegrals 2. Art................ 499
8.5.2.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 2. Art............. 501
8.5.3 Oberftäehenintegral allgemeiner Art...................... 502
8.5.3.1 Begriff des Oberfläcnenmtegrals allgemeiner Art.......... 502
8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflächenintegrals............... 502
9 Differentialgleichungen 504
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen.......................... 504
9.1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung ...................... 505
9.1.1.1 Existenzsatz. Richtungsfeld ..................... 505
9.1.1.2 Wichtige Integrationsmethoden................... 506
9.1.1.3 Implizite Differentialgleichungen................... 509
9.1.1.4
Singulare
Integrale und singnläre Punkte.............. 510
9.1.1.5 Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen
1. Ordnung.............................. 513
Inhaltsverzeichnis XXI
9.1.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen............................. 515
9.1.2.1 Grundlegende Betrachtungen .................... 515
9.1.2.2 Erniedrigung der Ordnung...................... 516
9.1.2.3 Lineare Differentialgleichungen
η
-ter
Ordnung........... 518
9.1.2.4 Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 520
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizien¬
ten ................................... 522
9.1.2.6 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung............. 525
9.1.3 Randwertprobleme............................... 532
9.1.3.1 Problemstellung............................ 532
9.1.3.2 Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte ..... 533
9.1.3.3 Entwicklung nach Eigenfunktionen ................. 534
9.1.3.4
Singulare
Fälle............................ 534
9.2 Partielle Differentialgleichungen............................ 535
9.2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.................. 535
9.2.1.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung........ 535
9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung...... 537
9.2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung............. 540
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord¬
nung mit zwei unabhängigen Veränderlichen ............ 540
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord¬
nung mit. mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen ....... 542
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen
2. Ordnung.............................. 543
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik .... 554
9.2.3.1 Problemstellungen und Randbedingungen.............. 554
9.2.3.2 Wellengleichung............................ 555
9.2.3.3 Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium 556
9.2.3.4 Potentialgleichung .......................... 557
9.2.3.5 Schrödinger-Gleichung........................ 557
9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen, periodische Muster
und Chaos.................................... 566
9.2.4.1 Physikalisch-mathematische Problemstellung............ 566
9.2.4.2 Korteweg-de-Vries-Gleichung.................... 568
9.2.4.3 Xichtlineare Schrödinger-Gleichung................. 569
9.2.4.4 Sinus-Gordon-Gleichung....................... 569
9.2.4.5 Weitere niehtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen . . 571
10 Variationsrechnung 572
10.1 Aufgabenstellung.................................... 572
10.2 Historische Aufgaben.................................. 573
10.2.1 Isoperimetrisches Problem........................... 573
10.2.2 Brachistochronenproblem............................ 573
10.3 Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen............... 574
10.3.1 Einfache Variationsaufgabe und Extremale.................. 574
10.3.2 Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung............ 574
10.3.3 Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen.................. 576
10.3.4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen................. 577
10.3.5 Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen........... 577
10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdarstellung ................. 578
10.4 Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren Veränderlichen.......... 579
XXII Inhaltsverzeichnis
10.4.1 Einfache Vaiiationsaufgabe........................... 579
10.4.2 Allgemeinere Variationsaufgaben........................ 580
10.5 Numerische Lösung von Variationsaufgaben...................... 580
10.6 Ergänzungen....................................... 582
10.6.1 Erste und zweite Variation........................... 582
10.6.2 Anwendungen in der Physik .......................... 582
11 Lineare Integralgleichungen 583
11.1 Einführung und Klassifikation............................. 583
11.2 Frednolmsche Integralgleichungen 2. Art........................ 584
11.2.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen................. 584
11.2.2 Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe.......... 587
11.2.3 Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze............. 589
11.2.3.1 Fredholmsche Lösungsmethode ................... 589
11.2.3.2 Fredholmsche Sätze.......................... 591
11.2.4 Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art..... 592
11.2.4.1 Approximation des Integrals..................... 592
11.2.4.2 Kernapproximation.......................... 594
11.2.4.3 Kollokationsmethode......................... 596
11.3 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art........................ 598
11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen................. 598
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen........................ 599
11.3.3 Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem . . . 600
11.3.4 Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art................ 602
11.3.5 Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern 603
11.3.6 Iteratives Verfahren............................... 604
11.4 Volterrasche Integralgleichungen............................ 605
11.4.1 Theoretische Grundlagen............................ 605
11.4.2 Lösung durch Differentiation.......................... 606
11.4.3 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art 607
11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp .............. 608
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art...... 609
11.5
Singulare
Integralgleichungen.............................. 611
11.5.1 Abelsche Integralgleichung........................... 611
11.5.2
Singulare
Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen.............. 612
11.5.2.1 Formulierung der Aufgabe...................... 612
11.5.2.2 Existenz einer Lösung......................... 613
11.5.2.3 Eigenschaften des Cauchy-Integrals................. 613
11.5.2.4 Hilbertsches Randwertproblem.................... 613
11.5.2.5 Lösung des Hilbertschen Randwertproblems ............ 614
11.5.2.6 Lösung der charakteristischen Integralgleichung .......... 614
12 Funktionalanalysis 616
12.1 Vektorräume....................................... 616
12.1.1 Begriff des Vektorraumes............................ 616
12.1.2 Lineare und affin-lineare Teilmengen...................... 617
12.1.3 Linear unabhängige Elemente ......................... 619
12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle.................... 619
12.1.4.1 Konvexe Mengen........................... 619
12.1.4.2 Kegel ................................. 620
12.1.5 Lineare Operatoren und Funktionale...................... 620
12.1.5.1 Abbildungen ............................. 620
Inhaltsverzeichnis XXIII
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus.............. 621
12.1.5.3 Isomorphe Vektorräume....................... 621
12.1.6
Komplexifikation
reeller Vektorräume..................... 621
12.1.7 Geordnete Vektorräume............................. 621
12.1.7.1 Kegel und Halbordnung ....................... 621
12.1.7.2 Ordnungsbeschränkte Mengen.................... 622
12.1.7.3 Positive Operatoren.......................... 623
12.1.7.4 Vektorverbände............................ 623
12.2 Metrische Räume.................................... 624
12.2.1 Begriff des metrischen Raumes......................... 624
12.2.1.1 Kugeln, Umgebungen und offene Mengen.............. 626
12.2.1.2 Konvergenz von Folgen im metrischen Raum............ 626
12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und Abschließung............. 627
12.2.1.4 Dichte Teilmengen und
separable
metrische Räume......... 627
12.2.2 Vollständige metrische Räume......................... 628
12.2.2.1 Cauchy-Folge............................. 628
12.2.2.2 Vollständiger metrischer Raum.................... 628
12.2.2.3 Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen . . 628
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips........... 629
12.2.2.5 Vervollständigung eines metrischen Raumes............. 631
12.2.3 Stetige Operatoren ............................... 631
12.3 Normierte Räume.................................... 631
12.3.1 Begriff des normierten Raumes......................... 631
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes................... 631
12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume............... 632
12.3.2 Banach-Räume................................. 632
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen.................... 632
12.3.2.2 Beispiele von Banach-Räumen.................... 633
12.3.2.3 Sobolew-Räume ........................... 633
12.3.3 Geordnete normierte Räume.......................... 634
12.3.4 Normierte Algebren............................... 634
12.4 Hilbert-Räume..................................... 635
12.4.1 Begriff des Hubert-Raumes........................... 635
12.4.1.1 Skalarprodukt............................. 635
12.4.1.2 Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften........... 635
12.4.1.3 Hubert-Raum............................. 636
12.4.2 Orthogonalität ................................. 636
12.4.2.1 Eigenschaften der Orthogonalität.................. 636
12.4.2.2 Orthogonale Systeme......................... 637
12.4.3
Fourier
-Reihen im Hubert- Raum....................... 638
12.4.3.1 Bestapproximation.......................... 638
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung. Satz von Riesz-Fischer........... 638
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume................ 639
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale...................... 639
12.5.1 Beschränktheit. Norm und Stetigkeit linearer Operatoren .......... 639
12.5.1.1 Beschränktheit und Norm linearer Operatoren........... 639
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren.................. 640
12.5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen.................. 640
12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen................ 640
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren............... 642
12.5.3.1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators......... 642
12.5.3.2 Spektrum eines Operators...................... 643
XXIV Inhaltsverzeichnis
12.5.4 Stetige lineare Funktionale........................... 643
12.5.4.1 Definition............................... 643
12.5.4.2 Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz . . . 644
12.5.4.3 Stetige lineare Funktionale in
V
................... 644
12.5.5 Fortsetzung von linearen Funktionalen..................... 645
12.5.6 Trennung konvexer Mengen........................... 645
12.5.7 Bidualer Raum und reflexive Räume...................... 646
12.6 Adjungierte Operatoren in normierten Räumen.................... 646
12.6.1 Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator........... 646
12.6.2 Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator.......... 647
12.6.3 Selbstadjungierte Operatoren.......................... 648
12.6.3.1 Positiv
definite
Operatoren...................... 648
12.6.3.2 Projektoren im Hilbert-Raum.................... 648
12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren..................... 648
12.7.1 Kompakte Teilmengen in normierten Räumen................. 648
12.7.2 Kompakte Operatoren............................. 649
12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators .................. 649
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren............ 649
12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen................ 649
12.7.3 Fredholmsche Alternative............................ 650
12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum................... 650
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren.................... 650
12.8 Nichtlineare Operatoren ................................ 651
12.8.1 Beispiele nichtlinearer Operatoren....................... 651
12.8.2 Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren.................. 652
12.8.3 Newton-Verfahren ............................... 652
12.8.4 Schaudersches Fixpunktprmzip......................... 653
12.8.5 Leray-Schauder-Theorie............................ 654
12.8.6 Positive nichtlineare Operatoren........................ 654
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach-Räumen .................. 655
12.9 Maß und Lebesgue-Integral............................... 655
12.9.1 Sigma-Algebren und Maße........................... 655
12.9.2 Meßbare Funktionen .............................. 657
12.9.2.1 Meßbare Funktion .......................... 657
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen......... 657
12.9.3 Integration.................................... 657
12.9.3.1 Definition des Integrals........................ 657
12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals.................. 658
12.9.3.3 Konvergenzsätze........................... 658
12.9.4
L»
Räume.................................... 659
12.9.5 Distributionen.................................. 660
12.9.5.1 Formel der partiellen Integration................... 660
12.9.5.2 Verallgemeinerte Ableitung...................... 660
12.9.5.3 Distribution.............................. 661
12.9.5.4 Ableitung einer Distribution..................... 661
13
Vektoranalysis
und Feldtheorie 663
13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie.............................. 663
13.1.1 Vektorfunktion einer
skalaren
Variablen.................... 663
13.1.1.1 Definitionen.............................. 663
13.1.1.2 Ableitung einer Vektorfunktion................... 663
13.1.1.3 Differentiationsregeln für Vektoren ................. 663
Inhaltsverzeichnis
XXV
13.1.1.4
Tavlor-Entwickmng
für
Vektorfunktionen
.............. 664
13.1.2
Skalarfelder
................................... 664
13.1.2.1 Skalares Feld
oder skalaře
Punktfunktion
.............. 664
13.1.2.2 Wichtige Fälle skalarer Felder.................... 664
13.1.2.3 Koordinatendarstelhmg von Skalarfeldern.............. 665
13.1.2.4 Niveauflächen und Niveaulinien................... 665
13.1.3 Vektorfelder................................... 665
13.1.3.1 Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion.......... 665
13.1.3.2 Wichtige Fälle vektorieller Felder.................. 666
13.1.3.3 Koordinatendarstelhmg von Vektorfeldern ............. 667
13.1.3.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen .... 668
13.1.3.5 Feldlinien............. .................. 669
13.2 Räumliche Differentialoperationen........................... 670
13.2.1 Richtungs-und Volumenableitung....................... 670
13.2.1.1 Richtungsableitung eines
skalaren
Feldes .............. 670
13.2.1.2 Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes ............ 670
13.2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung............ 671
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes........................... 671
13.2.2.1 Definition des Gradienten ...................... 671
13.2.2.2 Gradient und Richtimgsableitung.................. 672
13.2.2.3 Gradient und Volumenableitung................... 672
13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten................ 672
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten...... 672
13.2.2.6 Rechenregeln............................. 673
13.2.3 Vektorgradient ................................. 673
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes........................... 673
13.2.4.1 Definition der Divergenz....................... 673
13.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten .............. 674
13.2.4.3 Regeln zur Berechnung der Divergenz................ 674
13.2.4.4 Divergenz eines Zentraifeldes..................... 674
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes............................ 675
13.2.5.1 Definitionen der Rotation ...................... 675
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten............... 676
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation................. 676
13.2.5.4 Rotation des Potentialfeldes..................... 677
13.2.6 Nablaoperator. Laplace-Operator....................... 677
13.2.6.1 Nablaoperator............................. 677
13.2.6.2 Rechenregeln für den Nablaoperator................. 677
13.2.6.3 Vektorgradient............................ 678
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators ............. 678
13.2.6.5
Lapiace-
Operator........................... 678
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen............. 679
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse für Differentialoperato¬
ren ................................... 679
13.2.7.2 Rechenregeln für Differentialoperatoren............... 679
13.2.7.3 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen. Zylinder- und Kugel¬
koordinaten .............................. 680
13.3 Integration in Vektorfeldern .............................. 681
13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld.................. 681
13.3.1.1 Kurvenintegral im Vektorfeld .................... 681
13.3.1.2 Bedeutuzig des Kurvenintegrals in der Mechanik.......... 682
13.3.1.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals.................. 682
XXVI Inhaltsverzeichnis
13.3.1.4
Kurvenintegral
in
kartesischen
Koordinaten............. 683
13.3.1.5 Umlauf integral eines Vektorfeldes.................. 683
13.3.1.6 Konservatives oder Potentialfeld................... 683
13.3.2 Obernächenintegrale .............................. 684
13.3.2.1 Vektor eines ebenen Flächenstückes................. 684
13.3.2.2 Berechnung von Oberflächenintegralen ............... 685
13.3.2.3 Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern............. 685
13.3.2.4 Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art...................... 686
13.3.3 Integralsätze................................... 687
13.3.3.1 Integralsatz und Integralformel von Gauß.............. 687
13.3.3.2 Integralsatz von
Stokes
........................ 687
13.3.3.3 Integralsätze von Green........................ 688
13.4 Berechnung von Feldern................................. 689
13.4.1 Reines Quellenfeld................................ 689
13.4.2 Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld................ 689
13.4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen.................... 690
13.4.3.1 Coulomb-Feld der Punktladung................... 690
13.4.3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse .................. 690
13.4.4
Superposition
von Feldern ........................... 690
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilung...................... 690
13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung.................. 691
13.4.4.3 Zusammenfassung .......................... 691
13.5 Differentialgleichungen der Feldtheorie......................... 691
13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung........................ 691
13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung........................ 691
14 Funktionentheorie 693
14.1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen...................... 693
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit.......................... 693
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion ................. 693
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion................. 693
14.1.1.3 Stetigkeit der komplexen Funktion.................. 693
14.1.1.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion............. 693
14.1.2 Analytische Funktionen............................. 694
14.1.2.1 Definition der analytischen Funktion ................ 694
14.1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen.................. 694
14.1.2.3 Eigenschaften analytischer Funktionen ............... 694
14.1.2.4
Singulare
Punkte........................... 695
14.1.3 Konforme Abbildung.............................. 696
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung........ 696
14.1.3.2 Einfachste konforme Abbildungen.................. 697
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip................... 703
14.1.3.4 Komplexe Potentiale......................... 703
14.1.3.5 Superpositionsprinzip......................... 705
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene.......... 706
14.2 Integration im Komplexen ............................... 707
14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral.................... 707
14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen................ 707
14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale ........ 708
14.2.2 Integralsatz von Cauchy. Hauptsatz der Funktionentheorie.......... 710
14.2.2.1 Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete . 710
Inhaltsverzeichnis XXVII
14.2.2.2 Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete 710
14.2.3 Integralformeln von Cauchy .......................... 711
14.2.3.1 Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes........... 711
14.2.3.2 Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes........... 711
14.3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen................... 711
14.3.1 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern............... 711
14.3.1.1 Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern....... 711
14.3.1.2 Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern . . . 712
14.3.1.3 Potenzreihen im Komplexen..................... 712
14.3.2 Taylor-Reihe .................................. 713
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung...................... 714
14.3.4 Laurent-Entwicklung.............................. 714
14.3.5 Isolierte
singulare
Stellen und der Residuensatz................ 715
14.3.5.1 Isolierte
singulare
Stellen....................... 715
14.3.5.2 Meromorphe Funktionen....................... 715
14.3.5.3 Elliptische Funktionen........................ 715
14.3.5.4 Residuum............................... 716
14.3.5.5 Residuensatz ............................. 716
14.4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen............ 717
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformeln................. 717
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes ........................ 717
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan .................... 717
14.4.3.1 Lemma von Jordan.......................... 717
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan.................. 718
14.5 Algebraische und elementare transzendente Funktionen ............... 720
14.5.1 Algebraische Funktionen............................ 720
14.5.2 Elementare transzendente Funktionen..................... 720
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form................. 723
14.6 Elliptische Funktionen ................................. 724
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen .................. 724
14.6.2 Jacobische Funktionen............................. 726
14.6.3 Thetafunktionen................................. 727
14.6.4 Weierstrasssche Funktionen........................... 728
15 Integraltransformationen 730
15.1 Begriff der Integraltransformation........................... 730
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen.............. 730
15.1.2 Spezielle Integraltransformationen....................... 730
15.1.3 Umkehrtransformationen............................ 730
15.1.4 Linearität der Integraltransformationen.................... 732
15.1.5 Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . 732
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen.................. 732
15.2 Laplace-Transformation................................ 733
15.2.1 Eigenschaften der Laplace-Transformation.................. 733
15.2.1.1 Laplace-Transformierte. Original- und Bildbereich......... 733
15.2.1.2 Rechenregeln zur Laplace-Transformation............. 734
15.2.1.3 Bildftmktionen
spezielîer
Funktionen................ 737
15.2.1.4 Diracsche Delta- Funktion und Distributionen ........... 740
15.2.2 Rücktransformation in den Originalbereich.................. 741
15.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen............. 741
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung ........................ 741
15.2.2.3 Reihenentwicklungen......................... 742
XXVIII
Inhaltsverzeichnis
15.2.2.4 Umkehrmtegral............................ 743
15.2.3 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation . . 744
15.2.3.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 744
15.2.3.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizien¬
ten ................................... 745
15.2.3.3 Partielle Differentialgleichungen................... 746
15.3
Fourier-Transformation
................................. 747
15.3.1 Eigenschaften der
Fourier-
Transformation................... 747
15.3.1.1
Fourier-Integral
............................ 747
15.3.1.2
Fourier-
Transformation und Umkehrtransformation........ 748
15.3.1.3 Rechenregeln zur
Fourier-Transformation
.............. 750
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen................ 753
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der
Fourier-Transformation
. . 754
15.3.2.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen............. 754
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen................... 755
15.4 Z- Transformation.................................... 757
15.4.1 Eigenschaften der Z-Transformation...................... 757
15.4.1.1 Diskrete Funktionen......................... 757
15.4.1.2 Definition der Z-Transformation................... 757
15.4.1.3 Rechenregeln............................. 758
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace-Transformation.......... 759
15.4.1.5 Umkehrung der Z-Transformation.................. 760
15.4.2 Anwendungen der Z-Transformation...................... 761
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen......... 761
15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe)...... 762
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe)........ 763
15.5
Wavelet
Transformation................................ 763
15.5.1 Signale...................................... 763
15.5.2
Wavelets
..................................... 764
15.5.3
Wavelet
-Transformation............................ 765
15.5.4 Diskrete
Wavelet
-Transformation....................... 766
15.5.4.1 Schnelle
Wavelet-Transformation
.................. 766
15.5.4.2 Diskrete Haar-Wavelet-Transformation............... 766
15.5.5 Gabor-Transformation............................. 766
15.6
Walsh
Funktionen................................ 767
15.6.1 Treppenfunktionen............................... 767
15.6.2 Walsh-Systeme................................. 767
16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 768
16.1 Kombinatorik........................... 7gg
16.1.1 Permutationen............................. 768
16.1.2 Kombinationen............................ 768
16.1.3 Variationen.............................. 7gg
16.1.4 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik.............. 770
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung......................... 77g
16.2.1 Ereignisse. Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten.............. 770
16.2.1.1 Ereignisse............................... 770
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten............... 771
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Satz von
Bayes
........... 773
16.2.2 Zufallsgrößen. Verteilungsfunktion..........*............ 774
16.2.2.1 Zufallsveränderliche......................... 774
16.2.2.2 Verteilungsfunktion.......................... 774
Inhaltsverzeichnis XXIX
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung . . 776
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsveränderliche............... 777
16.2.3 Diskrete Verteilungen.............................. 777
16.2.3.1 Binomialvertejlung.......................... 778
16.2.3.2
Hypergeometrische
Verteilung.................... 779
16.2.3.3 Poisson-Verteilung.......................... 780
16.2.4 Stetige Verteilungen............................... 780
16.2.4.1 Normalverteilung........................... 780
16.2.4.2 Normierte Normalverteilung. Gaußsches Fehlerintegral....... 782
16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung.................. 782
16.2.4.4 Exponentialverteilung ........................ 783
16.2.4.5 Weibull-Verteüung.......................... 784
16.2.4.6 ^-Verteilung............................. 785
16.2.4.7 Fisher-Verteihmg........................... 785
16.2.4.8 Student-Verteilung.......................... 786
16.2.5 Gesetze der großen Zahlen. Grenzwertsätze.................. 787
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von
Bernoulli
............... 787
16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg
-Levy
................. 788
16.2.6
Stochastische
Prozesse und
stochastische
Ketten............... 788
16.2.6.1 Grundbegriffe. Markofische Ketten ................. 788
16.2.6.2 Poisson-Prozesse........................... 791
16.3 Mathematische Statistik ................................ 793
16.3.1 Stichprobenftmktionen............................. 793
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor............ 793
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen................:....... 794
16.3.2 Beschreibende Statistik............................. 795
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte............. 795
16.3.2.2 Statistische Parameter........................ 796
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren............................. 797
16.3.3.1 Präfen auf
Normaherteilung
..................... 797
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte ............... 799
16.3.3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert................ 800
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung................. 801
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren ...................... 802
16.3.4 Korrelation und Regression........................... 802
16.3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen......... 802
16.3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen......... 803
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression.................... 804
16.3.5 Monte-Carlo-Methode............................. 806
16.3.5.1 Simulation............................... 806
16.3.5.2 Zufallszahlen............................. 806
16.3.5.3 Beispiel für eine
Monte-Carlo-Simulation
.............. 808
16.3.5.4 Anwendungen der
Monte-Carlo-Méthode
in der numerischen
Mathematik.............................. 808
16.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode......... 810
16.4 Theorie der Meßfehler.................................. 811
16.4.1 Meßfehler und ihre Verteilung......................... 811
16.4.1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen......... 811
16.4.1.2 Meßfehlerverteilungsdichte...................... 811
16.4.1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen......... 813
16.4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen........... 816
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit .... 816
XXX Inhaltsverzeichnis
16.4.1.6 Fehlerrechmmg für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit . . . 817
16.4.2 Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse..................... 818
16.4.2.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz................ 818
16.4.2.2 Fehleranalyse............................. 819
17 Dynamische Systeme und Chaos 821
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen................ 821
17.1.1 Dynamische Systeme.............................. 821
17.1.1.1 Grundbegriffe............................. 821
17.1.1.2 Invariante Mengen.......................... 823
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen........... 824
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur........... 824
17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen ................... 825
17.1.2.3 Stabilitätstheorie........................... 827
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten.................... 830
17.1.2.5
Poincaré-Abbildung
......................... 834
17.1.2.6
Topologische
Äquivalenz von Differentialgleichungen........ 834
17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme........................ 836
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen.......... 836
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten.................... 836
17.1.3.3
Topologische
Konjugiertheit von zeitdiskreten Systemen...... 837
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit)...................... 837
17.1.4.1 Strukturstabile Differentialgleichungen............... 837
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme................. 838
17.1.4.3
Generische
Eigenschaften....................... 839
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren...................... 840
17.2.1 Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren................... 840
17.2.1.1 Invariantes Maß............................ 840
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie..................... 841
17.2.2 Entropien.................................... 843
17.2.2.1
Topologische
Entropie........................ 843
17.2.2.2 Metrische Entropie.......................... 843
17.2.3 Lyapunov-Exponenten............................. 844
17.2.4 Dimensionen................................... 845
17.2.4.1 Metrische Dimensionen........................ 845
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen......... 848
17.2.4.3 Lokale Hausdorff-Dimension nach
Douady-Oesterlé
........ 850
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren ...................... 850
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos........................ 852
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen.................... 852
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen.................. 853
17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften . . . 853
17.2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften.......... 854
17.3 Biftirkat
ionstheorie
und Wege zum Chaos....................... 856
17.3.1 Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen................... 856
17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen................ 856
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit........ 861
17.3.1.3 Globale Bifurkationen ........................ 864
17.3.2 Übergänge zum Chaos ............................. 865
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen................ 865
17.3.2.2 Iutermittenz.............................. 865
17.3.2.3 Globale homokline Bifurkationen .................. 866
Inhaltsverzeichnis XXXI
17.3.2.4 Auflösung eines
Torus
........................ 868
18 Optimierung 873
18.1 Lineare Optimierung.................................. 873
18.1.1 Problemstellung und geometrische Darstellung................ 873
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung.................. 873
18.1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen.................. 874
18.1.2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform ............ 875
18.1.2.1 Ecke und Basis............................ 875
18.1.2.2
Normalform
der linearen Optimierungsaufgabe........... 877
18.1.3 Simplexverfahren................................ 878
18.1.3.1
Simplextableau
............................ 878
18.1.3.2 Übergang zum neuen Sünplextableau................ 878
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten
Simplextableaus
.............. 880
18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren .................... 881
18.1.3.5 Dualität in der linearen Optimierung................ 882
18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme.................... 884
18.1.4.1 Transportproblem........................... 884
18.1.4.2 Zuordnungsproblem ......................... 886
18.1.4.3 Verteihmgsproblem.......................... 887
18.1.4.4 Rundreiseproblem........................... 887
18.1.4.5 Reihenfolgeproblem.......................... 887
18.2 Nichtlineare Optimierung................................ 888
18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen................. 888
18.2.1.1 Problemstellung............................ 888
18.2.1.2 Optimalitätsbedingungen ...................... 888
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung..................... 889
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben................. 890
18.2.2.1 Konvexe Optimierung ........................ 890
18.2.2.2 Quadratische Optimierung...................... 890
18.2.3 Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben.......... 891
18.2.3.1 Verfahren von Wolfe ......................... 891
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth-d Esopo................... 893
18.2.4 Numerische Suchverfahren........................... 893
18.2.4.1 Eindimensionale Suche........................ 894
18.2.4.2 Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum . . . 894
18.2.5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben.................... 895
18.2.5.1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)...... 895
18.2.5.2 Anwendung des Newton-Verfahrens................. 895
18.2.5.3 Verfahren der konjugierten Gradienten............... 896
18.2.5.4 Verfahren von
Dávidon,
Fletcher
und Powell (DFP) ........ 896
18.2.6 Evolutionsstrategien.............................. 897
18.2.6.1
Mutations-
Selektions-Strategie................... 897
18.2.6.2 Strategien mit Rekombination.................... 897
18.2.7 Gradientenverfahren für Probleme mit. Ungleichungsrestriktionen...... 898
18.2.7.1 Verfahren der zulässigen Richtungen................. 898
18.2.7.2 Verfahren der projizierten Gradienten................ 900
18.2.8 Straf-und Barriereverfahren.......................... 902
18.2.8.1 Strafverfahren............................. 902
18.2.8.2 Barriereverfahren........................... 903
18.2.9 Schnittebenenverfahren............................. 904
18.3 Diskrete dynamische Optimierung........................... 905
XXXII
Inhaltsverzeichnis
18.3.1 Diskrete dynamische Entscheidimgsmodelle.................. 905
18.3.1.1
η
-stufige Elitscheidungsprozesse................... 905
18.3.1.2 Dynamische Optimierungsprobleme................. 905
18.3.2 Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle................... 905
18.3.2.1 Einkaufsproblem........................... 905
18.3.2.2 Rucksackproblem........................... 906
18.3.3 BellmanschePunktionalgleichungen...................... 906
18.3.3.1 Eigenschaften der Kostenfunktion.................. 906
18.3.3.2 Formulierung der Funktionalgleichungen .............. 907
18.3.4 Bellmansches Optimaiitätsprmzip....................... 907
18.3.5 Bellmansche Funktionalgleichungsrnethode.................. 908
18.3.5.1 Bestimmung der minimalen Kosten................. 908
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen Politik.................. 908
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode......... 909
18.3.6.1 Optimale Einkaufspolitik....................... 909
18.3.6.2 Rucksackproblem........................... 909
19 Numerische Mathematik 911
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten........ 911
19.1.1 Iterationsverfahren............................... 911
19.1.1.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren.................. 911
19.1.1.2 Newton Verfahren.......................... 912
19.1.1.3 Regula
falsi
.............................. 913
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen........................ 914
19.1.2.1 Homer Schema............................ 914
19.1.2.2 Lage der Nullstellen.......................... 915
19.1.2.3 Numerische Verfahren ........................ 916
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen ..................... 917
19.2.1 Lineare Gleichungssysteme........................... 917
19.2.1.1 Dreieckszerlegimg einer Matrix.................... 918
19.2.1.2 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix .... 920
19.2.1.3 Orthogonalisierungsverfahren.................... 920
19.2.1.4 Iteration in Gesamt- und Einzelschritten .............. 922
19.2.2 Nicht lineare Gleichungssysteme ........................ 923
19.2.2.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren.................. 923
19.2.2.2 Newton-Verfahren.......................... 924
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren ............. 924
19.3 Numerische Integration................................. 925
19.3.1 Allgemeine Quadraturformel.......................... 925
19.3.2 Interpolationsquadraturen........................... 926
19.3.2.1 Rechteckformel............................ 926
19.3.2.2 Trapezformel............................. 926
19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel...................... 927
19.3.2.4 Simpson-Formel ........................... 927
19.3.3 Quadraturformeln vom Gauß-Typ....................... 927
19.3.3.1 Gaußsche Quadraturformeln..................... 927
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeln ................... 928
19.3.4 Verfahren von Romberg............................. 928
19.3.4.1 Algorithmus des Romberg-Verfahrens................ 928
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip ........................ 929
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen........... 931
19.4.1 Anfangswertaufgaben.............................. 931
Inhaltsverzeichnis
XXXIII
19.4.1.1 Eulersches Polygonzugverfahren................... 931
19.4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren....................... 931
19.4.1.3 Mehrschrittverfahren......................... 932
19.4.1.4 Prediktor- Korrektor Verfahren................... 933
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität ................. 934
19.4.2 Randwertaufgaben............................... 935
19.4.2.1 Differenzenverfahren......................... 935
19.4.2.2 Ansatzverfahren............................ 936
19.4.2.3 Schießverfahren............................ 937
19.5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen............. 938
19.5.1 Differenzenverfahren .............................. 938
19.5.2 Ansatzverfahren................................. 939
19.5.3 Methode der
imiten
Elemente
(FEM)
..................... 940
19.6 Approximation. Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse ............. 945
19.6.1 Polynominterpolation.............................. 945
19.6.1.1 Newtonsche Interpolationsformel .................. 945
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange................. 945
19.6.1.3 Interpolation nach Aitkeii
Neville
.................. 946
19.6.2 Approximation im Mittel............................ 947
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichvmgen................. 947
19.6.2.2 Diskrete Aufgabe. Nonnalgleichungen,
Householder
Verfahren . . 948
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben..................... 949
19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben................. 950
19.6.3
Tschebyscheff-Approxiniation
......................... 951
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz ............... 951
19.6.3.2 Eigenschaften der Tscnebyscheff-Polynome............. 951
19.6.3.3 Remes-Algorithmus ......................... 953
19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung..... 953
19.6.4 Harmonische Analyse.............................. 954
19.6.4.1 Formeln zur trigonometrischen Interpolation............ 954
19.6.4.2 Schnelle
Fourier-Transformation (FFT)
............... 955
19.7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von
Splines
.............. 959
19.7.1 Kubische
Splines
................................ 959
19.7.1.1 Interpolationssplmes......................... 959
19.7.1.2 Ausgleichssplines........................... 960
19.7.2 Bikubische
Splines
................................ 961
19.7.2.1 Anwendung bikubischer
Splines
................... 961
19.7.2.2 Bikubische Interpolationssplmes................... 961
19.7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines..................... 962
19.7.3
Bernstein-Bézíer-Darstelmng
von Kurven und Flächen............ 962
19.7.3.1 Prinzip der
В
B-Kurvendarstellung................. 963
19.7.3.2 B-B-Flächendarstellung....................... 964
19.8 Nutzung von Computern................................ 965
19.8.1 Interne Zeichendarstellung........................... 965
19.8.1.1 Zahlensysteme ............................ 965
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung ...................... 966
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern............. 968
19.8.2.1 Einführung. Fehlerarten....................... 968
19.8.2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung............. 968
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen........... 970
19.8.3 Bibliotheken numerischer Verfahren...................... 973
19.8.3.1 NAG-Bibliothek........................... 974
XXXIV
Inhaltsverzeichnis
19.8.3.2 IMSL-Bibliothek...........................
974
19.8.3.3 Aachener Bibliothek......................... 975
19.8.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen.................. 975
19.8.4.1
Mathematica
............................. 975
19.8.4.2
Maple.................................
979
20 Computeralgebrasysteme 982
20.1 Einführung........................................ 982
20.1.1 Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen.............. 982
20.1.2 Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete............ 983
20.1.2.1 Formelmanipulation ......................... 983
20.1.2.2 Numerische Berechnungen...................... 983
20.1.2.3 Graphische Darstellungen...................... 984
20.1.2.4 Programmierung in Computeralgebrasystemen........... 984
20.1.3 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen........... 984
20.1.3.1 Hauptstrukturelemente........................ 984
20.2
Mathematica
...................................... 986
20.2.1 Haupstrukturelemente ............................. 986
20.2.2 Zahlenarten in
Mathematica
.......................... 987
20.2.2.1
Grundtypen
von Zahlen in
Mathematica
.............. 987
20.2.2.2 Spezielle Zahlen............................ 987
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen............. 988
20.2.3 Wichtige Operatoren.............................. 988
20.2.4 Listen...................................... 989
20.2.4.1 Begriff und Bedeutung........................ 989
20.2.4.2 Verschachtelte Listen......................... 990
20.2.4.3 Operationen mit Listen........................ 990
20.2.4.4 Spezielle Listen............................ 990
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen ....................... 991
20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen..................... 991
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren .............. 991
20.2.6 Funktionen ................................... 993
20.2.6.1 Standardfunktionen.......................... 993
20.2.6.2 Spezielle Funktionen......................... 993
20.2.6.3 Reine Funktionen........................... 993
20.2.7 Muster...................................... 993
20.2.8 Funktionaloperationen............................. 994
20.2.9 Programmierung ................................ 995
20.2.10Ergänzungenzur Syntax, Informationen, Meldungen............. 996
20.2.10.1 Kontexte, Attribute.......................... 996
20.2.10.2 Informationen............................. 997
20.2.10.3 Meldungen .............................. 997
20.3
Maple
.......................................... 998
20.3.1 Hauptstrukturelemente............................. 998
20.3.1.1 Typen und Objekte..................... .. . .. 998
20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben....................... 999
20.3.2 Zahlenarten in
Maple
.............................. 1000
20.3.2.1
Grundtypen
von Zahlen in
Maple
.................. 1000
20.3.2.2 Spezielle Zahlen............................ 1000
20.3.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen............. 1000
20.3.3 Wichtige Operatoren in
Maple
......................... 1001
20.3.4 Algebraische Ausdrücke............................. 1001
Inhaltsverzeichnis XXXV
20.3.5 Folgen und
Listen
................................ 1002
20.3.6 Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen......... 1003
20.3.6.1 Tabellen-und feldartige Strukturen................. 1003
20.3.G.2 Eindimensionale
Arrays
....................... 1004
20.3.6.3 Zweidimensionaie
Arrays
....................... 1004
20.3.6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen.......... 1005
20.3.7 Prozeduren, Punktionen und Operatoren ................... 1005
20.3.7.1 Prozeduren.............................. 1005
20.3.7.2 Funktionen.............................. 1006
20.3.7.3 Funktioualoperatoren......................... 1007
20.3.7.4 Differentialoperatoren ........................ 1007
20.3.7.5 Der Funktionaloperator map..................... 1007
20.3.8 Programmierung in
Maple
........................... 1008
20.3.9 Ergänzungen zur Syntax. Informationen und Hilfe .............. 1008
20.3.9.1 Nutzung der Maple-Bibliothek.................... 1008
20.3.9.2 Umgebungsvariable.......................... 1009
20.3.9.3 Informationen und Hilfe....................... 1009
20.4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen..................... 1010
20.4.1 Manipulation algebraischer Ausdrücke..................... 1010
20.4.1.1
Mathematica
............................. 1010
20.4.1.2
Maple.................................
1012
20.4.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen............... 1015
20.4.2.1
Mathematica
......... ................... 1015
20.4.2.2
Maple.................................
1017
20.4.3 Elemente der linearen Algebra......................... 1019
20.4.3.1
Mathematica
............................. 1019
20.4.3.2
Maple.................................
1021
20.4.4 Differential- und Integralrechnung....................... 1023
20.4.4.1
Mathematica
............................. 1023
20.4.4.2
Maple.................................
1027
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen......................... 1030
20.5.1 Graphik mit
Mathematica
........................... 1030
20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus................... 1030
20.5.1.2 Graphik-Primitive.......................... 1030
20.5.1.3 Graphikoptionen........................... 1031
20.5.1.4 Syntax der Graphikdarstellung.................... 1031
20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven ...................... 1033
20.5.1.6 Parameterdarstellung von Kurven.................. 1034
20.5.1.7 Darstellung von Flächen und Raumkurven............. 1035
20.5.2 Graphik mit
Maple
............................... 1037
20.5.2.1 Zweidimensionale Graphik...................... 1037
20.5.2.2 Dreidimensionale Graphik...................... 1039
21 Tabellen 1041
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten............................. 1041
21.2 Fundamentale physikalische Konstanten........................ 1041
21.3 Dezimalvorsätze..................................... 1043
21.4 Physikalische Einheiten im
SI
-System......................... 1043
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen............................. 1045
21.6
Fourier-
Entwicklungen................................. 1050
21.7 Unbestimmte Integrale................................. 1053
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen......................... 10-53
XXXVI
Inhaltsverzeichnis
21.7.1.1
Integrale
mit
X
= ax + b.......................
ЮбЗ
21.7.1.2 Integrale mit
Χ
-
αχ2
+ bx +
с
...................1055
21.7.1.3 Integrale mit
Χ
=
α2 ± χ2
......................
Ю56
21.7.1.4 Integrale mit
Χ
=
α3 ± χ3
......................
Ю58
21.7.1.5 Integrale mit
Χ
=
α4
+
χ4
......................
Ю59
21.7.1.6 Integrale mit
Χ
=
α4
-
Xі
...................... 1059
21.7.1.7 Einige Fälle der
Partialbruchzerlegung
............... 1059
21.7.2
Integrale
irrationaler Funktionen........................1060
21.7.2.1 Integrale mit y/x und
a2 ±
62x....................1060
21.7.2.2 Andere Integrale mit y/x.......................
Ю60
21.7.2.3 Integrale mit s/ax +
b
. . . ...................1060
21.7.2.4 Integrale mit /ax +
b
und y/fx +
g
................. 1062
21.7.2.5 Integrale mit /a2 - x2........................ 1063
21.7.2.6 Integrale mit
s/x2
+
a2
........................ 1064
21.7.2.7 Integrale mit
ч/Р^а2
........................1066
21.7.2.8 Integrale mit
Vax2
+ bx
-t- c
..................... 1068
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken........... 1070
21.7.2.10 Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential . . ■ 1070
21.7.3 Integrale trigonometrischer Funktionen.................... 1070
21.7.3.1 Integrale mit Sinusfunktion...................... 1070
21.7.3.2 Integrale mit Kosinusfunktion.................... 1073
21.7.3.3 Integrale mit Sinus-und Kosinusfunktion..............1075
21.7..3.4 Integrale mit Tangensfunktion....................1079
21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion...................1079
21.7.4 Integrale anderer transzendenter Funktionen................. 1080
21.7.4.1 Integrale mit Hyperbelfunktionen.................. 1080
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen................. 1081
21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Funktionen..............1082
21.7.4.4 Integrale mit
inversen
trigonometrischen Funktionen........1084
21.7.4.5 Integrale mit
inversen
Hyperbelfunktion...............1085
21.8 Bestimmte Integrale........... ........................ 1086
21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen..............1086
21.8.2 Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen ............... 1087
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen............... 1088
21.8.4 Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen.................1089
21.9 Elliptische Integrale...................................1091
21.9.0.1 Elliptische Integrale 1. Gattung...................1091
21.9.0.2 Elliptische Integrale 2. Gattung...................1091
21.9.0.3 Vollständige elliptische Integrale
К
und
E
..............1092
21.10 Gammafunktion..................................... 1093
21.11 Bessel· Funktionen (Zylinderfunktionen)........................1094
21.12 Legendresche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen)...................1096
21.13 Laplace-Transformationen...............................1097
21.14
Fourier
Transformationen ...............................1103
21.14.1
Fourier
Kosinus-Transformationen ......................1103
21.14.2 Fourier-Sinus-Transformationen........................1109
21.14.3
Fourier
-Transformationen...........................1114
гі.иЛЕхропепиеііеРоигіег-ТгапзйігтаЇіопеіг
...................1116
21.15 Z-Transformationen ..................................1117
21.16
Poisson-
Verteilimg...................................1120
21.17 Normierte Normalverteilung..............................1122
Inhaltsverzeichnis
XXXVII
21.17.1 Normierte Normalverteilung für 0.00 <x < 1.99............... 1122
21.18
χ2
-Verteilung...................................... 1124
21.19 Fishersche F-Verteilung ................................ 1125
21.20 Studentsche
ŕ-
Verteilung................................ 1127
21.21 Zufallszahlen....................................... 1128
22 Literatur 1129
Stichwortverzeichnis 1145
Mathematische Zeichen 1194
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
V
Inhaltsverzeichnis
Tabellenverzeichnis XXXIX
1 Arithmetik 1
1.1 Elementare Rechenregeln. 1
1.1.1 Zahlen. 1
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen. 1
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen. 1
1.1.1.3 Reelle Zahlen. 2
1.1.1.4 Kettenbrüche. 3
1.1.1.5 Kommensurabilität. 4
1.1.2 Beweismethoden. 5
1.1.2.1 Direkter Beweis. 5
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch. 5
1.1.2.3 Vollständige Induktion. 5
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis. 6
1.1.3 Summen und Produkte. 6
1.1.3.1 Summen. 6
1.1.3.2 Produkte . 7
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 8
1.1.4.1 Potenzen .
S
1.1.4.2 Wurzeln. 8
1.1.4.3 Logarithmen . 9
1.1.4.4 Spezielle Logarithmen . 9
1.1.5 Algebraische Ausdrücke. 10
1.1.5.1 Definitionen. 10
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke. 11
1.1.6 Ganzrationale Ausdrücke. 11
1.1.6.1 Darstellung in Form eines Polynoms. 11
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren. 11
1.1.6.3 Spezielle Formeln. 12
1.1.6.4 Binomischer Satz. 12
1.1.6.5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome . . 14
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke . 14
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form. 14
1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils. 15
1.1.7.3 Partialbruchzerlegung . 15
1.1.7.4 Umformung von Proportionen. 17
1.1.8 Irrationale Ausdrücke. 17
1.2 Endliche Reihen. 18
1.2.1 Definition der endlichen Reihe. 18
1.2.2 Arithmetische Reihen. 18
1.2.3 Geometrische Reihe. 19
1.2.4 Spezielle endliche Reihen. 19
1.2.5 Mittelwerte. 19
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel. 19
1.2.5.2 Geometrisches Mittel. 20
1.2.5.3 Harmonisches Mittel. 20
1.2.5.4 Quadratisches Mittel. 20
VI
Inhaltsverzeichnis
1.2.5.5 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen
a
und
b
. 20
1.3 Finanzmathematik . 21
1.3.1 Prozentrechnung . 21
1.3.2 Zinseszinsrechnung. 22
1.3.3 Tilgungsrechnung. 23
1.3.3.1 Tilgung. 23
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten . 23
1.3.3.3 Gleiche Annuitäten. 24
1.3.4 Rentenrechnung. 24
1.3.4.1 Rente. 24
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente. 25
1.3.4.3 Kontostand nach
n
Rentenzahlungen. 25
1.3.5 Abschreibungen. 26
1.4 Ungleichungen. 28
1.4.1 Reine Ungleichungen. 28
1.4.1.1 Definitionen. 28
1.4.1.2 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ
I
und
II
. 29
1.4.2 Spezielle Ungleichungen. 30
1.4.2.1 Dreiecksungleichung . 30
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen . 30
1.4.2.3 Ungleichung für das arithmetische und das geometrische Mittel . . 30
1.4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel . . 30
1.4.2.5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen . 30
1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung. 31
1.4.2.7 Binomische Ungleichung. 31
1.4.2.8 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. 31
1.4.2.9 Tschebyscheffsche Ungleichung. 31
1.4.2.10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung. 32
1.4.2.11 Höldersche Ungleichung . 32
1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung. 33
1.4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades. 33
1.4.3.1 Allgemeines. 33
1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades. 33
1.4.3.3 Ungleichungen 2. Grades. 33
1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades. 34
1.5 Komplexe Zahlen. 34
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen. 34
1.5.1.1 Imaginäre Einheit. 34
1.5.1.2 Komplexe Zahlen. 34
1.5.2 Geometrische Darstellung. 35
1.5.2.1 Vektordarstellung. 35
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen. 35
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen . 35
1.5.2.4 Exponentialform einer komplexen Zahl. 36
1.5.2.5 Konjugiert komplexe Zahlen. 36
1.5.3 Rechnen mit komplexen Zahlen. 36
1.5.3.1 Addition und Subtraktion. 36
1.5.3.2 Multiplikation. 37
1.5.3.3 Division. 37
1.5.3.4 Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten. 38
1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl. 38
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der
η
-ten
Wurzel aus einer komplexen Zahl 38
Inhaltsverzeichnis
VII
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen. 38
1.6.1 Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform . 38
1.6.1.1 Definitionen. 38
1.6.1.2 Systeme aus
η
algebraischen Gleichungen. 39
1.6.1.3 Scheinbare Wurzeln. 39
1.6.2 Gleichungen 1. bis 4. Grades. 39
1.6.2.1 Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen). 39
1.6.2.2 Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen). 40
1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen). 40
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades. 42
1.6.2.5 Gleichungen 5. und höheren Grades. 43
1.6.3 Gleichungen
η
-ten
Grades. 43
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen. 43
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten. 44
1.6.4 Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen . 45
1.6.4.1 Definition. 45
1.6.4.2 Exponentialgleichungen . 46
1.6.4.3 Logarithmische Gleichungen. 46
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen. 46
1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen. 47
Funktionen und ihre Darstellung 48
2.1 Funktionsbegriff. 48
2.1.1 Definition der Funktion. 48
2.1.1.1 Funktion. 48
2.1.1.2 Reelle Funktion. 48
2.1.1.3 Funktion von mehreren Veränderlichen. 48
2.1.1.4 Komplexe Funktion. 48
2.1.1.5 Weitere Funktionen. 48
2.1.1.6 Funktionale. 48
2.1.1.7 Funktion und Abbildung. 49
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Funktion. 49
2.1.2.1 Angabe einer Funktion. 49
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Funktionen. 49
2.1.3 Einige Funktionstypen. 50
2.1.3.1 Monotone Funktionen . 50
2.1.3.2 Beschränkte Funktionen. 51
2.1.3.3 Extremwerte von Funktionen. 51
2.1.3.4 Gerade Funktionen. 51
2.1.3.5 Ungerade Funktionen. 51
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen. 52
2.1.3.7 Periodische Funktionen. 52
2.1.3.8
Inverse
oder Umkehrfunktionen. 52
2.1.4 Grenzwert von Funktionen. 53
2.1.4.1 Definition des Grenzwertes einer Funktion . 53
2.1.4.2 Zurückfährung auf den Grenzwert, einer Folge. 53
2.1.4.3 Kom-ergenzkriterium von Cauchy. 53
2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion . 54
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion. 54
2.1.4.6 Grenzwert einer Funktion für
χ
gegen unendlich . 54
2.1.4.7 Sätze über Grenzwerte von Funktionen. 55
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten . 55
VIII Inhaltsverzeichnis
2.1.4.9 Größenordnung von Funktionen und Landau-Symbole. 57
2.1.5 Stetigkeit einer Funktion. 58
2.1.5.1 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle . 58
2.1.5.2 Definition der Stetigkeit . 59
2.1.5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten. 59
2.1.5.4 Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen . 60
2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen. 61
2.2 Elementare Funktionen. 62
2.2.1 Algebraische Funktionen. 62
2.2.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . 62
2.2.1.2 Gebrochenrationale Funktionen. 62
2.2.1.3 Irrationale Funktionen. 63
2.2.2 Transzendente Funktionen. 63
2.2.2.1 Exponentialfunktionen. 63
2.2.2.2 Logarithmische Funktionen. 63
2.2.2.3 Trigonometrische Funktionen . 63
2.2.2.4
Inverse
trigonometrische Funktionen. 63
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen. 63
2.2.2.6
Inverse
Hyperbelfunktionen. 63
2.2.3 Zusammengesetzte Funktionen. 63
2.3 Polynome . 64
2.3.1 Linearo Funktion. 64
2.3.2 Quadratisches Polynom. 64
2.3.3 Polynom 3. Grades. 64
2.3.4 Polynom
η
-ten
Grades. 65
2.3.5 Parabel
η
ter
Ordnung. 66
2.4 Gebrochenrationale Funktionen . 66
2.4.1 Spezielle gebrochen lineare Funktion. 66
2.4.2 Gebrochenlineare Funktion. 66
2.4.3 Kurve 3. Ordnung. Typ
I
. 67
2.4.4 Kurve 3. Ordnung. Typ
II
. 67
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ
III
. 69
2.4.6 Reziproke Potenz. 70
2.5 Irrationale Funktionen . 71
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom. 71
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom. 71
2.5.3 Potenzfunktion. 71
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen. 72
2.G.1 Exponentialfunktion . 72
2.6.2 Logarithmische Funktionen. 73
2.6.3 Gaußsche Glockenkurve. 73
2.6.4 Exponentialsumme. 73
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve. 74
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion. 75
2.7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen). 76
2.7.1 Grundlagen. 76
2.7.1.1 Definition und Darstellung. 76
2.7.1.2 Wertebereiche und Funktionsverläufe. 78
2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen. 80
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen. 80
2.7.2.2 Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme). 80
2.7.2
Inhaltsverzeichnis
IX
2.7.2.3 Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache. 81
2.7.2.4 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels. 82
2.7.2.5 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen . . 82
2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktionen. 82
2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen. 83
2.7.3 Beschreibung von Schwingungen. 83
2.7.3.1 Problemstellung . 83
2.7.3.2
Superposition
oder Überlagerung von Schwingungen. 83
2.7.3.3 Vektordiagramm für Schwingungen. 84
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen. 84
2.8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) . 85
2.8.1 Definition der zyklometrischen Funktionen . 85
2.8.2 Zurückführung auf die Hauptwerte. 85
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten. 86
2.8.4 Formeln für negative Argumente. 87
2.8.5 Summe und Differenz von arcsin
χ
und
arcsin y
. 87
2.8.6 Summe und Differenz von
arceos
χ
und
arceos y
. 87
2.8.7 Summe und Differenz von
arctan
χ
und
arctan
y
. 87
2.8.8 Spezielle Beziehungen für arcsin x.
arceos
χ.
arctan x
. 88
2.9 Hyperbelfunktionen. 88
2.9.1 Definition der Hyperbelfunktionen. 88
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen . 89
2.9.2.1 Hyperbelsinus. 89
2.9.2.2 Hyperbelkosinus . 89
2.9.2.3 Hyperbeltangens. 90
2.9.2.4 Hyperbelkotangens. 90
2.9.3 Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen. 90
2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer Variablen. 90
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Ar¬
gumentes . 90
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente. 90
2.9.3.4 Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme). 91
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments. 91
2.9.3.6 Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen. 91
2.9.3.7 Hyperbelfunktionen des halben Arguments. 91
2.9.3.8 Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen. 91
2.9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Funktionen mit Hilfe komplexer Argumente. 92
2.10
Areafunktionen
. 92
2.10.1 Definitionen. 92
2.10.1.1 Areasinus. 92
2.10.1.2 Areakosinus. 92
2.10.1.3 Areatangens. 93
2.10.1.4 Areakotangens . 93
2.10.2 Darstellung der Areafunkiionen durch den natürlichen Logarithmus. 93
2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen
Areafunktionen
. 94
2.10.4 Summen und Differenzen von
Areafunktionen
. 94
2.10.5 Formeln für negative Argumente. 94
2.11 Kurven dritter Ordnung. 95
2.11.1 Semikubische Parabel. 95
2.11.2
Versiera
der Agnesi. 95
X
Inhaltsverzeichnis
2.11.3 Kartesisches Blatt. 96
2.11.4 Zissoide . 96
2.11.5 Strophoide. 96
2.12 Kurven vierter Ordnung. 97
2.12.1 Konchoide des Nikomedes. 97
2.12.2 Allgemeine Konchoide . 98
2.12.3 Pascalsche Schnecke. 98
2.12.4 Kardioide. 99
2.12.5 Cassinische Kurven. 100
2.12.6 Lemniskate . 101
2.13 Zykloiden . 101
2.13.1 Gewöhnliche Zykloide. 101
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden . 102
2.13.3 Epizykloide. 103
2.13.4 Hypozykloide und Astroide . 104
2.13.5 Verlängerte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide. 105
2.14 Spiralen.". 105
2.14.1 Archimedische Spirale. 105
2.14.2 Hyperbolische Spirale. 106
2.14.3 Logarithmische Spirale. 106
2.14.4 Evolvente des Kreises. 107
2.14.5 Klothoide. 107
2.15 Verschiedene andere Kurven. 108
2.15.1 Kettenlinie oder Katenoide. 108
2.15.2 Schleppkurve oder Traktrix. 108
2.16 Aufstellung empirischer Kurven . 109
2.16.1 Verfahrensweise. 109
2.16.1.1 Kurvenbildervergleiche. 109
2.16.1.2 Rektifizierung. 109
2.16.1.3 Parameterbestimmung. 109
2.16.2 Gebräuchlichste empirische Formeln. 110
2.16.2.1 Potenzfunktionen. 110
2.16.2.2 Exponentialfunktionen. 110
2.16.2.3 Quadratisches Polynom. 111
2.16.2.4 Gebrochenlineare Funktion. 112
2.16.2.5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom. 112
2.16.2.6 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve. 113
2.16.2.7 Kurve 3. Ordnung, Typ
II
. 113
2.16.2.8 Kurve 3. Ordnung, Typ
III
. 113
2.16.2.9 Kurve 3. Ordnung, Typ
I
. 113
2.16.2.10 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion. 114
2.16.2.11 Exponentialsumme. 114
2.16.2.12 Vollständig durchgerechnetes Beispiel. 115
2.17 Skalen und Funktionspapiere. 116
2.17.1 Skalen. 116
2.17.2 Ftmktionspapiere. 118
2.17.2.1 Einfach logarithmisches Funktionspapier. 118
2.17.2.2 Doppelt-logarithmisches Funktionspapier. 118
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala. 118
2.17.2.4 Hinweis. 119
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 120
2.18.1 Definition und Darstellung. 120
Inhaltsverzeichnis
XI
2.18.1.1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher. 120
2.18.1.2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 120
2.18.2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche . 121
2.18.2.1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion . . 121
2.18.2.2 Zweidimensionale Gebiete. 121
2.18.2.3 Drei-und mehrdimensionale Gebiete . 121
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Funktion. 121
2.18.2.5 Formen der analytischen Darstellung einer Funktion. 123
2.18.2.6 Abhängigkeit von Funktionen. 124
2.18.3 Grenzwerte . 125
2.18.3.1 Definition. 125
2.18.3.2 Exakte Formulierung. 125
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche. 125
2.18.3.4 Iterierte Grenzwerte . 125
2.18.4 Stetigkeit . 126
2.18.5 Eigenschaften stetiger Funktionen. 126
2.18.5.1 Nullstellensatz von
Bolzano
. 126
2.18.5.2 Zwischenwertsatz. 126
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Funktion . 126
2.18.5.4 Satz von
Weierstrass
über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes. 126
2.19 Nomographie . 127
2.19.1 Nomogramme. 127
2.19.2 Netztafeln. 127
2.19.3 Fluchtlinientafeln. 128
2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt . . . 128
2.19.3.2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten ge¬
radlinigen Skala. 129
2.19.3.3 Fluchtlinientafeln mit zwei paraHelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala. 129
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche. 130
Geometrie 131
3.1 Planimetrie . 131
3.1.1 Grundbegriffe. 131
3.1.1.1 Punkt. Gerade, Strahl. Strecke. 131
3.1.1.2 Winkel. 131
3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidenden Geraden. 132
3.1.1.4 Winkelpaare an geschnittenen Parallelen. 132
3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß. 133
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis-und Hyperbel-Funktionen. 133
3.1.2.1 Definition der Kreis-oder trigonometrischen Funktionen. 133
3.1.2.2 Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen. 134
3.1.3 Ebene Dreiecke. 135
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken. 135
3.1.3.2 Symmetrie. 136
3.1.4 Ebene Vierecke. 138
3.1.4.1 Parallelogramm. 138
3.1.4.2 Rechteck und Quadrat. 138
3.1.4.3 Rhombus oder Raute. 138
3.1.4.4 Trapez. 138
3.1.4.5 Allgemeines Viereck . 139
XII Inhaltsverzeichnis
3.1.4.6 Sehnenviereck. 139
3.1.4.7 Tangentenviereck. 140
3.1.5 Ebene Vielecke oder Polygone . 140
3.1.5.1 Allgemeines Vieleck. 140
3.1.5.2 Regelmäßige konvexe Vielecke. 140
3.1.5.3 Einige regelmäßige konvexe Vielecke. 141
3.1.6 Ebene Kreisfiguren. 142
3.1.6.1 Kreis. 142
3.1.6.2 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor) . 144
3.1.6.3 Kreisring . 144
3.2 Ebene Trigonometrie. 145
3.2.1 Dreiecksberechnungen. 145
3.2.1.1 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken. 145
3.2.1.2 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken. 145
3.2.2 Geodätische Anwendungen. 148
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten. 148
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie. 149
3.2.2.3 Vermessungstechnische Anwendungen. 151
3.3 Stereometrie. 154
3.3.1 Geraden und Ebenen im Raum. 154
3.3.2 Kanten. Ecken, Raumwinkel. 155
3.3.3 Polyeder. 156
3.3.4 Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind. 159
3.4 Sphärische Trigonometrie. 163
3.4.1 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel. 163
3.4.1.1 Kurven. Bogen und Winkel auf der Kugel. 163
3.4.1.2 Spezielle Koordinatensysteme. 165
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck . 166
3.4.1.4 Sphärisches Dreieck. 166
3.4.1.5 Polardreieck. 167
3.4.1.6 Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke. 168
3.4.1.7 Dreikant. 168
3.4.2 Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke . 168
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen. 168
3.4.2.2 Grundformeln und Anwendungen. 169
3.4.2.3 Weitere Formeln . 172
3.4.3 Berechnung sphärischer Dreiecke. 173
3.4.3.1 Grundaufgaben. Genauigkeitsbetrachtungen. 173
3.4.3.2 Rechtwinklig sphärisches Dreieck . 173
3.4.3.3 Schiefwinklig sphärisches Dreieck. 175
3.4.3.4 Sphärische Kurven. 179
3.5
Vektoralgebra
und analytische Geometrie. 185
3.5.1 Vektoralgebra. 185
3.5.1.1 Definition des Vektors . 185
3.5.1.2 Rechenregeln. 186
3.5.1.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt. 188
3.5.1.4 Mehrfache multiplikative Verknüpfungen. 190
3.5.1.5 Vektorielle Gleichungen. 192
3.5.1.6 Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors. 193
3.5.1.7 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra. 194
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene . 195
3.5.2.1 Ebene Koordinatensysteme . 195
Inhaltsverzeichnis
XIII
3.5.2.2 Koordinatentransformationen. 196
3.5.2.3 Spezielle Punkte in der Ebene. 197
3.5.2.4 Flächeninhalte . 199
3.5.2.5 Gleichung einer Kurve. 199
3.5.2.6 Gerade. 199
3.5.2.7 Kreis. 202
3.5.2.8 Ellipse. 204
3.5.2.9 Hyperbel . 206
3.5.2.10 Parabel. 208
3.5.2.11 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte). 210
3.5.3 Analytische Geometrie des Raumes . 213
3.5.3.1 Grundlagen, räumliche Koordinatensysteme. 213
3.5.3.2 Transformation rechtwinkliger Koordinaten. 217
3.5.3.3 Teilung einer Strecke. 219
3.5.3.4 System aus vier Punkten. 219
3.5.3.5 Gleichung einer Fläche. 219
3.5.3.6 Ebenen im Raum. 220
3.5.3.7 Geraden im Raum . 223
3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden. 225
3.5.3.9 Flächen 2. Ordnung. Gleichungen in Normalform. 226
3.5.3.10 Flächen 2. Ordnung, allgemeine Theorie. 230
3.6 Differentialgeometrie. 232
3.6.1 Ebene Kurven. 232
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven . 232
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve. 232
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten. 238
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung . 243
3.6.1.5 Evoluten und Evolventen. 244
3.6.1.6 Einhüllende von Kurvenscharen. 244
3.6.2 Raumkurven. 245
3.6.2.1 Definitionen für Raumkurven . 245
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein. 246
3.6.2.3 Krümmung und Windung. 248
3.6.3 Flächen . 251
3.6.3.1 Definitionen für Flächen. 251
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennonnale. 252
3.6.3.3 Linienelement auf einer Fläche. 253
3.6.3.4 Krümmung einer Fläche. 255
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen. 257
3.6.3.6 Geodätische Linien auf einer Fläche. 258
Lineare Algebra 259
4.1 Matrizen. 259
4.1.1 Begriff der Matrix. 259
4.1.2 Quadratische Matrizen. 260
4.1.3 Vektoren. 261
4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen. 262
4.1.5 Rechenregeln für Matrizen. 265
4.1.6 Vektor-und Matrizennorm. 266
4.1.6.1 Vektornormen. 266
4.1.6.2 Matrizennormen . 267
4.2 Determinanten. 267
XIV Inhaltsverzeichnis
4.2.1 Definitionen. 267
4.2.2 Rechenregeln für Determinanten. 268
4.2.3 Berechnung von Determinanten . 269
4.3 Tensoren. 270
4.3.1 Transformation des Koordinatensystems. 270
4.3.2 Tensoren in kartesischen Koordinaten. 270
4.3.3 Tensoren mit speziellen Eigenschaften. 272
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe. 272
4.3.3.2 Invariante Tensoren. 273
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen. 274
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren. 274
4.3.4.2 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 274
4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2. Stufe . .275
4.3.4.4 Rechenregeln. 276
4.3.5 Pseudotensoren. 277
4.3.5.1 Punktspiegelung am Koordinatenursprung. 277
4.3.5.2 Einführung des Begriffs Pseudotensor. 278
4.4 Lineare Gleichungssysteme. 279
4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren. 279
4.4.1.1 Lineare Systeme. 279
4.4.1.2 Austauschverfahren. 279
4.4.1.3 Lineare Abhängigkeiten . 280
4.4.1.4 Invertierung einer Matrix. 280
4.4.2 Lösung linearer Gleichungssysteme. 280
4.4.2.1 Definition und Lösbarkeit . 280
4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens. 282
4.4.2.3 Cramersche Regel. 283
4.4.2.4 Gaußscher Algorithmus. 284
4.4.3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme. 285
4.4.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme . 285
4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme 286
4.5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen. 286
4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem. 286
4.5.2 Spezielles Eigenwertproblem. 286
4.5.2.1 Charakteristisches Polynom. 286
4.5.2.2 Reelle symmetrische Matrizen. Ähnlichkeitstransformationen . . . 288
4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen. 289
4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten. 291
4.5.3 Smgulärvrertzerlegung. 293
ι
Algebra und Diskrete Mathematik 295
5.1 Logik. 295
5.1.1 Anssagenlogik. 295
5.1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik. 298
5.2 Mengenlehre. 299
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen. 299
5.2.2 Operationen mit Mengen. 301
5.2.3 Relation™ und Abbildungen. 303
5.2.4 Äquivalenz- und ürdnungsrelationen. 306
5.2.5 Mächtigkeit von Mengen. 307
Inhaltsverzeichnis
XV
5.3 Klassische algebraische Strukturen. 308
5.3.1 Operationen. 308
5.3.2 Halbgruppen. 308
5.3.3 Gruppen. 309
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften. 309
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte. 310
5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen. 312
5.3.4 Darstellung von Gruppen. 313
5.3.4.1 Definitionen. 313
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen. 313
5.3.4.3 Direkte Summe von Darstellungen. 314
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen. 315
5.3.4.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen . 315
5.3.4.6 Erstes Schursches Lemma . 316
5.3.4.7 Clebsch-Gordan-Reihe. 316
5.3.4.8 Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe
Ѕм
. 316
5.3.5 Anwendungen von Gruppen . 317
5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente. 317
5.3.5.2 Symmetriegruppen. 317
5.3.5.3 Symmetrieoperationen bei Molekülen. 318
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie . 320
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik. 322
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik. 322
5.3.6 Ringe und Körper. 323
5.3.6.1 Definitionen. 323
5.3.6.2 Unterringe. Ideale. 324
5.3.6.3 Homomorphismen, Isomorphismen. Homomorphiesatz. 324
5.3.6.4 Endliche Körper und Schieberegister . 324
5.3.7 Vektorräume. 327
5.3.7.1 Definition. 327
5.3.7.2 Lineare Abhängigkeit. 327
5.3.7.3 Lineare Abbildungen. 327
5.3.7.4 Unterräume. Dimensionsformel . 328
5.3.7.5 Euklidische Vektorräume. Euklidische Norm. 328
5.3.7.6 Lineare Operatoren in Vektorräumen. 329
5.4 Elementare Zahlentheorie. 330
5.4.1 Teilbarkeit. 330
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln. 330
5.4.1.2 Primzahlen. 330
5.4.1.3 Teilbarkeitskriterien . 332
5.4.1.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 333
5.4.1.5 Fibonacci-Zahlen. 334
5.4.2 Lineare Diophantische Gleichungen . 335
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen. 337
5.4.4 Sätze von
Fermat.
Euler und Wilson. 341
5.4.5 Codierungen. 341
5.4.5.1 Prüfzeichenverfahren. 342
5.4.5.2 Fehlerkorrigierende Codes. 343
5.5 Kryptologie. 346
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie. 346
5.5.2 Kryptosysteme . 346
5.5.3 Mathematische Präzisierung. 346
XVI Inhaltsverzeichnis
5.5.4 Sicherheit von
Kryptosystemen.
347
5.5.4.1 Methoden der klassischen Kryptologie. 347
5.5.4.2 Affine Substitutionen. 348
5.5.4.3 Vigenere-Chiffre. 348
5.5.4.4 Matrixsubstitutionen. 348
5.5.5 Methoden
dei
klassischen
Kryptoanalysis
. 349
5.5.5.1 Statistische Analyse. 349
5.5.5.2 Kasiski-Friedman-Test. 349
5.5.6 One-Time-Tape. 350
5.5.7 Verfahren mit öffentlichem Schlüssel. 350
5.5.7.1 Konzept von
Dime
und Hellman. 350
5.5.7.2 Einwegfunktionen. 351
5.5.7.3 RSA-Verfahren. 351
5.5.8 AES-Algorithmus (Advanced
Encryption
Standard). 352
5.5.9 IDEA-Algorithnms (International Data
Encryption Algorithm).
352
5.6 Universelle Algebra. 353
5.6.1 Definition. 353
5.6.2 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren. 353
5.6.3 Homomorphismen. 353
5.6.4 Homomorphiesatz. 354
5.6.5 Varietäten. 354
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren. 354
5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra. 355
5.7.1 Definition. 355
5.7.2 Dualitätsprinzip. 355
5.7.3 Endliche Boolesche Algebren. 356
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen. 356
5.7.5 Boolesche Funktionen. Boolesche Ausdrücke. 356
5.7.6 Normalformen. 358
5.7.7 Schaltalgebra. 358
5.8 Algorithmen der Graphentheorie. 361
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen. 361
5.8.2 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen. 364
5.8.2.1 Kantenfolgen. 364
5.8.2.2 Eulersche Linien . 365
5.8.2.3 Hamilton-Kreise. 366
5.8.3 Bäume und Gerüste. 367
5.8.3.1 Bäume. 367
5.8.3.2 Gerüste. 368
5.8.4 Matchmgs. 369
5.8.5 Planare Graphen. 370
5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen. 371
5.8.7 Transportnetze . 372
5.9
Fuzzy-
Logik. 374
5.9.1 Grundlagen der Fuzzy-Logik. 374
5.9.1.1 Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen) . 374
5.9.1.2 Zugeliörigkeitsfunktionen. 375
5.9.1.3 Fuzzy-Mengen. 377
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen. 378
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen . 379
5.9.2.2 Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen. 379
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren. 382
Inhaltsverzeichnis XVII
5.9.2.4 Erweiterungsprinzip . 382
5.9.2.5 Unscharfe Komplementfunktion. 382
5.9.3
Fuzzy-
wertige Relationen. 383
5.9.3.1 Fuzzy-Relationen. 383
5.9.3.2
Fuzzy-
-Relationenprodukt Ro
S
. 385
5.9.4 Fuzzy-Inferenz . 386
5.9.5 Defuzzifizierungsmethoden. 388
5.9.6 Wissensbasierte
Fuzzy
Systeme. 389
5.9.6.1 Methode
Mamďani
. 389
5.9.6.2 Methode Sugeno . 389
5.9.6.3 Kognitive Systeme. 390
5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem . 392
Differentialrechnung 394
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen . 394
6.1.1 Differentialquotient. 394
6.1.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlicher. 395
6.1.2.1 Ableitungen elementarer Funktionen . 395
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren. 395
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung. 401
6.1.3.1 Definition der Ableitungen höherer Ordnung. 401
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen. 401
6.1.3.3 Leibnizsche Regel. 401
6.1.3.4 Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung . . . 402
6.1.3.5 Ableitungen höherer Ordnung der
inversen
Funktion. 402
6.1.4 Hauptsätze der Differentialrechnung. 403
6.1.4.1 Monotoniebedingungen. 403
6.1.4.2 Satz von
Fermat
. 403
6.1.4.3 Satz von Rolle. 404
6.1.4.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung. 404
6.1.4.5 Satz von Taylor für Funktionen von einer Veränderlichen. 405
6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung. 405
6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten. 405
6.1.5.1
Maxima
und
Minima
. 405
6.1.5.2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes 406
6.1.5.3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funk¬
tion
y
= f(x). 406
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte. 407
6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion . 407
6.2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen. 408
6.2.1 Partielle Ableitungen. 408
6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Funktion. 408
6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen. 408
6.2.1.3 Begriff des Differentials. 408
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials. 409
6.2.1.5 Partielles Differential. 410
6.2.2 Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung. 410
6.2.2.1 Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderliehen (totales Differential). 410
6.2.2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen. 411
6.2.2.3 Satz von Taylor für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . 412
6.2.3 Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren Veränderlichen. 413
XVIII
Inhaltsverzeichnis
6.2.3.1 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen . 413
6.2.3.2 Differentiation impliziter Funktionen. 413
6.2.4 Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und Koordinatentrans¬
formationen . 415
6.2.4.1 Funktion von einer Veränderlichen. 415
6.2.4.2 Funktion zweier Veränderlicher . 416
6.2.5 Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen . 417
6.2.5.1 Definition. 417
6.2.5.2 Geometrische Bedeutung. 417
6.2.5.3 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei
Veränderlichen . 418
6.2.5.4 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von
η
Veränderlichen 418
6.2.5.5 Lösung von Approximationsaufgaben. 418
6.2.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 419
Unendliche Reihen 420
7.1 Zahlenfolgen. 420
7.1.1 Eigenschaften von Zahlenfolgen . 420
7.1.1.1 Definition der Zahlenfolge . 420
7.1.1.2 Monotone Zahlenfolgen. 420
7.1.1.3 Beschränkte Folgen. 420
7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen. 421
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern. 422
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze. 422
7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen. 422
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen. 423
7.2.2 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern. 423
7.2.2.1 Vergleichskriterium . 423
7.2.2.2 Quotientenkriterium von d'Alembert . 424
7.2.2.3 Wurzelkriterium von Cauchy. 424
7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy. 425
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz. 425
7.2.3.1 Definition. 425
7.2.3.2 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen. 426
7.2.3.3 Alternierende Reihen. 426
7.2.4 Einige spezielle Reihen. 427
7.2.4.1 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern. 427
7.2.4.2 Bemoullische und Eulersche Zahlen. 428
7.2.5 Abschätzung des Reihenrestes. 429
7.2.5.1 Abschätzung mittels
Majorante
. 429
7.2.5.2 Alternierende konvergente Reihen. 430
7.2.5.3 Spezielle Reihen. 430
7.3 Funktionenreihen. 430
7.3.1 Definitionen. 430
7.3.2 Gleichmaßige Konvergenz. 431
7.3.2.1 Definition. Satz von
Weierstrass
. 431
7.3.2.2 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen. 432
7.3.3 Potenzreihen. 432
7.3.3.1 Definition. Konvergenz. 432
7.3.3.2 Rechnen mit Potenzreihen. 433
7.3.3.3 Entwicklung in Taylor-Reihen. MacLaurinsche Reihe . 434
7.3.4 Xäherungsformeln. 435
Inhaltsverzeichnis
XIX
7.3.5 Asymptotische Potenzreihen. 435
7.3.5.1 Asymptotische Gleichheit . 435
7.3.5.2 Asymptotische Potenzreihen. 435
7.4 Fourier-Reiheii . 437
7.4.1 Trigonometrische Summe und
Fourier-
Reihe. 437
7.4.1.1 Grundbegriffe. 437
7.4.1.2 Wichtigste Eigenschaften von
Fourier
-Reihen. 438
7.4.2 Koeffizientenbestimnmng für symmetrische Funktionen . 439
7.4.2.1 Symmetrien verschiedener Art. 439
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe. 440
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden. 441
7.4.4 Fourier-Reihe und
Fourier-Integral
. 441
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen . 442
Integralrechnung 444
8.1 Unbestimmtes Integral. 444
8.1.1 Stammfunktion oder Integral. 444
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale. 445
8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen . 445
8.1.2 Integrationsregeln. 445
8.1.3 Integration rationaler Funktionen . 449
8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome). 449
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen. 449
8.1.3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung. 449
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen . 452
8.1.4.1 Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen . 452
8.1.4.2 Integration binoinischer
Integranden
. 453
8.1.4.3 Elliptische Integrale. 453
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen. 455
8.1.5.1 Substitution. 455
8.1.5.2 Vereinfachte Methoden. 455
8.1.6 Integration weiterer transzendenter Funktionen. 456
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen. 456
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen. 456
8.1.6.3 Anwendung der partiellen Integration. 457
8.1.6.4 Integrale transzendenter Funktionen. 457
8.2 Bestimmte Integrale. 457
8.2.1 Grundbegriffe. Regeln und Sätze. 457
8.2.1.1 Definition und Existenz des bestimmten Integrals. 457
8.2.1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale. 458
8.2.1.3 Weitere Sätze über Integrationsgrenzen. 460
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale. 462
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale. 464
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals . . . 464
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie. 465
8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik. 467
8.2.3 Uneigentliche Integrale.
Stieltjes-
und Lebesgue-Integrale. 470
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffs. 470
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen. 471
8.2.3.3 Integrale mit unbeschränktem
Integranden
. 473
8.2.4 Parameterintegrale. 476
8.2.4.1 Definition des Parameterintegrals. 476
XX
Inhaltsverzeichnis
8.2.4.2 Differentiation unter dem Integralzeichen. 476
8.2.4.3 Integration unter dem Integralzeichen. 476
8.2.5 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen . 477
8.3 Kurvenintegrale. 479
8.3.1 Kurvenintegrale 1. Art. 480
8.3.1.1 · Definitionen. 480
8.3.1.2 Existenzsatz. 480
8.3.1.3 Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art. 481
8.3.1.4 Anwendimgen des Kurvenintegrals 1. Art. 482
8.3.2 Kurvenintegrale 2. Art . 482
8.3.2.1 Definitionen. 482
8.3.2.2 Existenzsatz. 483
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art. 483
8.3.3 Kurvenintegrale allgemeiner Art. 484
8.3.3.1 Definition. 484
8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art. 484
8.3.3.3 Umlaufintegral. 485
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg. 485
8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall. 485
8.3.4.2 Existenz der Stammfunktkm. 486
8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall. 486
8.3.4.4 Berechnung der Stammfunktion. 486
8.4 Mehrfaenintegrale. 488
8.4.1 Doppelintegral. 488
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals. 488
8.4.1.2 Berechnung des Doppelintegrals. 489
8.4.1.3 Anwendungen von Doppelintegralen. 491
8.4.2 Dreifachintegral. 491
8.4.2.1 Begriff des Dreifachintegrals. 491
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals. 492
8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen. 496
8.5 Oberflächenmtegrale . 496
8.5.1 Oberflächenintegrale 1. Art. 496
8.5.1.1 Begriff des Oberflächenintegralsl. Art. 496
8.5.1.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 1. Art. 498
8.5.1.3 Anwendungen des Oberflächenintegrals 1. Art . 499
8.5.2 Oberflächenintegrale 2. Art. 499
8.5.2.1 Begriff des Oberflächenintegrals 2. Art. 499
8.5.2.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 2. Art. 501
8.5.3 Oberftäehenintegral allgemeiner Art. 502
8.5.3.1 Begriff des Oberfläcnenmtegrals allgemeiner Art. 502
8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflächenintegrals. 502
9 Differentialgleichungen 504
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen. 504
9.1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . 505
9.1.1.1 Existenzsatz. Richtungsfeld . 505
9.1.1.2 Wichtige Integrationsmethoden. 506
9.1.1.3 Implizite Differentialgleichungen. 509
9.1.1.4
Singulare
Integrale und singnläre Punkte. 510
9.1.1.5 Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen
1. Ordnung. 513
Inhaltsverzeichnis XXI
9.1.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen. 515
9.1.2.1 Grundlegende Betrachtungen . 515
9.1.2.2 Erniedrigung der Ordnung. 516
9.1.2.3 Lineare Differentialgleichungen
η
-ter
Ordnung. 518
9.1.2.4 Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 520
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizien¬
ten . 522
9.1.2.6 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung. 525
9.1.3 Randwertprobleme. 532
9.1.3.1 Problemstellung. 532
9.1.3.2 Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte . 533
9.1.3.3 Entwicklung nach Eigenfunktionen . 534
9.1.3.4
Singulare
Fälle. 534
9.2 Partielle Differentialgleichungen. 535
9.2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung. 535
9.2.1.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung. 535
9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung. 537
9.2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung. 540
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord¬
nung mit zwei unabhängigen Veränderlichen . 540
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord¬
nung mit. mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen . 542
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen
2. Ordnung. 543
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik . 554
9.2.3.1 Problemstellungen und Randbedingungen. 554
9.2.3.2 Wellengleichung. 555
9.2.3.3 Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium 556
9.2.3.4 Potentialgleichung . 557
9.2.3.5 Schrödinger-Gleichung. 557
9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen, periodische Muster
und Chaos. 566
9.2.4.1 Physikalisch-mathematische Problemstellung. 566
9.2.4.2 Korteweg-de-Vries-Gleichung. 568
9.2.4.3 Xichtlineare Schrödinger-Gleichung. 569
9.2.4.4 Sinus-Gordon-Gleichung. 569
9.2.4.5 Weitere niehtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen . . 571
10 Variationsrechnung 572
10.1 Aufgabenstellung. 572
10.2 Historische Aufgaben. 573
10.2.1 Isoperimetrisches Problem. 573
10.2.2 Brachistochronenproblem. 573
10.3 Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen. 574
10.3.1 Einfache Variationsaufgabe und Extremale. 574
10.3.2 Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung. 574
10.3.3 Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen. 576
10.3.4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen. 577
10.3.5 Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen. 577
10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdarstellung . 578
10.4 Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren Veränderlichen. 579
XXII Inhaltsverzeichnis
10.4.1 Einfache Vaiiationsaufgabe. 579
10.4.2 Allgemeinere Variationsaufgaben. 580
10.5 Numerische Lösung von Variationsaufgaben. 580
10.6 Ergänzungen. 582
10.6.1 Erste und zweite Variation. 582
10.6.2 Anwendungen in der Physik . 582
11 Lineare Integralgleichungen 583
11.1 Einführung und Klassifikation. 583
11.2 Frednolmsche Integralgleichungen 2. Art. 584
11.2.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen. 584
11.2.2 Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe. 587
11.2.3 Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze. 589
11.2.3.1 Fredholmsche Lösungsmethode . 589
11.2.3.2 Fredholmsche Sätze. 591
11.2.4 Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art. 592
11.2.4.1 Approximation des Integrals. 592
11.2.4.2 Kernapproximation. 594
11.2.4.3 Kollokationsmethode. 596
11.3 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art. 598
11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen. 598
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen. 599
11.3.3 Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem . . . 600
11.3.4 Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art. 602
11.3.5 Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern 603
11.3.6 Iteratives Verfahren. 604
11.4 Volterrasche Integralgleichungen. 605
11.4.1 Theoretische Grundlagen. 605
11.4.2 Lösung durch Differentiation. 606
11.4.3 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art 607
11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp . 608
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art. 609
11.5
Singulare
Integralgleichungen. 611
11.5.1 Abelsche Integralgleichung. 611
11.5.2
Singulare
Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen. 612
11.5.2.1 Formulierung der Aufgabe. 612
11.5.2.2 Existenz einer Lösung. 613
11.5.2.3 Eigenschaften des Cauchy-Integrals. 613
11.5.2.4 Hilbertsches Randwertproblem. 613
11.5.2.5 Lösung des Hilbertschen Randwertproblems . 614
11.5.2.6 Lösung der charakteristischen Integralgleichung . 614
12 Funktionalanalysis 616
12.1 Vektorräume. 616
12.1.1 Begriff des Vektorraumes. 616
12.1.2 Lineare und affin-lineare Teilmengen. 617
12.1.3 Linear unabhängige Elemente . 619
12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle. 619
12.1.4.1 Konvexe Mengen. 619
12.1.4.2 Kegel . 620
12.1.5 Lineare Operatoren und Funktionale. 620
12.1.5.1 Abbildungen . 620
Inhaltsverzeichnis XXIII
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus. 621
12.1.5.3 Isomorphe Vektorräume. 621
12.1.6
Komplexifikation
reeller Vektorräume. 621
12.1.7 Geordnete Vektorräume. 621
12.1.7.1 Kegel und Halbordnung . 621
12.1.7.2 Ordnungsbeschränkte Mengen. 622
12.1.7.3 Positive Operatoren. 623
12.1.7.4 Vektorverbände. 623
12.2 Metrische Räume. 624
12.2.1 Begriff des metrischen Raumes. 624
12.2.1.1 Kugeln, Umgebungen und offene Mengen. 626
12.2.1.2 Konvergenz von Folgen im metrischen Raum. 626
12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und Abschließung. 627
12.2.1.4 Dichte Teilmengen und
separable
metrische Räume. 627
12.2.2 Vollständige metrische Räume. 628
12.2.2.1 Cauchy-Folge. 628
12.2.2.2 Vollständiger metrischer Raum. 628
12.2.2.3 Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen . . 628
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips. 629
12.2.2.5 Vervollständigung eines metrischen Raumes. 631
12.2.3 Stetige Operatoren . 631
12.3 Normierte Räume. 631
12.3.1 Begriff des normierten Raumes. 631
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes. 631
12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume. 632
12.3.2 Banach-Räume. 632
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen. 632
12.3.2.2 Beispiele von Banach-Räumen. 633
12.3.2.3 Sobolew-Räume . 633
12.3.3 Geordnete normierte Räume. 634
12.3.4 Normierte Algebren. 634
12.4 Hilbert-Räume. 635
12.4.1 Begriff des Hubert-Raumes. 635
12.4.1.1 Skalarprodukt. 635
12.4.1.2 Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften. 635
12.4.1.3 Hubert-Raum. 636
12.4.2 Orthogonalität . 636
12.4.2.1 Eigenschaften der Orthogonalität. 636
12.4.2.2 Orthogonale Systeme. 637
12.4.3
Fourier
-Reihen im Hubert- Raum. 638
12.4.3.1 Bestapproximation. 638
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung. Satz von Riesz-Fischer. 638
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume. 639
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale. 639
12.5.1 Beschränktheit. Norm und Stetigkeit linearer Operatoren . 639
12.5.1.1 Beschränktheit und Norm linearer Operatoren. 639
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren. 640
12.5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen. 640
12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen. 640
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren. 642
12.5.3.1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators. 642
12.5.3.2 Spektrum eines Operators. 643
XXIV Inhaltsverzeichnis
12.5.4 Stetige lineare Funktionale. 643
12.5.4.1 Definition. 643
12.5.4.2 Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz . . . 644
12.5.4.3 Stetige lineare Funktionale in
V
. 644
12.5.5 Fortsetzung von linearen Funktionalen. 645
12.5.6 Trennung konvexer Mengen. 645
12.5.7 Bidualer Raum und reflexive Räume. 646
12.6 Adjungierte Operatoren in normierten Räumen. 646
12.6.1 Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator. 646
12.6.2 Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator. 647
12.6.3 Selbstadjungierte Operatoren. 648
12.6.3.1 Positiv
definite
Operatoren. 648
12.6.3.2 Projektoren im Hilbert-Raum. 648
12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren. 648
12.7.1 Kompakte Teilmengen in normierten Räumen. 648
12.7.2 Kompakte Operatoren. 649
12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators . 649
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren. 649
12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen. 649
12.7.3 Fredholmsche Alternative. 650
12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum. 650
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren. 650
12.8 Nichtlineare Operatoren . 651
12.8.1 Beispiele nichtlinearer Operatoren. 651
12.8.2 Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren. 652
12.8.3 Newton-Verfahren . 652
12.8.4 Schaudersches Fixpunktprmzip. 653
12.8.5 Leray-Schauder-Theorie. 654
12.8.6 Positive nichtlineare Operatoren. 654
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach-Räumen . 655
12.9 Maß und Lebesgue-Integral. 655
12.9.1 Sigma-Algebren und Maße. 655
12.9.2 Meßbare Funktionen . 657
12.9.2.1 Meßbare Funktion . 657
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen. 657
12.9.3 Integration. 657
12.9.3.1 Definition des Integrals. 657
12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals. 658
12.9.3.3 Konvergenzsätze. 658
12.9.4
L»
Räume. 659
12.9.5 Distributionen. 660
12.9.5.1 Formel der partiellen Integration. 660
12.9.5.2 Verallgemeinerte Ableitung. 660
12.9.5.3 Distribution. 661
12.9.5.4 Ableitung einer Distribution. 661
13
Vektoranalysis
und Feldtheorie 663
13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie. 663
13.1.1 Vektorfunktion einer
skalaren
Variablen. 663
13.1.1.1 Definitionen. 663
13.1.1.2 Ableitung einer Vektorfunktion. 663
13.1.1.3 Differentiationsregeln für Vektoren . 663
Inhaltsverzeichnis
XXV
13.1.1.4
Tavlor-Entwickmng
für
Vektorfunktionen
. 664
13.1.2
Skalarfelder"
. 664
13.1.2.1 Skalares Feld
oder skalaře
Punktfunktion
. 664
13.1.2.2 Wichtige Fälle skalarer Felder. 664
13.1.2.3 Koordinatendarstelhmg von Skalarfeldern. 665
13.1.2.4 Niveauflächen und Niveaulinien. 665
13.1.3 Vektorfelder. 665
13.1.3.1 Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion. 665
13.1.3.2 Wichtige Fälle vektorieller Felder. 666
13.1.3.3 Koordinatendarstelhmg von Vektorfeldern . 667
13.1.3.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen . 668
13.1.3.5 Feldlinien.'. 669
13.2 Räumliche Differentialoperationen. 670
13.2.1 Richtungs-und Volumenableitung. 670
13.2.1.1 Richtungsableitung eines
skalaren
Feldes . 670
13.2.1.2 Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes . 670
13.2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung. 671
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes. 671
13.2.2.1 Definition des Gradienten . 671
13.2.2.2 Gradient und Richtimgsableitung. 672
13.2.2.3 Gradient und Volumenableitung. 672
13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten. 672
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten. 672
13.2.2.6 Rechenregeln. 673
13.2.3 Vektorgradient . 673
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes. 673
13.2.4.1 Definition der Divergenz. 673
13.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten . 674
13.2.4.3 Regeln zur Berechnung der Divergenz. 674
13.2.4.4 Divergenz eines Zentraifeldes. 674
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes. 675
13.2.5.1 Definitionen der Rotation . 675
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten. 676
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation. 676
13.2.5.4 Rotation des Potentialfeldes. 677
13.2.6 Nablaoperator. Laplace-Operator. 677
13.2.6.1 Nablaoperator. 677
13.2.6.2 Rechenregeln für den Nablaoperator. 677
13.2.6.3 Vektorgradient. 678
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators . 678
13.2.6.5
Lapiace-
Operator. 678
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen. 679
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse für Differentialoperato¬
ren . 679
13.2.7.2 Rechenregeln für Differentialoperatoren. 679
13.2.7.3 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen. Zylinder- und Kugel¬
koordinaten . 680
13.3 Integration in Vektorfeldern . 681
13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld. 681
13.3.1.1 Kurvenintegral im Vektorfeld . 681
13.3.1.2 Bedeutuzig des Kurvenintegrals in der Mechanik. 682
13.3.1.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals. 682
XXVI Inhaltsverzeichnis
13.3.1.4
Kurvenintegral
in
kartesischen
Koordinaten. 683
13.3.1.5 Umlauf integral eines Vektorfeldes. 683
13.3.1.6 Konservatives oder Potentialfeld. 683
13.3.2 Obernächenintegrale . 684
13.3.2.1 Vektor eines ebenen Flächenstückes. 684
13.3.2.2 Berechnung von Oberflächenintegralen . 685
13.3.2.3 Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern. 685
13.3.2.4 Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art. 686
13.3.3 Integralsätze. 687
13.3.3.1 Integralsatz und Integralformel von Gauß. 687
13.3.3.2 Integralsatz von
Stokes
. 687
13.3.3.3 Integralsätze von Green. 688
13.4 Berechnung von Feldern. 689
13.4.1 Reines Quellenfeld. 689
13.4.2 Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld. 689
13.4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen. 690
13.4.3.1 Coulomb-Feld der Punktladung. 690
13.4.3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse . 690
13.4.4
Superposition
von Feldern . 690
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilung. 690
13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung. 691
13.4.4.3 Zusammenfassung . 691
13.5 Differentialgleichungen der Feldtheorie. 691
13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung. 691
13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung. 691
14 Funktionentheorie 693
14.1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 693
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit. 693
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion . 693
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion. 693
14.1.1.3 Stetigkeit der komplexen Funktion. 693
14.1.1.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion. 693
14.1.2 Analytische Funktionen. 694
14.1.2.1 Definition der analytischen Funktion . 694
14.1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen. 694
14.1.2.3 Eigenschaften analytischer Funktionen . 694
14.1.2.4
Singulare
Punkte. 695
14.1.3 Konforme Abbildung. 696
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung. 696
14.1.3.2 Einfachste konforme Abbildungen. 697
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip. 703
14.1.3.4 Komplexe Potentiale. 703
14.1.3.5 Superpositionsprinzip. 705
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene. 706
14.2 Integration im Komplexen . 707
14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral. 707
14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen. 707
14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale . 708
14.2.2 Integralsatz von Cauchy. Hauptsatz der Funktionentheorie. 710
14.2.2.1 Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete . 710
Inhaltsverzeichnis XXVII
14.2.2.2 Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete 710
14.2.3 Integralformeln von Cauchy . 711
14.2.3.1 Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes. 711
14.2.3.2 Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes. 711
14.3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen. 711
14.3.1 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern. 711
14.3.1.1 Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern. 711
14.3.1.2 Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern . . . 712
14.3.1.3 Potenzreihen im Komplexen. 712
14.3.2 Taylor-Reihe . 713
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung. 714
14.3.4 Laurent-Entwicklung. 714
14.3.5 Isolierte
singulare
Stellen und der Residuensatz. 715
14.3.5.1 Isolierte
singulare
Stellen. 715
14.3.5.2 Meromorphe Funktionen. 715
14.3.5.3 Elliptische Funktionen. 715
14.3.5.4 Residuum. 716
14.3.5.5 Residuensatz . 716
14.4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen. 717
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformeln. 717
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes . 717
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan . 717
14.4.3.1 Lemma von Jordan. 717
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan. 718
14.5 Algebraische und elementare transzendente Funktionen . 720
14.5.1 Algebraische Funktionen. 720
14.5.2 Elementare transzendente Funktionen. 720
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form. 723
14.6 Elliptische Funktionen . 724
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen . 724
14.6.2 Jacobische Funktionen. 726
14.6.3 Thetafunktionen. 727
14.6.4 Weierstrasssche Funktionen. 728
15 Integraltransformationen 730
15.1 Begriff der Integraltransformation. 730
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen. 730
15.1.2 Spezielle Integraltransformationen. 730
15.1.3 Umkehrtransformationen. 730
15.1.4 Linearität der Integraltransformationen. 732
15.1.5 Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . 732
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen. 732
15.2 Laplace-Transformation. 733
15.2.1 Eigenschaften der Laplace-Transformation. 733
15.2.1.1 Laplace-Transformierte. Original- und Bildbereich. 733
15.2.1.2 Rechenregeln zur Laplace-Transformation. 734
15.2.1.3 Bildftmktionen
spezielîer
Funktionen. 737
15.2.1.4 Diracsche Delta- Funktion und Distributionen . 740
15.2.2 Rücktransformation in den Originalbereich. 741
15.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen. 741
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung . 741
15.2.2.3 Reihenentwicklungen. 742
XXVIII
Inhaltsverzeichnis
15.2.2.4 Umkehrmtegral. 743
15.2.3 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation . . 744
15.2.3.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 744
15.2.3.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizien¬
ten . 745
15.2.3.3 Partielle Differentialgleichungen. 746
15.3
Fourier-Transformation
. 747
15.3.1 Eigenschaften der
Fourier-
Transformation. 747
15.3.1.1
Fourier-Integral
. 747
15.3.1.2
Fourier-
Transformation und Umkehrtransformation. 748
15.3.1.3 Rechenregeln zur
Fourier-Transformation
. 750
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen. 753
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der
Fourier-Transformation
. . 754
15.3.2.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. 754
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen. 755
15.4 Z- Transformation. 757
15.4.1 Eigenschaften der Z-Transformation. 757
15.4.1.1 Diskrete Funktionen. 757
15.4.1.2 Definition der Z-Transformation. 757
15.4.1.3 Rechenregeln. 758
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace-Transformation. 759
15.4.1.5 Umkehrung der Z-Transformation. 760
15.4.2 Anwendungen der Z-Transformation. 761
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen. 761
15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe). 762
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe). 763
15.5
Wavelet
Transformation. 763
15.5.1 Signale. 763
15.5.2
Wavelets
. 764
15.5.3
Wavelet
-Transformation. 765
15.5.4 Diskrete
Wavelet
-Transformation. 766
15.5.4.1 Schnelle
Wavelet-Transformation
. 766
15.5.4.2 Diskrete Haar-Wavelet-Transformation. 766
15.5.5 Gabor-Transformation. 766
15.6
Walsh
Funktionen. 767
15.6.1 Treppenfunktionen. 767
15.6.2 Walsh-Systeme. 767
16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 768
16.1 Kombinatorik. 7gg
16.1.1 Permutationen. 768
16.1.2 Kombinationen. 768
16.1.3 Variationen. 7gg
16.1.4 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik. 770
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 77g
16.2.1 Ereignisse. Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. 770
16.2.1.1 Ereignisse. 770
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. 771
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Satz von
Bayes
. 773
16.2.2 Zufallsgrößen. Verteilungsfunktion.*. 774
16.2.2.1 Zufallsveränderliche. 774
16.2.2.2 Verteilungsfunktion. 774
Inhaltsverzeichnis XXIX
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung . . 776
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsveränderliche. 777
16.2.3 Diskrete Verteilungen. 777
16.2.3.1 Binomialvertejlung. 778
16.2.3.2
Hypergeometrische
Verteilung. 779
16.2.3.3 Poisson-Verteilung. 780
16.2.4 Stetige Verteilungen. 780
16.2.4.1 Normalverteilung. 780
16.2.4.2 Normierte Normalverteilung. Gaußsches Fehlerintegral. 782
16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung. 782
16.2.4.4 Exponentialverteilung . 783
16.2.4.5 Weibull-Verteüung. 784
16.2.4.6 ^-Verteilung. 785
16.2.4.7 Fisher-Verteihmg. 785
16.2.4.8 Student-Verteilung. 786
16.2.5 Gesetze der großen Zahlen. Grenzwertsätze. 787
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von
Bernoulli
. 787
16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg
-Levy
. 788
16.2.6
Stochastische
Prozesse und
stochastische
Ketten. 788
16.2.6.1 Grundbegriffe. Markofische Ketten . 788
16.2.6.2 Poisson-Prozesse. 791
16.3 Mathematische Statistik . 793
16.3.1 Stichprobenftmktionen. 793
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor. 793
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen.:. 794
16.3.2 Beschreibende Statistik. 795
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte. 795
16.3.2.2 Statistische Parameter. 796
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren. 797
16.3.3.1 Präfen auf
Normaherteilung
. 797
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte . 799
16.3.3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert. 800
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung. 801
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren . 802
16.3.4 Korrelation und Regression. 802
16.3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen. 802
16.3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen. 803
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression. 804
16.3.5 Monte-Carlo-Methode. 806
16.3.5.1 Simulation. 806
16.3.5.2 Zufallszahlen. 806
16.3.5.3 Beispiel für eine
Monte-Carlo-Simulation
. 808
16.3.5.4 Anwendungen der
Monte-Carlo-Méthode
in der numerischen
Mathematik. 808
16.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode. 810
16.4 Theorie der Meßfehler. 811
16.4.1 Meßfehler und ihre Verteilung. 811
16.4.1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen. 811
16.4.1.2 Meßfehlerverteilungsdichte. 811
16.4.1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen. 813
16.4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen. 816
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit . 816
XXX Inhaltsverzeichnis
16.4.1.6 Fehlerrechmmg für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit . . . 817
16.4.2 Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse. 818
16.4.2.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz. 818
16.4.2.2 Fehleranalyse. 819
17 Dynamische Systeme und Chaos 821
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen. 821
17.1.1 Dynamische Systeme. 821
17.1.1.1 Grundbegriffe. 821
17.1.1.2 Invariante Mengen. 823
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. 824
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur. 824
17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen . 825
17.1.2.3 Stabilitätstheorie. 827
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten. 830
17.1.2.5
Poincaré-Abbildung
. 834
17.1.2.6
Topologische
Äquivalenz von Differentialgleichungen. 834
17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme. 836
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen. 836
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten. 836
17.1.3.3
Topologische
Konjugiertheit von zeitdiskreten Systemen. 837
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit). 837
17.1.4.1 Strukturstabile Differentialgleichungen. 837
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme. 838
17.1.4.3
Generische
Eigenschaften. 839
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren. 840
17.2.1 Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren. 840
17.2.1.1 Invariantes Maß. 840
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie. 841
17.2.2 Entropien. 843
17.2.2.1
Topologische
Entropie. 843
17.2.2.2 Metrische Entropie. 843
17.2.3 Lyapunov-Exponenten. 844
17.2.4 Dimensionen. 845
17.2.4.1 Metrische Dimensionen. 845
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen. 848
17.2.4.3 Lokale Hausdorff-Dimension nach
Douady-Oesterlé
. 850
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren . 850
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos. 852
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen. 852
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen. 853
17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften . . . 853
17.2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften. 854
17.3 Biftirkat
ionstheorie
und Wege zum Chaos. 856
17.3.1 Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen. 856
17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen. 856
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit. 861
17.3.1.3 Globale Bifurkationen . 864
17.3.2 Übergänge zum Chaos . 865
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen. 865
17.3.2.2 Iutermittenz. 865
17.3.2.3 Globale homokline Bifurkationen . 866
Inhaltsverzeichnis XXXI
17.3.2.4 Auflösung eines
Torus
. 868
18 Optimierung 873
18.1 Lineare Optimierung. 873
18.1.1 Problemstellung und geometrische Darstellung. 873
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung. 873
18.1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen. 874
18.1.2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform . 875
18.1.2.1 Ecke und Basis. 875
18.1.2.2
Normalform
der linearen Optimierungsaufgabe. 877
18.1.3 Simplexverfahren. 878
18.1.3.1
Simplextableau
. 878
18.1.3.2 Übergang zum neuen Sünplextableau. 878
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten
Simplextableaus
. 880
18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren . 881
18.1.3.5 Dualität in der linearen Optimierung. 882
18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme. 884
18.1.4.1 Transportproblem. 884
18.1.4.2 Zuordnungsproblem . 886
18.1.4.3 Verteihmgsproblem. 887
18.1.4.4 Rundreiseproblem. 887
18.1.4.5 Reihenfolgeproblem. 887
18.2 Nichtlineare Optimierung. 888
18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen. 888
18.2.1.1 Problemstellung. 888
18.2.1.2 Optimalitätsbedingungen . 888
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung. 889
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben. 890
18.2.2.1 Konvexe Optimierung . 890
18.2.2.2 Quadratische Optimierung. 890
18.2.3 Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben. 891
18.2.3.1 Verfahren von Wolfe . 891
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth-d'Esopo. 893
18.2.4 Numerische Suchverfahren. 893
18.2.4.1 Eindimensionale Suche. 894
18.2.4.2 Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum . . . 894
18.2.5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben. 895
18.2.5.1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren). 895
18.2.5.2 Anwendung des Newton-Verfahrens. 895
18.2.5.3 Verfahren der konjugierten Gradienten. 896
18.2.5.4 Verfahren von
Dávidon,
Fletcher
und Powell (DFP) . 896
18.2.6 Evolutionsstrategien. 897
18.2.6.1
Mutations-
Selektions-Strategie. 897
18.2.6.2 Strategien mit Rekombination. 897
18.2.7 Gradientenverfahren für Probleme mit. Ungleichungsrestriktionen. 898
18.2.7.1 Verfahren der zulässigen Richtungen. 898
18.2.7.2 Verfahren der projizierten Gradienten. 900
18.2.8 Straf-und Barriereverfahren. 902
18.2.8.1 Strafverfahren. 902
18.2.8.2 Barriereverfahren. 903
18.2.9 Schnittebenenverfahren. 904
18.3 Diskrete dynamische Optimierung. 905
XXXII
Inhaltsverzeichnis
18.3.1 Diskrete dynamische Entscheidimgsmodelle. 905
18.3.1.1
η
-stufige Elitscheidungsprozesse. 905
18.3.1.2 Dynamische Optimierungsprobleme. 905
18.3.2 Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle. 905
18.3.2.1 Einkaufsproblem. 905
18.3.2.2 Rucksackproblem. 906
18.3.3 BellmanschePunktionalgleichungen. 906
18.3.3.1 Eigenschaften der Kostenfunktion. 906
18.3.3.2 Formulierung der Funktionalgleichungen . 907
18.3.4 Bellmansches Optimaiitätsprmzip. 907
18.3.5 Bellmansche Funktionalgleichungsrnethode. 908
18.3.5.1 Bestimmung der minimalen Kosten. 908
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen Politik. 908
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode. 909
18.3.6.1 Optimale Einkaufspolitik. 909
18.3.6.2 Rucksackproblem. 909
19 Numerische Mathematik 911
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten. 911
19.1.1 Iterationsverfahren. 911
19.1.1.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren. 911
19.1.1.2 Newton Verfahren. 912
19.1.1.3 Regula
falsi
. 913
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen. 914
19.1.2.1 Homer Schema. 914
19.1.2.2 Lage der Nullstellen. 915
19.1.2.3 Numerische Verfahren . 916
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen . 917
19.2.1 Lineare Gleichungssysteme. 917
19.2.1.1 Dreieckszerlegimg einer Matrix. 918
19.2.1.2 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix . 920
19.2.1.3 Orthogonalisierungsverfahren. 920
19.2.1.4 Iteration in Gesamt- und Einzelschritten . 922
19.2.2 Nicht lineare Gleichungssysteme . 923
19.2.2.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren. 923
19.2.2.2 Newton-Verfahren. 924
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren . 924
19.3 Numerische Integration. 925
19.3.1 Allgemeine Quadraturformel. 925
19.3.2 Interpolationsquadraturen. 926
19.3.2.1 Rechteckformel. 926
19.3.2.2 Trapezformel. 926
19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel. 927
19.3.2.4 Simpson-Formel . 927
19.3.3 Quadraturformeln vom Gauß-Typ. 927
19.3.3.1 Gaußsche Quadraturformeln. 927
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeln . 928
19.3.4 Verfahren von Romberg. 928
19.3.4.1 Algorithmus des Romberg-Verfahrens. 928
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip . 929
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 931
19.4.1 Anfangswertaufgaben. 931
Inhaltsverzeichnis
XXXIII
19.4.1.1 Eulersches Polygonzugverfahren. 931
19.4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren. 931
19.4.1.3 Mehrschrittverfahren. 932
19.4.1.4 Prediktor- Korrektor Verfahren. 933
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität . 934
19.4.2 Randwertaufgaben. 935
19.4.2.1 Differenzenverfahren. 935
19.4.2.2 Ansatzverfahren. 936
19.4.2.3 Schießverfahren. 937
19.5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen. 938
19.5.1 Differenzenverfahren . 938
19.5.2 Ansatzverfahren. 939
19.5.3 Methode der
imiten
Elemente
(FEM)
. 940
19.6 Approximation. Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse . 945
19.6.1 Polynominterpolation. 945
19.6.1.1 Newtonsche Interpolationsformel . 945
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange. 945
19.6.1.3 Interpolation nach Aitkeii
Neville
. 946
19.6.2 Approximation im Mittel. 947
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichvmgen. 947
19.6.2.2 Diskrete Aufgabe. Nonnalgleichungen,
Householder
Verfahren . . 948
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben. 949
19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben. 950
19.6.3
Tschebyscheff-Approxiniation
. 951
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz . 951
19.6.3.2 Eigenschaften der Tscnebyscheff-Polynome. 951
19.6.3.3 Remes-Algorithmus . 953
19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung. 953
19.6.4 Harmonische Analyse. 954
19.6.4.1 Formeln zur trigonometrischen Interpolation. 954
19.6.4.2 Schnelle
Fourier-Transformation (FFT)
. 955
19.7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von
Splines
. 959
19.7.1 Kubische
Splines
. 959
19.7.1.1 Interpolationssplmes. 959
19.7.1.2 Ausgleichssplines. 960
19.7.2 Bikubische
Splines
. 961
19.7.2.1 Anwendung bikubischer
Splines
. 961
19.7.2.2 Bikubische Interpolationssplmes. 961
19.7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines. 962
19.7.3
Bernstein-Bézíer-Darstelmng
von Kurven und Flächen. 962
19.7.3.1 Prinzip der
В
B-Kurvendarstellung. 963
19.7.3.2 B-B-Flächendarstellung. 964
19.8 Nutzung von Computern. 965
19.8.1 Interne Zeichendarstellung. 965
19.8.1.1 Zahlensysteme . 965
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung . 966
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern. 968
19.8.2.1 Einführung. Fehlerarten. 968
19.8.2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung. 968
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen. 970
19.8.3 Bibliotheken numerischer Verfahren. 973
19.8.3.1 NAG-Bibliothek. 974
XXXIV
Inhaltsverzeichnis
19.8.3.2 IMSL-Bibliothek.
974
19.8.3.3 Aachener Bibliothek. 975
19.8.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen. 975
19.8.4.1
Mathematica
. 975
19.8.4.2
Maple.
979
20 Computeralgebrasysteme 982
20.1 Einführung. 982
20.1.1 Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen. 982
20.1.2 Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete. 983
20.1.2.1 Formelmanipulation . 983
20.1.2.2 Numerische Berechnungen. 983
20.1.2.3 Graphische Darstellungen. 984
20.1.2.4 Programmierung in Computeralgebrasystemen. 984
20.1.3 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen. 984
20.1.3.1 Hauptstrukturelemente. 984
20.2
Mathematica
. 986
20.2.1 Haupstrukturelemente . 986
20.2.2 Zahlenarten in
Mathematica
. 987
20.2.2.1
Grundtypen
von Zahlen in
Mathematica
. 987
20.2.2.2 Spezielle Zahlen. 987
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen. 988
20.2.3 Wichtige Operatoren. 988
20.2.4 Listen. 989
20.2.4.1 Begriff und Bedeutung. 989
20.2.4.2 Verschachtelte Listen. 990
20.2.4.3 Operationen mit Listen. 990
20.2.4.4 Spezielle Listen. 990
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen . 991
20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen. 991
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren . 991
20.2.6 Funktionen . 993
20.2.6.1 Standardfunktionen. 993
20.2.6.2 Spezielle Funktionen. 993
20.2.6.3 Reine Funktionen. 993
20.2.7 Muster. 993
20.2.8 Funktionaloperationen. 994
20.2.9 Programmierung . 995
20.2.10Ergänzungenzur Syntax, Informationen, Meldungen. 996
20.2.10.1 Kontexte, Attribute. 996
20.2.10.2 Informationen. 997
20.2.10.3 Meldungen . 997
20.3
Maple
. 998
20.3.1 Hauptstrukturelemente. 998
20.3.1.1 Typen und Objekte.'.'.'. 998
20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben. 999
20.3.2 Zahlenarten in
Maple
. 1000
20.3.2.1
Grundtypen
von Zahlen in
Maple
. 1000
20.3.2.2 Spezielle Zahlen. 1000
20.3.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen. 1000
20.3.3 Wichtige Operatoren in
Maple
. 1001
20.3.4 Algebraische Ausdrücke. 1001
Inhaltsverzeichnis XXXV
20.3.5 Folgen und
Listen
. 1002
20.3.6 Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen. 1003
20.3.6.1 Tabellen-und feldartige Strukturen. 1003
20.3.G.2 Eindimensionale
Arrays
. 1004
20.3.6.3 Zweidimensionaie
Arrays
. 1004
20.3.6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen. 1005
20.3.7 Prozeduren, Punktionen und Operatoren . 1005
20.3.7.1 Prozeduren. 1005
20.3.7.2 Funktionen. 1006
20.3.7.3 Funktioualoperatoren. 1007
20.3.7.4 Differentialoperatoren . 1007
20.3.7.5 Der Funktionaloperator map. 1007
20.3.8 Programmierung in
Maple
. 1008
20.3.9 Ergänzungen zur Syntax. Informationen und Hilfe . 1008
20.3.9.1 Nutzung der Maple-Bibliothek. 1008
20.3.9.2 Umgebungsvariable. 1009
20.3.9.3 Informationen und Hilfe. 1009
20.4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen. 1010
20.4.1 Manipulation algebraischer Ausdrücke. 1010
20.4.1.1
Mathematica
. 1010
20.4.1.2
Maple.
1012
20.4.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen. 1015
20.4.2.1
Mathematica
.'. 1015
20.4.2.2
Maple.
1017
20.4.3 Elemente der linearen Algebra. 1019
20.4.3.1
Mathematica
. 1019
20.4.3.2
Maple.
1021
20.4.4 Differential- und Integralrechnung. 1023
20.4.4.1
Mathematica
. 1023
20.4.4.2
Maple.
1027
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen. 1030
20.5.1 Graphik mit
Mathematica
. 1030
20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus. 1030
20.5.1.2 Graphik-Primitive. 1030
20.5.1.3 Graphikoptionen. 1031
20.5.1.4 Syntax der Graphikdarstellung. 1031
20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven . 1033
20.5.1.6 Parameterdarstellung von Kurven. 1034
20.5.1.7 Darstellung von Flächen und Raumkurven. 1035
20.5.2 Graphik mit
Maple
. 1037
20.5.2.1 Zweidimensionale Graphik. 1037
20.5.2.2 Dreidimensionale Graphik. 1039
21 Tabellen 1041
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten. 1041
21.2 Fundamentale physikalische Konstanten. 1041
21.3 Dezimalvorsätze. 1043
21.4 Physikalische Einheiten im
SI
-System. 1043
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen. 1045
21.6
Fourier-
Entwicklungen. 1050
21.7 Unbestimmte Integrale. 1053
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen. 10-53
XXXVI
Inhaltsverzeichnis
21.7.1.1
Integrale
mit
X
= ax + b.
ЮбЗ
21.7.1.2 Integrale mit
Χ
-
αχ2
+ bx +
с
.1055
21.7.1.3 Integrale mit
Χ
=
α2 ± χ2
.
Ю56
21.7.1.4 Integrale mit
Χ
=
α3 ± χ3
.
Ю58
21.7.1.5 Integrale mit
Χ
=
α4
+
χ4
.
Ю59
21.7.1.6 Integrale mit
Χ
=
α4
-
Xі
. 1059
21.7.1.7 Einige Fälle der
Partialbruchzerlegung
. 1059
21.7.2
Integrale
irrationaler Funktionen.1060
21.7.2.1 Integrale mit y/x und
a2 ±
62x.1060
21.7.2.2 Andere Integrale mit y/x.
Ю60
21.7.2.3 Integrale mit s/ax +
b
. . . .1060
21.7.2.4 Integrale mit \/ax +
b
und y/fx +
g
. 1062
21.7.2.5 Integrale mit \/a2 - x2. 1063
21.7.2.6 Integrale mit
s/x2
+
a2
. 1064
21.7.2.7 Integrale mit
ч/Р^а2
.1066
21.7.2.8 Integrale mit
Vax2
+ bx
-t- c
. 1068
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken. 1070
21.7.2.10 Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential . . ■ 1070
21.7.3 Integrale trigonometrischer Funktionen. 1070
21.7.3.1 Integrale mit Sinusfunktion. 1070
21.7.3.2 Integrale mit Kosinusfunktion. 1073
21.7.3.3 Integrale mit Sinus-und Kosinusfunktion.1075
21.7.3.4 Integrale mit Tangensfunktion.1079
21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion.1079
21.7.4 Integrale anderer transzendenter Funktionen. 1080
21.7.4.1 Integrale mit Hyperbelfunktionen. 1080
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen. 1081
21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Funktionen.1082
21.7.4.4 Integrale mit
inversen
trigonometrischen Funktionen.1084
21.7.4.5 Integrale mit
inversen
Hyperbelfunktion.1085
21.8 Bestimmte Integrale.'. 1086
21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen.1086
21.8.2 Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen . 1087
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen. 1088
21.8.4 Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen.1089
21.9 Elliptische Integrale.1091
21.9.0.1 Elliptische Integrale 1. Gattung.1091
21.9.0.2 Elliptische Integrale 2. Gattung.1091
21.9.0.3 Vollständige elliptische Integrale
К
und
E
.1092
21.10 Gammafunktion. 1093
21.11 Bessel· Funktionen (Zylinderfunktionen).1094
21.12 Legendresche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen).1096
21.13 Laplace-Transformationen.1097
21.14
Fourier
Transformationen .1103
21.14.1
Fourier
Kosinus-Transformationen .1103
21.14.2 Fourier-Sinus-Transformationen.1109
21.14.3
Fourier
-Transformationen.1114
гі.иЛЕхропепиеііеРоигіег-ТгапзйігтаЇіопеіг
.1116
21.15 Z-Transformationen .1117
21.16
Poisson-
Verteilimg.1120
21.17 Normierte Normalverteilung.1122
Inhaltsverzeichnis
XXXVII
21.17.1 Normierte Normalverteilung für 0.00 <x < 1.99. 1122
21.18
χ2
-Verteilung. 1124
21.19 Fishersche F-Verteilung . 1125
21.20 Studentsche
ŕ-
Verteilung. 1127
21.21 Zufallszahlen. 1128
22 Literatur 1129
Stichwortverzeichnis 1145
Mathematische Zeichen 1194 |
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| discipline | Mathematik Wirtschaftswissenschaften |
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