Basiswissen Zahlentheorie: eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
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| Series: | Mathematik für das Lehramt
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen und Voraussetzungen
1.1 Mengen. 4
1.1.1 Mengen und ihre Elemente. 4
1.1.2 Mengen und ihre Mächtigkeit. 6
1.1.3 Gleichheit von Mengen und Teilmengen. 8
1.1.4 Verknüpfungen von Mengen . 9
1.2 Grundbegriffe des logischen Schließens. 12
1.2.1 Implikationen und die Äquivalenz von Aussagen. 13
1.2.2 Mathematische Logik und Alltagslogik. 14
1.2.3 Einige (wenige) Regeln des mathematischen Beweisens
und logischen Schließens. 14
1.2.4 Implikationen und Beweisverfahren. 15
1.2.5
1.3 Übungsaufgaben. 20
2 Natürliche Zahlen
2.1 Rechnen mit natürlichen Zahlen . 25
2.1.1 Addition und Subtraktion. 26
2.1.2 Das Prinzip des kleinsten Elements. 26
2.1.3 Multiplikation und Teilbarkeit. 30
2.1.4 Die Goldbach'sche Vermutung. 32
2.2 Die Idee der unendlichen Mengen. 34
2.2.1 Gibt es unendliche Mengen?. 34
2.2.2 Huberts Hotel. 34
2.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion. 36
2.3.1 Beweisen durch vollständige Induktion. 36
2.3.2 Definition durch Induktion:
Das Produkt natürlicher Zahlen. 42
2.3.3 Definition durch Induktion:
2.3.4 Definition durch Induktion: Die Fibonacci-Zahlen. 44
2.3.5 Geometrische Summenformel. 48
2.4 Der binomische Lehrsatz. 50
2.5 Ein Exkurs über Evidenz und Wahrheit. 57
2.6 Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen. 60
2.6.1 Was sind die natürlichen Zahlen?. 60
2.6.2 Die Peano-Axiome. 62
2.6.3 Modelle zu den Peano-Axiomen. 65
2.6.4 Mengentheoretische Begründung von N. 65
2.7 Übungsaufgaben. 67
XII Inhaltsverzeichnis
3 Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme
3.1 Beispiele für Zahldarstellungen. 73
3.2 Division mit Rest. 77
3.3 Die Kreuzprobe. 81
3.3.1 Das Prinzip der Kreuzprobe. 81
3.3.2 Die Begründung der Kreuzprobe. 82
3.4 Zahldarstellung in g-adischen Systemen. 84
3.5 Rechnen in Stellenwertsystemen . 88
3.5.1 Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen . 89
3.5.2 Multiplikation und Division in g-adischen Systemen_ 91
3.6 Übungsaufgaben. 94
4 Teilbarkeit und Primzahlen
4.1 Teilbarkeit in N. 97
4.2 Primzahlen. 101
4.2.1 Das Sieb des
4.2.2 Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen . 104
4.2.3 Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln . 106
4.2.4 Primfaktorzerlegung. 107
4.3 Teilbarkeit und Primfaktoren in
4.4 Übungsaufgaben. 122
5 Teiler und Vielfache
5.1 Der größte gemeinsame Teiler in
5.2 Der euklidische Algorithmus. 133
5.3 Das kleinste gemeinsame Vielfache in
5.4 Vollkommene Zahlen. 142
5.5 Übungsaufgaben. 150
6 Ganze Zahlen
6.1 Definition der ganzen Zahlen. 155
6.2 Rechnen mit ganzen Zahlen. 162
6.3 Die isomorphe Einbettung
der natürlichen in die ganzen Zahlen. 167
6.4 Die Anordnung der ganzen Zahlen. 173
6.5 Übungsaufgaben. 175
7 Restklassen
7.1 Kongruenzen. 179
7.2 Verknüpfungen von Restklassen. 185
7.2.1 Der Ring Zm der Restklassen
7.3 Teilbarkeitsregeln. 195
Inhaltsverzeichnis XIII
7.3.1 Quersummenregeln. 196
7.3.2 Endstellenregeln. 199
7.3.3 Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln. 200
7.4 Pseudozufallszahlen und Kongruenzen. 200
7.4.1 Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen. 202
7.5
8 Lineare und quadratische Kongruenzen
8.1 Lineare Kongruenzen und ihre Lösbarkeit. 207
8.2 Anwendungen linearer Kongruenzen. 212
8.3 Sätze von Euler. 216
8.4 Chinesischer Restsatz. 220
8.5 Quadratische Kongruenzen. 222
8.6
9 Teilbarkeit in Integritätsringen
9.1 Integritätsringe. 236
9.2 Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente. 241
9.3 Primelemente. 251
9.4 Nebenklassen, Ideale und Hauptidealringe. 258
9.5 Eigenschaften von Hauptidealringen. 266
9.6 Übungsaufgaben. 271
10 Anwendungen der elementaren Zahlentheorie
10.1 Verwaltung von Lagerbeständen . 275
10.1.1
10.1.2
10.2 Kryptographie. 281
10.2.1 Einheiten
10.2.2 Grundlagen des RSA-Verfahrens. 287
10.2.3 Praktische Zahlenkodierung. 289
10.2.4 Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung. 290
10.2.5 Praktische Textkodierung. 291
10.3 Übungsaufgaben. 295
11 Rationale Zahlen
11.1 Definition der rationalen Zahlen. 299
11.2
11.3
11.3.1 Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner. 320
11.3.2 Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. 322
XIV Inhaltsverzeichnis
11.4
Rationale und reelle Zahlen. 324
11.5 Kettenbrüche. 329
11.5.1 Darstellung von rationalen Zahlen
durch Kettenbriiche. 332
11.5.2 Darstellung von irrationalen Zahlen
durch Kettenbrüche. 334
11.6 Ü bungsaufga
12 Reelle Zahlen
12.1 Konvergenz. 341
12.2 Die Erweiterung von
12.3 Nachweis des Grenzwerts. 359
12.4 Übungsaufgaben. 365
13 Komplexe Zahlen
13.1 Definition der komplexen Zahlen. 370
13.1.1 Die Zahlenebene. 370
13.1.2 Polarkoordinaten . 371
13.2 Addition und Multiplikation. 375
13.3 Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen. 378
13.4 Rechnen mit komplexen Zahlen. 380
13.5 Quadratische Gleichungen. 385
13.6 Gleichungen höherer Ordnung. 390
13.7 Übungsaufgaben. 395
14 Zahlentheoretische Funktionen
14.1 Begriffsbestimmung. 399
14.2 Primzahlverteilung. 400
14.3 Die Euler'sche (^-Funktion. 402
14.4 Die Riemann'sche (^-Funktion. 410
14.4.1 Ungerade natürliche Zahlen
und die Riemann'sche
14.4.2 Zusammenhänge der Riemann'schen ^-Funktion
mit den Primzahlen. 412
14.5 Übungsaufgaben. 415
Inhaltsverzeichnis
Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben. 419
Lösungen zu den Übungsaufgaben. 433
Literaturverzeichnis. 471
Index. 473 |
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen und Voraussetzungen
1.1 Mengen. 4
1.1.1 Mengen und ihre Elemente. 4
1.1.2 Mengen und ihre Mächtigkeit. 6
1.1.3 Gleichheit von Mengen und Teilmengen. 8
1.1.4 Verknüpfungen von Mengen . 9
1.2 Grundbegriffe des logischen Schließens. 12
1.2.1 Implikationen und die Äquivalenz von Aussagen. 13
1.2.2 Mathematische Logik und Alltagslogik. 14
1.2.3 Einige (wenige) Regeln des mathematischen Beweisens
und logischen Schließens. 14
1.2.4 Implikationen und Beweisverfahren. 15
1.2.5
1.3 Übungsaufgaben. 20
2 Natürliche Zahlen
2.1 Rechnen mit natürlichen Zahlen . 25
2.1.1 Addition und Subtraktion. 26
2.1.2 Das Prinzip des kleinsten Elements. 26
2.1.3 Multiplikation und Teilbarkeit. 30
2.1.4 Die Goldbach'sche Vermutung. 32
2.2 Die Idee der unendlichen Mengen. 34
2.2.1 Gibt es unendliche Mengen?. 34
2.2.2 Huberts Hotel. 34
2.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion. 36
2.3.1 Beweisen durch vollständige Induktion. 36
2.3.2 Definition durch Induktion:
Das Produkt natürlicher Zahlen. 42
2.3.3 Definition durch Induktion:
2.3.4 Definition durch Induktion: Die Fibonacci-Zahlen. 44
2.3.5 Geometrische Summenformel. 48
2.4 Der binomische Lehrsatz. 50
2.5 Ein Exkurs über Evidenz und Wahrheit. 57
2.6 Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen. 60
2.6.1 Was sind die natürlichen Zahlen?. 60
2.6.2 Die Peano-Axiome. 62
2.6.3 Modelle zu den Peano-Axiomen. 65
2.6.4 Mengentheoretische Begründung von N. 65
2.7 Übungsaufgaben. 67
XII Inhaltsverzeichnis
3 Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme
3.1 Beispiele für Zahldarstellungen. 73
3.2 Division mit Rest. 77
3.3 Die Kreuzprobe. 81
3.3.1 Das Prinzip der Kreuzprobe. 81
3.3.2 Die Begründung der Kreuzprobe. 82
3.4 Zahldarstellung in g-adischen Systemen. 84
3.5 Rechnen in Stellenwertsystemen . 88
3.5.1 Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen . 89
3.5.2 Multiplikation und Division in g-adischen Systemen_ 91
3.6 Übungsaufgaben. 94
4 Teilbarkeit und Primzahlen
4.1 Teilbarkeit in N. 97
4.2 Primzahlen. 101
4.2.1 Das Sieb des
4.2.2 Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen . 104
4.2.3 Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln . 106
4.2.4 Primfaktorzerlegung. 107
4.3 Teilbarkeit und Primfaktoren in
4.4 Übungsaufgaben. 122
5 Teiler und Vielfache
5.1 Der größte gemeinsame Teiler in
5.2 Der euklidische Algorithmus. 133
5.3 Das kleinste gemeinsame Vielfache in
5.4 Vollkommene Zahlen. 142
5.5 Übungsaufgaben. 150
6 Ganze Zahlen
6.1 Definition der ganzen Zahlen. 155
6.2 Rechnen mit ganzen Zahlen. 162
6.3 Die isomorphe Einbettung
der natürlichen in die ganzen Zahlen. 167
6.4 Die Anordnung der ganzen Zahlen. 173
6.5 Übungsaufgaben. 175
7 Restklassen
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7.2 Verknüpfungen von Restklassen. 185
7.2.1 Der Ring Zm der Restklassen
7.3 Teilbarkeitsregeln. 195
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7.3.1 Quersummenregeln. 196
7.3.2 Endstellenregeln. 199
7.3.3 Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln. 200
7.4 Pseudozufallszahlen und Kongruenzen. 200
7.4.1 Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen. 202
7.5
8 Lineare und quadratische Kongruenzen
8.1 Lineare Kongruenzen und ihre Lösbarkeit. 207
8.2 Anwendungen linearer Kongruenzen. 212
8.3 Sätze von Euler. 216
8.4 Chinesischer Restsatz. 220
8.5 Quadratische Kongruenzen. 222
8.6
9 Teilbarkeit in Integritätsringen
9.1 Integritätsringe. 236
9.2 Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente. 241
9.3 Primelemente. 251
9.4 Nebenklassen, Ideale und Hauptidealringe. 258
9.5 Eigenschaften von Hauptidealringen. 266
9.6 Übungsaufgaben. 271
10 Anwendungen der elementaren Zahlentheorie
10.1 Verwaltung von Lagerbeständen . 275
10.1.1
10.1.2
10.2 Kryptographie. 281
10.2.1 Einheiten
10.2.2 Grundlagen des RSA-Verfahrens. 287
10.2.3 Praktische Zahlenkodierung. 289
10.2.4 Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung. 290
10.2.5 Praktische Textkodierung. 291
10.3 Übungsaufgaben. 295
11 Rationale Zahlen
11.1 Definition der rationalen Zahlen. 299
11.2
11.3
11.3.1 Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner. 320
11.3.2 Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. 322
XIV Inhaltsverzeichnis
11.4
Rationale und reelle Zahlen. 324
11.5 Kettenbrüche. 329
11.5.1 Darstellung von rationalen Zahlen
durch Kettenbriiche. 332
11.5.2 Darstellung von irrationalen Zahlen
durch Kettenbrüche. 334
11.6 Ü bungsaufga
12 Reelle Zahlen
12.1 Konvergenz. 341
12.2 Die Erweiterung von
12.3 Nachweis des Grenzwerts. 359
12.4 Übungsaufgaben. 365
13 Komplexe Zahlen
13.1 Definition der komplexen Zahlen. 370
13.1.1 Die Zahlenebene. 370
13.1.2 Polarkoordinaten . 371
13.2 Addition und Multiplikation. 375
13.3 Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen. 378
13.4 Rechnen mit komplexen Zahlen. 380
13.5 Quadratische Gleichungen. 385
13.6 Gleichungen höherer Ordnung. 390
13.7 Übungsaufgaben. 395
14 Zahlentheoretische Funktionen
14.1 Begriffsbestimmung. 399
14.2 Primzahlverteilung. 400
14.3 Die Euler'sche (^-Funktion. 402
14.4 Die Riemann'sche (^-Funktion. 410
14.4.1 Ungerade natürliche Zahlen
und die Riemann'sche
14.4.2 Zusammenhänge der Riemann'schen ^-Funktion
mit den Primzahlen. 412
14.5 Übungsaufgaben. 415
Inhaltsverzeichnis
Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben. 419
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