Mathematik für Physiker: 1 Grundlagen aus Analysis und Linearer Algebra
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
Springer-Lehrbuch |
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| Beschreibung: | XVIII, 425 S. graph. Darst. |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Benutzerhinweise.............................................XIII
Teil
I Analysis in
einer reellen Variablen
1 Reelle und komplexe Zahlen............................... 3
A. Mengen, Funktionen, Körper.............................. 3
B. Anordnung, Betrag, Induktion............................ 8
C. Das Supremumsaxiom.................................... 12
D. Der Körper der komplexen Zahlen......................... 14
E. Wurzeln algebraischer Gleichungen ........................ 17
F. Elementare Funktionen (Formelsammlung) ................. 19
Ergänzungen................................................ 25
Aufgaben................................................... 31
2 Differenziation in
M
........................................ 35
Α.
Reelle Zahlenfolgen...................................... 35
B. Stetigkeit in
К
.......................................... 38
C.
Ableitung von Funktionen einer Variablen.................. 42
D. Mittelwertsatz und TAYLORformel......................... 46
E. Die Regeln von De L Hospital........................... 49
F. Elementare Funktionen
II
(Formelsammlung) ............... 52
Ergänzungen................................................ 54
Aufgaben................................................... 62
3 Integration in
К
........................................... 67
Α.
Eigenschaften des RiEMANN-Integrals...................... 67
B. Hauptsatz der
Differenziai-
und Integralrechnung............ 70
С
Integrationsmethoden.................................... 72
Ergänzungen................................................ 74
Aufgaben................................................... 80
XVI Inhaltsverzeichnis
4 Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen ............. 85
A. Differenzialgleichungen 1. Ordnung........................ 86
B. Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung................. 90
C. Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten.................................. 93
D. Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen
Differenzialgleichung mit der Methode der Variation der
Konstanten............................................. 98
Ergänzungen................................................100
Aufgaben...................................................108
Teil
II
Lineare Algebra und lineare Differenzialgleichungen
5 Vektoren, Matrizen, Determinanten.......................113
A. Vektoren und Matrizen...................................113
B. Lineare Gleichungssysteme und GAUSS-Elimination..........118
С
Determinanten und Permutationen........................123
D. Die
inverse
Matrix.......................................131
E. Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Rang........133
Ergänzungen................................................136
Aufgaben...................................................138
6 Vektorräume ..............................................143
A. Dimension und Basis eines Vektorraumes...................143
B. Norm und Skalarprodukt.................................149
C. Das Vektorprodukt im K3 ................................155
Ergänzungen................................................157
Aufgaben...................................................160
7 Lineare Abbildungen......................................165
A. Definition und einfache Eigenschaften linearer Abbildungen ... 165
B. Die Matrix einer linearen Abbildung.......................169
G. Eigenwerte linearer Abbildungen..........................172
D. Lineare Abbildungen im Prähilbertraum....................175
E. Unitäre und orthogonale Gruppen.........................180
Ergänzungen................................................185
Aufgaben...................................................190
8 Lineare Differenzialgleichungssysteme......................197
A. Allgemeine lineare Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung . . 197
B. Homogene Differenzialgleichungssysteme mit konstanten
Koeffizienten............................... 203
C. Spezialfälle.............................................207
Inhaltsverzeichnis XVII
Ergänzungen................................................209
Aufgaben...................................................214
Teil
III Analysis in
mehreren reellen Variablen
9 Differenziation in Rn.......................................219
A. Kurven in R ...........................................219
B. Partielle Ableitungen ....................................223
C. Totale Differenzierbarkeit.................................228
D. Die Kettenregel.........................................230
E. Höhere Ableitungen......................................232
F. Die TAYLOR-Formel .....................................235
G. Extremwertprobleme.....................................237
Ergänzungen................................................240
Aufgaben...................................................247
10 Ausbau der Differenzialrechnung: Implizite Funktionen
und
Vektoranalysis
........................................253
A. Inverse
und implizite Funktionen..........................253
B. Vektorfelder und Potenziale...............................257
C. Kurvenintegrale von Vektorfeldern.........................260
D. Krummlinige Koordinaten................................265
E. Die Feldoperationen in Kugel- und
Zylmderkoordiiiaten(Formelsammlung)
.....................269
Ergänzungen................................................273
Aufgaben...................................................284
11 Integration im
Жп
..........................................289
Α.
Definition des RiEMANN-Integrals..........................289
В.
Eigenschaften des RiEMANN-Integrals......................293
С
Iterierte Integrale........................................298
D. Die Transformationsformel................................303
Ergänzungen................................................308
Aufgaben...................................................317
12 Integralsätze...............................................323
A. Flächen imE3 ..........................................323
B. Flächenintegrale.........................................327
C. Der GREEN sche Satz in der Ebene........................329
D. Integralsatz von
Gauss
..................................331
E.
Integralsatz von
Stokes
.................................336
Ergänzungen ................................................ 338
Aufgaben...................................................344
XVIII
Inhaltsverzeichnis
Teil
IV
Grenzprozesse
13 Konvergenz................................................349
A. Metrische Räume........................................349
B. Konvergenz von Folgen...................................351
C. Kompaktheit und Vollständigkeit..........................355
D. Konvergenz von unendlichen Reihen .......................357
E. Konvergenzkriterien .....................................361
Ergänzungen................................................363
Aufgaben...................................................371
14 Stetigkeit..................................................375
A. Definition der Stetigkeit..................................375
B. eitere Eigenschaften stetiger Funktionen....................378
C. Fixpunktsatz von Banach ...............................379
D. Funktionenfolgen und -reihen.............................381
E. Differenziation und Integration von Folgen und Reihen.......386
Ergänzungen ................................................ 388
Aufgaben...................................................391
15 Uneigentliche Integrale und Integrale mit Parameter......395
A. Uneigentliche Integrale in
R
..............................395
B.
Parameterabhängige Integrale.............................398
C. Mehrdimensionale uneigentliche Integrale...................401
D. Die EuLER sche Gammafunktion..........................407
Ergänzungen................................................408
Aufgaben...................................................412
Literaturverzeichnis ...........................................417
Sachverzeichnis................................. 419
|
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Inhaltsverzeichnis
Benutzerhinweise.XIII
Teil
I Analysis in
einer reellen Variablen
1 Reelle und komplexe Zahlen. 3
A. Mengen, Funktionen, Körper. 3
B. Anordnung, Betrag, Induktion. 8
C. Das Supremumsaxiom. 12
D. Der Körper der komplexen Zahlen. 14
E. Wurzeln algebraischer Gleichungen . 17
F. Elementare Funktionen (Formelsammlung) . 19
Ergänzungen. 25
Aufgaben. 31
2 Differenziation in
M
. 35
Α.
Reelle Zahlenfolgen. 35
B. Stetigkeit in
К
. 38
C.
Ableitung von Funktionen einer Variablen. 42
D. Mittelwertsatz und TAYLORformel. 46
E. Die Regeln von De L'Hospital. 49
F. Elementare Funktionen
II
(Formelsammlung) . 52
Ergänzungen. 54
Aufgaben. 62
3 Integration in
К
. 67
Α.
Eigenschaften des RiEMANN-Integrals. 67
B. Hauptsatz der
Differenziai-
und Integralrechnung. 70
С
Integrationsmethoden. 72
Ergänzungen. 74
Aufgaben. 80
XVI Inhaltsverzeichnis
4 Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen . 85
A. Differenzialgleichungen 1. Ordnung. 86
B. Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung. 90
C. Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten. 93
D. Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen
Differenzialgleichung mit der Methode der Variation der
Konstanten. 98
Ergänzungen.100
Aufgaben.108
Teil
II
Lineare Algebra und lineare Differenzialgleichungen
5 Vektoren, Matrizen, Determinanten.113
A. Vektoren und Matrizen.113
B. Lineare Gleichungssysteme und GAUSS-Elimination.118
С
Determinanten und Permutationen.123
D. Die
inverse
Matrix.131
E. Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Rang.133
Ergänzungen.136
Aufgaben.138
6 Vektorräume .143
A. Dimension und Basis eines Vektorraumes.143
B. Norm und Skalarprodukt.149
C. Das Vektorprodukt im K3 .155
Ergänzungen.157
Aufgaben.160
7 Lineare Abbildungen.165
A. Definition und einfache Eigenschaften linearer Abbildungen . 165
B. Die Matrix einer linearen Abbildung.169
G. Eigenwerte linearer Abbildungen.172
D. Lineare Abbildungen im Prähilbertraum.175
E. Unitäre und orthogonale Gruppen.180
Ergänzungen.185
Aufgaben.190
8 Lineare Differenzialgleichungssysteme.197
A. Allgemeine lineare Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung . . 197
B. Homogene Differenzialgleichungssysteme mit konstanten
Koeffizienten. 203
C. Spezialfälle.207
Inhaltsverzeichnis XVII
Ergänzungen.209
Aufgaben.214
Teil
III Analysis in
mehreren reellen Variablen
9 Differenziation in Rn.219
A. Kurven in R".219
B. Partielle Ableitungen .223
C. Totale Differenzierbarkeit.228
D. Die Kettenregel.230
E. Höhere Ableitungen.232
F. Die TAYLOR-Formel .235
G. Extremwertprobleme.237
Ergänzungen.240
Aufgaben.247
10 Ausbau der Differenzialrechnung: Implizite Funktionen
und
Vektoranalysis
.253
A. Inverse
und implizite Funktionen.253
B. Vektorfelder und Potenziale.257
C. Kurvenintegrale von Vektorfeldern.260
D. Krummlinige Koordinaten.265
E. Die Feldoperationen in Kugel- und
Zylmderkoordiiiaten(Formelsammlung)
.269
Ergänzungen.273
Aufgaben.284
11 Integration im
Жп
.289
Α.
Definition des RiEMANN-Integrals.289
В.
Eigenschaften des RiEMANN-Integrals.293
С
Iterierte Integrale.298
D. Die Transformationsformel.303
Ergänzungen.308
Aufgaben.317
12 Integralsätze.323
A. Flächen imE3 .323
B. Flächenintegrale.327
C. Der GREEN'sche Satz in der Ebene.329
D. Integralsatz von
Gauss
.331
E.
Integralsatz von
Stokes
.336
Ergänzungen . 338
Aufgaben.344
XVIII
Inhaltsverzeichnis
Teil
IV
Grenzprozesse
13 Konvergenz.349
A. Metrische Räume.349
B. Konvergenz von Folgen.351
C. Kompaktheit und Vollständigkeit.355
D. Konvergenz von unendlichen Reihen .357
E. Konvergenzkriterien .361
Ergänzungen.363
Aufgaben.371
14 Stetigkeit.375
A. Definition der Stetigkeit.375
B. eitere Eigenschaften stetiger Funktionen.378
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15 Uneigentliche Integrale und Integrale mit Parameter.395
A. Uneigentliche Integrale in
R
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