Analysis: [von Studenten mitentwickelt] 2 Ein Lernbuch
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Vieweg
2007
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| Edition: | 2., aktualisierte Aufl. |
| Series: | Vieweg-Studium
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Auch als Internetausgabe |
| Physical Description: | XIV, 376 S. Illustrationen, Diagramme |
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5 Funktionenräume 1
5.1 Punktionenräume........................... 2
Algebraische und Ordnungsstrukturen auf Funktionenräumen, Räume stetiger und
differenzierbarer Funktionen.
5.2 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz............. 4
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Beispiele, Eigenschaften, die im Limes
erhalten bleiben, Satz von DlNI, punktweise Konvergenz ist nicht metrisierbar0,
Topologie
der punktweisen Konvergenz0.
5.3 Der Raum CK............................ 22
Supremumsnorm, CK ist vollständig, gleichgradige Stetigkeit, Satz von
Arzelà-
Ascoli.
5.4 Vollständigkeit: Folgerungen .................... 37
Banachscher Fixpunktsatz, Cantorscher Durchschnittssatz0, Mengen erster und
zweiter Kategorie0, Bairescher Kategoriensatz0, „fast alle stetigen Funktionen
sind nirgendwo differenzierbar0.
5.5 Verständnisfragen........................... 47
5.6 Übungsaufgaben ........................... 50
6 Integration 53
6.1 Definition des Integrals........................ 58
Integration als Problem der Flächenmessung, Treppenfunktionen und ihr Integral,
Riemann-Integral, Eigenschaften des Riemann-Integrals, Mehrfach-Integrale.
6.2 Die Berechnung von Integralen................... 93
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, partielle Integration, Integration
durch Substitution, Integration durch Partialbruchzerlegung.
6.3 Erweiterungen der Integraldefinition................114
Das Integral für komplexwertige Funktionen, uneigentliche Integrale, Gamma-
Funktion0, Cauchyscher Hauptwert0.
6.4 Parameterabhängige Integrale....................126
Partielle Ableitungen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit parameterabhängiger In¬
tegrale, Differentiation unter dem Integral, gebrochene Ableitungen0.
6.5 ¿P-Normen0..............................140
L1-Norm, Halbnormen, Lp-Normen, Höldersche Ungleichung, Minkowskische Un¬
gleichung.
xii INHALTSVERZEICHNIS
6.6 exp(x2) hat keine „einfache Stammfunktion0...........149
Problemstellung, der Satz von Liouville und Ostrowski, wann hat fe9 eine einfache
Stammfunktion?
6.7 Verständnisfragen...........................162
6.8 Übungsaufgaben...........................164
7 Anwendungen der Integralrechnung 169
7.1 Faltungen und der Satz von Weierstraß...............170
Faltungen, Dirac-Folgen, Weierstraßscher Approximationssatz.
7.2 Kurvendiskussion...........................180
Charakteriserung konvexer Funktionen, Integralform des Restglieds in der Taylor¬
formel, Mittelwertsatz der Integralrechnung.
7.3 Sinus und Cosinus: der geometrische Ansatz ...........188
Kurvenlänge, Winkel im Bogenmaß, der „geometrische Sinus.
7.4 Die Laplacetransformation0.....................193
Laplacetransformation: Definition, Eigenschaften, Lösung von Anfangswertpro¬
blemen.
7.5 Zahlentheorie0 ............................200
Approximierbarkeit und algebraische Zahlen (Satz von Liouville), es gibt über-
abzählbar viele „konkrete transzendente Zahlen,
e
ist transzendent,
π
ist irra¬
tional, Quadratur des Kreises.
7.6 Existenzsatz für Differentialgleichungen0..............213
Transformation des Anfangswertproblems in eine Integralgleichung, Satz von Picard-
Lindelöf.
7.7 Verständnisfragen...........................221
7.8 Übungsaufgaben...........................222
8 Differentialrechnung im R 225
8.1 Erinnerungen und Vorbereitungen .................227
Der Rn als Vektorraum, Skalarprodukt, lineare Abbildungen von K nach
К
und
von E nach R *, Determinanten.
8.2 Differenzier bar
keit,
partielle Ableitungen..............239
Differenzierbarkeit für Funktionen mehrerer Veränderlicher, eine hinreichende Be¬
dingung (Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen), Gradient.
8.3 Der Satz von Taylor imR .....................252
Höhere partielle Ableitungen, Satz von H.A. Schwarz, Nabla-Operator, Satz von
Taylor, Mittelwertsatz, Richtungsableitungen, Lipschitzeigenschaft stetig differen¬
zierbarer Abbildungen, Polynome in mehreren Veränderlichen.
8.4 Extremwertaufgaben, Konvexität..................267
Lokale und globale Extremwerte, eine hinreichende Bedingung, Exkurs zu positiv
definiten Matrizen, Charakterisierung lokaler Extremwerte, konvexe differenzier¬
bare Funktionen0.
8.5 Vektorwertige differenzierbare Abbildungen............280
Der allgemeine Differentiationsbegriff, eine hinreichende Bedingung, Jacobimatrix,
Kettenregel, Lipschitz-Eigenschaft, höhere Ableitungen0, differenzierbare Abbil¬
dungen zwischen Banachräumen0.
INHALTSVERZEICHNIS xiii
8.6 Der Satz von der
inversen
Abbildung................295
Beweis des Satzes im Spezialfall, lokal invertierbare Funktionen, der allgemeine
Fall, Jacobideterminante, erste Anwendungen (Wurzeln und Logarithmen für kom¬
plexe Zahlen^, Satz von der offenen Abbildung).
8.7 Koordinatentransformationen....................305
Koordinatentransformationen auf R, der „lineare Blick, Polar-, Kugel- und Zy¬
linderkoordinaten, Transformation von Differentialgleichungen, Laplace-Operator
in Polarkoordinaten0.
8.8 Der Satz über implizite Funktionen.................314
Problemstellung, implizite Darstellung einer Funktion, implizite Darstellung von
m
Funktionen.
8.9 Extremwerte mit Nebenbedingungen................320
Problemstellung, Lagrange-Multiplikatoren, Beispiele.
8.10 Verständnisfragen...........................329
8.11 Übungsaufgaben...........................333
Mathematische Ausblicke 339
A.l Das Lebesgue-Integral........................339
A.2 Fourierreihen.............................346
A.3 Mehrfachintegrale...........................353
Anhänge 361
Englisch für Mathematiker.........................361
Literaturtipps................................367
Lösungen zu den „? ............................369
Register...................................373
|
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Inhaltsverzeichnis
5 Funktionenräume 1
5.1 Punktionenräume. 2
Algebraische und Ordnungsstrukturen auf Funktionenräumen, Räume stetiger und
differenzierbarer Funktionen.
5.2 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz. 4
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Beispiele, Eigenschaften, die im Limes
erhalten bleiben, Satz von DlNI, punktweise Konvergenz ist nicht metrisierbar0,
Topologie
der punktweisen Konvergenz0.
5.3 Der Raum CK. 22
Supremumsnorm, CK ist vollständig, gleichgradige Stetigkeit, Satz von
Arzelà-
Ascoli.
5.4 Vollständigkeit: Folgerungen . 37
Banachscher Fixpunktsatz, Cantorscher Durchschnittssatz0, Mengen erster und
zweiter Kategorie0, Bairescher Kategoriensatz0, „fast alle" stetigen Funktionen
sind nirgendwo differenzierbar0.
5.5 Verständnisfragen. 47
5.6 Übungsaufgaben . 50
6 Integration 53
6.1 Definition des Integrals. 58
Integration als Problem der Flächenmessung, Treppenfunktionen und ihr Integral,
Riemann-Integral, Eigenschaften des Riemann-Integrals, Mehrfach-Integrale.
6.2 Die Berechnung von Integralen. 93
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, partielle Integration, Integration
durch Substitution, Integration durch Partialbruchzerlegung.
6.3 Erweiterungen der Integraldefinition.114
Das Integral für komplexwertige Funktionen, uneigentliche Integrale, Gamma-
Funktion0, Cauchyscher Hauptwert0.
6.4 Parameterabhängige Integrale.126
Partielle Ableitungen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit parameterabhängiger In¬
tegrale, Differentiation unter dem Integral, gebrochene Ableitungen0.
6.5 ¿P-Normen0.140
L1-Norm, Halbnormen, Lp-Normen, Höldersche Ungleichung, Minkowskische Un¬
gleichung.
xii INHALTSVERZEICHNIS
6.6 exp(x2) hat keine „einfache" Stammfunktion0.149
Problemstellung, der Satz von Liouville und Ostrowski, wann hat fe9 eine einfache
Stammfunktion?
6.7 Verständnisfragen.162
6.8 Übungsaufgaben.164
7 Anwendungen der Integralrechnung 169
7.1 Faltungen und der Satz von Weierstraß.170
Faltungen, Dirac-Folgen, Weierstraßscher Approximationssatz.
7.2 Kurvendiskussion.180
Charakteriserung konvexer Funktionen, Integralform des Restglieds in der Taylor¬
formel, Mittelwertsatz der Integralrechnung.
7.3 Sinus und Cosinus: der geometrische Ansatz .188
Kurvenlänge, Winkel im Bogenmaß, der „geometrische" Sinus.
7.4 Die Laplacetransformation0.193
Laplacetransformation: Definition, Eigenschaften, Lösung von Anfangswertpro¬
blemen.
7.5 Zahlentheorie0 .200
Approximierbarkeit und algebraische Zahlen (Satz von Liouville), es gibt über-
abzählbar viele „konkrete" transzendente Zahlen,
e
ist transzendent,
π
ist irra¬
tional, Quadratur des Kreises.
7.6 Existenzsatz für Differentialgleichungen0.213
Transformation des Anfangswertproblems in eine Integralgleichung, Satz von Picard-
Lindelöf.
7.7 Verständnisfragen.221
7.8 Übungsaufgaben.222
8 Differentialrechnung im R" 225
8.1 Erinnerungen und Vorbereitungen .227
Der Rn als Vektorraum, Skalarprodukt, lineare Abbildungen von K" nach
К
und
von E" nach R"*, Determinanten.
8.2 Differenzier bar
keit,
partielle Ableitungen.239
Differenzierbarkeit für Funktionen mehrerer Veränderlicher, eine hinreichende Be¬
dingung (Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen), Gradient.
8.3 Der Satz von Taylor imR" .252
Höhere partielle Ableitungen, Satz von H.A. Schwarz, Nabla-Operator, Satz von
Taylor, Mittelwertsatz, Richtungsableitungen, Lipschitzeigenschaft stetig differen¬
zierbarer Abbildungen, Polynome in mehreren Veränderlichen.
8.4 Extremwertaufgaben, Konvexität.267
Lokale und globale Extremwerte, eine hinreichende Bedingung, Exkurs zu positiv
definiten Matrizen, Charakterisierung lokaler Extremwerte, konvexe differenzier¬
bare Funktionen0.
8.5 Vektorwertige differenzierbare Abbildungen.280
Der allgemeine Differentiationsbegriff, eine hinreichende Bedingung, Jacobimatrix,
Kettenregel, Lipschitz-Eigenschaft, höhere Ableitungen0, differenzierbare Abbil¬
dungen zwischen Banachräumen0.
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8.6 Der Satz von der
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Beweis des Satzes im Spezialfall, lokal invertierbare Funktionen, der allgemeine
Fall, Jacobideterminante, erste Anwendungen (Wurzeln und Logarithmen für kom¬
plexe Zahlen^, Satz von der offenen Abbildung).
8.7 Koordinatentransformationen.305
Koordinatentransformationen auf R, der „lineare" Blick, Polar-, Kugel- und Zy¬
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8.8 Der Satz über implizite Funktionen.314
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8.9 Extremwerte mit Nebenbedingungen.320
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8.10 Verständnisfragen.329
8.11 Übungsaufgaben.333
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