Zum Dezimalbruchverständnis von Schülerinnen und Schülern: theoretische Analyse und empirische Befunde
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Thesis Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Logos-Verl.
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XI, 658 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 383251340X |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I
Dezimalbruchrechnung
1 Zur Bedeutung der Dezimalbruchrechnung 5
2 Zugänge zur Dezimalbruchrechnung 7
3 Die Dezimalbruchrechnung im deutschen
3.1 Fachliche Anforderungen und didaktische Hinweise 11
3.2 Zeitpunkt und Umfang 13
3.3 Gemeine Bruche und Dezimalbruche 14
3.4 Lehrplan der untersuchten Population 16
4 Ein Blick ins Ausland 19
II
1 Grundlegende Fehlvorstellungen und ihre Ursachen 23
1.1 Die Sprechweise von Dezimalbrüchen als wichtige 25
Ursache für Fehlvorstellungen
1.1.1 Bedeutung einer angemessenen Sprechweise 26
1.1.2 Untersuchungsergebnisse 28
1.2 Fehlvorstellungen im Bereich der Stellenwerte 30
1.2.1 Anordnung der Stellenwerte 31
1.2.1.1 ST1 : Orientierung an der aus den Dezimalen 31
gebildeten natürlichen Zahl
1.2.1.2 ST2: Symmetrie durch das Komma 33
1.2.1.3 Diagnostische Möglichkeiten und Probleme 34
1.2.1.4 Untersuchungsergebnisse zu ST1 und ST2 36
1.2.1.5 Weitere Untersuchungsergebnisse zur 38
Anordnung der Stellenwerte
1.2.1.6 Wichtige Bemerkungen 40
1.2.2 Die stellenwertbelegende Rolle der Null 42
1.2.2.1 Untersuchungsergebnisse zur steilenwert- 44
belegenden Rolle der Null
1.2.3 Umbündeln 46
1.2.4 Zusammenhang zwischen den Stellenwerten 48
1.2.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 51
1.2.6 Zusammenfassung 51
1.3 Beziehung zu den gemeinen Brüchen 52
1.3.1 Globale und lokale Sichtweise von Dezimalbrüchen 53
1.3.2 Zur Bedeutung des Zusammenhangs 54
1.3.3 Warum überhaupt zwei verschiedene Darstellungen von 5 5
Bruchzahlen?
1.3.4 Untersuchungsergebnisse zu Umwandlungen 57
1.3.4.1 Umwandlung von Dezimalbrüchen in gemeine 5 8
Brüche
1.3.4.2 Umwandlung von gemeinen Brüchen in 61
Dezimalbrüche
1.3.4.2.1 Sonderfall: Gemeine Brüche mit 61
Zehnerpotenzen im Nenner
1.3.4.2.2 Allgemeiner Fall: Gemeine Brüche mit 64
Nenner* 10
1.3.5 Untersuchungsergebnisse zu weiteren Aufgabenstellungen 66
1.3.5.1 Studie von
1.3.5.2 Studie von Neumann (2000) 68
1.3.6 Zusammenfassung 74
1.4 Fehlvorstellungen bei der Anordnung von Dezimalbrüchen 75
1.4.1 Arten von Fehlvorstellungen 77
1.4.1.1 Länger ist größer
1.4.1.2 Kürzer ist größer (KIG) 78
1.4.1.3 Der Sonderfall Null 79
1.4.1.4 Weitere Fehlvorstellungen 81
1.4.2 Diagnostische Probleme 84
1.4.3 Die Ursachen der wichtigsten Fehlvorstellungen 85
1.4.4 Hierarchische Ordnung der wichtigsten 89
Fehlvorstellungen
1.4.5 Führen Fehlvorstellungen zwangsläufig zu Fehlern? 90
1.4.6 Expertenstrategien 91
1.4.7 Untersuchungsergebnisse zu Fehlerstrategien beim 92
Größenvergleich von Dezimalbrüchen
1.4.7.1 Systematische Fehlerstrategien 94
1.4.7.1.1 Diskussion der Ergebnisse 100
1.4.7.1.2 Vergleich mit den Ergebnissen zweier 102
Längsschnittuntersuchungen
1.4.7.2 Typische Fehlerstrategien 106
1.4.7.2.1 Diskussion der Ergebnisse 111
1.4.7.3 Ergänzende Untersuchungsergebnisse 112
1.4.7.4 Der Sonderfall Null 114
1.4.7.4.1 Diskussion der Ergebnisse 119
1.4.8 Welche Zahl liegt am nächsten bei...? 120
1.4.9 Welche Zahlen liegen zwischen 0,4 und 0,5? - Zur 122
Dichte von Dezimalbrüchen
1.4.9.1 Nenne eine Zahl zwischen... 122
1.4.9.2 Gibt es überhaupt Dezimalbrüche zwischen 124
0,4 und 0,5?
1.4.9.3 Wie viele Zahlen liegen zwischen...? 126
1.4.10 Weiterzählen / Reihen fortsetzen 128
1.4.11 Zum Einfluss von Größen und konkreten Handlungen 129
1.4.12 Zusammenfassung der Ergebnisse 130
1.4.13 Abschließende Bemerkungen 131
1.4.13.1 Die Bedeutung des Reziproken bzw. 131
Negativen Denkens
1.4.13.2 Zum Einfluss alltäglicher Erfahrungen 132
1.5 Grundlegende Fehlvorstellungen im Operationsverständnis 133
von Multiplikation und Division
1.5.1 Drei wichtige Fehlvorstellungen im Operationsverständnis 134
von Multiplikation und Division und ihre Ursachen
1.5.2 Diagnostische Probleme 137
1.5.3 Untersuchungsergebnisse 139
1.5.3.1 Untersuchung von Graeber & Tirosh (1990) 139
1.5.3.2 Untersuchung von Fischbein et
1.5.3.3 Untersuchung von Bell et
1.5.3.4 Untersuchung von Wellenreuther & Zech ( 1990) 145
1.5.3.5 Untersuchung von
1.5.3.6 Untersuchung von Greer (1987) 149
1.5.3.7 Untersuchung von Greer & Mangan (1986) 150
1.5.3.8 Untersuchungen an angehenden Lehrern 151
(1986; 1989)
1.5.4 Zusammenfassung der Ergebnisse 153
2 Untersuchungsergebnisse zu typischen Fehlern bei den vier 154
Rechenoperationen
2.1 Addition 157
2.1.1 Dominanz der Komma-trennt-Vorstellung 157
2.1.2 Das Problem fehlender Rechtsbündigkeit 160
2.1.3 Dezimalbruch plus natürliche Zahl (oder umgekehrt) 163
2.1.4 Weitere Untersuchungsergebnisse 165
2.1.5 Zusammenfassung 166
2.2 Subtraktion 168
2.2.1 Die Komma-trennt-Strategie bei der Subtraktion 168
2.2.2 Das Problem des Übertrags 169
2.2.3 Aufgaben mit unterschiedlicher Anzahl an Dezimalen 170
2.2.4 Dezimalbruch minus natürliche Zahl (oder umgekehrt) 172
2.2.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 173
2.2.6 Zusammenfassung 175
2.3 Multiplikation 176
2.3.1 Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer Zehnerpotenz 176
2.3.2 Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen 180
Zahl
2.3.3 Multiplikation eines Dezimalbruchs mit 0,1 ; 0,01 ; 0,001 181
usw.
2.3.4 Multiplikation von zwei Dezimalbrüchen (allgemeiner Fall) 183
. 2.3.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 185
2.3.6 Zusammenfassung 187
2.4 Division 188
2.4.1 Division durch Zehnerpotenzen 189
2.4.2 Division durch natürliche Zahlen (^ Zehnerpotenzen) 191
2.4.3 Division einer natürlichen Zahl durch einen Dezimalbruch 192
2.4.4 Division von Dezimalbrüchen durch Dezimalbrüche 195
(allgemeiner Fall)
2.4.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 197
2.4.6 Zusammenfassung 198
2.5 Weitere Aspekte bezüglich der vier Rechenoperationen 199
2.5.1 Untersuchungsergebnisse zur Regelkenntnis und zum 199
quasikardinalen Aspekt
2.5.2 Formales versus inhaltliches Vorgehen 200
2.6 Resümee 203
3
3.1 Veranschaulichungen von Dezimalbrüchen 206
3.1.1 Untersuchungsergebnisse zu anschaulichen Modellen 207
3.1.1.1 Der Zahlenstrahl (dezimale Unterteilung) 207
3.1.1.2 Zweidimensionale, kontinuierliche Modelle 210
(dezimale Unterteilung)
3.1.1.3 Der Messbecher 212
3.1.1.4 Zehnerblöcke 214
3.1.1.5 Modelle mit nicht-dezimaler Unterteilung 218
3.1.2 Weitere Untersuchungsergebnisse 222
3.1.3 Resümee - Ausbildung einer anschaulichen Vorstellung 225
durch Veranschaulichungsmittel?
3.2 Größen 226
3.2.1 Vor- und Nachteile der Verwendung von Größen 227
3.2.1.1 Vorteile 227
3.2.1.2 Nachteile 228
3.2.2 Untersuchungsergebnisse 229
3.2.2.1 Zur Auswirkung von Größenangaben 230
3.2.2.2 Zur Umwandlung von Größen 235
3.2.2.3 Weitere Untersuchungsergebnisse 239
3.2.3 Konsequenzen 240
4 Runden / Überschlagen / Schätzen - Näherungsrechnen 240
4.1 Bedeutung des Näherungsrechnens 240
4.2 Untersuchungsergebnisse 242
III
Dezimalbruchverständnisses
1 Untersuchungsdesign 247
1.1 Allgemeines 247
1.2 Der schriftliche Test 249
1.2.1 Testaufbau 249
1.2.2 Testaufgaben 251
1.2.2.1 Sprechweise 251
1.2.2.2 Alltagserfahrungen 252
1.2.2.3
Dezimalbruchs
1.2.2.4 Größenvergleich 253
1.2.2.5 Dichteverständnis 255
1.2.2.6 Veranschaulichungen 256
1.2.2.7 Stellenwerrverständnis 258
1.2.2.8 Sichtweise von Dezimalbrüchen 260
1.2.2.9 Addition 264
1.2.2.10 Subtraktion 261
1.2.2.11 Differenzbildung 263
1.2.2.12 Vervielfachen 264
1.2.2.13 Division (Verteilen / Messen) 265
1.3 Die Interviews 266
1.4 Der Lehrerfragebogen 269
2 Auswertung der Untersuchung 270
2.1 Globale Ergebnisse
271
2.2 Auswertung der einzelnen Testaufgaben
276
2.2.1 Sprechweise
277
2.2.2 Alltagserfahrungen
279
2.2.3 Intuitive Vorstellung - Malen eines Dezimalbruchs
280
2.2.4 Größenvergleich
288
2.2.5 Zur „Dichte von Dezimalbrüchen
300
2.2.6 Umgang mit Veranschaulichungen
309
2.2.6.1 Zahlenstrahl
309
2.2.6.2 Messbecher
316
2.2.7 Stellenwertverständnis
329
2.2.8 Sichtweise von Dezimalbrüchen: lokal versus global
356
2.2.9 Addition
361
2.2.10 Subtraktion
366
2.2.11 Differenzbildung
379
2.2.12 Vervielfachen
388
2.2.13 Division (Verteilen / Messen)
399
2.3 Die Komma-Trennt-Vorstellung als dominante
415
Fehlerstrategie
2.3.1 Einige Begriffsklärungen
416
2.3.2 Art der Anwendung
418
2.3.3 Unterschiede zwischen den Klassen
422
2.3.4 Die Entwicklung der Komma-Trennt-Strategie 425
2.3.5 Welche KT-Aufgaben lösen KT-Schüler richtig? 428
2.3.6 KT-Antworten bei einmaliger Anwendung der KT-Strategie 430
2.3.7 Welche KT-Aufgaben lassen KT-Schüler besonders 433
häufig aus?
2.3.8 KT-Schüler: Gibt es einen Zusammenhang zur 436
Sprechweise von Dezimalbrüchen?
2.3.9 Zusammenfassung 437
2.4 Die Interviews 440
2.4.1 Zum Aufbau von Dezimalbrüchen 440
2.4.1.1 Sicherheit bis zwei Dezimalen, Probleme ab 441
drei Dezimalen
2.4.1.2 „Hundertstel stehen immer vor dem Komma - 448
feste Anordnung von Stellenwerten
2.4.1.3 „Hundertstel haben zwei Nullen - fehlerhafte 455
Übertragungen infolge der Stellenwert¬
bezeichnungen
2.4.1.4 Das Komma als Symmetrieachse 465
2.4.1.5 Weitere Strategien 467
2.4.2 Zum Rückgriff auf Größen 469
2.4.2.1 Chancen 469
2.4.2.2 Probleme 472
2.4.3 Einfluss der gemeinen Brüche 480
2.4.3.1 Chancen 480
2.4.3.2 Ein Halb als wichtiger Anknüpfungspunkt 481
2.4.3.3 Fehlerhafte Übertragungen 484
2.4.4 Zum inhaltlichen Verständnis 487
2.4.4.1 Verständnisprobleme trotz richtiger Kenntnis 487
der Stellenwertanordnung
2.4.4.2 Fehlende Größenvorstellung 492
2.4.4.3 Unverstandene Regeln 493
2.4.4.4 Die Neigung zum formalen Rechnen 500
2.4.4.5 Widersprüchliches Schülerverhalten 503
2.4.4.6 Positive Beispiele 506
2.4.5 Zusammenfassung 508
2.5 Zum
2.5.1 Ergebnisse der Lehrerbefragung 509
2.5.1.1 Zum Umgang mit Größen 510
2.5.1.2 Zur Behandlung von Dezimalbrüchen im 513
Unterricht
2.5.2 Die verwendeten Schulbücher 520
2.5.2.1 Mathematik heute 6 521
2.5.2.1.1 Allgemeines 521
2.5.2.1.2 Übungsaufgaben 523
2.5.2.1.3 Einführung der Inhalte 526
2.5.2.2 Schnittpunkt 6 536
2.5.2.2.1 Allgemeines 536
2.5.2.2.2 Übungsteil 538
2.5.2.2.3 Einführung der Inhalte 542
2.5.2.3 Resümee 551
IV
1 Inhaltliches Verständnis statt formaler Regeln 555
1.1 Umfangreiche verständnisbasierte Einführungsphasen 558
1.2 Zusammenhänge erarbeiten / das Verständnis vertiefen 559
1.3 Sorgfältige Erarbeitung von Regeln 561
1.4 Verständnis auch in Klassenarbeiten einfordern 562
2 Ein fundiertes Stellenwertverständnis als Grundlage eines 562
verständnisbasierten Umgangs mit Dezimalbrüchen
2.1 Mehr Zeit für die Thematisierung der Stellenwerte 562
2.2 Inhaltliche Vorstellungen von Stellenwerten entwickeln 565
2.3 Stellenwerteigenschaften herausarbeiten 568
2.4 Lokale und globale Sichtweise von Dezimalbrüchen 569
vermitteln
2.5 Das Stellenwertverständnis langfristig sichern 570
2.6 Die stellenwertbelegende Rolle der Null gründlich 571
erarbeiten
2.7 Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen verstehen 574
Ausbildung inhaltlicher Vorstellungen 577
3.1 Veranschaulichungen von Dezimalbrüchen 577
3.1.1 Lineare Modelle 578
3.1.2 Zehnerblöcke 580
3.1.3 Lineare Arithmetik-Blöcke 583
3.1.4 Stellenwerttafeln 585
3.2 Gemeine Brüche 587
3.3 Anschauliche Modelle für Operationen 588
3.4 Sachkontexte 590
3.5 Größen 593
Die Arbeit gegen Fehlerstrategien 594
4.1 Analyse von Fehlerstrategien 594
4.2 Bewusstes Kontrastieren 596
4.3 Konflikte erzeugen, nicht vermeiden 598
4.4 Fehlerstrategien thematisieren, nicht tabuisieren 602
4.5 Ergebnisse kritisch prüfen 604
Dezimalbruchrechnung im
5.1 Dezimalbrüche und gemeine Brüche strikt trennen? 607
5.2 Mehr Zeit für Dezimalbrüche 609
5.3 Bedeutung der Lehrerkomponente 611
613
Ausblick
Literaturverzeichnis 615
Tabellen Verzeichnis 633
Anhang 641
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I
Dezimalbruchrechnung
1 Zur Bedeutung der Dezimalbruchrechnung 5
2 Zugänge zur Dezimalbruchrechnung 7
3 Die Dezimalbruchrechnung im deutschen
3.1 Fachliche Anforderungen und didaktische Hinweise 11
3.2 Zeitpunkt und Umfang 13
3.3 Gemeine Bruche und Dezimalbruche 14
3.4 Lehrplan der untersuchten Population 16
4 Ein Blick ins Ausland 19
II
1 Grundlegende Fehlvorstellungen und ihre Ursachen 23
1.1 Die Sprechweise von Dezimalbrüchen als wichtige 25
Ursache für Fehlvorstellungen
1.1.1 Bedeutung einer angemessenen Sprechweise 26
1.1.2 Untersuchungsergebnisse 28
1.2 Fehlvorstellungen im Bereich der Stellenwerte 30
1.2.1 Anordnung der Stellenwerte 31
1.2.1.1 ST1 : Orientierung an der aus den Dezimalen 31
gebildeten natürlichen Zahl
1.2.1.2 ST2: Symmetrie durch das Komma 33
1.2.1.3 Diagnostische Möglichkeiten und Probleme 34
1.2.1.4 Untersuchungsergebnisse zu ST1 und ST2 36
1.2.1.5 Weitere Untersuchungsergebnisse zur 38
Anordnung der Stellenwerte
1.2.1.6 Wichtige Bemerkungen 40
1.2.2 Die stellenwertbelegende Rolle der Null 42
1.2.2.1 Untersuchungsergebnisse zur steilenwert- 44
belegenden Rolle der Null
1.2.3 Umbündeln 46
1.2.4 Zusammenhang zwischen den Stellenwerten 48
1.2.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 51
1.2.6 Zusammenfassung 51
1.3 Beziehung zu den gemeinen Brüchen 52
1.3.1 Globale und lokale Sichtweise von Dezimalbrüchen 53
1.3.2 Zur Bedeutung des Zusammenhangs 54
1.3.3 Warum überhaupt zwei verschiedene Darstellungen von 5 5
Bruchzahlen?
1.3.4 Untersuchungsergebnisse zu Umwandlungen 57
1.3.4.1 Umwandlung von Dezimalbrüchen in gemeine 5 8
Brüche
1.3.4.2 Umwandlung von gemeinen Brüchen in 61
Dezimalbrüche
1.3.4.2.1 Sonderfall: Gemeine Brüche mit 61
Zehnerpotenzen im Nenner
1.3.4.2.2 Allgemeiner Fall: Gemeine Brüche mit 64
Nenner* 10"
1.3.5 Untersuchungsergebnisse zu weiteren Aufgabenstellungen 66
1.3.5.1 Studie von
1.3.5.2 Studie von Neumann (2000) 68
1.3.6 Zusammenfassung 74
1.4 Fehlvorstellungen bei der Anordnung von Dezimalbrüchen 75
1.4.1 Arten von Fehlvorstellungen 77
1.4.1.1 Länger ist größer
1.4.1.2 Kürzer ist größer (KIG) 78
1.4.1.3 Der Sonderfall Null 79
1.4.1.4 Weitere Fehlvorstellungen 81
1.4.2 Diagnostische Probleme 84
1.4.3 Die Ursachen der wichtigsten Fehlvorstellungen 85
1.4.4 Hierarchische Ordnung der wichtigsten 89
Fehlvorstellungen
1.4.5 Führen Fehlvorstellungen zwangsläufig zu Fehlern? 90
1.4.6 Expertenstrategien 91
1.4.7 Untersuchungsergebnisse zu Fehlerstrategien beim 92
Größenvergleich von Dezimalbrüchen
1.4.7.1 Systematische Fehlerstrategien 94
1.4.7.1.1 Diskussion der Ergebnisse 100
1.4.7.1.2 Vergleich mit den Ergebnissen zweier 102
Längsschnittuntersuchungen
1.4.7.2 Typische Fehlerstrategien 106
1.4.7.2.1 Diskussion der Ergebnisse 111
1.4.7.3 Ergänzende Untersuchungsergebnisse 112
1.4.7.4 Der Sonderfall Null 114
1.4.7.4.1 Diskussion der Ergebnisse 119
1.4.8 Welche Zahl liegt am nächsten bei.? 120
1.4.9 Welche Zahlen liegen zwischen 0,4 und 0,5? - Zur 122
Dichte von Dezimalbrüchen
1.4.9.1 Nenne eine Zahl zwischen. 122
1.4.9.2 Gibt es überhaupt Dezimalbrüche zwischen 124
0,4 und 0,5?
1.4.9.3 Wie viele Zahlen liegen zwischen.? 126
1.4.10 Weiterzählen / Reihen fortsetzen 128
1.4.11 Zum Einfluss von Größen und konkreten Handlungen 129
1.4.12 Zusammenfassung der Ergebnisse 130
1.4.13 Abschließende Bemerkungen 131
1.4.13.1 Die Bedeutung des Reziproken bzw. 131
Negativen Denkens
1.4.13.2 Zum Einfluss alltäglicher Erfahrungen 132
1.5 Grundlegende Fehlvorstellungen im Operationsverständnis 133
von Multiplikation und Division
1.5.1 Drei wichtige Fehlvorstellungen im Operationsverständnis 134
von Multiplikation und Division und ihre Ursachen
1.5.2 Diagnostische Probleme 137
1.5.3 Untersuchungsergebnisse 139
1.5.3.1 Untersuchung von Graeber & Tirosh (1990) 139
1.5.3.2 Untersuchung von Fischbein et
1.5.3.3 Untersuchung von Bell et
1.5.3.4 Untersuchung von Wellenreuther & Zech ( 1990) 145
1.5.3.5 Untersuchung von
1.5.3.6 Untersuchung von Greer (1987) 149
1.5.3.7 Untersuchung von Greer & Mangan (1986) 150
1.5.3.8 Untersuchungen an angehenden Lehrern 151
(1986; 1989)
1.5.4 Zusammenfassung der Ergebnisse 153
2 Untersuchungsergebnisse zu typischen Fehlern bei den vier 154
Rechenoperationen
2.1 Addition 157
2.1.1 Dominanz der Komma-trennt-Vorstellung 157
2.1.2 Das Problem fehlender Rechtsbündigkeit 160
2.1.3 Dezimalbruch plus natürliche Zahl (oder umgekehrt) 163
2.1.4 Weitere Untersuchungsergebnisse 165
2.1.5 Zusammenfassung 166
2.2 Subtraktion 168
2.2.1 Die Komma-trennt-Strategie bei der Subtraktion 168
2.2.2 Das Problem des Übertrags 169
2.2.3 Aufgaben mit unterschiedlicher Anzahl an Dezimalen 170
2.2.4 Dezimalbruch minus natürliche Zahl (oder umgekehrt) 172
2.2.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 173
2.2.6 Zusammenfassung 175
2.3 Multiplikation 176
2.3.1 Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer Zehnerpotenz 176
2.3.2 Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen 180
Zahl
2.3.3 Multiplikation eines Dezimalbruchs mit 0,1 ; 0,01 ; 0,001 181
usw.
2.3.4 Multiplikation von zwei Dezimalbrüchen (allgemeiner Fall) 183
. 2.3.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 185
2.3.6 Zusammenfassung 187
2.4 Division 188
2.4.1 Division durch Zehnerpotenzen 189
2.4.2 Division durch natürliche Zahlen (^ Zehnerpotenzen) 191
2.4.3 Division einer natürlichen Zahl durch einen Dezimalbruch 192
2.4.4 Division von Dezimalbrüchen durch Dezimalbrüche 195
(allgemeiner Fall)
2.4.5 Weitere Untersuchungsergebnisse 197
2.4.6 Zusammenfassung 198
2.5 Weitere Aspekte bezüglich der vier Rechenoperationen 199
2.5.1 Untersuchungsergebnisse zur Regelkenntnis und zum 199
quasikardinalen Aspekt
2.5.2 Formales versus inhaltliches Vorgehen 200
2.6 Resümee 203
3
3.1 Veranschaulichungen von Dezimalbrüchen 206
3.1.1 Untersuchungsergebnisse zu anschaulichen Modellen 207
3.1.1.1 Der Zahlenstrahl (dezimale Unterteilung) 207
3.1.1.2 Zweidimensionale, kontinuierliche Modelle 210
(dezimale Unterteilung)
3.1.1.3 Der Messbecher 212
3.1.1.4 Zehnerblöcke 214
3.1.1.5 Modelle mit nicht-dezimaler Unterteilung 218
3.1.2 Weitere Untersuchungsergebnisse 222
3.1.3 Resümee - Ausbildung einer anschaulichen Vorstellung 225
durch Veranschaulichungsmittel?
3.2 Größen 226
3.2.1 Vor- und Nachteile der Verwendung von Größen 227
3.2.1.1 Vorteile 227
3.2.1.2 Nachteile 228
3.2.2 Untersuchungsergebnisse 229
3.2.2.1 Zur Auswirkung von Größenangaben 230
3.2.2.2 Zur Umwandlung von Größen 235
3.2.2.3 Weitere Untersuchungsergebnisse 239
3.2.3 Konsequenzen 240
4 Runden / Überschlagen / Schätzen - Näherungsrechnen 240
4.1 Bedeutung des Näherungsrechnens 240
4.2 Untersuchungsergebnisse 242
III
Dezimalbruchverständnisses
1 Untersuchungsdesign 247
1.1 Allgemeines 247
1.2 Der schriftliche Test 249
1.2.1 Testaufbau 249
1.2.2 Testaufgaben 251
1.2.2.1 Sprechweise 251
1.2.2.2 Alltagserfahrungen 252
1.2.2.3
Dezimalbruchs
1.2.2.4 Größenvergleich 253
1.2.2.5 Dichteverständnis 255
1.2.2.6 Veranschaulichungen 256
1.2.2.7 Stellenwerrverständnis 258
1.2.2.8 Sichtweise von Dezimalbrüchen 260
1.2.2.9 Addition 264
1.2.2.10 Subtraktion 261
1.2.2.11 Differenzbildung 263
1.2.2.12 Vervielfachen 264
1.2.2.13 Division (Verteilen / Messen) 265
1.3 Die Interviews 266
1.4 Der Lehrerfragebogen 269
2 Auswertung der Untersuchung 270
2.1 Globale Ergebnisse
271
2.2 Auswertung der einzelnen Testaufgaben
276
2.2.1 Sprechweise
277
2.2.2 Alltagserfahrungen
279
2.2.3 Intuitive Vorstellung - Malen eines Dezimalbruchs
280
2.2.4 Größenvergleich
288
2.2.5 Zur „Dichte" von Dezimalbrüchen
300
2.2.6 Umgang mit Veranschaulichungen
309
2.2.6.1 Zahlenstrahl
309
2.2.6.2 Messbecher
316
2.2.7 Stellenwertverständnis
329
2.2.8 Sichtweise von Dezimalbrüchen: lokal versus global
356
2.2.9 Addition
361
2.2.10 Subtraktion
366
2.2.11 Differenzbildung
379
2.2.12 Vervielfachen
388
2.2.13 Division (Verteilen / Messen)
399
2.3 Die Komma-Trennt-Vorstellung als dominante
415
Fehlerstrategie
2.3.1 Einige Begriffsklärungen
416
2.3.2 Art der Anwendung
418
2.3.3 Unterschiede zwischen den Klassen
422
2.3.4 Die Entwicklung der Komma-Trennt-Strategie 425
2.3.5 Welche KT-Aufgaben lösen KT-Schüler richtig? 428
2.3.6 KT-Antworten bei einmaliger Anwendung der KT-Strategie 430
2.3.7 Welche KT-Aufgaben lassen KT-Schüler besonders 433
häufig aus?
2.3.8 KT-Schüler: Gibt es einen Zusammenhang zur 436
Sprechweise von Dezimalbrüchen?
2.3.9 Zusammenfassung 437
2.4 Die Interviews 440
2.4.1 Zum Aufbau von Dezimalbrüchen 440
2.4.1.1 Sicherheit bis zwei Dezimalen, Probleme ab 441
drei Dezimalen
2.4.1.2 „Hundertstel stehen immer vor dem Komma" - 448
feste Anordnung von Stellenwerten
2.4.1.3 „Hundertstel haben zwei Nullen" - fehlerhafte 455
Übertragungen infolge der Stellenwert¬
bezeichnungen
2.4.1.4 Das Komma als Symmetrieachse 465
2.4.1.5 Weitere Strategien 467
2.4.2 Zum Rückgriff auf Größen 469
2.4.2.1 Chancen 469
2.4.2.2 Probleme 472
2.4.3 Einfluss der gemeinen Brüche 480
2.4.3.1 Chancen 480
2.4.3.2 Ein Halb als wichtiger Anknüpfungspunkt 481
2.4.3.3 Fehlerhafte Übertragungen 484
2.4.4 Zum inhaltlichen Verständnis 487
2.4.4.1 Verständnisprobleme trotz richtiger Kenntnis 487
der Stellenwertanordnung
2.4.4.2 Fehlende Größenvorstellung 492
2.4.4.3 Unverstandene Regeln 493
2.4.4.4 Die Neigung zum formalen Rechnen 500
2.4.4.5 Widersprüchliches Schülerverhalten 503
2.4.4.6 Positive Beispiele 506
2.4.5 Zusammenfassung 508
2.5 Zum
2.5.1 Ergebnisse der Lehrerbefragung 509
2.5.1.1 Zum Umgang mit Größen 510
2.5.1.2 Zur Behandlung von Dezimalbrüchen im 513
Unterricht
2.5.2 Die verwendeten Schulbücher 520
2.5.2.1 Mathematik heute 6 521
2.5.2.1.1 Allgemeines 521
2.5.2.1.2 Übungsaufgaben 523
2.5.2.1.3 Einführung der Inhalte 526
2.5.2.2 Schnittpunkt 6 536
2.5.2.2.1 Allgemeines 536
2.5.2.2.2 Übungsteil 538
2.5.2.2.3 Einführung der Inhalte 542
2.5.2.3 Resümee 551
IV
1 Inhaltliches Verständnis statt formaler Regeln 555
1.1 Umfangreiche verständnisbasierte Einführungsphasen 558
1.2 Zusammenhänge erarbeiten / das Verständnis vertiefen 559
1.3 Sorgfältige Erarbeitung von Regeln 561
1.4 Verständnis auch in Klassenarbeiten einfordern 562
2 Ein fundiertes Stellenwertverständnis als Grundlage eines 562
verständnisbasierten Umgangs mit Dezimalbrüchen
2.1 Mehr Zeit für die Thematisierung der Stellenwerte 562
2.2 Inhaltliche Vorstellungen von Stellenwerten entwickeln 565
2.3 Stellenwerteigenschaften herausarbeiten 568
2.4 Lokale und globale Sichtweise von Dezimalbrüchen 569
vermitteln
2.5 Das Stellenwertverständnis langfristig sichern 570
2.6 Die stellenwertbelegende Rolle der Null gründlich 571
erarbeiten
2.7 Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen verstehen 574
Ausbildung inhaltlicher Vorstellungen 577
3.1 Veranschaulichungen von Dezimalbrüchen 577
3.1.1 Lineare Modelle 578
3.1.2 Zehnerblöcke 580
3.1.3 Lineare Arithmetik-Blöcke 583
3.1.4 Stellenwerttafeln 585
3.2 Gemeine Brüche 587
3.3 Anschauliche Modelle für Operationen 588
3.4 Sachkontexte 590
3.5 Größen 593
Die Arbeit gegen Fehlerstrategien 594
4.1 Analyse von Fehlerstrategien 594
4.2 Bewusstes Kontrastieren 596
4.3 Konflikte erzeugen, nicht vermeiden 598
4.4 Fehlerstrategien thematisieren, nicht tabuisieren 602
4.5 Ergebnisse kritisch prüfen 604
Dezimalbruchrechnung im
5.1 Dezimalbrüche und gemeine Brüche strikt trennen? 607
5.2 Mehr Zeit für Dezimalbrüche 609
5.3 Bedeutung der Lehrerkomponente 611
613
Ausblick
Literaturverzeichnis 615
Tabellen Verzeichnis 633
Anhang 641 |
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