Elementare Algebra und Zahlentheorie:
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| Published: |
Berlin
Springer
2007
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen............... 1
0.1 Äquivalenzklassen, Gruppen, Ringe........................ 1
0.2 Polynomring............................................ 5
0.3 Ergänzung: Formale Potenzreihen......................... 13
Übungen.................................................... 14
1 Natürliche und ganze Zahlen.............................. 15
1.1
1.2 Zahldarstellungen....................................... 19
Übungen.................................................... 22
2 Teilbarkeit und Primzahlen................................ 23
2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen......................... 23
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik.......................... 29
2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge......................... 32
2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemannsche Zetafunktion..... 33
2.5 Sieb des
Übungen.................................................... 36
3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und
diophantische Gleichungen................................. 39
3.1 Größter gemeinsamer Teiler............................... 39
3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung........................... 43
3.3 Euklidischer Algorithmus und euklidische Ringe............. 45
3.4 Lineare diophantische Gleichungen......................... 49
3.5 Ergänzung: Multiplikative Funktionen...................... 51
Übungen.................................................... 53
4 Kongruenzen und Ideale................................... 55
4.1 Kongruenzen............................................ 55
4.2 Restklassenring und Homomorphiesatz..................... 61
X
4.3 Simultane Kongruenzen und chinesischer Restsatz........... 66
4.4 Lineare Kongruenzen und
4.5 Ergänzung: Polynomiale Kongruenzen...................... 77
4.6 Ergänzung: Gauß sche Primzahlen......................... 81
Übungen.................................................... 84
5 Gruppen................................................... 87
5.1 Grundbegriffe........................................... 87
5.2 Nebenklassen, Faktorgruppe und Homomorphiesatz.......... 99
5.3 Isomorphiesätze und direktes Produkt......................108
5.4 Ergänzung: Semidirektes Produkt .........................113
Übungen....................................................114
6 Operationen von Gruppen auf Mengen....................117
6.1 Grundbegriffe...........................................117
6.2 Bahnformel und Klassengleichung.........................121
6.3 Ergänzung: Sätze von Sylow..............................124
Übungen....................................................127
7 Abelsche Gruppen und Charaktere........................129
7.1 Abelsche Gruppen und der Hauptsatz......................129
7.2 Charaktergruppe........................................136
7.3 Diskrete Fouriertransformation............................140
7.4 Ergänzung: Moduln über Hauptidealringen.................146
Übungen....................................................155
8
8.1 Struktur der
8.2 Primitivwurzeln und Potenzreste..........................164
8.3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.......................170
8.4 Ergänzung: Primzahltests ................................182
Übungen....................................................188
9 Körper und Körpererweiterungen.........................191
9.1 Konstruktion von Körpern................................191
9.2 Körpererweiterungen.....................................196
9.3 Nullstellen von Polynomen in Erweiterungskörpern..........202
9.4 Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss ..............207
9.5 Ergänzung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal...........214
Übungen....................................................217
10 Endliche Körper...........................................219
10.1 Konstruktion und Klassifikation...........................219
10.2 Erweiterungen endlicher Körper und Automorphismen.......225
10.3 Endliche Körper und quadratisches Reziprozitätsgesetz.......227
Übungen....................................................230
Inhaltsverzeichnis
11 Endliche Körper und Faktorisierung von Polynomen.......233
11.1 Gauß sches Lemma und Irreduzibilitätskriterien.............233
11.2 Ergänzung: Algorithmische Faktor Zerlegung über endlichen
Körpern................................................237
Übungen....................................................245
Sachverzeichnis................................................247
|
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Inhaltsverzeichnis
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen. 1
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2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemannsche Zetafunktion. 33
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3.1 Größter gemeinsamer Teiler. 39
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