Numerische Mathematik:
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Teubner
2006
|
| Edition: | 6., überarb. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Literaturverz. S. 547 - 559 Auch als Internetausgabe |
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| ISBN: | 9783835101142 3835101145 |
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Inhalt
Einleitung 13
1 Fehlertheorie 15
1.1 Fehlerarten. 15
1.2 Zahldarstellung. 16
1.3 Rundungsfehler. 18
1.4 Differenzielle Fehleranalyse. 21
1.5 Ergänzungen und Beispiele. 24
1.5.1 Rückwärts-Fehleranalyse
1.5.2 Numerische Stabilität. 25
1.6 Software. 28
1.7 Aufgaben. 28
2 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden 30
2.1 Der Gauß-Algorithmus . 30
2.1.1 Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung. 30
2.1.2 Pivotstrategien. 38
2.1.3 Ergänzungen. 43
2.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen. 47
2.2.1 Normen. 47
2.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition. 52
2.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften . 56
2.3.1 Symmetrische, positiv
2.3.2 Bandgleichungen. 62
2.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme . 64
2.4 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner. 67
2.4.1 Voll besetzte Systeme. 68
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme . 73
2.5 Anwendungen . 82
2.5.1 Schaltkreistheorie . 82
2.5.2 Fluss durch ein Rohrnetz mit Pumpe . 84
8 Inhalt
2.5.3 Ebenes Fachwerk. 85
2.6 Software. 87
2.7 Aufgaben. 88
3 Interpolation und Approximation 91
3.1 Polynominterpolation. 92
3.1.1 Problemstellung. 92
3.1.2 Lagrange-Interpolation. 95
3.1.3 Newton-Interpolation. 95
3.1.4 Hermite-Interpolation. 98
3.1.5
3.1.6 Anwendung: Numerische Differenziation. 101
3.2
3.2.1 Kubische
3.2.2 B-Splines 1. Grades. 112
3.2.3 Kubische B-Splines. 114
3.3 Zweidimensionale Splineverfahren. 119
3.3.1 Bilineare Tensorsplines . 120
3.3.2 Bikubische Tensorsplines . 123
3.4 Kurveninterpolation. 125
3.4.1 Problemstellung. 125
3.4.2 Numerische Lösung mit
3.5 Kurven und Flächen mit
3.5.1 Bernstein-Polynome. 127
3.5.2 Bezier-Darstellung eines Polynoms. 129
3.5.3 Der Casteljau-Algorithmus. 130
3.5.4
3.5.5
3.6 Gauß-Approximation . 140
3.6.1 Diskrete Gauß-Approximation. 142
3.6.2 Kontinuierliche Gauß-Approximation . 144
3.7 Trigonometrische Approximation. 145
3.7.1 Fourier-Reihen. 145
3.7.2 Effiziente Berechnung der Fourier-Koeffizienten. 154
3.8 Orthogonale Polynome . 161
3.8.1 Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen. 162
3.8.2 Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen. 170
3.8.3 Die Legendre-Polynome. 174
3.9 Software. 179
3.10 Aufgaben. 180
Inhalt 9
4 Nichtlineare Gleichungen 183
4.1 Theoretische Grundlagen. 183
4.1.1 Problemstellung. 183
4.1.2 Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz. 185
4.1.3 Stabilität und Kondition . 189
4.2 Gleichungen in einer Unbekannten. 190
4.2.1 Das Verfahren der Bisektion . 190
4.2.2 Das Verfahren von Newton. 192
4.2.3 Die Sekantenmethode. 195
4.2.4
4.2.5 Verfahrensvergleich . 198
4.3 Gleichungen in mehreren Unbekannten. 199
4.3.1 Fixpunktiteration und Konvergenz. 199
4.3.2 Das Verfahren von Newton. 200
4.4 Nullstellen von Polynomen. 207
4.4.1 Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton-Maehly. 207
4.4.2 Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow. 211
4.5 Software. 215
4.6 Aufgaben. 215
5 Eigenwertprobleme 218
5.1 Theoretische Grundlagen. 219
5.1.1 Das charakteristische Polynom. 219
5.1.2 Ähnlichkeitstransformationen. 219
5.1.3 Symmetrische Eigenwertprobleme . 220
5.1.4 Elementare Rotationsmatrizen. 220
5.2 Das klassische Jacobi-Verfahren . 222
5.3 Die Vektoriteration . 229
5.3.1 Die einfache Vektoriteration nach von
5.3.2 Die
5.4 Transformationsmethoden. 232
5.4.1 Transformation auf Hessenberg-Form . 233
5.4.2 Transformation auf tridiagonale Form. 237
5.4.3 Schnelle Givens-Transformation. 239
5.5 QÄ-Algorithmus. 243
5.5.1 Grundlagen zur
5.5.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte. 248
5.5.3 Cn-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte. 253
5.5.4 QÄ-Algorithmus für tridiagonale Matrizen . 256
5.5.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren. 260
10 Inhalt
5.6 Das allgemeine Eigenwertproblem. 261
5.6.1 Der symmetrisch positiv
5.7 Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität. 264
5.8 Anwendung: Membranschwingungen. 268
5.9 Software. 270
5.10 Aufgaben. 271
6 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 274
6.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen. 274
6.2 Methoden der Orthogonaltransformation. 278
6.2.1 Givens-Transformation . 279
6.2.2 Spezielle Rechentechniken. 284
6.2.3
6.3 Singulärwertzerlegung. 292
6.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme. 296
6.4.1 Gauß-Newton-Methode. 297
6.4.2 Minimierungsverfahren. 300
6.5 Software. 304
6.6 Aufgaben. 305
7 Numerische Integration 307
7.1 Newton-Cotes-Formeln . 308
7.1.1 Konstruktion von Newton-Cotes-Formeln. 308
7.1.2 Verfeinerung der Trapezregel. 310
7.2 Romberg-Integration. 313
7.3 Transformationsmethoden. 315
7.3.1 Periodische
7.3.2 Integrale über
7.3.3 Variablensubstitution. 320
7.4 Gauß-Integration. 323
7.4.1 Eingebettete Gauß-Regeln. 331
7.5
7.6 Mehrdimensionale Integration. 336
7.6.1 Produktintegration. 336
7.6.2 Integration über Standardgebiete. 337
7.7 Software. 338
7.8 Aufgaben. 339
Inhalt 11
8 Anfangswertprobleme 342
8.1 Einführung. 343
8.1.1 Problemklasse und theoretische Grundlagen. 343
8.1.2 Möglichkeiten numerischer Lösung. 345
8.2 Einschrittverfahren. 350
8.2.1 Konsistenz. 350
8.2.2 Runge-Kutta-Verfahren. 353
8.2.3 Explizite Runge-Kutta-Verfahren. 354
8.2.4 Halbimplizite Runge-Kutta-Verfahren. 358
8.2.5 Schrittweitensteuerung. 359
8.3 Mehrschrittverfahren. 363
8.3.1 Verfahren vom Adams-Typ. 363
8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion. 368
8.4 Stabilität. 376
8.4.1 Inhärente Instabilität . 376
8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren. 378
8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren. 380
8.4.4 Steife Differenzialgleichungen. 384
8.5 Anwendung:
8.6 Software. 391
8.7 Aufgaben. 392
9 Rand- und Eigenwertprobleme 395
9.1 Problemstellung und Beispiele. 395
9.2 Lineare Randwertaufgaben. 399
9.2.1 Allgemeine Lösung. 399
9.2.2 Analytische Methoden. 401
9.2.3 Analytische Methoden mit Funktionenansätzen. 404
9.3 Schießverfahren. 408
9.3.1 Das Einfach-Schießverfahren. 408
9.3.2 Das Mehrfach-Schießverfahren. 413
9.4 Differenzenverfahren. 418
9.4.1 Dividierte Differenzen. 418
9.4.2 Diskretisierung der Randwertaufgabe . 419
9.5 Software. 424
9.6 Aufgaben. 425
10 Partielle Difierenzialgleichungen 427
10.1 Differenzenverfahren. 427
10.1.1 Problemstellung. 427
12 Inhalt
10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe. 429
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen. 434
10.1.4 Diskretisierungsfehler. 444
10.1.5 Ergänzungen. 446
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben. 448
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode. 448
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode . 454
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten. 459
10.2.4 Zweidimensionale Probleme. 461
10.3 Methode der finiten Elemente. 466
10.3.1 Grundlagen. 466
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente. 469
10.3.3 Elementweise Bearbeitung. 471
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen. 477
10.3.5 Beispiele . 477
10.4 Software. 482
10.5 Aufgaben. 483
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren 487
11.1 Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen. 487
11.2 Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren. 489
11.2.1 Konstruktion der Iterationsverfahren. 489
11.2.2 Einige Konvergenzsätze. 494
11.2.3 Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation. 506
11.3 Methode der konjugierten Gradienten. 513
11.3.1 Herleitung des Algorithmus. 513
11.3.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten. 518
11.3.3 Konvergenzabschätzung. 521
11.3.4 Vorkonditionierung. 525
11.4 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen. 531
11.4.1 Grundlagen des Verfahrens. 531
11.4.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften. 535
11.5 Speicherung schwach besetzter Matrizen. 540
11.6 Software. 543
11.7 Aufgaben. 543
Literaturverzeichnis 547
Sachverzeichnis 560 |
| adam_txt |
Inhalt
Einleitung 13
1 Fehlertheorie 15
1.1 Fehlerarten. 15
1.2 Zahldarstellung. 16
1.3 Rundungsfehler. 18
1.4 Differenzielle Fehleranalyse. 21
1.5 Ergänzungen und Beispiele. 24
1.5.1 Rückwärts-Fehleranalyse
1.5.2 Numerische Stabilität. 25
1.6 Software. 28
1.7 Aufgaben. 28
2 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden 30
2.1 Der Gauß-Algorithmus . 30
2.1.1 Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung. 30
2.1.2 Pivotstrategien. 38
2.1.3 Ergänzungen. 43
2.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen. 47
2.2.1 Normen. 47
2.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition. 52
2.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften . 56
2.3.1 Symmetrische, positiv
2.3.2 Bandgleichungen. 62
2.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme . 64
2.4 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner. 67
2.4.1 Voll besetzte Systeme. 68
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme . 73
2.5 Anwendungen . 82
2.5.1 Schaltkreistheorie . 82
2.5.2 Fluss durch ein Rohrnetz mit Pumpe . 84
8 Inhalt
2.5.3 Ebenes Fachwerk. 85
2.6 Software. 87
2.7 Aufgaben. 88
3 Interpolation und Approximation 91
3.1 Polynominterpolation. 92
3.1.1 Problemstellung. 92
3.1.2 Lagrange-Interpolation. 95
3.1.3 Newton-Interpolation. 95
3.1.4 Hermite-Interpolation. 98
3.1.5
3.1.6 Anwendung: Numerische Differenziation. 101
3.2
3.2.1 Kubische
3.2.2 B-Splines 1. Grades. 112
3.2.3 Kubische B-Splines. 114
3.3 Zweidimensionale Splineverfahren. 119
3.3.1 Bilineare Tensorsplines . 120
3.3.2 Bikubische Tensorsplines . 123
3.4 Kurveninterpolation. 125
3.4.1 Problemstellung. 125
3.4.2 Numerische Lösung mit
3.5 Kurven und Flächen mit
3.5.1 Bernstein-Polynome. 127
3.5.2 Bezier-Darstellung eines Polynoms. 129
3.5.3 Der Casteljau-Algorithmus. 130
3.5.4
3.5.5
3.6 Gauß-Approximation . 140
3.6.1 Diskrete Gauß-Approximation. 142
3.6.2 Kontinuierliche Gauß-Approximation . 144
3.7 Trigonometrische Approximation. 145
3.7.1 Fourier-Reihen. 145
3.7.2 Effiziente Berechnung der Fourier-Koeffizienten. 154
3.8 Orthogonale Polynome . 161
3.8.1 Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen. 162
3.8.2 Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen. 170
3.8.3 Die Legendre-Polynome. 174
3.9 Software. 179
3.10 Aufgaben. 180
Inhalt 9
4 Nichtlineare Gleichungen 183
4.1 Theoretische Grundlagen. 183
4.1.1 Problemstellung. 183
4.1.2 Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz. 185
4.1.3 Stabilität und Kondition . 189
4.2 Gleichungen in einer Unbekannten. 190
4.2.1 Das Verfahren der Bisektion . 190
4.2.2 Das Verfahren von Newton. 192
4.2.3 Die Sekantenmethode. 195
4.2.4
4.2.5 Verfahrensvergleich . 198
4.3 Gleichungen in mehreren Unbekannten. 199
4.3.1 Fixpunktiteration und Konvergenz. 199
4.3.2 Das Verfahren von Newton. 200
4.4 Nullstellen von Polynomen. 207
4.4.1 Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton-Maehly. 207
4.4.2 Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow. 211
4.5 Software. 215
4.6 Aufgaben. 215
5 Eigenwertprobleme 218
5.1 Theoretische Grundlagen. 219
5.1.1 Das charakteristische Polynom. 219
5.1.2 Ähnlichkeitstransformationen. 219
5.1.3 Symmetrische Eigenwertprobleme . 220
5.1.4 Elementare Rotationsmatrizen. 220
5.2 Das klassische Jacobi-Verfahren . 222
5.3 Die Vektoriteration . 229
5.3.1 Die einfache Vektoriteration nach von
5.3.2 Die
5.4 Transformationsmethoden. 232
5.4.1 Transformation auf Hessenberg-Form . 233
5.4.2 Transformation auf tridiagonale Form. 237
5.4.3 Schnelle Givens-Transformation. 239
5.5 QÄ-Algorithmus. 243
5.5.1 Grundlagen zur
5.5.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte. 248
5.5.3 Cn-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte. 253
5.5.4 QÄ-Algorithmus für tridiagonale Matrizen . 256
5.5.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren. 260
10 Inhalt
5.6 Das allgemeine Eigenwertproblem. 261
5.6.1 Der symmetrisch positiv
5.7 Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität. 264
5.8 Anwendung: Membranschwingungen. 268
5.9 Software. 270
5.10 Aufgaben. 271
6 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 274
6.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen. 274
6.2 Methoden der Orthogonaltransformation. 278
6.2.1 Givens-Transformation . 279
6.2.2 Spezielle Rechentechniken. 284
6.2.3
6.3 Singulärwertzerlegung. 292
6.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme. 296
6.4.1 Gauß-Newton-Methode. 297
6.4.2 Minimierungsverfahren. 300
6.5 Software. 304
6.6 Aufgaben. 305
7 Numerische Integration 307
7.1 Newton-Cotes-Formeln . 308
7.1.1 Konstruktion von Newton-Cotes-Formeln. 308
7.1.2 Verfeinerung der Trapezregel. 310
7.2 Romberg-Integration. 313
7.3 Transformationsmethoden. 315
7.3.1 Periodische
7.3.2 Integrale über
7.3.3 Variablensubstitution. 320
7.4 Gauß-Integration. 323
7.4.1 Eingebettete Gauß-Regeln. 331
7.5
7.6 Mehrdimensionale Integration. 336
7.6.1 Produktintegration. 336
7.6.2 Integration über Standardgebiete. 337
7.7 Software. 338
7.8 Aufgaben. 339
Inhalt 11
8 Anfangswertprobleme 342
8.1 Einführung. 343
8.1.1 Problemklasse und theoretische Grundlagen. 343
8.1.2 Möglichkeiten numerischer Lösung. 345
8.2 Einschrittverfahren. 350
8.2.1 Konsistenz. 350
8.2.2 Runge-Kutta-Verfahren. 353
8.2.3 Explizite Runge-Kutta-Verfahren. 354
8.2.4 Halbimplizite Runge-Kutta-Verfahren. 358
8.2.5 Schrittweitensteuerung. 359
8.3 Mehrschrittverfahren. 363
8.3.1 Verfahren vom Adams-Typ. 363
8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion. 368
8.4 Stabilität. 376
8.4.1 Inhärente Instabilität . 376
8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren. 378
8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren. 380
8.4.4 Steife Differenzialgleichungen. 384
8.5 Anwendung:
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9 Rand- und Eigenwertprobleme 395
9.1 Problemstellung und Beispiele. 395
9.2 Lineare Randwertaufgaben. 399
9.2.1 Allgemeine Lösung. 399
9.2.2 Analytische Methoden. 401
9.2.3 Analytische Methoden mit Funktionenansätzen. 404
9.3 Schießverfahren. 408
9.3.1 Das Einfach-Schießverfahren. 408
9.3.2 Das Mehrfach-Schießverfahren. 413
9.4 Differenzenverfahren. 418
9.4.1 Dividierte Differenzen. 418
9.4.2 Diskretisierung der Randwertaufgabe . 419
9.5 Software. 424
9.6 Aufgaben. 425
10 Partielle Difierenzialgleichungen 427
10.1 Differenzenverfahren. 427
10.1.1 Problemstellung. 427
12 Inhalt
10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe. 429
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen. 434
10.1.4 Diskretisierungsfehler. 444
10.1.5 Ergänzungen. 446
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben. 448
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode. 448
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode . 454
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten. 459
10.2.4 Zweidimensionale Probleme. 461
10.3 Methode der finiten Elemente. 466
10.3.1 Grundlagen. 466
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente. 469
10.3.3 Elementweise Bearbeitung. 471
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen. 477
10.3.5 Beispiele . 477
10.4 Software. 482
10.5 Aufgaben. 483
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren 487
11.1 Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen. 487
11.2 Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren. 489
11.2.1 Konstruktion der Iterationsverfahren. 489
11.2.2 Einige Konvergenzsätze. 494
11.2.3 Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation. 506
11.3 Methode der konjugierten Gradienten. 513
11.3.1 Herleitung des Algorithmus. 513
11.3.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten. 518
11.3.3 Konvergenzabschätzung. 521
11.3.4 Vorkonditionierung. 525
11.4 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen. 531
11.4.1 Grundlagen des Verfahrens. 531
11.4.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften. 535
11.5 Speicherung schwach besetzter Matrizen. 540
11.6 Software. 543
11.7 Aufgaben. 543
Literaturverzeichnis 547
Sachverzeichnis 560 |
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