Grundlagen der Funktionalanalysis und Approximationstheorie:
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Göttingen
Vandenhoeck & Ruprecht
1977
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| Edition: | 1. Aufl. |
| Series: | Moderne Mathematik in elementarer Darstellung
17 |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 216 S. Ill. |
| ISBN: | 3525405391 |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
1. Metrische Räume 11
1.1 Erklärung metrischer Räume 11
1.2 Beispiele für metrische Räume 12
1.3 Einige Eigenschaften metrischer Räume 15
2. Vektorräume 17
2.1 Erklärung von Vektorräumen 17
2.2 Beispiele für Vektorräume 18
2.3 Einfache Aussagen über Vektorräume 20
3. Normierte Vektorräume 22
3.1 Einführung des Normbegriffes 22
3.2 Zusammenhang zwischen normierten Vektorräumen und Vektorräumen
mit Abstandsfunktion 25
3.3 Beispiele für normierte Vektorräume 28
3.4 Einfache Aussagen über Nonnen und normierte Vektorräume 38
4. Skalarprodukträume 44
4.1 Einführung des Skalarproduktes 44
4.2 Skalarprodukt im zweidimensionalen „Anschauungsraum 47
4.3 Zwei einfache Sätze über Skalarprodukte 49
4.4 Winkelmessung 50
4.5 Zusammenhang zwischen Skalarprodukträumen und normierten
Vektorräumen 52
4.6 Gewinnung von Skalarprodukträumen aus den Beispielen für normierte
Vektorräume 55
4.7 Orthogonalisierung 60
4.8 Strikte Normen 62
5. Approximation in endlichdimensionalen Skalarprodukträumen und
normierten Vektorräumen 68
5.1 Abweichungsmaße bei der Approximation von Meßserien 68
5.2 Approximation von Meßserien mit Hilfe von konstanten Funktionen. . . 73
5.2.1 Approximation in der Quadratnorm 73
5.2.2 Approximation in der Betragnorm 74
8 Inhalt
5.2.3 Approximation in der Maximumnorm 80
5.2.4 Vergleich der Approximationen mit Hilfe von konstanten
Funktionen 81
5.3 Approximation von Meßserien mit Hilfe von speziellen linearen
Funktionen x *¦ ax 83
5.3.1 Approximation in der Quadratnorm 83
5.3.2 Approximation in der Betragnorm 84
5.3.3 Approximation in der Maximumnorm 86
5.4 Approximation von Meßserien mit Hilfe von linearen Funktionen
x +ax + b 88
5.4.1 Approximation in der Quadratnorm 88
5.4.2 Approximation in der Maximumnorm 92
5.5 Minimälabstand eines Vektors aus einem endlichdimensionalen Skalar
produktraum von einem Unterraum 93
5.6 Approximation von Meßserien mit Hilfe von Polynomfunktionen in
der Quadratnorm . . 99
5.6.1 Lineare Unabhängigkeit der Vektoren xm,xm ..., x,l 99
5.6.2 Behandlung der Approximationsaufgabe mit der Vektorraum¬
methode 101
5.6.3 Direkte Behandlung der Approximationsaufgabe 104
5.7 Approximation von Meßserien mit Hilfe von verallgemeinerten Poly¬
nomen in der Quadratnorm 106
5.8 Approximation von Meßserien mit Hilfe von Polynomfunktionen in der
Betragnorm 108
5.9 Approximation von Meßserien mit Hilfe von Polynomfunktionen in der
Maximumnorm 110
5.10 Approximation von Meßserien mit Hilfe von verallgemeinerten
Polynomen in der Maximumnorm 113
5.10.1 Tschebyscheffsysteme 113
5.10.2 Interpolation mit verallgemeinerten Polynomen, Haarsche Be¬
dingung 114
5.10.3 Bemerkung über Tschebyscheffsysteme 116
6. Grenzwerte, Vollständigkeit, Stetigkeit 119
6.1 Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen 119
6.2 Beispiele für endlichdimensionale Hubert Räume und Banach Raxxme ... 122
6.3 Vollständigkeit von endlichdimensionalen normierten Vektorräumen
und Skalarprodukträumen 125
6.4 Hilbertscher Folgenraum 128
6.5 Vollständigkeit von unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen
und Skalarprodukträumen 134
6.6 Stetigkeit von Norm, Metrik und Skalarprodukt 138
Inhalt 9
7. Approximation in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen . . 142
7.1 Minimalabstand eines Vektors aus einem unendlichdimensionalen
Skalarproduktraum von einem endlichdimensionalen Unterraum 142
7.2 Approximation von stetigen Funktionen mit Hilfe von Polynom¬
funktionen in der Quadratnorm 144
7.3 Approximation von stetigen Funktionen mit Hilfe von trigono¬
metrischen Funktionen in der Quadratnorm 148
7.4 Fourierreihen 155
7.5 Minimalabstand eines Vektors aus einem unendlichdimensionalen Skalar¬
produktraum von einem vollständigen Unterraum 162
8. Approximation in unendlichdimensionalen normierten Vektor¬
räumen 167
8.1 Minimalabstand eines Vektors aus einem endlichdimensionalen oder
unendlichdimensionalen normierten Vektorraum von einem endlichdi¬
mensionalen Unterraum 167
8.2 Approximation von stetigen Funktionen mit Hilfe von Polynomfunktio¬
nen in der Betragnorm 169
8.3 Approximation von stetigen Funktionen mit Hilfe von Polynomfunktio¬
nen in der Maximumnorm 175
8.4 Vergleichende Beispiele für die Approximation von stetigen Funktionen
mit Hilfe von Polynomfunktionen in verschiedenen Normen 186
8.5 Legendresche Polynome und Tschebyscheff Polynome erster und zwei¬
ter Art als Lösungen von Approximationsaufgaben 200
8.6 Approximation von stetigen Funktionen mit Hilfe von verallgemeinerten
Polynomen in der Betrag bzw. Maximumnorm 205
9. Ausblicke 210
Literaturverzeichnis 212
Register 213
|
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Inhalt
1. Metrische Räume 11
1.1 Erklärung metrischer Räume 11
1.2 Beispiele für metrische Räume 12
1.3 Einige Eigenschaften metrischer Räume 15
2. Vektorräume 17
2.1 Erklärung von Vektorräumen 17
2.2 Beispiele für Vektorräume 18
2.3 Einfache Aussagen über Vektorräume 20
3. Normierte Vektorräume 22
3.1 Einführung des Normbegriffes 22
3.2 Zusammenhang zwischen normierten Vektorräumen und Vektorräumen
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3.3 Beispiele für normierte Vektorräume 28
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4. Skalarprodukträume 44
4.1 Einführung des Skalarproduktes 44
4.2 Skalarprodukt im zweidimensionalen „Anschauungsraum" 47
4.3 Zwei einfache Sätze über Skalarprodukte 49
4.4 Winkelmessung 50
4.5 Zusammenhang zwischen Skalarprodukträumen und normierten
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4.6 Gewinnung von Skalarprodukträumen aus den Beispielen für normierte
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4.7 Orthogonalisierung 60
4.8 Strikte Normen 62
5. Approximation in endlichdimensionalen Skalarprodukträumen und
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5.1 Abweichungsmaße bei der Approximation von Meßserien 68
5.2 Approximation von Meßserien mit Hilfe von konstanten Funktionen. . . 73
5.2.1 Approximation in der Quadratnorm 73
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5.2.3 Approximation in der Maximumnorm 80
5.2.4 Vergleich der Approximationen mit Hilfe von konstanten
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5.3.1 Approximation in der Quadratnorm 83
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5.4 Approximation von Meßserien mit Hilfe von linearen Funktionen
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5.4.1 Approximation in der Quadratnorm 88
5.4.2 Approximation in der Maximumnorm 92
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5.6 Approximation von Meßserien mit Hilfe von Polynomfunktionen in
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5.6.1 Lineare Unabhängigkeit der Vektoren xm,xm \., x,l 99
5.6.2 Behandlung der Approximationsaufgabe mit der Vektorraum¬
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5.6.3 Direkte Behandlung der Approximationsaufgabe 104
5.7 Approximation von Meßserien mit Hilfe von verallgemeinerten Poly¬
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5.8 Approximation von Meßserien mit Hilfe von Polynomfunktionen in der
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5.9 Approximation von Meßserien mit Hilfe von Polynomfunktionen in der
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5.10 Approximation von Meßserien mit Hilfe von verallgemeinerten
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5.10.2 Interpolation mit verallgemeinerten Polynomen, Haarsche Be¬
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8.3 Approximation von stetigen Funktionen mit Hilfe von Polynomfunktio¬
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8.4 Vergleichende Beispiele für die Approximation von stetigen Funktionen
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8.6 Approximation von stetigen Funktionen mit Hilfe von verallgemeinerten
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9. Ausblicke 210
Literaturverzeichnis 212
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