Analysis für Ingenieurstudenten: 2 Mit 177 Aufgaben und Lösungen
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| Format: | Book |
|---|---|
| Language: | German |
| Published: |
Thun [u.a.]
Deutsch
1996
|
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | IX, 404 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3817113404 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
I Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen 1
1 Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen 1
1-1 Grundlagen 1
1.1.1 Funktionsbegriff 2
1.1.2 Einteilung und Darstellungsarten 5
1-2 Analytische und tabellarische Darstellung 6
1.2.1 Analytische Darstellung 6
1.2.2 Tabellarische Darstellung 8
1-3 Geometrische Darstellung 10
1.3.1 Räumliches kartesisches Koordinatensystem 11
1.3.2 Zylinderkoordinatensystem 18
1.3.3 Kugelkoordinatensystem 22
1-4 Nomographische Darstellung* 26
1.4.1 Funktionsskalen und Funktionsnetze 26
1.4.2 Fluchtlinientafeln 30
^ 1.4.3 Netztafeln 34
1.5/ Grenzwerte und Stetigkeit 37
1.5.1 Grenzwertbegriff 37
1.5.2 Stetigkeitsbegriff 39
2 Differentialrechnung für Funktionen zweier unabhängiger Variablen 40
2.1 Partielle Ableitungen und totales Differential 40
2.1.1 Partielle Ableitungen erster Ordnung 40
2.1.2 Partielle Ableitungen zweiter Ordnung 42
2.1.3 Totales Differential 43
2.1.4 Differentiale höherer Ordnung 45
2.2 Differentiationsregeln 46
23 Extrema ohne und mit Nebenbedingungen 47
2.3.1 Relative Extrema ohne Nebenbedingungen 47
iv INHALTSVERZEICHNIS
2.3.2 Relative Extrema mit Nebenbedingungen 49
2.4 Grundlagen der Fehler- und Ausgleichsrechnung* 53
2.4.1 Fehlerrechnung 54
2.4.2 Ausgleichsrechnung 60
3 Integralrechnung für Funktionen zweier unabhängiger Variablen 70
3.1 Parameterintegrale 70
3.1.1 Definition und geometrische Deutung 70
3.1.2 Spezialfälle 71
3.1.3 Die Funktion £{f(y)} 72
3.1.4 Differentiation von Parameterintegralen 73
3.2 Mehrfachintegrale 74
3.2.1 Doppelintegrale 74
3.2.2 Dreifachintegrale 77
33 Flächen- und Raumintegrale 79
3.3.1 Flächenintegrale 79
3.3.2 Raumintegrale 85
3.4 Kurvenintegrale 94
3.4.1 Kurvenintegrale erster Art 94
3.4.2 Kurvenintegrale zweiter Art 102
4 Aufgaben zum Teil I 107
II Vektorrechnung 114
5 Vektoralgebra 114
5.1 Vektoren und Skalare 114
5.2 Rechenoperationen mit Vektoren 116
53 Rechenoperationen in Komponentendarstellung 124
5.4 Skalares und vektorielles Produkt in Komponentendarstellung 132
5.4.1 Skalares Produkt 132
5.4.2 Vektorielles Produkt 135
INHALTSVERZEICHNIS v
6 Vektoranalysis 141
6.1 Vektorfunktionen 141
6.2 Skalares und vektorielles Feld 142
6.2.1 Skalares Feld 143
6.2.2 Vektorielles Feld 144
63 Differentiation und Integration von Vektorfunktionen 146
6.3.1 Ableitung einer Vektorfunktion 146
6.3.2 Integration einer Vektorfunktion 150
6.4 Gradient und Richtungsableitung eines skalaren Feldes 151
6.4.1 Gradient 151
6.4.2 Richtungsableitung 154
6.4.3 Differentialoperatoren 155
6.5 Konservatives Feld und Potential 156
6.5.1 Linienintegrale in vektorieller Form 156
6.5.2 Konservatives Feld und sein Potential 158
6.6 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes 160
6.6.1 Divergenz 160
6.6.2 Rotation 162
6.6.3 Zusammengesetzte Ausdrücke von Gradient, Divergenz und Rotation 164
6.7 Oberflächenintegrale 166
6.7.1 Oberflächenintegrale erster Art 166
6.7.2 Oberflächenintegrale zweiter Art 170
6.7.3 Volumenableitungen 173
6.8 Integralsätze 174
6.8.1 Integralsatz von Gauß 175
6.8.2 Integralsatz von Stokes 176
6.8.3 Greensche Formeln 178
7 Aufgaben zum Teil II 181
IU Unendliche Reihen 188
8 Unendliche Zahlenreihen 188
8.1 Definition und Konvergenz 188
vi INHALTSVERZEICHNIS
8.2 Konvergenzkriterien 191
83 Eigenschaften 196
8.4 Spezielle Zahlenreihen und Fehlerabschätzungen 198
9 Potenzreihen 201
9.1 Grundlagen 201
9.2 Definition und Konvergenz von Potenzreihen 202
93 Eigenschaften konvergenter Potenzreihen 204
9.4 Potenzreihenentwicklung von Funktionen 207
9.5 Anwendungen 210
10 Fourier-Reihen 215
10.1 Entwicklung von Funktionen mit der Periode 2n in eine Fourier-Reihe . 215
10.2 Entwicklung von Funktionen mit beliebiger Periode T in eine Fourier-
Reihe* 218
103 Fourier-Reihen in spektraler und komplexer Darstellung 221
10.4 Numerische harmonische Analyse* 224
11 Aufgaben zum Teil III 227
IV Gewöhnliche Differentialgleichungen 234
12 Grundlagen 234
12.1 Definition und Einteilung 234
12.2 Aufstellen einer Differentialgleichung 236
123 Lösungsbegriff 238
12.4 Anfangs- und Randwertaufgaben 239
12.5 Geometrische Interpretation der Lösung 240
12.6 Über Lösungsmethoden 243
13 Differentialgleichungen erster Ordnung 244
13.1 Lineare Differentialgleichungen 244
13.1.1 Integration der homogenen Differentialgleichung 244
13.1.2 Integration der inhomogenen Differentialgleichung durch Variation
der Konstanten 245
13.1.3 Spezielle Lösungsmethoden für die inhomogene Differentialgleichung 248
INHALTSVERZEICHNIS vü
13.2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung 251
13.2.1 Integration durch Trennen der Variablen 251
13.2.2 Integration durch Substitution 252
13.2.3 Exakte Differentialgleichung und integrierender Faktor 255
133 Numerische Lösungsverfahren* 258
13.3.1 Streckenzugverfahren von Euler 258
13.3.2 Verfahren von Heun 260
13.3.3 Modifiziertes Euler-Verfahren 262
13.3.4 Runge-Kutta-Verfahren 263
13.3.5 Dormand-Prince-Verfahren 265
14 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 270
14.1 Spezialfälle 271
14.2 Lineare Differentialgleichungen 273
14.2.1 Sätze für Lösungen linearer Differentialgleichungen 274
143 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 276
14.3.1 Lineare homogene Differentialgleichungen 276
14.3.2 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 281
15 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgin. 286
15.1 Allgemeine Aussagen 286
15.1.1 Definitionen und Sätze 286
15.1.2 Lineare Systeme 289
15.2 Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten290
15.2.1 Lineare homogene Systeme 290
15.2.2 Lineare inhomogene Systeme 293
153 Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungssystemen* . 294
15.3.1 Runge-Kutta-Verfahren 294
15.3.2 Lösung durch Potenzreihen 296
16 Aufgaben zum Teil IV 298
V Integraltransformationen 306
17 Allgemeines über Integraltransformationen 306
viii INHALTSVERZEICHNIS
18 Laplace-Transformation 310
18.1 Definition der Laplace-Transformation und ihrer Umkehrtransformation 310
18.1.1 Transformation einer Funktion in den Bildbereich 310
18.1.2 Rücktransformation einer Funktion in den Originalbereich 317
18.1.3 Laplace-Transformierte einer ganzrationalen Funktion 318
18.1.4 Inverse Laplace-Transformierte einer gebrochenrationalen Funktion 318
18.2 Transformationssätze und -formein 320
18.2.1 Additions- oder Linearitätssatz 320
18.2.2 Ähnlichkeitssatz 321
18.2.3 Dämpfungssatz 322
18.2.4 Verschiebungssätze 323
18.2.5 Differentiationssätze 325
18.2.6 Integrationssätze 327
18.2.7 Faltungssatz 328
18.2.8 Grenzwertsätze 330
18.2.9 Spezielle Transformationsformeln 331
18.2.10 Übersicht über die Transformationssätze 337
183 Anwendungen 338
18.3.1 Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffi¬
zienten 338
18.3.2 Lösung von Systemen von linearen Differentialgleichungen mit kon¬
stanten Koeffizienten 343
19 Fourier-Transformation 345
19.1 Fourier-Integral 345
19.1.1 Fourierscher Integralsatz 345
19.1.2 Darstellungsformen des Fourier-Integrals 348
19.2 Fourier-Transformation und ihre Umkehrtransformation 348
19.2.1 Begriffsbildungen 348
19.2.2 Spezielle Fourier-Transformationen 352
19.3 Transformationssätze 354
19.3.1 Additions- oder Linearitätssatz 355
19.3.2 Ähnlichkeitssatz 355
19.3.3 Dämpfungssatz 356
19.3.4 Verschiebungssatz 357
INHALTSVERZEICHNIS ix
19.3.5 Differentiationssätze 357
19.3.6 Integrationssatz und Parsevalsche Gleichung 358
19.3.7 Faltungssatz 359
19.3.8 t-w-Dualitätsprinzip 361
19.3.9 Übersicht über die Transformationssätze 362
19.4 Anwendungen 362
19.4.1 Anwendungsgebiete 362
19.4.2 Vergleich von Laplace- und Fourier-Transformation 368
19.5 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)* 369
19.5.1 Definition und Koeffizienten 369
19.5.2 Diskrete Sinus- und Kosinustransformation 371
20 Aufgaben Teil V 373
VI Lösungen der Aufgaben 376
21 Lösungen zum Teil I 376
22 Lösungen zum Teil II 381
23 Lösungen zum Teil III 385
24 Lösungen zum Teil IV 390
25 Lösungen zum Teil V 396
26 Index 399
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
I Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen 1
1 Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen 1
1-1 Grundlagen 1
1.1.1 Funktionsbegriff 2
1.1.2 Einteilung und Darstellungsarten 5
1-2 Analytische und tabellarische Darstellung 6
1.2.1 Analytische Darstellung 6
1.2.2 Tabellarische Darstellung 8
1-3 Geometrische Darstellung 10
1.3.1 Räumliches kartesisches Koordinatensystem 11
1.3.2 Zylinderkoordinatensystem 18
1.3.3 Kugelkoordinatensystem 22
1-4 Nomographische Darstellung* 26
1.4.1 Funktionsskalen und Funktionsnetze 26
1.4.2 Fluchtlinientafeln 30
' ^ 1.4.3 Netztafeln 34
1.5/ Grenzwerte und Stetigkeit 37
1.5.1 Grenzwertbegriff 37
1.5.2 Stetigkeitsbegriff 39
2 Differentialrechnung für Funktionen zweier unabhängiger Variablen 40
2.1 Partielle Ableitungen und totales Differential 40
2.1.1 Partielle Ableitungen erster Ordnung 40
2.1.2 Partielle Ableitungen zweiter Ordnung 42
2.1.3 Totales Differential 43
2.1.4 Differentiale höherer Ordnung 45
2.2 Differentiationsregeln 46
23 Extrema ohne und mit Nebenbedingungen 47
2.3.1 Relative Extrema ohne Nebenbedingungen 47
iv INHALTSVERZEICHNIS
2.3.2 Relative Extrema mit Nebenbedingungen 49
2.4 Grundlagen der Fehler- und Ausgleichsrechnung* 53
2.4.1 Fehlerrechnung 54
2.4.2 Ausgleichsrechnung 60
3 Integralrechnung für Funktionen zweier unabhängiger Variablen 70
3.1 Parameterintegrale 70
3.1.1 Definition und geometrische Deutung 70
3.1.2 Spezialfälle 71
3.1.3 Die Funktion £{f(y)} 72
3.1.4 Differentiation von Parameterintegralen 73
3.2 Mehrfachintegrale 74
3.2.1 Doppelintegrale 74
3.2.2 Dreifachintegrale 77
33 Flächen- und Raumintegrale 79
3.3.1 Flächenintegrale 79
3.3.2 Raumintegrale 85
3.4 Kurvenintegrale 94
3.4.1 Kurvenintegrale erster Art 94
3.4.2 Kurvenintegrale zweiter Art 102
4 Aufgaben zum Teil I 107
II Vektorrechnung 114
5 Vektoralgebra 114
5.1 Vektoren und Skalare 114
5.2 Rechenoperationen mit Vektoren 116
53 Rechenoperationen in Komponentendarstellung 124
5.4 Skalares und vektorielles Produkt in Komponentendarstellung 132
5.4.1 Skalares Produkt 132
5.4.2 Vektorielles Produkt 135
INHALTSVERZEICHNIS v
6 Vektoranalysis 141
6.1 Vektorfunktionen 141
6.2 Skalares und vektorielles Feld 142
6.2.1 Skalares Feld 143
6.2.2 Vektorielles Feld 144
63 Differentiation und Integration von Vektorfunktionen 146
6.3.1 Ableitung einer Vektorfunktion 146
6.3.2 Integration einer Vektorfunktion 150
6.4 Gradient und Richtungsableitung eines skalaren Feldes 151
6.4.1 Gradient 151
6.4.2 Richtungsableitung 154
6.4.3 Differentialoperatoren 155
6.5 Konservatives Feld und Potential 156
6.5.1 Linienintegrale in vektorieller Form 156
6.5.2 Konservatives Feld und sein Potential 158
6.6 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes 160
6.6.1 Divergenz 160
6.6.2 Rotation 162
6.6.3 Zusammengesetzte Ausdrücke von Gradient, Divergenz und Rotation 164
6.7 Oberflächenintegrale 166
6.7.1 Oberflächenintegrale erster Art 166
6.7.2 Oberflächenintegrale zweiter Art 170
6.7.3 Volumenableitungen 173
6.8 Integralsätze 174
6.8.1 Integralsatz von Gauß 175
6.8.2 Integralsatz von Stokes 176
6.8.3 Greensche Formeln 178
7 Aufgaben zum Teil II 181
IU Unendliche Reihen 188
8 Unendliche Zahlenreihen 188
8.1 Definition und Konvergenz 188
vi INHALTSVERZEICHNIS
8.2 Konvergenzkriterien 191
83 Eigenschaften 196
8.4 Spezielle Zahlenreihen und Fehlerabschätzungen 198
9 Potenzreihen 201
9.1 Grundlagen 201
9.2 Definition und Konvergenz von Potenzreihen 202
93 Eigenschaften konvergenter Potenzreihen 204
9.4 Potenzreihenentwicklung von Funktionen 207
9.5 Anwendungen 210
10 Fourier-Reihen 215
10.1 Entwicklung von Funktionen mit der Periode 2n in eine Fourier-Reihe . 215
10.2 Entwicklung von Funktionen mit beliebiger Periode T in eine Fourier-
Reihe* 218
103 Fourier-Reihen in spektraler und komplexer Darstellung 221
10.4 Numerische harmonische Analyse* 224
11 Aufgaben zum Teil III 227
IV Gewöhnliche Differentialgleichungen 234
12 Grundlagen 234
12.1 Definition und Einteilung 234
12.2 Aufstellen einer Differentialgleichung 236
123 Lösungsbegriff 238
12.4 Anfangs- und Randwertaufgaben 239
12.5 Geometrische Interpretation der Lösung 240
12.6 Über Lösungsmethoden 243
13 Differentialgleichungen erster Ordnung 244
13.1 Lineare Differentialgleichungen 244
13.1.1 Integration der homogenen Differentialgleichung 244
13.1.2 Integration der inhomogenen Differentialgleichung durch Variation
der Konstanten 245
13.1.3 Spezielle Lösungsmethoden für die inhomogene Differentialgleichung 248
INHALTSVERZEICHNIS vü
13.2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung 251
13.2.1 Integration durch Trennen der Variablen 251
13.2.2 Integration durch Substitution 252
13.2.3 Exakte Differentialgleichung und integrierender Faktor 255
133 Numerische Lösungsverfahren* 258
13.3.1 Streckenzugverfahren von Euler 258
13.3.2 Verfahren von Heun 260
13.3.3 Modifiziertes Euler-Verfahren 262
13.3.4 Runge-Kutta-Verfahren 263
13.3.5 Dormand-Prince-Verfahren 265
14 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 270
14.1 Spezialfälle 271
14.2 Lineare Differentialgleichungen 273
14.2.1 Sätze für Lösungen linearer Differentialgleichungen 274
143 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 276
14.3.1 Lineare homogene Differentialgleichungen 276
14.3.2 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 281
15 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgin. 286
15.1 Allgemeine Aussagen 286
15.1.1 Definitionen und Sätze 286
15.1.2 Lineare Systeme 289
15.2 Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten290
15.2.1 Lineare homogene Systeme 290
15.2.2 Lineare inhomogene Systeme 293
153 Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungssystemen* . 294
15.3.1 Runge-Kutta-Verfahren 294
15.3.2 Lösung durch Potenzreihen 296
16 Aufgaben zum Teil IV 298
V Integraltransformationen 306
17 Allgemeines über Integraltransformationen 306
viii INHALTSVERZEICHNIS
18 Laplace-Transformation 310
18.1 Definition der Laplace-Transformation und ihrer Umkehrtransformation 310
18.1.1 Transformation einer Funktion in den Bildbereich 310
18.1.2 Rücktransformation einer Funktion in den Originalbereich 317
18.1.3 Laplace-Transformierte einer ganzrationalen Funktion 318
18.1.4 Inverse Laplace-Transformierte einer gebrochenrationalen Funktion 318
18.2 Transformationssätze und -formein 320
18.2.1 Additions- oder Linearitätssatz 320
18.2.2 Ähnlichkeitssatz 321
18.2.3 Dämpfungssatz 322
18.2.4 Verschiebungssätze 323
18.2.5 Differentiationssätze 325
18.2.6 Integrationssätze 327
18.2.7 Faltungssatz 328
18.2.8 Grenzwertsätze 330
18.2.9 Spezielle Transformationsformeln 331
18.2.10 Übersicht über die Transformationssätze 337
183 Anwendungen 338
18.3.1 Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffi¬
zienten 338
18.3.2 Lösung von Systemen von linearen Differentialgleichungen mit kon¬
stanten Koeffizienten 343
19 Fourier-Transformation 345
19.1 Fourier-Integral 345
19.1.1 Fourierscher Integralsatz 345
19.1.2 Darstellungsformen des Fourier-Integrals 348
19.2 Fourier-Transformation und ihre Umkehrtransformation 348
19.2.1 Begriffsbildungen 348
19.2.2 Spezielle Fourier-Transformationen 352
19.3 Transformationssätze 354
19.3.1 Additions- oder Linearitätssatz 355
19.3.2 Ähnlichkeitssatz 355
19.3.3 Dämpfungssatz 356
19.3.4 Verschiebungssatz 357
INHALTSVERZEICHNIS ix
19.3.5 Differentiationssätze 357
19.3.6 Integrationssatz und Parsevalsche Gleichung 358
19.3.7 Faltungssatz 359
19.3.8 t-w-Dualitätsprinzip 361
19.3.9 Übersicht über die Transformationssätze 362
19.4 Anwendungen 362
19.4.1 Anwendungsgebiete 362
19.4.2 Vergleich von Laplace- und Fourier-Transformation 368
19.5 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)* 369
19.5.1 Definition und Koeffizienten 369
19.5.2 Diskrete Sinus- und Kosinustransformation 371
20 Aufgaben Teil V 373
VI Lösungen der Aufgaben 376
21 Lösungen zum Teil I 376
22 Lösungen zum Teil II 381
23 Lösungen zum Teil III 385
24 Lösungen zum Teil IV 390
25 Lösungen zum Teil V 396
26 Index 399 |
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